专题11 图形的变化（7大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11图形的变化 ☆7大考点概览 考点01利用平移的性质求解 考点02轴对称图形和中心对称图形的识别 考点03轴对称与折叠问题 考点04根据旋转的性质求解 考点05相似三角形的判定与性质综合 考点06利用相似以三角形的性质求解 考点07相似三角形的实际应用 考点01 利用平移的性质求解 1.(2026·河南商丘一模)如图，△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC,将△ABC沿射线BC方向平 移得对应△DEF,过点B作B0⊥AC,垂足为0，B0交DE于点P,若AC=4V3,CE=3BE,则PD的 长是() A.4 B.4V5 C.3 D.25 2.(2026河南周口一模)如图，在扇形A0B中，己知∠A0B=90°，OA=OB=2,正方形0ECD的 项点D、C、E分别在OA、AB、OB上，把正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF,其 中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为 C(F) M D E B 3.(2026河南商丘一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6.点F是AB中点， 连接CF,把线段CF沿射线BC方向平移到DE,点D在AC上.则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四 边形CFDE的周长是() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.20 B.18 C.16 D.14 4.(2026河南商丘一模)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，将该菱形沿AC方向平移2√3得 到四边形EFGH,EH交CD于点M,则点M到AC的距离为() D M A.1 B.5 C.2 D.2V5 5.(2026河南平顶山一模)如图，将边长为6的等边三角形ABC沿射线BC平移得到△DEF,点P,Q 分别为AC,DF的中点，点O是线段PQ的中点，连接OA,OC.当△A0C为直角三角形时，BE= B E 考点02 轴对称图形和中心对称图形的识别 6.(2026河南安阳一模)博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化 内涵和美学价值.下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A. B. C D 7.(2026河南南阳一模)围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是() D 8.(2026河南周口一模)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.等边三角形B.平行四边形 C.正六边形 D.等腰梯形 9.(2026河南焦作一模)城市地标建筑是城市的立体名片，反映出一个城市的文化内核、时代精神等风貌. 以下是由A1生成的河南几个地市地标建筑图片，其中主视图不是轴对称图形的是() A. B. 考点03 轴对称与折叠问题 10.(2026河南周口一模)如图，在☐ABCD中，将△ADC沿对角线AC折叠后，点D恰好落在DC的延 长线上的点E处.若AB=2,BC=4,则BE的长是() A.2W2 B.3 c.25 D.25 11.(2026河南信阳一模)综合与探究. 问题情境：如图1，在三角形纸片ABC中，AB>BC,点D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠 该纸片，使DB的对应线段DB与BC平行，且折痕与边BC交于点E,得到△DBE,然后展平. B D B B--- B E E 图1 图2 ()猜想证明：判断四边形BDBE的形状，并说明理由 (②)拓展延伸：如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A落在射线DB上，且折痕与边AC 交于点F,然后展平.连接AE交边AC于点G,连接AF ①若AD=2BD,判断DE与AE的位置关系，并说明理由： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△AFG是以AF为腰的等腰三角形时，请直接写出AF的长 12.(2026河南信阳.一模)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，取边BC的中点E,连接DE,将 △DCE沿DE折得到△DFE,延长DF交边AB于点G,则AG的长为() B G A.2 B.3 C.4 D.5 13.(2026河南南阳一模)如图，折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处，折痕BE交 AC于点G.则器的值是() D A.反 B.2V2 C.22+1 D.V2+1 14.(2026河南平顶山一模)在三角形纸片ABC中，AB=AC=2,∠B=15°，点D是边BC上的动点， 将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B处，当BD⊥BC时，连接BB,BB的长为 15.(2026河南周口一模)如图，线段AC是菱形ABCD的对角线，AB=5,AC=6,点M,N分别是边 AB,BC上的动点，连接MN,将△BMN沿MN折叠，使点B的对应点P始终落在AC上，当△PNC为 直角三角形时，线段BN的长为 16.(2026河南洛阳一模)如图，☐ABCD中，∠B=45·,将☐ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落 在DC延长线上的点D'处，AD交BC于点E,若DD=2,则BE的长为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B D A.1 B.v2 c. D.号 17.(2026河南商丘·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC边上一点，连接BD,将 △ABD沿BD折叠.点A落至点E处，连接BECE,线段BE交AC边于点F,且EC‖BD.当点F为线 段BE上靠近点E的三等分点时，是= ，tanA= D B 18.(2026河南许昌一模)动手操作是学习数学的一种好方法.如图，小华同学在一次折纸活动中，将一 张A4纸（长宽比为V2:1)ABCD沿AF折叠，使点B落在AD边上的点G处，再沿FI折叠，使点C落在FG 边上的点H处，则矩形GHID的长与宽的比值为 G D C 19.(2026河南三门峡.一模)李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答. 如图，在△ABC中，AB=AC,将△ABC沿AC翻折得到△ADC,点B的对应点为点D A D A B B 图1 图2 (I)如图1，若AD‖BC,则四边形ABCD的形状为 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)当AD与BC不平行时，过点A作BC的平行线，交射线CD于点E,过点E作AB的平行线，交射线BC于 点F ①猜想线段DE与CF的数量关系，并仅就图2的情形说明理由， ②若AB=3,CF=1,请直接写出线段CE的长. 20.(2026河南新乡.一模)如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠C=30°，点D在BC边上且AD⊥AB ,将AB折叠到AB,若点B在线段AD的延长线上，则DB的长为() B B A.3-V3 B.1 c.2-5 D.5 21.(2026河南信阳·一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为 (1,0),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3)，则EF的长为() D OB A. B. c.5 D. 22.(2026河南许昌一模)如图，折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处，折痕BE交 AC于点G.若AB=2,则△DEF的周长为() D A.22 B.V2 c.2+2 D.4-22 23.(2026河南三门峡一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的边0C在x轴正半轴上，0为坐标 原点，D为OA上一点，连接CD,将菱形OABC沿CD折叠，点O落在点E处，CE⊥AB交AB于点F.若 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点F的坐标为(10,8)，则点D的坐标为() A.(9,9)B.(9,5) c.(9,9)】 D.(要，9) 24.(2026河南平顶山一模)如图，菱形ABCD中，AB=8,点O是对角线BD的中点，点E,F分别在 BC,CD上，将△CEF沿EF翻折，得到△CEF,当点C与点O重合时，OE的长是() B E 7 O(c' O A. B.2 C.4 D.6 考点04 根据旋转的性质求解 25.(2026河南周口一模)综合与实践 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转(0°<《<180·)得到 △EDC. MA D 图1 图2 备用图 ()【问题解决】 如图1，若∠BAC=30°，当点D落在边AB上时，连接AE,则BD与AE的数量关系是 (2)【探究迁移】 如图2，连接BE,若∠BAC=30°，在旋转过程中，当点A,D,E在同一直线上时，过点C作 CM⊥AB,延长MC交线段BE于点N,求歌的值， 1/6 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)【拓展应用】 若《=30°，BC=6,AC=8,P为平面内一点，当以A,C,D,P为顶点且AP为边的四边形为平行四 边形时，请直接写出CP的长， 26.(2026河南信阳·一模)等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=x°，在BC边上取一动点D,以点A为旋转 中心，将线段AD逆时针旋转x·得到线段AE,连接DE 图1 图2 图3 (1)观察猜想 如图1，x°=60°，∠DAB=15°，则∠CDE= (2)类比探究 如图2，x°=90°，点F为DE中点，连接CF,请判断线段CF与线段DE的数量关系，并说明理由. (3)拓展应用 如图3，x°=90°，过点D作DG⊥BC,DG交CA的延长线于G,连接BG.请直接用等式表示线段AD与 BG的数量关系 27.(2026河南南阳一模)九年级(1)班学生在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探 究活动、 图1 图2 图3 备用图 (1)【观察猜想】 如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE,连接CE, DE,请直接写出线段CE与线段AD的数量关系：，∠DCE=; (2)【类比探究】 如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B 不重合. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①如图3，当点E在线段BP上，且∠PEC=60°，∠AEP=30°时，以线段CE为边作等边三角形CEM, 连接AM,请判断线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由： ②在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120·得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,请直接写出线段AP的长. D H BE=2FG, 28.(2026河南南阳一模)综合与实践 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60·，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线 段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD,则下列各图中 的线段CD都是相应线段AB的双关联线段. D. D D 60° ◆B 人609 60 A(C) 图1 图2 图3 备用图 【问题解决】 (I)如图1，在矩形ABCD中，AB<AD,若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB= (2)如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列各线段中，是线段AB的双关联线段的有 (填 序号) ①AD:②BC:③CD;④AC;⑤BD: (3)在等边△ABC中，点D,E分别在射线BC,射线CA上，且AE=CD,连接AD,BE,AD与BE交于 点F 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①如图3，若点D,E分别在等边△ABC的边BC,边CA上，线段AD是线段BE的双关联线段吗？请说明 理由。 ②在①的结论下，将线段AD绕点D顺时针旋转60°，得线段DG,连接EG;已知AE=1, AF,AD=4.请按题目要求补全图形（不要求尺规作图），并且直接写出线段EG的长 29.(2026河南许昌一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5,点D在射线BC上， 将线段AD绕点A顺时针旋转45·得到线段AE,过点E作EF‖BC,交AB于点F.若EF=2,则BD的长 为 B D C 30.(2026河南一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90·,AB≠AC,AO平分∠BAC,点P是A0上 任一点（不与点A,O重合），过点P作PDIAB交AC于点D,点E是AB上一点，且AE=2AD,连接PE ，DE.将△EAD绕点E旋转得到△EAD,当点P,E,A在同一直线上，且DE=2W5时，AP的长 为 31.(2026河南商丘：一模)三角形的旋转是一种几何变换，它不仅能够帮助我们理解和分析图形的性质， 还能够在解决实际问题时提供有效的思路和方法数学社团的同学以“直角三角形的旋转”为主题开展了一系 列的探究活动. B 图1 图2 图3 (1)操作判断：如图1，小组同学将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90·得到△DBE,连接AD,则△ABD 的形状为 (2)深入探究：小组同学继续旋转△DBE,若BC=2,AC=4. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①如图2，当点D恰好落在AC的延长线上时，过点B作BE的垂线交CD于点F.求△BDF的面积， ②如图3，连接AE,取AE的中点M,连接CM,求线段CM长度的最大值和最小值. 32.(2026河南周口一模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=V5,P为△ABC内部 一点，则P到△ABC三个顶点之和的最小值是 B 33.(2026河南平顶山一模)如图，点P是正方形ABCD边上的一动点，连接AP,将线段AP绕点P逆时 针旋转90°得到线段EP,连接CE.若AB=3,当PC=1时，线段CE的长为， 34.(2026河南南阳一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形A0BC为正方形，OB在x轴正半轴上， A(0,V5),将边0B绕点0逆时针旋转至0D处，连接CD,BD.若∠BDC=90°，则点D的坐标为() D A(,)B.(5,5)c(5,) D.(） 35.(2026河南周口一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30·,AB=8,点D是直角 边AC上一点，连接BD,将BD绕点B顺时针旋转60·得到BE,连接CE.在点D运动过程中，线段CE的 最小值为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E C D B 36.(2026河南洛阳.一模)如图，正方形ABCD中，AB=2,O是BC边的中点，点E是正方形内一个动 点，OE=1,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,连接AE,CF,OF.则线段OF长 度的最小值为 D E B 37.(2026河南安阳一模)几何综合 G 图① 图② 图③ 备用图 【方法尝试】 (1I)如图①，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形，CB,ED分 别是它们的对角线.求证：CB⊥ED; 【类比迁移】 (2)如图②，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90·,AC=V21,AB=V万，AE=V3 ,AD=1,将△DAE绕点A在平面内逆时针旋转，连接CE,BD ①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当点B,D,E在同一直线上时，求线段CE的长： 【拓展延伸】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6,过点A作AP‖BC,在射线AP上取一点D,连接 CD,使得tan∠ACD=,请直接写出线段BD的最大值. 38.(2026河南新乡一模)综合与实践 在四边形ABCD中，AB|CD,∠B=90°，AB=BC=6,点E是射线BC上的一个动点，连接AE,将线 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 段EA绕点E顺时针旋转90·，得到EF,作射线CF, E M E M 图1 图2 (1)【动手操作】 如图1，在边AB上截取BQ=BE,连接EQ,则∠AQE= (2)【深入探究】 ①在图2中找出与∠DCF相等的角，并说明理由； ②若AD,F三点共线，设BE=m,求CD的长（用含m的式子表示） (3)【拓展应用】过点F作FG‖AE,交直线CD于点G,连接AG,若CE=2,请直接写出AG的长. 4 B M 备用图 39.(2026河南商丘一模)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转 a(0<&<90°)得到△APQ,点B,C的对应点分别为点P,Q.QP的延长线交BC于点M. B M 图1 图2 (I)试判断BM与PM的数量关系，并证明： (2)当AQ‖BC时，如图2，连接CQ,射线BP交CQ于点N. ①请判断CN与NQ的数量关系，并证明； ②若△ABC的两直角边的比为4：3，请直接写出器的值。 40.(2026河南商丘一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形A0BC的边0B在x轴上，已知点A的坐标 为(3,4)，将菱形A0BC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第18次旋转后点C的对应点C18的坐标 为() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(-3,8) B.(-4,8) C.(-8,-4) D.(-8-3) 41.(2026河南焦作一模)如图，△OAB的顶点0与原点重合，点B在y轴正半轴上，点A(V2,V2)在 反比例函数y=奈(x>0)的图象上，OA=OB. (1)求这个反比例函数的表达式 (2)把△OAB绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点A处，求点A的坐标 42.(2026河南周口一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=奈(x>0)的图象过点A(5,12) (I)求k的值； (2)将OA绕点O顺时针旋转至与x轴重合，点A的对应点为C,连接AC,求线段AC的长. 43.(2026河南平顶山一模)如图，在正方形ABCD中，点P为线段AC上一动点，作射线BP. D D 图1 图2 备用图 (I)【问题解决】如图1，若点P与线段AC的中点重合，则∠PBC=_°，线段BP与线段AC的位置关 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 系是· (2)【问题探究】如图2，点E在线段BP上，在点P运动过程中，当∠AEP=45°，∠PEC=90°时， 探究线段BE与线段CE的数量关系，并说明理由， (3)【拓展延伸】在点P运动过程中，E为射线BP上一点（不与点B重合），且∠BEC=90。,当 ∠AEP=75时，直接写出盟的值. D BE=BQ,∠EBQ=90°，∠AEB=∠BQC, :.△BEQ为等腰直角三角形， :∠BEQ=45°=∠BQE,V2BE=EQ, :点E在线段BP上，且∠AEP=45°，∠PEC=90°， ∠AEB=135°，∠BEC=90°， ∠BEQ=∠CEQ=45°，∠AEB=∠BQC=135°， ∠EQC=135°-45°=90°， ∠ECQ=90°-45°=45°， CE=V2EQ=2x2BE=2BE: HD BM C .△BEQ为等腰直角三角形， ∠BEQ=450=∠BQE,BB=号EQ, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H M 40 :△BEQ为等腰直角三角形， 2 :∠BEQ=45°=∠BQE,BE=号EQ, 考点05 相似三角形的判定与性质综合 44.(2026河南周口 模)定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜 边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形.如图，AB=3V3,∠ACB=30°，△ABC和 △D0E为对角直角三角形（∠A=∠DOE=90°），O为BC的中点，AB与OD交于点M,OE与AC交 于点N.若M为边AB的三等分点，则CN的长为· 45.(2026河南一模)如图，将△ABC边AB沿过点A的直线折叠，使AB落在AC边上，折痕为AD,展 开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为EF,展开后连接DE、DF,测得AB=4,AC=7,当 △BDE是直角三角形时，BD的长为 B D 46.(2026河南南阳一模)定义：如果三角形的两个内角x与阝满足《+2B=90°，那么我们称这样的三 角形为“类直角三角形”.如图，在Rt△ABC中.∠C=90°，BC=3,AB=5,点D在AC边上，使得 △ABD是“类直角三角形”，则CD=· 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 47.(2026河南一模)如图，四边形ABCD是矩形，AD=8,BD=10,点E为射线DC上一动点，将 △BDE沿BE所在直线折叠，得到△BFE,连接DF,延长BE交DF于点G,直线DF与边BC所在直线 交于点H A B C F(H 图1 图2 (I)如图1，当点F在BC边延长线上时，点F与点H重合，CH的长度为 2)如图2，求证：①DG=FG:②=器 (3)若CH=3,请直接写出器的值. 48.（2026河南周口.一模)综合探究 B 图1 图2 图3 (I)△ABC和△ADE的位置如图1所示，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,则 BD与CE之间的数量关系是 ； (②)△ABC和△ADE的位置如图2所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，且 ∠ABC=∠ADE=90°，器=器=是，连接BD,CB,求器的值； (3)如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=5,AD=3.连接 BD,CE,将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，当B,D,E三点共线时，直接写出CE的长. 49.(2026河南一模)解决下列问题 D D 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,则线段BE与线 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 段DF之间的数量关系是 ,位置关系是 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=15,AD=20,点E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到 △BEG,延长DG和BC的延长线相交于点F.当CE=2DE时，求CF的长： 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E是CD边上一点，且DE=2CE,F为BC延长线上一点， 连接DF交射线BE于点G,当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，请直接写出器的值， 50.(2026河南周口一模)如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的格点处，AD与BC相交于点0，若 小正方形的边长为1，则A0的长为() A.2 B.V2 c.22 D. 51.(2026河南南阳一模)数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题。 【问题初探】 如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一动点（不与点C,D重合），过点C作AE的垂线交AE的延长线 于点F,交AD的延长线于点G 甲同学观察图1后发现结论：器=①， 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究 如图2，在矩形ABCD中，E为CD边上一动点（不与点C,D重合），过点C作AE的垂线交AE的延长线于 点F,交AD的延长线于点G.若AD=m,CD=n,则器=②. ☒1 图2 图3 备用图 )上述材料中横线①处应填， 横线②处应填 (2)【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接FD,过点A作 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FD的垂线交FD的延长线于点H,求器的值， (3)【问题解决】在(2)的基础上，若AD=2,CD=4,点E为射线CD上一点，且DE=2,请直接写出 AH的长 52.(2026河南周口一模)如图，在☐ABCD中，AE:EB=1:2,若EF=2,则DF的长为() D B A.4 B.5 C.6 D.8 53.（2026河南洛阳一模)在学习特殊四边形的过程中.同学们积累了一定的研究经验 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究. 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可 等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点. 例如：在四边形ABCD中，边AD上存在一点O,使得OB=OC且OB⊥OC,则四边形ABCD是可等垂四 边形，点O为四边形ABCD的等垂点. 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质. 【初步探索】 图1 图2 图3 (I)如图1，矩形ABCD是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则AB和AD的数量关系是 【类比探究】 (②)如图2，四边形ABCD是可等垂四边形，且AB‖CD,∠D=90°，点P是它的等垂点. ①四边形ABCD的边AB,CD和AD之间的数量关系是 ②在图2中取BC边的中点Q,并连接QA,QD,则点Q是四边形ABCD的等垂点吗？如果是，请证明： 如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）. 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ADP中，AP=2,AD=3,∠DAP=90°，点B,C为Rt△ADP中不同边上的两 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，且点B为所在边的中点，若以A,B,C,D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C,D两点 之间的距离。 54.(2026河南洛阳一模)综合与实践 【情境】用直角三角板在如图1所示的纸片Rt△ABC(∠BAC=90°)中画裁剪线，裁剪出两个相似三 角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）. 图1 【操作】小云和君君尝试用不同方法解决问题. 君君的思路如下：如图3 小云的思路如下：如图2，过点A作边BC上的高AH, I在边BC上取一点M,过点M作MP⊥AB,垂足为P; AH即为裁剪线 ,即PM,MQ为裁剪线. B 图2 B M 图3 【探究】根据以上描述，解决下列问题， (I)如图2，求证：△ABH∽△CAH; (2)君君的思路中，若点Q在AC上， ①请你在Ⅱ中的横线上补全内容，并在图3中补全图形； ②若PM:AC=2:3,BP=8,求MQ的长； 【应用】 (3)如图4，在四边形纸片ABCD中，AB⊥CB,DC⊥CB,AB=8,CD=3,BC=10.在边BC上找 一点N,连接AN,DN,若沿AN,DN裁剪出的△NAB与△NCD相似，直接写出BN的长. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B N C 图4 55.(2026河南洛阳一模)如图，已知射线0B分别与二次函数y1=ax2,y2=bx2的图象交于点A,B, 且0B=4OA,则下列有关a,b的关系，判断正确的是() B A.a=ib B.a=b C.a=16b D.a=4b 56.(2026河南焦作.一模)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD交CD于点E,对角线BD和 AB交于点R,器=是，若CE=2,则AD的长为() D A.2 B.3 c. D.月 57.(2026河南许昌一模)如图，平行四边形ABCD,E是CD的中点，AE,BD相交于点F,EF:AF=() D A.1:V2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 考点06 利用相似三角形的性质求解 58.(2026河南商丘一模)把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三 角形，如图，△A1B1C1是等边△ABC的中点三角形，△A2B2C2是△A1B1C的中点三角形，.依此类 推，当AB=2时，△A,BnCn的面积为(） 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A.()1 B.()” c.()”5 D.()1.5 59.(2026河南洛阳一模)根据题月要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题.（保留作图痕迹，不写 作法) B 图1 图2 (1)如图1，点A,B,C都在格点上，在网格中求作△A1B1C,使得△ABC与△ABC是以点C为位似 中心，相似比为2的一对位似图形； SA41E1E 2)根据(1)中所作图形，可得S8 ； (3)如图2，点D,E都在格点上.在DE上求作一点P,使得EP:PD=1:3. 60.(2026河南郑州一模)如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知0A=AD, △ABC的面积为3，则△DEF的面积为· B 61.(2026河南周口一模)如图，若△ABC∽△DEF,∠A=70°，∠C=64°，则∠E的度数为() 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.70° B.64° C.36° D.46o 考点07 相似三角形的实际应用 62.(2026河南周口一模)茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月，是信阳新建 的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”.淇淇 在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度.于是把“测量茗阳阁的高度” 作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告. 活动项目 测量茗阳阁的高度 M 实物图和测量示意图 FD BC ①在地面上的点C处放置了一块平面镜，随后，站在NC 的延长线上点B处，此时，从平面镜中刚好看到茗阳阁顶 端M,测量B,C两点间的距离；②将平面镜从点C处沿 测量过程 NC向后移动到点D处，站在点F处又恰好看到茗阳阁顶 端M,测量D,F两点间的距离；③AB,EF为眼睛到地 面的距离 BC=1.5米，CD=9.4米，DF=1.8米， 测量数据 EF=AB=1.5米 点F,D,B,C,N在同一条直线上，图上所有点均在同一 备注 平面内，∠ACB=∠MCN,∠EDF=∠MDN,MN, AB,EF均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁MN的高度. 63.(2026河南一模)阅读下表中的测量方法，回答下列问题. 活动主 利用一副三角板和平面镜测量校园外居民楼的高度 题 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 口口 实物图 ▣ 和测量 D D ▣口 示意图 ▣ū 0 0 1.将平面镜做标记后平放在地面点O处。 2.学生（身高1.7m,眼睛高度约为1.6m)移动至点A手持45°三角板，一条直角边平行地面（水 平)，另一条竖直向上，调整头部使“眼晴一斜边一平面镜中居民楼顶端C”共线（视线与地面夹角 测量说 为45°)，且A、0、B(居民楼底部)三点共线 明 3.将平面镜向后平移到点O1,人后退到点A1此时手持30·三角板，一条直角边平行地面（水平）， 另一条竖直向上，斜边朝平面镜，调整头部让“眼晴一斜边一平面镜中居民楼顶端C”共线（视线与 地面夹角为30·)测出两次镜子间距离001 测量数 眼晴到地面距离AD=1.6m,两次镜子间距离001=40m, 据 (1)请你根据上面的活动求出居民楼的高度.（结果精确到0,1m,参考数据： V2≈1.41,5≈1.73) (2)活动后说出一条减小误差的方法， 64.(2026河南三门峡一模)宝严寺塔位于河南省驻马店市，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料， 被誉为中原地区宋塔“活化石”.某校数学实践小组利用所学数学知识测量宝严寺塔的高度，他们制订了两个 测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取 它们的平均值作为测量结果，下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量宝严寺塔的高度 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD,影长 方案 ED及同一时刻塔影长DB 说明 E,D,B三点在同一条直线上 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 测量 示意图 D B 测量项 第一次 第二次 平均值 测量 CD 1.61m 1.59m 1.6m 数据 ED 1.18m 1.22m 1.2m DB 20.8m 22.4m 21.6m 请从上述两种方案中选择一种，根据测量数据，求出宝严寺塔AB的高度（参考数据：si37。≈0.60， c0s37°≈0.80，tan37o0.75). 65.(2026河南商丘一模)焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄 河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并 弘扬其精神.数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动. 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 B 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高 为1m的标杆CD,发现地面上的点G、标杆 顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上： 测量过程 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的 位置，当眼晴在E处时，恰好看到标杆顶端C 和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小亮的眼晴到地面的距离.EF=1,2m, DG=1m,DF=3.6m.己知AB⊥BF, 测量数据 CD⊥BF,EF⊥BF,点B,D,G,F在- 条水平线上，图中所有点在同一平面内. 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB. 2/6 专题11 图形的变化 7大考点概览 考点01利用平移的性质求解 考点02轴对称图形和中心对称图形的识别 考点03轴对称与折叠问题 考点04根据旋转的性质求解 考点05相似三角形的判定与性质综合 考点06利用相似三角形的性质求解 考点07相似三角形的实际应用 利用平移的性质求解 考点01 1．（2026·河南商丘·一模）如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形中，已知，，正方形的顶点、、分别在、、上，把正方形的沿直线向右平移，得到正方形，其中点的对应点恰好与重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】先求出正方形的边长，再结合扇形及三角形的面积公式求出正方形中空白部分的面积，据此可解决问题．熟知图形平移的性质及正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∴， 由平移可得：，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为：，， ∵， ∴阴影部分的面积为：． 3．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：∵，，．点F是中点， ∴， ∵把线段沿射线方向平移到，点D在上， ∴是的中位线， ∴， ∴线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是． 4．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的边长为6，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点M，则点M到的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作于N，于P，由菱形的性质和直角三角形的相关计算求出，，由平移的性质证，再根据相似比求解即可． 【详解】解：作于N，于P， ∵菱形的边长为6，， ∴，，， ∴，，， ∵将菱形沿方向平移得到四边形， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：， 则点M到的距离为2． 5．（2026·河南平顶山·一模）如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，__________． 【答案】6或12 【分析】先由平移得出，，，，当为直角三角形时，需分情况讨论：当时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行计算即可；当时，先根据平行线的性质得出，进一步得出，再利用含角的直角三角形的性质，得出，最后利用线段中点的性质，进行计算即可． 【详解】解：①当时，如图1． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，． ，点为的中点， ． 点是线段的中点， ， ． ②当时，如图2． 等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，，，． ， ， ． 点为的中点，， ． 在中，，， ． 点是线段的中点， ， ． 综上所述，当为直角三角形时，的长为6或12． 轴对称图形和中心对称图形的识别 考点02 6．（2026·河南安阳·一模）博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 7．（2026·河南南阳·一模）围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 8．（2026·河南周口·一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正六边形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，但绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故A错误； B、平行四边形绕对角线交点旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，但找不到对称轴使对折后完全重合，不是轴对称图形，故B错误； C、正六边形能找到沿一直线对折后完全重合，绕中心旋转后也能与原图形重合，因此既是轴对称图形又是中心对称图形，故C正确； D、等腰梯形是轴对称图形，但绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故D错误． 9．（2026·河南焦作·一模）城市地标建筑是城市的立体名片，反映出一个城市的文化内核、时代精神等风貌．以下是由AI生成的河南几个地市地标建筑图片，其中主视图不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 轴对称与折叠问题 考点03 10．（2026·河南周口·一模）如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∵点在的延长线上，即、、三点共线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 11．（2026·河南信阳·一模）综合与探究． 问题情境：如图1，在三角形纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平． (1)猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． (2)拓展延伸：如图2，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①，理由见解析，②5或． 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可得四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①证明：，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 12．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形性质可得，，通过折叠性质可知，，，然后证明，所以，设，则，，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是中点， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴的长为． 13．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，由折叠得，推出，进而得．证等腰，得，在中，由内角和算出，等角对等边得．用对角线长度求：由正方形对角线，得，计算比值并有理化得最终结果． 【详解】解：设正方形边长为， ∴，对角线，，． 由折叠性质：， ∴，， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∴ 在中： ，， ∴ ∴， ∴ ∵，且， ∴ ∴． 14．（2026·河南平顶山·一模）在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，连接的长为________ 【答案】2或 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形和等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是按动点在上的不同位置进行分类讨论．分两种情况：当点靠近点时，翻折后在上方，由和得为等腰直角三角形，作延长线交于点，则垂直平分，在中求出，从而；当点靠近点时，翻折后在下方，同理得为等腰直角三角形，从而，再由得为等边三角形，. 【详解】解：如图，当点靠近点时，沿翻折，的对称点在上方， 由折叠的性质得，， ， 是等腰直角三角形， ， 设的延长线交于点， ∵，， ∴是的垂直平分线， 在中，， ， 在中， ， ， ． 当点靠近点时， 如图，点靠近点时，沿翻折，的对称点在下方，由折叠的性质得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ； 综上所述的长为2或． 故答案为：2或． 15．（2026·河南周口·一模）如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 【答案】或/或 【分析】连接，与交于点O，根据四边形是菱形，，，得出，，，，勾股定理求出，根据折叠得出，设，则，分两种情况：当时，证明，列方程求解即可；当时，证明，列方程求解即可． 【详解】解：连接，与交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上， ∴， 设，则， 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即， 综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或． 16．（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 17．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，点D为边上一点，连接，将沿折叠．点A落至点E处，连接，线段交边于点F，且．当点F为线段上靠近点E的三等分点时，________，________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，由折叠的性质可得，再根据，进而得到，即，再证明，推出，即可求出；设，则，求出，得到，利用勾股定理得到，求出，即，再求出，最后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为线段上靠近点E的三等分点，即， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 18．（2026·河南许昌·一模）动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，根据正方形的性质得到，，进而得到，计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证四边形是正方形， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴矩形的长与宽的比值为． 19．（2026·河南三门峡·一模）李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点．    (1)如图1，若，则四边形的形状为___________． (2)当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)菱形 (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证明为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知，，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合 求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：①；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，    ∵， ∴， 同理， ∴， 则四边形为矩形， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在和中， ∴ ， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理， ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4，    同理可证， ， ∴， 设，则，，，， 同理有 ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 20．（2026·河南新乡·一模）如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合折叠的性质以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 21．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 22．（2026·河南许昌·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形边长得出、对角线；再由折叠性质得，进而算出；最后将的周长转化为，代入数值计算得周长为． 【详解】解：∵已知正方形中，， ∴， 根据勾股定理，对角线 由折叠可知：， ∴，且， 的周长 因为， 所以， 因此周长． 23．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为坐标原点，为上一点，连接，将菱形沿折叠，点落在点处，交于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据菱形的性质以及勾股定理求出的长度以及相关角的度数，设，表示出相关线段的长度，证明，根据对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】解：如解图，过点作于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴由勾股定理得，， 由折叠的性质，得， 设，则， ∵， ， ∴， 即， 解得， ∴． ∴点的坐标为． 24．（2026·河南平顶山·一模）如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时，的长是（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，结合翻折的特点，找出线段之间的关系来求解的长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，． ∵点是对角线的中点， ∴是对角线，的交点． 由于沿翻折得到，点与点重合， ∴， ． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 根据旋转的性质求解 考点04 25．（2026·河南周口·一模）综合与实践 在中，，将绕点C按顺时针方向旋转（）得到． (1)【问题解决】 如图1，若，当点D落在边上时，连接，则与的数量关系是______． (2)【探究迁移】 如图2，连接，若，在旋转过程中，当点A，D，E在同一直线上时，过点C作，延长交线段于点N，求的值． (3)【拓展应用】 若，，，P为平面内一点，当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先得到，再证明，得到即可； （2）过点B作，交的延长线于点H，证明，推出，解，得到，进而得到，证明，得到即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 如图1，过点B作，交的延长线于点H， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：当以A，C，D，P为顶点且为边的四边形为平行四边形时，分两种情况： ①如图2，当点P在线段的下方时， 由旋转的性质可知． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵，即， ∴， ∴． 过点P作，交的延长线于点F，则， ∴， ∴，， ∴， 在中，； ②如图3，当点P在线段的上方时． ∵四边形为平行四边形， ∴． 由旋转的性质可知， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 过点P作于点F，则． 在中，， ∴， ∴． 在中， 综上所述，的长为或． 26．（2026·河南信阳·一模）等腰，在边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)观察猜想 如图1，，则________ ． (2)类比探究 如图2，，点F为中点，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用． 如图3，，过点D作交的延长线于G，连接．请直接用等式表示线段与的数量关系． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)，见解析． 【分析】（1）由旋转可得，，求出，利用三角形外角的定义求出，即可求解； （2）证明，得到，，再求出，即可得出结论； （3）先证明，得到，再证明，得到，根据是等腰直角三角形，得出答案． 【详解】（1）解： 由旋转可得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接CE， ，． ， 由旋转知， ， 即． ， ， ，， ， ∵点F为中点， ． （3）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ． 27．（2026·河南南阳·一模）九年级（1）班学生在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动． (1)【观察猜想】 如图1，是等边三角形，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出线段与线段的数量关系：____，_____； (2)【类比探究】 如图2，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． ①如图3，当点在线段上，且，时，以线段为边作等边三角形，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由； ②在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）证明得出，，进而求得； （2）根据菱形的性质以及，得出是等边三角形，证明，再证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上，记与交于点，证明，，根据相似三角形的性质结合已知可得；当在线段上时，延长交于点，同理可得，即可求解． 【详解】（1）解： 是等边三角形， ，，， 由旋转可得，，， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∴， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图，当在线段上，记与交于点， ∵四边形是菱形 ∴，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴ ∴ ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在线段上时，延长交于点 ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴； 28．（2026·河南南阳·一模）综合与实践 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 (1)如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________； (2)如图，在菱形中，，则下列各线段中，是线段的双关联线段的有________（填序号） ； ； ； ； ； (3)在等边中，点，分别在射线，射线上，且，连接，，与交于点． 如图，若点，分别在等边的边，边上，线段是线段的双关联线段吗？请说明理由． 在的结论下，将线段绕点顺时针旋转，得线段，连接；已知，．请按题目要求补全图形（不要求尺规作图），并且直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)； (3)线段是线段的双关联线段，理由见解析；画图见解析，或． 【分析】（）设，的交点为，由矩形性质可得，，又对角线与互为双关联线段，则，然后证明是等边三角形，则，最后通过角度和差即可求解； （）设，的交点为，根据菱形性质可得，，，然后证明是等边三角形，所以，可得，然后通过“双关联线段”逐一排除即可； （）先证明，则，，然后通过三角形可得，从而求证； 分当在上，在上时，当在延长线上，在延长线上时，两种情况，然后通过相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质即可求解， 【详解】（1）解：设，的交点为，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：设，的交点为，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 则∵，， ∴是线段的双关联线段，符合题意； ∵，， ∴是线段的双关联线段，符合题意； ∵，夹角不等于， ∴不是线段的双关联线段，不符合题意； ∵，， ∴是线段的双关联线段，符合题意； ∵， ∴不是线段的双关联线段，不符合题意； 故选：； （3）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是 ∵， ∴线段与线段是双关联线段； 解：当在上，在上时，如图， 由得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转性质可得：，， ∴， ∵线段与线段是双关联线段 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 当在延长线上，在延长线上时，如图， ∵线段与线段是双关联线段， ∵，， 由旋转性质可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上可得：线段的长为或． 29．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点．若，则的长为________． 【答案】或 【分析】过点作交于点，由旋转的性质可证，得，由，可得，由勾股定理可得出的长度，由点的位置不确定，故可做分类讨论，当点在点左右两侧时得出结果． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理， 解得， ∴， ∴； 当点在点右侧时，同理可得， ∴； 综上，的长为或． 30．（2026·河南·一模）如图，在中，，，平分，点P是上任一点（不与点A，O重合），过点P作交于点D，点E是上一点，且，连接，．将绕点E旋转得到，当点P，E，在同一直线上，且时，的长为__________． 【答案】或 【分析】过P作于G，在中根据勾股定理并结合已知求出、的长度，根据平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质求出的长度，根据角平分线的性质求出的长度，根据三角形内角和定理和等边对等角求出的长度，在中根据勾股定理求出的长度，然后分在的延长线上；在反向延长线上，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：过P作于G， ∵，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 当在的延长线上时，如上图， ， 当在反向延长线上时，如下图， ， 综上，的长为或． 31．（2026·河南商丘·一模）三角形的旋转是一种几何变换，它不仅能够帮助我们理解和分析图形的性质，还能够在解决实际问题时提供有效的思路和方法数学社团的同学以“直角三角形的旋转”为主题开展了一系列的探究活动． (1)操作判断：如图1，小组同学将绕点B顺时针旋转得到，连接，则的形状为____________． (2)深入探究：小组同学继续旋转，若，． ①如图2，当点D恰好落在的延长线上时，过点B作的垂线交于点F．求的面积． ②如图3，连接，取的中点M，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)①；②的最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据旋转的性质知为等腰直角三角形； （2）①过点D作的垂线交的延长线于点I，推出四边形为矩形，证得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； ②取的中点为T，连接，，推出在以T为圆心，1为半径的圆上，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质知：，， ∴为等腰直角三角形； （2）解：①过点D作的垂线交的延长线于点I， 由旋转的性质知：，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； ②取的中点为T，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴在以T为圆心，1为半径的圆上， 当M点在的延长线上时，的最大值为； 当M点在线段上时，的最小值为． 32．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，为内部一点，则到三个顶点之和的最小值是___________． 【答案】 【分析】将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点H、E、P、C共线时，有最小值． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即点P到三个顶点之和的最小值是． 33．（2026·河南平顶山·一模）如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则．根据正方形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，因此，证得，得到，，，根据勾股定理在中求出即可．②当点P在边上时，与①同理可求解． 【详解】解∶分两种情况讨论： ①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． ②当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，线段的长为或． 34．（2026·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，在轴正半轴上，，将边绕点逆时针旋转至处，连接，．若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，标记，，，由旋转，得，证明，设，则，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，标记，，，由旋转，得． ， ， ，， 又，， ， ． 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ，， ∵， ， 又， ． ． ，． ， ． 35．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 【答案】2 【分析】取的中点，连接，利用含角的直角三角形的性质，得出边的关系，证明，得出，确定当时，的值最小，即的值最小，然后利用平行线分线段成比例进行求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为2． 36．（2026·河南洛阳·一模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一个动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，．则线段长度的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接,证明，再根据勾股定理可知，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接, ∵, ∴, 在和中， ∴， ∴, ∵正方形中，O是边的中点， ∴, ∴, , ∵, ∴, ∴则线段长度的最小值为． 37．（2026·河南安阳·一模）几何综合 【方法尝试】 (1)如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：； 【类比迁移】 (2)如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，． 请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 当点，，在同一直线上时，求线段的长； 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)见解析； (2) ，，见解析；线段的长为或； (3)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）延长交于点，由四边形是矩形，则，通过旋转的性质可知，可得，从而求证； （）延长分别交于点，交于点，证明，所以 ，，从而求解； 分当点落在线段上时，当点在线段上时两种情况求解即可； （）过点作，使得 ，取的中点，连接，，，，证明，则，所以，由勾股定理得，又，从而可得最大值为，当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，再代入即可求解 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴； （2）解： ，，理由： 如图，延长分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，； 如图，当点落在线段上时，设， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴； 如图，当点在线段上时， 设，则，， ∵， ∴， 整理得，， ∴，（舍去）， ∴， ∴综上所述，线段的长为或； （3）解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即最大值为， ∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值， ∴． 38．（2026·河南新乡·一模）综合与实践 在四边形中，，点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，作射线． (1)【动手操作】 如图1，在边上截取，连接，则___________． (2)【深入探究】 ①在图2中找出与相等的角，并说明理由； ②若三点共线，设，求的长（用含的式子表示）． (3)【拓展应用】过点作，交直线于点，连接，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② (3)线段的长为或10 【分析】（1）证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）①先在上截取，证明，得到，进而求出和的度数，即可；②作，连接，根据勾股定理结合全等三角形的性质，得到，，证明四边形为矩形，得到三点共线，再证明，求出，再根据线段的和差关系求出即可； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可知：， ∵， ∴，，即， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作，连接， ∵， ∴，， 由①可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 作，在上截取，连接，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； ∴， 在中，， ∴； ②当点在线段的延长线上时，作，延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或10． 39．（2026·河南商丘·一模）如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①，证明见解析；②的值为或 【分析】（1）连接，证出即可； （2）①延长，交于点，先证出，再证出即可； ②设的两直角边长分别为，则，过点作于点，则四边形是矩形，再分两种情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接， ∵在中，，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： 如图2，延长，交于点， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②由题意，设的两直角边长分别为， 则， 由旋转的性质得：， 如图3，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （Ⅰ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； （Ⅱ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； 综上，的值为或． 40．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，已知点A的坐标为，将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第18次旋转后点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形性质，点的坐标，图形旋转性质等．先根据题意利用菱形性质求出点C的坐标，再根据旋转性质找出旋转规律，进而求出第18次旋转后点C的对应点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即， ∵菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环， ∴过点作轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴第一次旋转后，点的对应点坐标为， 同理：第二次旋转后，点的对应点坐标为， 第三次旋转后，点的对应点坐标为， 第四次旋转后，点的对应点坐标为，此时回到了点C的初始位置， ∵， ∴第18次旋转后点C的对应点的坐标对应的坐标，即， 故选：C． 41．（2026·河南焦作·一模）如图，的顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于点C，可推出，，则；由旋转的性质可得，则可得到三点共线，进而可得． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于点C，则， ∴，； ∴； ∵把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴． 42．（2026·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求的值； (2)将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为，连接，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入求解即可；（2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，计算出，再利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）反比例函数的图象过点， ； （2）如图，过点作轴于点， 则， ， ，， ， 将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为， ， ， ． 43．（2026·河南平顶山·一模）如图，在正方形中，点 P 为线段上一动点，作射线． (1)【问题解决】如图1，若点 P 与线段的中点重合，则 ，线段 与线段的位置关系是 ． (2)【问题探究】如图2，点E在线段上，在点 P 运动过程中，当 时，探究线段 与线段 的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在点 P 运动过程中，E为射线 上一点(不与点B 重合)，且 ，当 时，直接写出的值． 【答案】(1)45，； (2)，理由见详解； (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，结合等腰三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等腰直角三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）分两种情况：①记与边交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作，记与的延长线交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作，分别求解即可 【详解】（1）解：∵正方形中， ∴，， ∵点 P 与线段的中点重合， ∴，； （2）解：，理由如下： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①记与边交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴，即； ②记与的延长线交于点，把绕顺时针旋转得到，过点C作， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴，即； 综上：的值为或 相似三角形的判定与性质综合 考点05 44．（2026·河南周口·一模）定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”．如图，，，和为对角直角三角形（），O为的中点，与交于点M，与交于点N．若M为边的三等分点，则的长为______． 【答案】4或5 【分析】在中，解直角三角形得，过点O作于点P，作于点Q，根据、O为的中点得、是的中位线，从而得，，根据M为边的三等分点，分两种情况讨论，分别为和，分别证明，求出，根据计算即可． 【详解】解：在中，， 过点O作于点P，作于点Q， ∵，O为的中点， ∴，是的中位线，， ∴，， 分两种情况：①如图1，当时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，，， ∴， 同理易证得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为4或5． 45．（2026·河南·一模）如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 【答案】或 【分析】先根据折叠证明四边形是菱形，然后分类讨论，根据平行证明，再通过相似三角形的性质设未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∴， 当时，如图： ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得， ∵ ∴； 当时，如图： 同理可设，则 ∴， 解得， ∵ ∴， 综上：当是直角三角形时，的长为或． 46．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______． 【答案】或 【分析】先求出，然后分当时，当时两种情况，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ∵， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 综上所述，或． 47．（2026·河南·一模）如图，四边形是矩形，，，点E为射线上一动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，延长交于点G，直线与边所在直线交于点H． (1)如图1，当点F在边延长线上时，点F与点H重合，的长度为______． (2)如图2，求证：①；②． (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， 由折叠性质：， ∴，即． （2）证明：①由折叠的性质可知：， ∴点B，E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，且G为的中点， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴，即， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：第一种情况：当点H在的延长线上时，如图 此时， 在中， ，由勾股定理，得 ， 由（2）②知， ∴ 代入得： ， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴； 第二种情况：当点H在的延长线上时，如图 此时， 在中， ，由勾股定理： ， 由（2）②知， ∴， 代入得： 解得， ∵G在的延长线上， ∴， 由（2）①知， ∴， ， ∴ ； 综上所述， 的值为或． 48．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 49．（2026·河南·一模）解决下列问题 (1)如图1，在正方形中，点是边上一点，为延长线上一点，且，则线段与线段之间的数量关系是__________，位置关系是__________； 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，延长和的延长线相交于点．当时，求的长； 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形中，，点是边上一点，且，为延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 【分析】（1）延长交于点，结合正方形的性质利用证明，，证明即可； （2）延长交于点，证明，即可求出的长； （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或；①当时，过点作交于点，延长交延长线于点，结合菱形的性质得，，，令，，则，在中，利用勾股定理求得，在中求得．结合平行线得到和，求得和，进一步证明和，有求得，即可求得和，结合即可；②当时，，由①知和，则有和得到，求得和、，利用即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，如下图所示： 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，如下图所示： 在矩形中，，，， ∵，，， ∴，，， ∵由折叠得到， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当线段与射线所夹的锐角为时，则或； ①当时，过点作交于点，延长交延长线于点， 在菱形中，， ∴，，, ∵， ∴令，，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，， 由①知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 50．（2026·河南周口·一模）如图，点、、、在网格中小正方形的格点处，与相交于点，若小正方形的边长为1，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理和网格的特点求出的长，证明得到，则可得，据此可得答案． 【详解】解：由网格的特点可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 51．（2026·河南南阳·一模）数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． (1)上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． (2)【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． (3)【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2) (3)的长为或 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到； 根据矩形的性质，证明，得到． （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分类求解即可． 【详解】（1）①解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． （3）解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（1），知， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点， 如解图3，同理①，易得， ，， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 52．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质证明，得到，由，得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴． 53．（2026·河南洛阳·一模）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】(1) (2)①；②点Q是四边形的等垂点，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由可等垂四边形的定义可证明，即可进一步得到，从而可证明，同理可得，即可得出结论； （2）①先证明，可得，，即可得出结论； ②延长，相交于点E，先证明，得到，，可进一步证明，再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论； （3）当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解； 当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 矩形是可等垂四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①； 理由如下： 四边形是可等垂四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②点Q是四边形的等垂点； 证明：延长，相交于点E， ， ，， 点Q是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 点Q是四边形的等垂点； （3）解：或．理由如下： 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E， 设， 四边形是可等垂四边形， 且， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，； 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F， 设， ， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ，， ， 解得， ， 在中，； 【点睛】在第（2）小问中，利用中点倍长添加辅助线，构造全等三角形是常用的解题方法；第三小问中，作出符合条件的图形，是解这类图形变换问题的关键，同时还要注意分类解答． 54．（2026·河南洛阳·一模）综合与实践 【情境】用直角三角板在如图1所示的纸片（）中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）． 【操作】小云和君君尝试用不同方法解决问题． 小云的思路如下：如图2，过点作边上的高，即为裁剪线． 君君的思路如下：如图3． Ⅰ.在边上取一点，过点作，垂足为； Ⅱ.______，即，为裁剪线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)如图2，求证：； (2)君君的思路中，若点在上． ①请你在Ⅱ中的横线上补全内容，并在图3中补全图形； ②若，，求的长； 【应用】 (3)如图4，在四边形纸片中，，，，，．在边上找一点，连接，，若沿，裁剪出的与相似，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①过点作，垂足为，见解析；② (3)的长为或4或6 【分析】（1）根据题意可知，，得到，即可证得结论； （2）由题意可知过点M作，垂足为Q，易证四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，即可证得，然后根据相似三角形对应边成比例，进而求得答案； （3）分两种情况：①当；②，分别根据形似三角形对应边成比例列式即可． 【详解】（1）证明：∵过点作边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①根据题意，Ⅱ补全内容：过点M作，垂足为Q， 如图3补全图形即为所求： ②∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵，，， ∴， ①当时，则 即， 解得或6； ②当时，则 即， 解得； 综上所述，的长为或4或6． 55．（2026·河南洛阳·一模）如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则．设直线的解析式，求出、两点的横坐标，再利用证得三角形相似，结合的线段比例关系建立与的等式，最终推导出二者的数量关系． 【详解】解：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则． 设直线的解析式，点，的横坐标分别为，. ∵点在和上， ∴，解得， 同理，． ∵， ∴， ∴， 即，化简得． 故选：D． 56．（2026·河南焦作·一模）如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，对角线和交于点F，，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得且，进而证得，利用相似比求出与的关系；结合的长求出的长；再利用角平分线和平行线的性质证得 为等腰三角形，即，从而得出答案． 【详解】解：四边形 是平行四边形 ， ， ， ， 设，则， ， ， 又， ，解得， ， 平分， ， ， ， ， ． 57．（2026·河南许昌·一模）如图，平行四边形，是的中点，相交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到∽，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：∵平行四边形，是的中点， ∴，， ∴∽， ∴． 利用相似三角形的性质求解 考点06 58．（2026·河南商丘·一模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积为，根据三角形中位线定理得到，相似比为，的面积为，的面积为，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，过C点作， ∵是等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， ∵的面积为， ∴的面积为， 同理，的面积为， 则的面积为． 59．（2026·河南洛阳·一模）根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．(保留作图痕迹，不写作法) (1)如图1，点，，都在格点上，在网格中求作，使得与是以点为位似中心，相似比为2的一对位似图形； (2)根据（1）中所作图形，可得______； (3)如图2，点，都在格点上．在上求作一点，使得． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)作图见解析 【分析】（1）根据位似图形的定义，以点为位似中心，将的边、分别延长至原来的2倍，得到对应点、，连接两点即可得到符合要求的位似图形； （2）位似图形属于相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方，据此可直接计算面积比； （3）利用相似三角形的性质，在网格中构造比例为的平行线段，构造相似三角形，通过连线找到上的分点． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：与是位似图形，相似比为， ． （3）解：如图，点即为所求： 60．（2026·河南郑州·一模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，的面积为3，则的面积为______． 【答案】12 【分析】由三角形位似的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴这两个的相似比为， 则的面积是的面积的， ∴的面积为． 61．（2026·河南周口·一模）如图，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 相似三角形的实际应用 考点07 62．（2026·河南周口·一模）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于年月，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼，被誉为“中原第一大阁楼”．淇淇在物理课上学过《光的反射定律》，她想利用光的反射定律测量茗阳阁的高度．于是把“测量茗阳阁的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量茗阳阁的高度 实物图和测量示意图 测量过程 ①在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上点处，此时，从平面镜中刚好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；②将平面镜从点处沿向后移动到点处，站在点处又恰好看到茗阳阁顶端，测量两点间的距离；③，为眼睛到地面的距离 测量数据 米，米，米，米 备注 点在同一条直线上，图上所有点均在同一平面内，，，，，均与地面垂直 根据活动报告，求茗阳阁的高度． 【答案】米 【分析】设米，得米，由可得米，进而根据求出的值即可求解． 【详解】解：设米， ∵米，点在同一条直线上， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴ 解得， ∴米， 答：茗阳阁的高度为米． 63．（2026·河南·一模）阅读下表中的测量方法，回答下列问题． 活动主题 利用一副三角板和平面镜测量校园外居民楼的高度 实物图和测量示意图    测量说明 1．将平面镜做标记后平放在地面点O处． 2．学生（身高，眼睛高度约为）移动至点手持三角板，一条直角边平行地面（水平），另一条竖直向上，调整头部使“眼睛—斜边—平面镜中居民楼顶端”共线（视线与地面夹角为），且、、（居民楼底部）三点共线． 3．将平面镜向后平移到点，人后退到点此时手持三角板，一条直角边平行地面（水平），另一条竖直向上，斜边朝平面镜，调整头部让“眼睛—斜边—平面镜中居民楼顶端”共线（视线与地面夹角为）测出两次镜子间距离． 测量数据 眼睛到地面距离，两次镜子间距离． (1)请你根据上面的活动求出居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：，） (2)活动后说出一条减小误差的方法． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设高为，证明，根据，得出，同理可得，得出，则，根据，解方程，即可求解； （2）根据多次测量取平均数减小误差，即可求解． 【详解】（1）解：设高为，由题意知， 由光的反射原理得， ∴ ∵， ∴． ∴． 同理可得． ∵， ∴． ∴ ∵， ∴，解得． 答：居民楼的高度约为 （2）答案不唯一，例如：多次测量取平均数，等等． 64．（2026·河南三门峡·一模）宝严寺塔位于河南省驻马店市，是研究宋塔建筑风格和佛教文化的实物资料，被誉为中原地区宋塔“活化石”．某校数学实践小组利用所学数学知识测量宝严寺塔的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量宝严寺塔的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上 测量 示意图       测量 数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 请从上述两种方案中选择一种，根据测量数据，求出宝严寺塔的高度（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】选择“方案一”时，利用相似三角形的性质计算即可；选择“方案二”时，设，结合三角函数列式求解即可． 【详解】解：选择“方案一”． 由题意，得． ∴， ∵，，， ∴， 答：宝严寺塔的高度约为． 选择“方案二”． 由题意，知． ∵， ∴． 设， 则． 在中，，， 即， 解得． ∴． 答：宝严寺塔的高度约为． 65．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 【答案】19米 【分析】根据垂直的定义可得，再结合可证明，可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：焦裕禄纪念碑的高度AB为19米． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $