精品解析：2026年河南省周口市部分乡镇柴堂中学等校中考一模考前数学模拟试卷

2026年中考数学模拟试卷 一、选择题（每题3分，30分） 1. 数a的相反数为，则a的值为（　　） A. 2023 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相反数，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）可进行求解．熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键． 【详解】解：∵数a的相反数为， ∴． 故选：A． 2. 木星的赤道半径约为71490000米，将71490000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值大于10的数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数. 确定的值时，要看把原数变成 时小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数． 【详解】∵将71490000转变为 （），小数点向左移动7位，得到， , ∴71490000用科学记数法表示为． 故选A． 3. 唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，是盛行于唐代的一种低温釉陶器，釉彩多以黄、绿、白三色为主，所以人们习惯称之为“唐三彩”．如图，这是河南巩义窑烧制的唐三彩，关于其三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，熟练从主视图、左视图和俯视图观察物体是解决本题的关键．仔细观察唐三彩，即可得到三视图． 【详解】解：仔细观察这件唐三彩，可以发现主视图和左视图看到都是一个相同的梯形，而从俯视图看到的是一个圆，所以主视图和左视图相同． 故选：A． 4. 下列计算正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，单项式乘以单项式（它们的系数、相同字母的幂分别相乘），单项式除以单项式（它们的系数、相同字母的幂分别相除），合并同类项（把系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变），逐一计算即可判断． 【详解】解：①，计算正确，符合题意； ②，计算错误，不符合题意； ③，计算正确，符合题意； ④，计算错误，不符合题意． 则计算正确的有①③共2个． 5. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由光的反射定律得，，由平角定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到 的度数． 【详解】解：由光的反射定律得：，， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：， ，，， ， 方程由两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 7. 圆周率 是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ∵共有12种等可能的情况，其中至少有一幅是中国数学家的有10种结果， ∴其中至少有一幅是中国数学家的概率为， 故选：B． 8. 一艘轮船位于灯塔 的南偏东方向，距离灯塔 海里的 处，它沿北偏东 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的北偏东方向上的处，此时与灯塔 的距离约为（ ）（参考数据：，，） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，，则 ，，在中，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得： ，，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴此时与灯塔 的距离约为 海里． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．也考查了三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余． 9. 如图，内接于 ，若， 的半径，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，再结合扇形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、结合扇形面积公式、三角形面积公式. 10. 如图①，在四边形 中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理， 先设，再结合图象可知点P在 边上运动时，可知 ，再根据点P在 运动路程时，可得 ，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：设 边 上的高为h． ∴， 当动点P沿 边上运动时，， ∴，对应图象为部分， 由图象可知：点P在 边上运动的路程为； 当点P沿 边上运动时，为定值，对应图象部分，由图象可知，点P在 运动路程为． 如图，连接， ∵在四边形 中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 二、填空题（每题3分，15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个满足条件的正整数 的值：________ 【答案】1（答案不唯一、所填的数不大于 均正确） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴ ， ∴答案不唯一、所填的数不大于 均正确； 故答案为：1（答案不唯一、所填的数不大于 均正确）． 12. 不等式组的整数解的和是_________________________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，即可求出整数解，进而求出所有的整数解的和． 【详解】解：由，得：； 由，得： ， 不等式组的解集为：； 整数解是 、 、 、 、 ， 整数解之和为． 故答案为：5． 13. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据 ，抛物线开口向上即可求解，掌握二次函数图象的特征是解题的关键． 【详解】解：∵ 时，抛物线开口向上， ∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为， 故答案为：． 14. 如图，在菱形 中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线 恰好经过点D，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知， 垂直平分 ，得到，推出，利用菱形的性质求得，根据代入数据求解即可． 【详解】解：如图， 由题可知， 垂直平分 ， 设 交 于点G，则， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 15. 如图，在正方形 中，点E，F分别在边上，将正方形 沿 折叠，使点B落在 边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段 的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形 中，， ∴，， ∵点B落在 边上的三等分点M处， ∴和， 设 ，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段 的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 三、解答题（8题，75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，负整数指数幂，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法和负整数指数幂，再化简二次根式和去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 河南教育厅通知从2025年起，学校每天需开设一节体育课，确保学生每天两小时体育活动．为了解其中跳绳训练活动的效果，某校体育组随机跟踪了本学期八年级20位男生跳绳成绩（一分钟跳绳180个为满分），并制成了跳绳成绩统计表和跳绳满分率统计图． 跳绳成绩统计表 平均数/个 众数/个 中位数/个 方差 2月 145.6 143 142 30.2 3月 156.2 156 153 25.7 4月 163 160 161 18.4 5月 175 180 169 17.9 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）小明某月跳绳150个，他说他比一半男生的跳绳成绩都高，请你判断他在几月份说的？ （2）从多角度分析每月跳绳训练活动的效果； （3）通过分析折线统计图，体育教师发现满分率逐步提高，按照此趋势发展下去，预计6月的满分率大约为多少？ 【答案】（1） （2） 由题意可得：跳绳成绩的满分率逐步提高；跳绳成绩的平均数、众数为、众数逐步提高；跳绳成绩的方差逐步减小，成绩越来越稳定； （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、折线统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由表格可得2月份的中位数是，且，即可得出答案； （2）从平均数、众数、中位数、方差的角度分析即可得解； （3）根据折线统计图分析即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可得，2月份的中位数是，且， 故他在 月份说的； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：从折线统计图可得，满分率逐步提高，2月份的满分率是 ，3月份的满分率是 ，4月份的满分率是，5月份的满分率是，按照此趋势发展下去，预计6月的满分率大约为 ． 18. 如图，在中， ，以 边上一点O为圆心， 长为半径作 ， 与 分别相切于点A、点D，并与 边相交于另一点F，在优弧 上求作一点E，使得四边形 为菱形； 小文的作法如下： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交 于点M，点N； ②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P； ③连接 ，并延长交 于点E，连接 ，即四边形 为所求作的菱形． （1）证明：四边形 为菱形； （2）若 ，求 的周长． 【答案】（1） 证明：连接 ，如图 ∵ 与 分别相切于点A、点D， ∴ ， ∵根据小文的作图步骤可得 是 的平分线， ∴ 经过点O， ∵， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， 又∵， ∴ ， ∴四边形 为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，先求出 ， ，得到 进而证明出 ，得到 ，同理可得 ，再由，得到 ，即可解答； （2）推导出 ，在 中，求出，，则 的周长为，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)知四边形 为菱形， ∴ ， 在 中， ∵ ， ∴，， ∴ 的周长为． 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形 的边 ， 分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作 轴于点F，过点E作 轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得 ，又 ， ，∴ ，∴ ． 小明说：“如图③，连接 ， ，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到 ．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线 分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证： ． （3）如图⑤，矩形 的边 ， 分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接 ， ， ．若点D为 的中点，则 ______(用含k的代数式表示)． 【答案】（1）正确， 证明如下： 由，可得． 又 ， ， ， ． （2） 证明∶如图（1），过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，连接 ，则 ； 又 ， ， 四边形 和四边形 都是平行四边形， ， ； （3）k 【解析】 【分析】（1）由，可得，求证 ，即可求解； （2）过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，连接 ，则 ，推出四边形 和四边形 都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图（2），连接 ， ，则 ． 又 ， ， ， ， ， ． 20. 如图，三角形 内接于 ， ，连接 并延长交 于点D，连结 ， ， ． （1）求证：； （2）猜想 与 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2） ，理由如下： ∵ ，即 ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 随 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 【答案】（1）场景A中 随 变化的函数关系为，场景B中 随 变化的函数关系为 （2）场景B 【解析】 【分析】（1）由图象可知，场景A中 随 变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中 随 变化的函数关系为，将代入，进而可得； （2）场景A中当 时， ；场景B中，将 代入，解得，,判断作答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，场景A中 随 变化的函数关系为， 将，代入，得， 解得， ∴； 场景B中 随 变化的函数关系为， 将，代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：场景A中当 时， ； 场景B中，将 代入，得，解得， ∵， ∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点， 所在直线为x轴，过点O与 所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 ，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ，其中 ，．仿青蛙机器人从距离 左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为 ，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令 ，求出 的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为 ， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当 时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离 左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过 正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为 ． 23. 在等腰直角 中，， ，D为直线 上任意一点，连接 ．将线段 绕点D按顺时针方向旋转得线段 ，连接 ． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段 上时，线段 与 的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 与 的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若， ，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点 作交 于点 ， 由旋转得 ，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点 作延长线于点 ，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点 作延长线于点 ，求出 ， 即可． 【详解】解：（1）如图，过点 作延长线于点 ， 由旋转得 ，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图，当 在 的延长线上时，过点 作于点 ，连接 ， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当 在 的延长线上时，过点 作于点 ，如图，连接 ， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟试卷 一、选择题（每题3分，30分） 1. 数a的相反数为，则a的值为（　　） A. 2023 B. C. D. 2. 木星的赤道半径约为71490000米，将71490000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，是盛行于唐代的一种低温釉陶器，釉彩多以黄、绿、白三色为主，所以人们习惯称之为“唐三彩”．如图，这是河南巩义窑烧制的唐三彩，关于其三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三种视图都不相同 4. 下列计算正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究，某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一艘轮船位于灯塔 的南偏东方向，距离灯塔 海里的 处，它沿北偏东 方向航行一段时间后，到达位于灯塔 的北偏东方向上的处，此时与灯塔 的距离约为（ ）（参考数据：，，） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 9. 如图，内接于 ，若， 的半径，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在四边形 中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个满足条件的正整数 的值：________ 12. 不等式组的整数解的和是_________________________． 13. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 14. 如图，在菱形 中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线 恰好经过点D，则点B的坐标为______． 15. 如图，在正方形 中，点E，F分别在边上，将正方形 沿 折叠，使点B落在 边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段 的长为______． 三、解答题（8题，75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 河南教育厅通知从2025年起，学校每天需开设一节体育课，确保学生每天两小时体育活动．为了解其中跳绳训练活动的效果，某校体育组随机跟踪了本学期八年级20位男生跳绳成绩（一分钟跳绳180个为满分），并制成了跳绳成绩统计表和跳绳满分率统计图． 跳绳成绩统计表 平均数/个 众数/个 中位数/个 方差 2月 145.6 143 142 30.2 3月 156.2 156 153 25.7 4月 163 160 161 18.4 5月 175 180 169 17.9 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）小明某月跳绳150个，他说他比一半男生的跳绳成绩都高，请你判断他在几月份说的？ （2）从多角度分析每月跳绳训练活动的效果； （3）通过分析折线统计图，体育教师发现满分率逐步提高，按照此趋势发展下去，预计6月的满分率大约为多少？ 18. 如图，在中， ，以 边上一点O为圆心， 长为半径作 ， 与 分别相切于点A、点D，并与 边相交于另一点F，在优弧 上求作一点E，使得四边形 为菱形； 小文的作法如下： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交 于点M，点N； ②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P； ③连接 ，并延长交 于点E，连接 ，即四边形 为所求作的菱形． （1）证明：四边形 为菱形； （2）若 ，求 的周长． 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形 的边 ， 分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作 轴于点F，过点E作 轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得 ，又 ， ，∴ ，∴ ． 小明说：“如图③，连接 ， ，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到 ．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线 分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证： ． （3）如图⑤，矩形 的边 ， 分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接 ， ， ．若点D为 的中点，则 ______(用含k的代数式表示)． 20. 如图，三角形 内接于 ， ，连接 并延长交 于点D，连结 ， ， ． （1）求证：； （2）猜想 与 的位置关系，并说明理由． 21. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 随 变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点， 所在直线为x轴，过点O与 所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 ，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ，其中 ，．仿青蛙机器人从距离 左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 23. 在等腰直角 中，， ，D为直线 上任意一点，连接 ．将线段 绕点D按顺时针方向旋转得线段 ，连接 ． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段 上时，线段 与 的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段 与 的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若， ，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $