精品解析：吉林省吉林市第七中学校2024-2025学年九年级下学期一模数学试题

吉林市第七中学教育集团初中数学学科九年级试题 一、单项选择题(每小题3分，共18分) 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春” “立夏” “白露” “大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（　　） A. 70° B. 120° C. 140° D. 110° 5. 如图，在 中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题(每小题3分，共15分) 7. 因式分解：________． 8. 太阳半径约为696000千米，数字696000用科学记数法表示为_______千米． 9. 不等式的解集是_________． 10. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意，可列方程组为________． 11. 如图，在 中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 三、解答题(每小题6分，共18分) 12. 关于 的方程有两个不等的实数根． （1）求 的取值范围； （2）化简：． 13. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒， 敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 14. 如图，，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 四、解答题(每小题7分，共21分) 15. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，短道速滑作为中国队传统优势项目备受国内外瞩目；已知场次门票分为A，B两档，其中A档票比B档票多300元，用2400元购买的档票与用1500元购买的B档票数量相等． （1）求A，B两档票的单价分别是多少？ （2）某团队购买A，B两档票共20张，总费用不超过12000元，则最多能购买多少张A档票． 16. 图1，图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，点 ，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成两个画图任务，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图中画线段且，点均在格点上． （2）在图中画边上的高，在射线上找一点，使．(画线条数不超过三条） 17. 图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点 ， ． （1）求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ） （2）求调节过程中椅背扫过的面积结果保留 五、解答题(每小题8分，共16分) 18. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：）与下行时间 （单位：）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度（单位：）与下行时间 （单位：）的函数关系如图2所示． （1）求关于 的函数解析式 （2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． （3）在到达一楼地面之前是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在求出此时的下行时间，若不存在请说明理由． 19. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校九年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有九年级学生中随机抽出名男生，名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再按照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集，并整理如下： 九年级名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数 3 2 4 6 t 2 1 0 （1）______，______°； （2）已知该校九年级共有名学生，其中男生人，女生人． ①估计该校九年级女生偏瘦的人数； ②估计该校九年级学生的人数． （3）根据以上统计数据，针对该校九年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 六、解答题(每小题10分，共20分) 20. 【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】 （1）如图1，连接， ，的度数为  ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 21. 如图1，，点，点在 轴正半轴上，点 ，在第一象限，且，，的对角线． （1）点 的坐标为 ； （2）动点从点 出发沿的路线运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点作 轴的垂线交折线于点，以为直角边且向右作等腰直角三角形，设运动时间为． ①如图2，当等腰直角三角形与重叠部分为四边形时，与相交于点 ．则四边形的形状为 ； ②线段的长度为 ；（用含 的代数式表示） ③若设重叠部分的面积为，在运动过程中，求与 的函数关系式，并写出 的取值范围． 七、解答题(每小题12分，共12分) 22. 如图，已知抛物线经过点，，与y轴交点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，.当最小时，求点D的坐标； （3）设抛物线的顶点为点M，若点N为的中点，点E为直线上一动点（不与点C重合），在左侧作平行四边形.当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； （4）直线与x轴的交点为P，直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为G.当抛物线在矩形内所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第七中学教育集团初中数学学科九年级试题 一、单项选择题(每小题3分，共18分) 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫无理数．根据无理数的概念解答即可． 【详解】解：A中，是无理数，故符合题意； B中，是整数，是有理数，故不符合题意； C中，是分数，是有理数，故不符合题意； D中，是整数，是有理数，故不符合题意； 故选：A． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春” “立夏” “白露” “大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义．理解中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义对每个选项进行分析即可判断．中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这么图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A：不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误； 选项B：不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误； 选项C：不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误； 选项B：是中心对称图形，符合题意，该选项正确； 故选D． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故本选项计算不正确； B．，故本选项计算不正确； C．，故本选项计算正确； D．，故本选项计算不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC．若∠DAB=40°，则∠D的度数为（　　） A. 70° B. 120° C. 140° D. 110° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵BC=CD， ∴， ∵∠DAB=40°， ∴∠BAC=∠DAB=20°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=70°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D=180°﹣∠B=110°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5. 如图，在 中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提． 由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得，于 ， ， ， 又，， ， ， 故选：C． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．①函数解析式为；②当时，；③当时，；④当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小．上述说法正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 将代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：设，将代入可得， ∴，故①正确； 当，，故②错误； 当，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴时，，故③正确，且④正确， 综上所述，说法正确的是①②④； 故选：C． 二、填空题(每小题3分，共15分) 7. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 8. 太阳半径约为696000千米，数字696000用科学记数法表示为_______千米． 【答案】 【解析】 【详解】696000=6.96×105， 故答案为：6.96×105 9. 不等式的解集是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合同不同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为： ． 10. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意，可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 11. 如图，在 中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出 的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 三、解答题(每小题6分，共18分) 12. 关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 13. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒， 敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，然后利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果数以及取出的卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为， 答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为． 14. 如图，，，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明∶ ，， ． 在和中， （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ ， ． 在中，． ． ． 四、解答题(每小题7分，共21分) 15. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，短道速滑作为中国队传统优势项目备受国内外瞩目；已知场次门票分为A，B两档，其中A档票比B档票多300元，用2400元购买的档票与用1500元购买的B档票数量相等． （1）求A，B两档票的单价分别是多少？ （2）某团队购买A，B两档票共20张，总费用不超过12000元，则最多能购买多少张A档票． 【答案】（1）A档票的单价为800元，则B档票的单价为500元 （2）最多能购买6张A档票 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式求解是解题的关键． （1）设A档票的单价为x元，则B档票的单价为元，根据用2400元购买的档票与用1500元购买的B档票数量相等建立方程求解即可； （2）设一共购买A档票m张，则购买B档票张，根据购买费用不超过12000元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解；设A档票的单价为x元，则B档票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A档票的单价为800元，则B档票的单价为500元； 【小问2详解】 解：设一共购买A档票m张，则购买B档票张， 由题意得，， 解得， ∵m为自然数， ∴m的最大值为6， 答：最多能购买6张A档票． 16. 图1，图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，点 ，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成两个画图任务，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图中画线段且，点均在格点上． （2）在图中画边上的高，在射线上找一点，使．(画线条数不超过三条） 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，线段及点即为所求． 【解析】 【分析】（）如图，取格点，连接，可得，因为，所以四边形是平行四边形，即得，故线段即为所求； （）如图，取格点，连接，交于点，则网格特点可知，再取格点，连接，与射线相交于点，由（）知，因为，所以由平行线等分线段定理可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质可得，故点即为所求； 本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 图是一款可调节椅背的办公室沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力，图是它的侧面示意图已知椅背，现将椅背角度从调节到（即， ），过点，作，，分别交直线于点 ， ． （1）求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，， ） （2）求调节过程中椅背扫过的面积结果保留 【答案】（1）水平方向增加的距离长约为 （2）调节过程中椅背扫过的面积为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及扇形的面积． （1）由题意得，求出，，解直角三角形求出，，即可求解； （2）先求出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ，， ，， ，， ， ，， ， 答：水平方向增加的距离长约为； 【小问2详解】 解：由题意得， ； 答：调节过程中椅背扫过的面积为． 五、解答题(每小题8分，共16分) 18. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）的函数关系如图2所示． （1）求关于的函数解析式 （2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． （3）在到达一楼地面之前是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在求出此时的下行时间，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）甲先到达一楼地面 （3）当下行10秒或25秒时两人竖直高度相差1米． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想进行求解； （1）根据函数图象中的数据，利用待定系数法可以得到关于的函数解析式； （2）分别令和求出相应的的值，然后比较大小即可求解． （3）分情况解答即可． 【小问1详解】 解：设， 将代入其中，得 ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，，得， 当时，，得， ， 甲先到达一楼地面； 【小问3详解】 解：存在，因为甲、乙两人从二楼同时下行，甲先到达地面． ①当， 解得，， ②当 时， 解得，， 当下行10秒或25秒时两人竖直高度相差1米． 19. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校九年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有九年级学生中随机抽出名男生，名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再按照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集，并整理如下： 九年级名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数 3 2 4 6 t 2 1 0 （1）______，______°； （2）已知该校九年级共有名学生，其中男生人，女生人． ①估计该校九年级女生偏瘦的人数； ②估计该校九年级学生的人数． （3）根据以上统计数据，针对该校九年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）2， （2）①人；② （3） 解：偏胖青少年要加强体育锻炼，注意科学饮食；正常的青少年应保持良好的生活习惯；偏瘦青少年需要加强营养，增强体质.（写出一条，言之有理即可得分）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键． （1）用减去其他组男生的频数可得，用乘以组人数所占比例即可得到； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据九年级名学生频数分布表数据解答即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①（人）； ②（人）； 【小问3详解】 略 六、解答题(每小题10分，共20分) 20. 【驱动背景】 在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为． 【前情感知】 （1）如图1，连接， ，的度数为  ； 【问题探究】 （2）如图2，若点D是优弧上的任意一点，连接交折叠后的弧于点C，连接，． ①的度数为 ；猜想与的数量关系 ； ②如图3，若弧（翻折后）不经过圆心O．与的数量关系是否仍然成立？请说明你的理由． 【拓展生长】 （3）如图4，若为直径，将第一次折叠后的弧（弧部分）沿向下翻折交弦于点E，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）①；； ②成立，理由如下： 设折叠前点C的对应点为点，连接，． 由折叠可知，， ∵四边形是的圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，交于点N，则则，则，即可求解； （2）①因为，且，即，结合，得到，即可求解； ②结合四边形是的圆内接四边形，，而，即可求解； （3）证明，得到，由，则，证明，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点N， 则 则， ∴， 故答案为：； （2）①如图2，， 设翻折前点C对应的点为T，连接、， ∵折叠， ∴， ∵， 即， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 即； 故答案为：，； ②略 （3）补出第一次折叠后上面的弧所在圆，补出第二次折叠后从A到E到C的N所在圆， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的之间， 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作于H， 由（2）知， ∴， ∴，， 则，， 则，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则（负值已舍去）， ∴， 则（负值已舍去）， 作圆的直径，则， 在圆中，， 则， ∵， 则， 则． 【点睛】本题为圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质、图形的翻折等，正确确定三角形相似是解题的关键． 21. 如图1，，点，点在轴正半轴上，点 ，在第一象限，且，，的对角线． （1）点 的坐标为 ； （2）动点从点 出发沿的路线运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点作轴的垂线交折线于点，以为直角边且向右作等腰直角三角形，设运动时间为． ①如图2，当等腰直角三角形与重叠部分为四边形时，与相交于点 ．则四边形的形状为 ； ②线段的长度为 ；（用含的代数式表示） ③若设重叠部分的面积为，在运动过程中，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①平行四边形；②；③ 【解析】 【分析】（1）延长交轴于点，根据平行四边形证明和△是等腰直角三角形，得，，，即可解答； （2）①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得结论； ②分点在和两种情况，当点在上时，如图1，先求得 的长，再由线段的差可得的长；当点在上时，先确定点在上运动，因此从到 时间是，再与速度为每秒个单位长度相乘即可解答； ③分三种情况：时，如图2，重叠部分是，根据三角形的中线平分三角形的面积即可解答；当时，如图3，重叠部分是四边形，根据面积差计算即可；当时，如图4，重叠部分是，根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：（1）如图1，延长交轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①四边形的形状为平行四边形，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； ②存在两种情况： 当点在上时，； 点到达点用时， 当点在上时，， 综上，线段的长度为或； 故答案为：或； ③分三种情况： 当时，如图2，重叠部分是， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3，重叠部分是四边形， 同上可得， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图4，重叠部分是， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，与的函数关系式为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解题是关键． 七、解答题(每小题12分，共12分) 22. 如图，已知抛物线经过点，，与y轴交点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点D，连接，.当最小时，求点D的坐标； （3）设抛物线的顶点为点M，若点N为的中点，点E为直线上一动点（不与点C重合），在左侧作平行四边形.当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； （4）直线与x轴的交点为P，直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为G.当抛物线在矩形内所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）点D的坐标为 （3） （4）， ， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法先求出抛物线的解析式； （2）如图1，连接交对称轴于点，此时最小，其最小值是的长，确定的解析式即可得到点坐标； （3）根据平行四边形的性质得，可知点 和点 的纵坐标相等，从而可以解答； （4）分情况画出图像，结合图像求解即可． 【小问1详解】 解：把点，代入抛物线， 得到：， 解得：， 所以所求抛物线的解析式为： ． 【小问2详解】 解：点，， 对称轴是：直线， 当 时，． 点的坐标为． 如图1，连接交对称轴于点，此时最小，其最小值是的长， 设的解析式为：， ， 解的：． 的解析式为：， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图2，， 顶点的坐标为， 点的坐标为． 的中点 的坐标为． 四边形是平行四边形， ， 点 为直线上一动点（不与点重合）， 点 和点 的纵坐标相等， 令得， 解得，（舍去）， 点 的坐标为． 【小问4详解】 解：由题意得：，，，， 当时，，如图3， 解得：或（舍去）， ； 当时，，如图4， 解得：（舍去）或， ； 当时，如图5，都满足条件； 综上所述，的取值范围为，，． 【点睛】本题是二次函数综合体，用待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，平行四边形的性质，二次函数的图像和性质等知识，运用方程和分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $