专题12 锐角三角函数（4大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题12 锐角三角函数 4大考点概览 考点01特殊角的三角函数 考点02由三角函数值求锐角 考点03解直角三角形 考点04解直角三角形的应用 特殊角的三角函数 考点01 1．（2026·河南信阳·一模）计算： (1) (2)先化简，再从，0，1中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式；或当时，原式 【分析】（1）先根据绝对值、二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值化简，再算乘法，然后算加减即可； （2）先根据分式的运算法则化简，再从，0，1中选一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由题意得，分式有意义，则且， 解得， 当时，原式． （或当时，原式）． 2．（2026·河南开封·一模）计算： (1)； (2)化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值及零指数幂，再相加减即可； （2）按照分式混合运算法则，先计算括号里的加法，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2026·河南周口·一模）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先分别计算特殊角的三角函数值，零指数幂，立方根和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（2026·河南周口·一模）计算与化简： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先化简二次根式、计算特殊角三角函数值和负整数指数幂以及零指数幂，再将上述结果依次加减即可； （2）先通分括号内的分式，再利用平方差公式进行因式分解后运算除法即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．（2026·河南洛阳·一模）计算及解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）先代入特殊角的余弦值，再利用完全平方公式展开，最后合并同类项即可得到结果． （2）通过移项变形后提取公因式，将方程转化为两个一次方程的乘积为0的形式，进而求解，注意不能直接除以含未知数的因式，避免丢根． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 6．（2026·河南周口·一模）计算、化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据实数的绝对值、特殊角度的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂化简，再计算即可； （2）先算括号，再算除法即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 7．（2026·河南周口·一模）计算： 【答案】 【分析】分别化简绝对值，计算零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，即可求解． 【详解】解：原式 8．（2026·河南周口·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ，，， ， ， 即，． 9．（2026·河南郑州·一模）计算与化简 (1)计算：． (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2026·河南许昌·一模）若规定，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 11．（2026·河南周口·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用零指数幂和特殊角三角函数值计算即可； （2）利用完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 12．（2026·河南驻马店·一模）计算、解方程： (1)计算：． (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质分别进行计算，再进行加减运算，即可解题； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 13．（2026·河南周口·一模）计算以及证明 (1)计算：． (2)如图，在与中，．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，以及零指数幂进行计算即可求解； （2）根据已知得出，结合，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： （2）证明：∵ ∴，即 又∵， ∴， ∴， ∴ 14．（2026·河南·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可； （2）根据分式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（2026·河南周口·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据零指数幂、二次根式运算性质、特殊角三角函数值、完全平方公式、同底数幂的除法和整式除法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 由三角函数值求锐角 考点02 16．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以为直径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】利用锐角三角函数求出，然后利用三角形面积减去扇形面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 17．（2026·河南洛阳·一模）将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】记圆心为O，折痕为，作于点B，连接，，然后根据垂径定理以及特殊角的三角函数值，求得，，利用弓形面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，记圆心为O，折痕为，作于点B，连接，， 则，，，，， ∴在中，， ∴，， ∴，， ∴弓形的面积为． 18．（2026·河南驻马店·一模）如图，在中，，是三角形的角平分线． (1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，且与相交于点； ②以点为圆心，以长为半径作． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的半径为6 【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点、，则即为线段的垂直平分线，则与相交于点，以点为圆心，以长为半径作； （2）连接，由和角平分线得到，进而得到，则，最后根据是圆的半径，得到是的切线． （3）根据，得到，则，据此求出圆的半径为6． 【详解】（1）解：如图所示，，圆为所求． （2）证明：如图，连接， ， ． 是的平分线， ， ， 又， ， ． 又是圆的半径， 是的切线． （3）解：根据题意，可知， ∴， ， ． 又， ， 故的半径为6． 解直角三角形 考点03 19．（2026·河南周口·一模）综合与实践 在中，，将绕点C按顺时针方向旋转（）得到． (1)【问题解决】 如图1，若，当点D落在边上时，连接，则与的数量关系是______． (2)【探究迁移】 如图2，连接，若，在旋转过程中，当点A，D，E在同一直线上时，过点C作，延长交线段于点N，求的值． (3)【拓展应用】 若，，，P为平面内一点，当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先得到，再证明，得到即可； （2）过点B作，交的延长线于点H，证明，推出，解，得到，进而得到，证明，得到即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 如图1，过点B作，交的延长线于点H， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，分两种情况： ①如图2，当点P在线段的下方时， 由旋转的性质可知． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵，即， ∴， ∴． 过点P作，交的延长线于点F，则， ∴， ∴，， ∴， 在中，； ②如图3，当点P在线段的上方时． ∵四边形为平行四边形， ∴． 由旋转的性质可知， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 过点P作于点F，则． 在中，， ∴， ∴． 在中， 综上所述，的长为或． 20．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点O为圆心，长为半径作弧交y轴的正半轴于点B，过点作y轴的平行线交弧于点D，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据题意可得，，在中，根据​，得出，由勾股定理得，最后根据​求解即可． 【详解】解：连接， 根据题意可得，， 在中，，， ∴​， ∴， 由勾股定理得， ∴​． 21．（2026·河南平顶山·一模）在四边形中，，，且，．点P是线段上一动点（点P不与点A重合），连接，作关于直线的对称，点A的对应点为点E． (1)观察猜想：如图1，_______，连接，当点P为的中点时，的形状是_______； (2)探究证明：如图2，设与的延长线相交于点F，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，直接写的长． 【答案】(1)30，直角三角形 (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）过点作于点，根据平行线间距离处处相等得到，结合已知可得，即可求解；再根据折叠的性质结合等边对等角，利用三角形内角和定理求出，即可得到的形状； （2）由（1）知，由折叠的性质得，，易证，，得到；证明是等边三角形，得到，进而证明四边形是平行四边形，结合即可得出结论； （3）根据题意先求出，当时，则，，由折叠的性质可得，求出，，，由即可求解；当时，则与重合，由折叠的性质可得，过点作于点，易证是等腰直角三角形，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：猜想，的形状是直角三角形； 过点作于点， 则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P为的中点时，则， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴的形状是直角三角形； （2）解：四边形为菱形，理由如下： 由（1）知， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：∵，， ∴， 当时，如图，设交于点， 则， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴，， ∴； 当时，则与重合，如图， 由折叠的性质可得， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 22．（2026·河南洛阳·一模）如图，一个矩形木箱放置在斜面上，此时恰好与地面平行，已知，，则点到所在直线的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作交于，根据平行线和矩形的性质推出，结合在中，求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于， 由题意知，， ∴， 由矩形的性质知，， ∴， ∴在中，， 即点到所在直线的距离可表示为． 23．（2026·河南洛阳·一模）如图，在锐角三角形中，以为边作等边三角形，以为边作等腰三角形，其中，，为的中点，分别连接和，若的长为6，则的长为______． 【答案】 【分析】取的中点G，的中点H，连接、 、，根据三角形中位线的性质可知，，，，然后由等腰三角形的和等边三角形的性质可求得，再利用两直线平行同位角相等，结合角度的和差可推出，从而根据两对边成比例且夹角相等证得，进而相似三角形对应边成比例，即可解答． 【详解】解：如图，取的中点G，的中点H，连接、 、， 则，， ∵D为的中点， ∴， ∴，，，， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，点D为边上一点，连接，将沿折叠．点A落至点E处，连接，线段交边于点F，且．当点F为线段上靠近点E的三等分点时，________，________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，由折叠的性质可得，再根据，进而得到，即，再证明，推出，即可求出；设，则，求出，得到，利用勾股定理得到，求出，即，再求出，最后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为线段上靠近点E的三等分点，即， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 25．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】先由直径得出圆的半径：；再根据圆与相切于，得，结合推出，进而证得，求出，得到，算出；接着作，利用直角三角形性质求出的长度；最后用扇形的面积减去的面积，算出阴影部分的面积为． 【详解】如解图，连接，过点作于点 ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ，即，解得， ∴， ， ， ， ，． ， ． 26．（2026·河南周口·一模）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点A落在点处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展开，连接，． 【问题解决】 (1)如图2，连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，________，________； (2)如图3，连接，将矩形纸片折叠，使得点C的对应点落在对角线上，并使折痕经过点D，得到折痕，再把纸片展开，连接．当点也落在对角线上时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图4，延长交线段CD的延长线于点Q，交线段于点M．当的斜边与直角边之比为时，请直接写出的长． 【答案】(1)，1 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由折叠的性质推出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）证明，得到，根据即可证明； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， 理由：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 又 四边形是平行四边形； （3）解：①当时，则，即，如图(1)， ， ， ∴． 在中，， ； ②当时，则，即， ， ， ∴． 在中，， ． 27．（2026·河南驻马店·一模）矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 【答案】或6 【分析】由矩形的性质可得到，，由角平分线的定义得到，解直角三角形得到，再分三种情况：，和，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交边于点， ∴， ∴，； 如图所示，当时，则； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴，此时点E与点C重合，不符合题意， 综上所述，的长为或6． 28．（2026·河南许昌·一模）如图，在扇形中，，，交于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 在中，，则、、，利用勾股定理求出和的值，利用计算即可． 【详解】解：， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， 即． 29．（2026·河南新乡·一模）如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，利用垂径定理可以求出，根据可证，根据全等三角形的性质可知，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则有， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ，， ， 在中，， ， 解得：， 在和中， ， ， ， ． 解直角三角形的应用 考点04 30．（2026·河南许昌·一模）三星堆文明是中国上古时期独特而灿烂的古蜀文明，其中一号青铜神树是全世界同时期体型最大的青铜器．某数学兴趣小组去了三星堆博物馆，想实际测量神树的高度，并以此为课题安排了一次名为“测量青铜神树的高度”的主题活动． 活动主题 测量青铜神树的高度 活动目的 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 实物图和测量示意图 测量方案 如图②，他在A地用测角仪测得神树顶部C的仰角为，再向前走1米到达B地，再次用测角仪测得神树顶部C的仰角为，其中测角仪离地面，D为神树底部，点A，B，D在同一直线上，，，均垂直于地面，点E、F、G在同一直线上，． 测量数据 ，，，． 参考数据 ，，． (1)求青铜神树的高度（结果精确到0.01）． (2)通过查阅资料获知青铜神树的高度为，请计算本次测量结果的误差（结果精确到），并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1)4.05米 (2)0.1米，见解析 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，四边形是矩形，设，得到，在中，解直角三角形求出，然后根据求解； （2）根据青铜神树的实际高度求出误差，然后提出建议即可． 【详解】（1）解：由题知，于点，于点，于点，于点， 四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，． 设， 在中，，， ． 在中，，， ，即， ． ， ， 解得， （米）． 答：青铜神树的高度为4.05米； （2）解：误差为：（米）． 减小误差的建议：多次测量平均值，可以减小误差．（答案不唯一） 31．（2026·河南南阳·一模）嵩岳寺塔（图1）位于河南省登封市嵩岳寺内，是第一批全国重点文物保护单位．某综合实践小组想通过所学知识测量该塔的高度，图2为测量示意图．嵩岳寺塔的前面有一座高的建筑物，小组成员在点E处用测角仪测得塔顶B的仰角为（点A，E，C在一条直线上），在建筑物顶部D处测得塔顶B的仰角为，测得E处的俯角为，图中所有点均在同一平面内．求嵩岳寺塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】嵩岳寺塔的高度约为． 【分析】过点作于点，可知四边形为矩形，得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角函数求出，设，根据等角对等边得到，即，，根据三角函数得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴四边形为矩形， ，，． ， ， ， 解得． 设， ， ∴， ， ，， 在中，， 解得． 答：嵩岳寺塔的高度约为． 32．（2026·河南平顶山·一模）项目学习 项目背景：如图，“源池泉涌”为某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．请根据数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径，图中点在同一条直线上． 图2为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于点，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为，，．图中墙的厚度均忽略不计． 计算 … 交流展示 … 【答案】17m 【分析】由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可. 【详解】解：由题意，得，四边形为矩形， ，， ，． 设，则，． 在中，，， ． 在中，，， ， ， 解得，． 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为． 33．（2026·河南开封·一模）从2025年春晚机器人“秧”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻……这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为．点B、C是转动点，且、与始终在同一平面内． (1)转动连杆、手臂使，，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度．（结果精确到，参考数据：，，） (2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆、手臂，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】(1) (2)手臂端点D能碰到点M，见解析 【分析】（1）过点C作于点P，过点B作于点Q，根据三角函数求出，根据即可得解； （2）根据勾股定理求出当点B、C、D三点共线时，比较与大小关系，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点P，过点B作于点Q，则，如图， 由题意得：四边形都是矩形， ， ， ∴在中，， ， ． 答：手臂端点D离操作台l的高度约为． （2）解：手臂端点D能碰到点M．理由如下： 如图， 当B、C、D三点共线时，，， 在中，， ， ∴手臂端点D能碰到点M． 34．（2026·河南南阳·一模）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． (1)如图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为直接写出灯杆的高度________米（用含、、的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图2所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，沿方向直行，测得2米的木杆，其影长，求灯杆的高为多少米？ 【答案】(1)； (2)灯杆的高为． 【分析】（）由题意得，，，，，由解直角三角形可得，再通过线段的和与差即可求解； （）由题意，得，由解直角三角形可得，，则，然后求出即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 在和中，，， ∴在和中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：灯杆的高为． 35．（2026·河南许昌·一模）为传承红色精神，某校同学开展了“测量红二十五军血战独树镇战斗纪念碑”的综合实践活动．如图，在D处用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为，沿方向前进到达F处，又测得纪念碑顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点D，F与纪念碑的底部B在同一水平线上． (1)求纪念碑的高度；（结果精确到，参考数据：） (2)查阅资料可知，该纪念碑的实际高度为（“25”代表红二十五军，“34”代表红军长征的关键年份1934年），请你计算本次测量结果的误差． 【答案】(1)纪念碑的高度为 (2)本次测量结果的误差为 【分析】（1）延长与交于点M，由题可知：四边形和四边形是矩形，，，则可得到，．设，解直角三角形得到，，据此建立方程求解即可； （2）用（1）计算的结果减去该纪念碑的实际高度即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，延长与交于点M， 由题可知：四边形和四边形是矩形，，， ，． 设， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得． 经检验，是该分式方程的解． ， 答：纪念碑的高度为． （2）解： 答：本次测量结果的误差为． 36．（2026·河南周口·一模）数学实践小组把测量某古建筑的南门与北门的距离作为一项实践活动，请你根据活动报告计算该建筑的南门与北门的距离： 课题 测量古建筑的南门与北门的距离 测量工具 皮尺，无人机 测量方案 利用无人机在处测出北门上方标志物和南门上方标志物的俯角；测量南门高度和北门高度． 数据整理 根据测量数据绘制示意图，并整理数据如下： 点、、、、、、在同一个竖直平面内，，，，米，米，点到地面的距离为15米，，． 参考数据 ，，，，，． 计算结果 根据活动报告计算南门与北门的距离（结果精确到1米） 【答案】南门与北门的距离为约40米 【分析】延长分别交于点G，点H，则可证明，根据点P到地面的距离求出的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长分别交于点G，点H， ∵，，， ∴， ∵，点到地面的距离为15米， ∴点G和点H到地面的距离都为15米，即米， ∵米，米， ∴米，米， 在中，米， 在中，米， ∴米， 答：南门与北门的距离为约40米． 37．（2026·河南商丘·一模）为测量学校旗杆的高度，小亮同学站在旗杆对面的图书馆里从窗户进行观测，如图，已知观测点到旗杆的距离（即的长）为米，测得旗杆顶的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度是多少米？ 【答案】旗杆的高度是米 【分析】在中，利用 ，米，可得，在中，，米，可得（米），再根据求出旗杆的高度． 【详解】解：在中，， 在中，，米， ，， （米），（米）， 米， 即旗杆的高度是米． 38．（2026·河南·一模）如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，） (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为 (2)派送员能在内到达驿站 【分析】（1）过点作于点，于点，结合PQ长度和，可计算出PB的长度，证明四边形是矩形，得的长度，由与，即可求出的长度； （2）由总路程计算总时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， 由题意得，，，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：驿站P与驿站N之间的距离约为． （2）解：根据题意可得，， ， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 39．（2026·河南平顶山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点O，景点A，B分别在道路a，b上．为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C．经测得景点A位于休息区C的西偏南方向上，景点B位于景点A北偏东方向上，已知． (1)的度数为_______； (2)求景点B到休息区C之间的距离．（参考数据：，结果精确到） 【答案】(1)15° (2) 【分析】（1）根据题意得：，，由可得结果； （2）解得，解得，求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 在中，，，， ∴， ∴, ∴， ∴ 40．（2026·河南周口·一模）如图，某数学兴趣小组测量教学楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为，向教学楼前进20米到达点C，测得楼顶A的仰角为，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】首先求出，得到，解直角三角形得到，然后根据列方程求解． 【详解】解：由已知，可得：，，， ∴， ∴， ∴在中，，即， ， ， 米， 答：教学楼的高度为米． 41．（2026·河南周口·一模）老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”，如图1．某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下： 方案设计：如图2，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取A，B两点，先测得A，B两点之间的距离，再在A，B两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点A，D，B在同一水平线上）． 数据收集：通过实地测量，地面A，B之间的距离为，在A点处测得铜像头顶的仰角为，在B点处测得铜像头顶的仰角为． 问题解决：已知测角仪的高度为，求老子铜像（含底座）的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】老子铜像（含底座）的高度约为． 【分析】连接交于点G，则四边形为矩形，在中，，在中，，根据，即，求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点G，则四边形为矩形， ，，，． 在中，， 在中，， 又， ，即． ． 解得． ． 答：老子铜像（含底座）的高度约为． 42．（2026·河南许昌·一模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； （2）解：过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 43．（2026·河南洛阳·一模）楼宇间无人机精准配送、城市间低空出行场景加速落地、田间植保无人机高效作业……如今，低空经济早已不是电影中的科幻场景，而是实实在在地走入了人们的生产生活．小明发现学校的无人机社团正在训练，如图，他站在教学楼上的点处测得无人机（点）的仰角为，同时小亮站在操场上的点处利用测角仪测得无人机（点）的仰角为，经测量得知测角仪到地面的距离为1.6米（米），点到教学楼底部点的距离为30米（米），小明得知教学楼上的点距离地面19.6米（米），所有点都在同一平面内，，，则此时无人机的飞行高度为多少米？（参考数据：，，，，，） 【答案】此时无人机的飞行高度约为21.4米 【分析】过点作于点，过点，分别作于点，于点，则四边形，为矩形，设米，由解直角三角形得和，然后由建立方程，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点，分别作于点，于点， 则四边形，为矩形， 米，米，， 设米， 在中，， ， 米， ， 在中，， ， ， ， 解得， （米）； 答：此时无人机的飞行高度约为21.4米． 44．（2026·河南焦作·一模）在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度与其水平投影长度的比值，即坡度（）． (1)一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度为_____． (2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，，，三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在处竖直向上放飞无人机，无人机在处测得坡顶的俯角为，坡底的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度．（参考数据：） 【答案】(1)这个坡道的垂直高度为米 (2)坡道的坡度为 【分析】（1）根据坡度的定义，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而求得，，再根据坡度的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为， ∴， 解得：米； 答：这个坡道的垂直高度为米． （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 在中，，米， ∴米， 依题意，，则是等腰直角三角形， ∴ 米， ∴米， ∴坡道的坡度为， 答：坡道的坡度为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12锐角三角函数 ☆4大考点概览 考点01特殊角的三角函数 考点02由三角函数值求锐角 考点03解直角三角形 考点04解直角三角形的应用 考点01 特殊角的三角函数 1.(2026河南信阳一模)计算： -3+V27+()1-2sin30 (②)先化简(1-品)÷名，再从一2,0,1中选一个合适的数代入求值. 2.(2026河南开封一模)计算： (0W2-4c0s30+()°： 2)化简：÷（1+). 3.(2026河南周口一模)计算 四(V2-1)°+27+2cos45-|-2: 2(1-)÷之 4.(2026河南周口一模)计算与化简： ()计算：V5+(sin30°)-1-3； 2化简：会÷(1-) 5.(2026河南洛阳.一模)计算及解方程 )计算：2cos30°+(5-2)2 (2)解方程：3(x-1)=x(1-x). 6.(2026河南周口一模)计算、化简： ()1-V5|-4sim30°+（传）+(4-π)°. ②（高+六）÷品 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026河南周口一模)计算：1-3引+（元-3）°-V4+2sim30° 8.(2026河南周口一模)计算与解方程： 0计第：32+7-2sim450-(3)2, (2)解方程：x2+x-12=0, 9.(2026河南郑州一模)计算与化简 (1)计算：V12-4cos30°+(3.14-π)°+1-V2 ②化简：器÷(x+1-寻)】 10.(2026河南许昌一模)若规定sin(a+B)=sinacos3+cosasinB,则sin75°=sin(45°+30)= () A.6+E 6-2 4 B. 4 C.+1 2 .4 11.(2026河南周口一模)计算： )(V2-1)°-4sin30; 2[(m+1)2-1]÷m. 12.(2026河南驻马店一模)计算、解方程： 0)计算：（-1)2026-（传）3+(cos60°+复)°+l3V5-8sin60l. (2)解方程： 惡=点-是。 13.(2026河南周口一模)计算以及证明 ①计第：6x5+1-2sn601-(号)° (2)如图，在△ABC与△DBE中，∠ABD=∠CBE,∠A=∠D.求证：AB·DE=AC·BD. 14.(2026河南一模)计算： (1W12-tan45°+(2026-元)°； 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)器÷(1+) 15.(2026河南周口一模)计算： (1)(-2026)°+(V12+V5)×V6-2cos45°： (2[(a-2b)2-a4÷a2]÷(-2b): 考点02 由三角函数值求锐角 16.(2026河南周口一模)如图，在△ABC中，AB=3,BC=V3,∠ABC=90°，以AB为直径画弧， 与AC交于点D,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) D B 17.(2026河南洛阳一模)将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影分），若折痕到圆 心的距离为2，则弓形的面积为·（结果保留） 18.(2026河南驻马店.一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90·,AD是三角形BAC的角平分线. D (1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）： ①作线段AD的垂直平分线EF,且EF与AB相交于点O: ②以点0为圆心，以OD长为半径作⊙0， (2)在(1)的条件下，求证：BC是⊙O的切线 (3)在(1)的条件下，若B0=20A,AC=9,求⊙0的半径. 考点03 解直角三角形 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026河南周口一模)综合与实践 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转a(0°<a<180·)得到 △EDC. E D D 图1 图2 备用图 (1)【问题解决】 如图1，若∠BAC=30°，当点D落在边AB上时，连接AE,则BD与AE的数量关系是 (2)【探究迁移】 如图2，连接BE,若∠BAC=30°，在旋转过程中，当点A,D,E在同一直线上时，过点C作 CM⊥AB,延长MC交线段BE于点N,求器的值. (3)【拓展应用】 若《=30°，BC=6,AC=8,P为平面内一点，当以A,C,D,P为顶点且AP为边的四边形为平行四 边形时，请直接写出CP的长. 20.(2026河南商丘·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为8,0)，以点O为圆心，0A长为半 径作弧交y轴的正半轴于点B,过点C4,0)作y轴的平行线交弧于点D,则图中阴影部分的面积为 B D A衣 21.(2026河南平顶山一模)在四边形ABCD中，AB‖CD,BC⊥AB,且AB=AD=2BC,DC<BC ·点P是线段AD上一动点（点P不与点A重合），连接BP,作△ABP关于直线BP的对称△EBP,点A 的对应点为点E. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D D P 图1 图2 备用图 (1)观察猜想：如图1，∠BAD= ·,连接AE,DE,当点P为AD的中点时，△ADE的形状是 (②)探究证明：如图2，设AD与BC的延长线相交于点F,连接EF,当EP‖BF时，判断四边形BFEP的形 状，并说明理由； (3)拓展延伸：已知BC=V5,当EB与四边形ABCD的边垂直时，直接写AP的长。 22.(2026河南洛阳一模)如图，一个矩形木箱放置在斜面上，此时BD恰好与地面EF平行，已知 ∠CEF=C,AB=3,则点A到BD所在直线的距离可表示为() A.3cosa B.cosa C.3sina D. 23.(2026河南洛阳一模)如图，在锐角三角形ABC中，以AC为边作等边三角形AEC,以AB为边作等 腰三角形AFB,其中AF=BF,∠AFB=120°，D为BC的中点，分别连接FD和ED,若FD的长为6， 则DE的长为 B D 24.(2026河南商丘一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC边上一点，连接BD,将 △ABD沿BD折叠.点A落至点E处，连接BECE,线段BE交AC边于点F,且ECBD.当点F为线 段BE上靠近点E的三等分点时，是= ，tanA= 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 25.(2026河南南阳一模)如图，在△ABC中，∠C=90·,D为斜边AB上一点，以AD为直径作⊙0， 与边BC相切于点E,若AC=3,AD=4,则图中阴影部分的面积为一： B 26.（2026河南周口一模)综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程 中建立几何直观.在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB=5,AD=13,折叠纸片使点A落在点A处，并使折痕经过点B,得到折痕BP,把纸片展开， 连接AB,AP 图1 图4 【问题解决】 (①)如图2，连接PC,在折叠过程中，当点A恰好落在线段PC上时，tan∠ABC= ’AP= ； (②)如图3，连接BD,将矩形纸片ABCD折叠，使得点C的对应点C落在对角线BD上，并使折痕经过点D, 得到折痕DQ,再把纸片展开，连接CQ.当点A也落在对角线BD上时，试判断四边形BPDQ的形状，并 说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图4，延长BA交线段CD的延长线于点Q,交线段AD于点M.当△MDQ的斜边与直角边之比为 2:1时，请直接写出AP的长. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.(2026河南驻马店.一模)矩形ABCD的边AB长为3，∠BAD的角平分线交边BC于点E(点E不与点C 重合)，连接DE,若△ADE的形状为等腰三角形，则BC边的长为 28.(2026河南许昌一模)如图，在扇形A0B中，∠A0B=90°，AC⊥A0,0C交AB于点D,过点D作 DE⊥OB,若CD=OD=2,则图中阴影部分的面积是 D 29.(2026河南新乡·一模)如图，扇形0AB的圆心角小于180°，连接AB,点C为AB的中点，连接0C交 AB于点D.已知AB=2V3cm,CD=0D,则阴影部分的面积为 cm2. D 考点04 解直角三角形的应用 30.(2026河南许昌一模)三星堆文明是中国上古时期独特而灿烂的古蜀文明，其中一号青铜神树是全世 界同时期体型最大的青铜器.某数学兴趣小组去了三星堆博物馆，想实际测量神树的高度，并以此为课题 安排了一次名为“测量青铜神树的高度”的主题活动. 活动主题 测量青铜神树的高度 活动目的 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 实物图和测量示意图 G升- F八 E D BA 图① 图② 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图②，他在A地用测角仪测得神树顶部C的仰角为45·，再向前走1米到达B地，再次用 测量方案 为57·，其中测角仪离地面1.2m,D为神树底部，点A,B,D在同一直线上，CD,BF,A 在同一直线上，EG⊥CD: 测量数据 AE=1.2m,AB=1m,∠CEG=45°，∠CFG=57°. 参考数据 sin57o≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54. (1)求青铜神树的高度CD(结果精确到0.01). (2)通过查阅资料获知青铜神树的高度为3.96m,请计算本次测量结果的误差（结果精确到0.1m),并提出 条减小误差的合理化建议 31.(2026河南南阳·一模)嵩岳寺塔（图1）位于河南省登封市嵩岳寺内，是第一批全国重点文物保护单位. 某综合实践小组想通过所学知识测量该塔的高度，图2为测量示意图.嵩岳寺塔AB的前面有一座高20m的 建筑物CD,小组成员在点E处用测角仪测得塔顶B的仰角为45·（点A,E,C在一条直线上），在建筑物 顶部D处测得塔顶B的仰角为18·，测得E处的俯角为53·，图中所有点均在同一平面内.求嵩岳寺塔 AB的高度.（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33， sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°0.32) B .18° D53 45° E 图1 图2 32.(2026河南平顶山一模)项目学习 项目背景：如图，“源池泉涌”为某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两 栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综 合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.请根据数据，计算内 栏墙围成泉池的直径BC的长.（结果精确到1m·参考数据：sin8.5°≈0,15，cos8.5°≈0.99， tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37o≈0.75) 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 图1为该景点俯视图的示意图，点AD是正 图中点AB,C,D在同一条直线上 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直 与水平地面垂直，且AE=DF.BE,CF 竖直平面内. 外栏墙 D道 内栏墙 道A 方案说明 ( C 危险B(E) 活动过程 俯视图的示意图 图1 地面外 步道 测量方案示意图 图2 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠D 数据测量 中墙的厚度均忽略不计. 计算 交流展示 33.(2026河南开封一模)从2025年春晚机器人“秧B0T”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武B0T”震撼全 球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后 空翻..这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术 的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈.某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为1， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 底座AB固定，高AB为50cm,连杆BC长度为70cm,手臂CD长度为60cm.点B、C是转动点，且AB、 BC与CD始终在同一平面内. D B EM 图1 图2 (1)转动连杆BC、手臂CD使∠ABC=143·,CD,如图2，求手臂端点D离操作台1的高度DE.(结果 精确到1cm,参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33) (2)物品在操作台1上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD,手臂端点D能否碰到点 M?请说明理由. 34.(2026河南南阳一模)我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长。 E D 图1 图2 (I)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰 角为α直接写出灯杆AB的高度 米（用含a、b、的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图2所示，现将一高度 为2米的木杆CD放在灯杆AB前，测得其影长DE为1米，沿DB方向直行，DF=4.4m测得2米的木杆HF ,其影长FG=3m,求灯杆AB的高为多少米？ 35.(2026河南许昌一模)为传承红色精神，某校同学开展了“测量红二十五军血战独树镇战斗纪念碑的 综合实践活动.如图，在D处用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为30°，沿DB方向前进18m到达F处， 又测得纪念碑顶端A的仰角为45·.己知测角仪CD的高度为1.5m,测量点D,F与纪念碑AB的底部B在 同一水平线上. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B (1)求纪念碑AB的高度；（结果精确到0.01m,参考数据：V3≈1.732） (2)查阅资料可知，该纪念碑的实际高度为25.34m(“25”代表红二十五军，“34代表红军长征的关键年份1934 年)，请你计算本次测量结果的误差， 36.(2026河南周口一模)数学实践小组把测量某古建筑的南门与北门的距离作为一项实践活动，请你根 据活动报告计算该建筑的南门与北门的距离： 课题 测量古建筑的南门与北门的距离 测量工具 皮尺，无人机 利用无人机在P处测出北门上方标志物C和南门上方标志物B的俯角；测量 测量方案 南门高度AB和北门高度CD 根据测量数据绘制示意图，并整理数据如下： E 分 ⊙ 数据整理 南门 A D 点AB、CD、E、F、P在同 个竖直平面内，EFAD,BA⊥AD,CD⊥AD,AB=6米，DC=4米 ,点P到地面的距离为15米，∠EPB=37°，∠FPC=22°. sin37o≈0.60，sin22°≈0.37，c0s37o≈0.80，cos22o≈0.93， 参考数据 tan37°≈0.75，tan22o≈0.40， 计算结果 根据活动报告计算南门与北门的距离（结果精确到1米） 37.(2026河南商丘一模)为测量学校旗杆AB的高度，小亮同学站在旗杆对面的图书馆里从窗户进行观测， 如图，己知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角∠ECB为45°，则旗杆AB的高度是多少米？ D 38.(2026河南一模)如图，M为某物流中心，N,P,Q为三个驿站，N在M的正南方向4.8km处，Q在 M的正东方向，P在Q的南偏西35°方向2km处，N在P的南偏西60°方向.（参考数据：sin35°≈0.57， cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，V3≈1.73) 60 (1)求驿站P与驿站N之间的距离（结果精确到0,1km): (②)购物节期间，派送员从物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M→N→P→Q的路线派送快递到各 个驿站，派送员途经N,P两个驿站时各停留5mn存放快递，请通过计算说明派送员能否在40mn内到达 驿站Q. 39.(2026河南平顶山一模)如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点O,景点A,B分别在道路 ,b上.为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C.经测得景点A位于休息区C的西偏 南45°方向上，景点B位于景点A北偏东30°方向上，已知A0=800m. 北 B 》东 C 30 aA (1)∠BAC的度数为 (2)求景点B到休息区C之间的距离.（参考数据：V3≈1.732，结果精确到1m) 40.(2026河南周口一模)如图，某数学兴趣小组测量教学楼AD的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30°，向教学楼前进20米到达点C,测得楼顶A的仰角为45°，求教学楼AD的高度.（结果保留根号） A 30° 45° 7777777777777777777777777771力 41.(2026河南周口一模)老君山老子文化苑的老子铜像被吉尼斯世界纪录认证为“世界上最高的老子铜像”， 如图1.某数学活动小组到老君山老子文化苑测量老子铜像（含底座)的高度，具体过程如下： 方案设计：如图2，在老子铜像（含底座）的两侧地面上选取A,B两点，先测得A,B两点之间的距离， 再在A,B两点利用同一测角仪分别测得铜像头顶的仰角（点A,D,B在同一水平线上）， 数据收集：通过实地测量，地面A,B之间的距离为91m,在A点处测得铜像头顶的仰角为60·，在B点 处测得铜像头顶的仰角为45°. 问题解决：已知测角仪AE的高度为1.6m,求老子铜像（含底座)CD的高度.（结果精确到1m,参考数据： V5≈1.7) E160 45⊙ A D B 图1 图2 42.(2026河南许昌一模)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰 酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.己 知试管AB=30cm,试管倾斜角《=10°. 高锰酸钾 蓬松的棉花团 E ()求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度： (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C,D,N,F在一 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 条直线上)，经测得：DE=21.7cm,MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN的长度.（参考数据： sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18) 43.(2026河南洛阳·一模)楼宇间无人机精准配送、城市间低空出行场景加速落地、田间植保无人机高效 作业如今，低空经济早已不是电影中的科幻场景，而是实实在在地走入了人们的生产生活.小明发现学 校的无人机社团正在训练，如图，他站在教学楼上的点C处测得无人机（点E)的仰角为27。，同时小亮站 在操场上的点B处利用测角仪测得无人机（点E)的仰角为37·，经测量得知测角仪到地面的距离为1.6米 (AB=1.6米)，点B到教学楼底部点D的距离为30米(DB=30米)，小明得知教学楼上的点C距离地面 19.6米(CD=19.6米)，所有点都在同一平面内，DC⊥DB,AB⊥BD,则此时无人机的飞行高度为多 少米？（参考数据：an37°≈景，5in370≈，cos370≈，tan27°≈京，sin27°≈与， c0270≈25) E C127° .37⊙7A D B 44.(2026河南焦作.一模)在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百 分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度h与其水平投影长度d的比值，即坡度(%) 垂直高度h =不段号资后×100%， 459 坡道 垂直高度北 水平投影长度d 图1 图2 图3 (1)一个坡道的水平投影长度d为200m,这个坡道的坡度为5%，则这个坡道的垂直高度h为 m (②)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，AC是该 匝道的坡道，AB是坡道AC的垂直高度，BC是它的水平投影长度，B,C,D三点在同一水平面且在同一条 直线上，同学们在D处竖直向上放飞无人机，无人机在E处测得坡顶A的俯角为14·，坡底C的俯角为45°， 其中BC=150米，DE=62米，求出坡道AC的坡度.（参考数据：tan14°≈0.25） 2/6