精品解析：吉林省吉林市2026年初中毕业年级阶段性教学质量检测 数学试题

2026年初中毕业年级阶段性教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 已知算式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则，即可解题． 【详解】解：， “□”内应填入的运算符号为， 故选：A． 2. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图：从正面观察物体所得到的视图是主视图，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义解答即可得． 【详解】解：正六棱柱的主视图是， 故选：C． 3. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质移项计算即可得到解集． 【详解】解：由题意得， 解得． 4. 计算的结果为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 6. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提． 由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得，于， ， ， 又，， ， ， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：多项式中各项的公因式为，提取公因式可得． 8. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式运算和特殊角的三角函数值，先利用平方差公式计算多项式乘法，再代入的正弦值化简，最后合并得到结果即可． 【详解】解： ． 9. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是___． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1， 所以两枚硬币全部正面向上的概率=． 故答案为： 10. 在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】 ##24度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 11. 如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点为切点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（12～14每小题6分，15～17每小题7分，18～19每小题8分，20～21每小题10分，22题12分，共计87分．） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 13. 邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 14. 如图，，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【小问1详解】 证明∶ ，， ． 在和中， 【小问2详解】 解∶ ， ． 在中，． ． ． 15. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． （1）求段滑梯所在双曲线的解析式； （2）若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 【答案】（1） （2）6米 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到点，设段滑梯所在双曲线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C的纵坐标为，代入（1）中双曲线的解析式，求解出点C的横坐标，得到的长，利用即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设段滑梯所在双曲线的解析式为， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，，解得：， ∴点C的横坐标为8，即， ∴米． 答：B，C之间的水平距离的长度为6米． 16. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图．结果用实线表示，并用黑色水笔描黑） （1）如图1，判断圆心______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点； （2）在图1中画出的切线（为格点）； （3）在图2中画出的中点； 【答案】（1）是，图见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，涉及垂径定理，切线的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）画出弦，的垂直平分线可得答案； （2）连接，取格点，使即可； （3）由方格的特征，取的中点，连接并延长交于点，即得的中点． 【小问1详解】 解：如图， ， 圆心在弦，的垂直平分线上，由图可知，是在格点上， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：如图：即为所求， ； 【小问3详解】 解：如图， ， 由方格的特征，取的中点，连接并延长交于点，则点即为所求． 17. 其校对八、九年级各400名学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（得分用x表示，分成四组：A．；B．；C．；D．）．a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，93，94；c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数，中位数，众数如下：根据信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图显示： （1）写出表中m，n的值和九年级D组的百分数：________，________，D组________； （2）估计________年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；（填“八”或“九”） （3）如果学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？ 【答案】（1）95，91.5，30 （2）九 （3）260人 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析，用样本估计总体，熟知中位数，众数的概念是解题的关键． （1）根据八年级20名学生的成绩数据，即可解答；算出九年级组人数，再通过C组成绩数据，即可得到中位数及对应的百分数； （2）利用样本中八、九年级学生成绩高于平均分的人数，即可解答； （3）算出八、九年级20名学生中，竞赛成绩不低于95分的占比，乘以各年级全部人数，相加即可． 【小问1详解】 解：由八年级20名学生的成绩可得八年级成绩的众数为95，故； 九年级A组人数为（人）， B组数据为（人），故中位数在C组， 为，故， D组所占的百分数为：， 故答案为：95；91.5；30；； 【小问2详解】 解：九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多； 理由：抽取的20人中，八年级学生成绩高于平均分的有9人，九年级学生成绩高于平均分的有11人，由此可推断出九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多； 故答案为：九； 【小问3详解】 解：八年级成绩不低于95分的有7人，九年级学生成绩不低于95分的即为D组的人数，占， 八年级和九年级可以获得奖励的学生有：（人）， 答：八年级和九年级可以获得奖励的学生有260人． 18. 数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量榕树的高度 制作及测量过程 （1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1； （2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2； （3）得出仰角的度数； （4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离； （5）计算这棵榕树的高度． 测量示意图 测量数据 如图3，经测量眼睛离地面的高度，人到榕树底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为 请根据“方案”完成下列任务： 【任务一】（1）的度数是________； 【任务二】（2）计算这棵榕树高度（结果保留整数）． （参考数据：，，） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解． （2）明确直角三角形中边与已知条件（人到树距离、人眼离地高度）的对应关系．再依据直角三角形中三角函数定义求出长度．最后根据树高的线段组成关系求出大树高度． 【详解】解：（1）由题可知， 故答案为：. （2）由题意可得，， 在直角三角形中， ∴ ∵结果保留整数，即 答：大树的高度约为． 19. 如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N在边上时，求t的值； （3）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】（1）； （2）2； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； 【小问2详解】 解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 【小问3详解】 解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 20. 项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． （1）请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． （2）滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． （3）按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ 【答案】（1）见解析 （2）一次； （3）1小时会滴水千克；滴水小时能达到一个人的月平均饮水量 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）根据表格中的数据描点即可； （2）根据函数图象，得出滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入求出，即可得出1小时滴水量，用50千克除以1小时滴水量，即可得出滴水时间． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中描点，如图所示： 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知：这些点在一条直线上，因此滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数， 设，把，代入得： ， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：把代入得：， ∵1毫升水的质量约为1克， ∴1小时会滴水克，即千克； （小时）， 即滴水小时能达到一个人的月平均饮水量． 21. 如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 【答案】（1）（2）成立，见解析（3）或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得； （3）分点落在上，点落在延长线上，两种情况讨论． 【详解】解：（1）∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点落在上时，过点G作于H， ∵F落在边上， ∴， ∵，， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点落在延长线上时，过点G作交延长线与于H， 同理得：， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； （3）当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； （4）当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】（1）， （2）且 （3）或或或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将原点O，点B代入解析式中求解，即可得到抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，结合点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以及垂直于y轴，画出草图，推出满足题干条件的临界点，利用数形结合进行分析，即可解题； （3）根据二次函数解析式得到，再分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，结合矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2，建立方程求解，即可解题； （4）由（3）可知，根据矩形为正方形，得到，据此建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； 【小问3详解】 解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； 【小问4详解】 解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业年级阶段性教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷包括三道大题，共22道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 已知算式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. B. C. D. 2. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 因式分解：______． 8. 计算：______． 9. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是___． 10. 在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 11. 如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（12～14每小题6分，15～17每小题7分，18～19每小题8分，20～21每小题10分，22题12分，共计87分．） 12. 解方程：． 13. 邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 14. 如图，，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 15. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形为向上攀爬的梯子，米，进口，且米，出口C点距水面的距离为． （1）求段滑梯所在双曲线的解析式； （2）若为米，求B，C之间的水平距离的长度． 16. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图．结果用实线表示，并用黑色水笔描黑） （1）如图1，判断圆心______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点； （2）在图1中画出的切线（为格点）； （3）在图2中画出的中点； 17. 其校对八、九年级各400名学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（得分用x表示，分成四组：A．；B．；C．；D．）．a．八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100；b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，93，94；c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数，中位数，众数如下：根据信息，解答下列问题： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图显示： （1）写出表中m，n的值和九年级D组的百分数：________，________，D组________； （2）估计________年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；（填“八”或“九”） （3）如果学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？ 18. 数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量榕树的高度 制作及测量过程 （1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1； （2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2； （3）得出仰角的度数； （4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离； （5）计算这棵榕树的高度． 测量示意图 测量数据 如图3，经测量眼睛离地面的高度，人到榕树底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为 请根据“方案”完成下列任务： 【任务一】（1）的度数是________； 【任务二】（2）计算这棵榕树高度（结果保留整数）． （参考数据：，，） 19. 如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）； （2）当点N在边上时，求t的值； （3）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 20. 项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积 数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． （1）请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． （2）滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． （3）按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ 21. 如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； （3）当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； （4）当矩形为正方形时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $