精品解析：江苏南京市七校联考2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏南京市七校联考2025-2026学年 高一下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解 【详解】因为是的中点，所以； 又是的中点，根据向量中点性质：， 将代入得： . 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. ∵ ， ∴ ，即，故. 对所求式两边平方得： . ∵ ，且， ∴ 代入得 . 结合，得 . 6. 在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵三角形三边长均为正， ∴，解得. ∵三角形两边之和大于第三边，且为最长边， ∴ ，即 ， 解得. ∵为钝角三角形，最长边对应角为钝角，∴， 由余弦定理得 ， ∵ ，∴ ， 代入边长得：， 展开整理得，即， 解得. 结合，得实数的取值范围为. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用二倍角公式得到，再利用正弦定理求解. 【详解】由， 得，即， 由正弦定理得， 即，因为， 所以，解得， 所以一定为直角三角形. 8. 已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取线段的中点，建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标公式结合二次函数即可求值域． 【详解】取线段的中点，连接，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为正三角形ABC的边长为6，所以， 故， 又，所以 设，则， 所以，， 故. 二、多选题 9. 下列等式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式可判断A，根据二倍角的余弦公式可判断B，根据两角和的正切公式可判断C，根据两角差的正切公式可判断D. 【详解】A，根据两角和的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； B，根据二倍角的余弦公式：， 代入，可得， 再代入，有，错误； C，根据两角和的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，即， 所以，正确； D，根据两角差的正切公式：， 代入，可得， 再代入，有，正确. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若和的夹角为锐角，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若，则和的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A，由向量夹角和数量积的符号关系可判断B，由投影向量计算公式可判断C，通过平方可判断D. 【详解】选项A，若 ，得 ，  解得 ，A正确， 选项B，由  与 夹角为锐角， 得：， 当两向量共线，得​， 此时 ，为同向共线，夹角为（不是锐角），需排除 ， 因此 ，B正确， 选项C，当 时，， 在  方向上的投影向量为  ， ， 因此投影向量为 ，C错误， 选项D，对 ， 两边平方： ， 展开整理得：，代入， 得 ， 又 ，因此 ，， 设夹角为 ： ， 由 得 ，D正确. 11. 在中，角A，B，C满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. AC边上的中线BD的长为 D. 设E为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理可求出可判断A；用三角形的面积公式求出，即可求得三角形的边长可判断B；利用，可求出BD的长度可判断C；最后借助数量积的几何意义即可求出最大值可判断D. 【详解】A，由正弦定理可得：， 设，， 由余弦定理可得：. 因为，所以，错误； B，，解得：， 所以，所以的周长为，正确； C，因为BD为AC边上的中线，所以，所以， 代入可得：，所以，正确； D，因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点E作AC的垂线，垂足为F，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量所成的角为，且，则________ 【答案】1 【解析】 【分析】由两边平方，根据数量积的运算律及定义，即可得解. 【详解】因为所成的角为，， 所以 ， 即，解得 13. 已知B地在A地的北偏东方向上，且相距10千米，C地在B地的北偏东方向上，且相距20千米，则A，C两地（视为质点）之间的距离是________千米． 【答案】 【解析】 【详解】如图，由题意可得千米，千米，， 则千米. 14. 已知，其中且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，消元后根据二次函数的性质可求取值范围. 【详解】因为，故或， 故（舍）或， 而，故， 又 ， 因为，故， 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值； （2）根据数量积的运算律可求的值． 【小问1详解】 ， 因不共线，故，故. 【小问2详解】 , 故 . 16. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正切和角公式求解即可； （2）利用二倍角公式正余弦化简即可求解； （3）根据角的范围及正切和角公式求解即可． 【小问1详解】 由，， 所以． 【小问2详解】 由，所以． 【小问3详解】 由，，则， 又，则， 又，则， 又，，则， 所以． 17. 在中，，E，F是分别是线段AB，AC的中点，BF和CE交于点O． （1）求的值； （2）求的值； （3）点P是线段AC上的动点（含端点），求的取值范围． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求出，再根据数量积定义求解即可； （2）先用余弦定理算出，再由重心的性质求和，再用余弦定理； （3）建系求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理知， 代入题目条件得， 解得或(舍去)，所以， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理知， 代入题目条件得，所以， 再由余弦定理. 【小问3详解】 如图，以为原点建立平面直角坐标系， 分别写出各点坐标，，由重心坐标公式得， 写出， 设，得， 因为，所以的范围是. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． （1）求角C的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求c； （3）若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理边角互化可得答案； （2）由，可得，由，可得，然后由余弦定理可得答案； （3）由结合可得，然后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理边角互化，可得： ， 又，则； 【小问2详解】 ， 又， 由余弦定理：， 所以； 【小问3详解】 由题可得， 则 ， 由基本不等式，， 则，当且仅当时取等号. 19. 如图，在平面四边形中，． （1）希腊数学家克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料． ①若，求的最小值； ②若为正三角形，则当线段BD的长取最大值时，求． （2）当为正三角形时，求面积的最大值． 【答案】（1）①； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由条件求得，再通过题干中的定理即可求解；②由题干中的定理得到，分别在和中由余弦定理即可求解； （2）由，再通过的面积得到，结合余弦定理得到，代入的面积公式，结合辅助角公式即可求解. 【小问1详解】 ①因为，，， 由勾股定理得对角线， 由条件对凸四边形，有 ， 代入​，，，， 得：  即，当且仅当对角互补时取等号， 故的最小值为. ②设正三角形边长为，则， 代入定理： ， 即，化简得， 当且仅当对角互补（四点共圆）时取等号，即最大值为. 此时四点共圆，由对角互补得， 在中由余弦定理： ， 故， 设，在中由余弦定理： ， 代入，得， 解得，又为三角形内角，故， 故. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得： ， 即， 即， 又 又， ， 即， 即， 又， 即， 所以， 所以 ， 当时，取最大值， 即面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏南京市七校联考2025-2026学年 高一下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 8. 已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列等式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 若和的夹角为锐角，则 C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 若，则和的夹角为 11. 在中，角A，B，C满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. AC边上的中线BD的长为 D. 设E为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量所成的角为，且，则________ 13. 已知B地在A地的北偏东方向上，且相距10千米，C地在B地的北偏东方向上，且相距20千米，则A，C两地（视为质点）之间的距离是________千米． 14. 已知，其中且，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在菱形中，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的大小． 17. 在中，，E，F是分别是线段AB，AC的中点，BF和CE交于点O． （1）求的值； （2）求的值； （3）点P是线段AC上的动点（含端点），求的取值范围． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且满足． （1）求角C的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求c； （3）若的平分线交AB于D，且，求的面积S的最小值． 19. 如图，在平面四边形中，． （1）希腊数学家克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料． ①若，求的最小值； ②若为正三角形，则当线段BD的长取最大值时，求． （2）当为正三角形时，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $