专题14 解答压轴题（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14解答压轴题 1.(2026河南洛阳一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-4,0)和B(1,-5) B (1)求该抛物线的解析式. (2)将线段OA平移，平移后对应点O和A都落在拋抛物线上，求点A'的坐标。 (3)当t≤x≤t+2时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为-5，请直接写出t的值. 2.(2026郑州一模)在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是2：1的矩形，例如我们的课本 封面、A打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形 【操作判断】 如图1，已知矩形ABCD是一个标准矩形，其中AB=2BC=2,M,N分别是AB,CD的中点，连接 MN. M M B M 图1 图2 图3 (1)矩形BCNM 标准矩形（填“是”或“不是”） 【深入探究】 将矩形BCNM绕点B顺时针旋转得到矩形BC'N'M, (2)如图2，当MN恰好经过点C时，旋转角∠MBM的度数是 线段CN的长是 (3)如图3，当矩形BCNM在平面内绕点B旋转时，连接CC,NN,直线CC与线段NN交于点 E,猜想NE与NE的数量关系，并证明. 【拓展应用】 (4)在矩形BCNM旋转过程中，当A,M',N三点共线时，请直接写出线段CE的长. 1/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3. (2026河南一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP 上的一点（点E与点B不重合）· 4 D O(P 图① 图② 备用图 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=(度，线段BP与线段AC的位置关系是_： 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线 段EC的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. 4.(2026河南洛阳一模)在学习特殊四边形的过程中.同学们积累了一定的研究经验。 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究. 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可 等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点. 例如：在四边形ABCD中，边AD上存在一点O,使得OB=OC且OB⊥OC,则四边形ABCD是可等垂 四边形，点O为四边形ABCD的等垂点. 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质. 【初步探索】 B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，矩形ABCD是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则AB和AD的数量关系是 【类比探究】 (2)如图2，四边形ABCD是可等垂四边形，且AB‖CD,∠D=90°，点P是它的等垂点. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①四边形ABCD的边AB,CD和AD之间的数量关系是 ②在图2中取BC边的中点Q,并连接QA,QD,则点Q是四边形ABCD的等垂点吗？如果是，请证明： 如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）· 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ADP中，AP=2,AD=3,∠DAP=90°，点B,C为Rt△ADP中不同边上的两点， 且点B为所在边的中点，若以A,B,C,D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C,D两点之间 的距离. 5.(2026河南周口一模)若把含30°、45°的三角板按照如图1的方式摆放，得到如图2所示的四边形 ABCD,过四边形ABCD的顶点B作BE垂直于AD,垂足为点E,过点C作CF垂直于BE,垂足为点F, 直线BE与直线AC交于点G. 图1 图2 图3 (1)若BC=1,则AE+CF=U (2)用等式表示CF、AE、BC的数量关系，说明理由： (3)把两个三角板按照图3的方式摆放，请在图3中依据题意补全图形（无需尺规作图），直接写出GF的 值 6.(2026河南一模)解决下列问题 D R 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF,则线段BE与线 段DF之间的数量关系是 ,位置关系是 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=15,AD=20,点E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG, 延长DG和BC的延长线相交于点F.当CE=2DE时，求CF的长： 3/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E是CD边上一点，且DE=2CE,F为BC延长线上一点， 连接DF交射线BE于点G,当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，请直接写 DG的值， D 7.(2026河南安阳一模)【问题解决】 (1)如图1，在等边三角形ABC中，点D,E分别在AC,BC边上，AE,BD交于点F,且AD=CE 则线段AE,BD的数量关系为 ,∠BFE的度数为. 【类比迁移】 (2)如图2，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D,E分别在AC,BC边上，AE,BD交于 点F,且CE=V2AD ①判断线段AE,BD之间的数量关系并说明理由； ②求∠BFE的度数. 【拓展探究】 (3)如图3，△ABC是等腰直角三角形，AB=2,若点D是边AC上一动点，点E是射线CB上一动点， 在(2)的条件下，当动点D沿AC边从点A移动到点C(可以与点C重合)时，直接写出运动过程中CF 长的最大值和最小值。 图1 图2 图3 8. (2026·河南周口·一模)如图，线段BC⊥BQ,BC=BQ,点A为线段BQ上一动点，以AB,BC为边 作矩形ABCD中，沿对角线AC翻折△ABC得到△AEC,连接BE,DE,BE与AC交于点F, 图1 图2 (1)如图1，求证：DE⊥BE 4/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图1，当BE=DE时，求AE的值。 BE (3)如图2，若BC=8,在点A从点B向点Q的运动过程中，当△AED中有一个角是15时，直接写出此时 线段EF中点运动的路径长 9.(2026河南周口·一模)如图，已知四边形ABCD是边长为a的菱形，E为AD上异于点A,D的一动点， 点F在CD上，△警（是等边三角形，G为BE的中点，连接AG并延长，与BC交于点H,连接AF. B (I)证明：FG垂直平分AH. (2)随着。和点E位置的改变，S△ABm+S△AD的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由. S菱形ABCD (3)当a=3+5时，若S四边形GHcF=2 SAABG,直接写出DE的长. 5/6 专题14 解答压轴题 1．（2026·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）设，由可知，再将代入函数解析式求解即可； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：设， ， ， ， 点落在抛物线上， ， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴是直线， 若，即， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 若，即， 当时，二次函数的最小值为，不合题意，舍去； 若， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 综上所述，t的值为或1． 【点睛】此类问题通常要根据对称轴与、t的不同位置进行分类讨论． 2．（2026·郑州·一模）在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形 【操作判断】 如图1，已知矩形是一个标准矩形，其中，M，N分别是，的中点，连接． （1）矩形_________标准矩形（填“是”或“不是”） 【深入探究】 将矩形绕点B顺时针旋转得到矩形， （2）如图2，当恰好经过点C时，旋转角的度数是_________，线段的长是_________． （3）如图3，当矩形在平面内绕点B旋转时，连接，，直线与线段交于点E，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形旋转过程中，当A，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）是；（2）；（3），证明见解析；（4）或． 【分析】（1）先求出、的长，再根据标准矩形的定义判断即可； （2）当恰好经过点C时，在中，根据，用，可得出 ，即可求出旋转角，用线段和和差即可求出； （3）解法一：如图1，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，由旋转的性质，可知，，，证明，得，，最后证明，即可得； 解法二：如图2，过点作，交的延长线于点，由旋转可知，，，证明，即可得；（4）①如图3，当点在线段上时，由，得，进而得，连接，，则，证明是等边三角形，求得，由（3）可知，，证明是等边三角形，过点作于，求出，进而可得，，在中，由勾股定理求出，用线段的和差可求；②如图4，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点，同理可得是等边三角形，同法可求． 【详解】（1）解： ， ， M，N分别是，的中点， ， ， 矩形是标准矩形， 故答案为：是； （2）解：当恰好经过点C时， 中，， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：解法一：如图1，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ； 解法二：如图2，过点作，交的延长线于点， ， 由旋转可知，，， ， ，， ， ， ， ， ， ； （4）解：①如图3，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（3）可知，，` ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图4，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查三角形综合题、矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、等边三角形的性质和判定、三角形全等、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考压轴题． 3．（2026·河南·一模）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 4．（2026·河南洛阳·一模）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】(1) (2)①；②点Q是四边形的等垂点，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由可等垂四边形的定义可证明，即可进一步得到，从而可证明，同理可得，即可得出结论； （2）①先证明，可得，，即可得出结论； ②延长，相交于点E，先证明，得到，，可进一步证明，再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论； （3）当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解； 当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 矩形是可等垂四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①； 理由如下： 四边形是可等垂四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②点Q是四边形的等垂点； 证明：延长，相交于点E， ， ，， 点Q是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 点Q是四边形的等垂点； （3）解：或．理由如下： 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E， 设， 四边形是可等垂四边形， 且， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，； 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F， 设， ， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ，， ， 解得， ， 在中，； 【点睛】在第（2）小问中，利用中点倍长添加辅助线，构造全等三角形是常用的解题方法；第三小问中，作出符合条件的图形，是解这类图形变换问题的关键，同时还要注意分类解答． 5．（2026·河南周口·一模）若把含、的三角板按照如图1的方式摆放，得到如图2所示的四边形，过四边形的顶点作垂直于，垂足为点，过点作垂直于，垂足为点，直线与直线交于点． (1)若，则___________； (2)用等式表示、、的数量关系，说明理由； (3)把两个三角板按照图3的方式摆放，请在图3中依据题意补全图形（无需尺规作图），直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，结合题意可得是等腰直角三角形，四边形是矩形，由此即可求解； （2）计算方法同（1）； （3）根据题意作图即可，设，则，，证明，设，则，，，结合题意，由此得到，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下， ∵是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴，即； （3）解：根据题意，作图如下， 设，则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴ ． 6．（2026·河南·一模）解决下列问题 (1)如图1，在正方形中，点是边上一点，为延长线上一点，且，则线段与线段之间的数量关系是__________，位置关系是__________； 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，延长和的延长线相交于点．当时，求的长； 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形中，，点是边上一点，且，为延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 【分析】（1）延长交于点，结合正方形的性质利用证明，，证明即可； （2）延长交于点，证明，即可求出的长； （3）当线段与射线所夹的锐角为时，则或；①当时，过点作交于点，延长交延长线于点，结合菱形的性质得，，，令，，则，在中，利用勾股定理求得，在中求得．结合平行线得到和，求得和，进一步证明和，有求得，即可求得和，结合即可；②当时，，由①知和，则有和得到，求得和、，利用即可． 【详解】（1）证明：延长交于点，如下图所示： 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，如下图所示： 在矩形中，，，， ∵，，， ∴，，， ∵由折叠得到， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当线段与射线所夹的锐角为时，则或； ①当时，过点作交于点，延长交延长线于点， 在菱形中，， ∴，，, ∵， ∴令，，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，， 由①知，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 7．（2026·河南安阳·一模）【问题解决】 （1）如图1，在等边三角形中，点D，E分别在，边上，，交于点F，且．则线段，的数量关系为________，的度数为________； 【类比迁移】 （2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且． ①判断线段，之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点D是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）①，理由见解析；②；（3）长的最小值为，最大值为4． 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）①证明，得出，，②结合（1）的结论即可求解； （3）由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）①，理由如下： ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，即． ∴， ∴． ∴，，即； ②由①得：， ∴； （3）长的最小值为，最大值为．理由如下： ∵， ∴， 如图，作，则， ∴四点在同一个圆上，记为，连接， ∴，， ∵， ∴． 连接．当点在线段上时，取得最小值， 此时． ∵，， ∴， ∴． ∴长的最小值为． 当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值． 如图所示，同理可得． ∴长的最大值为4． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 8．（2026·河南周口·一模）如图，线段，，点为线段上一动点，以为边作矩形中，沿对角线翻折得到，连接与交于点． (1)如图1，求证：． (2)如图1，当时，求的值． (3)如图2，若，在点从点向点的运动过程中，当中有一个角是时，直接写出此时线段中点运动的路径长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由对折可得： 是的垂直平分线，可得，，如图，记的交点为，结合矩形的性质，等腰三角形的性质证明，可得，而，可得； （2）如图，连接交于，结合矩形，可得，证明，设，再进一步求解即可； （3）如图，当时， 求解，，记的中点为，过作交的延长线于，证明在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，如图，结合（1）得：，求解，，当不符合题意，舍去；进一步结合弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：由对折可得：，，， ∴是的垂直平分线， ∴，， 如图，记的交点为， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴． （2）解：如图，连接交于，结合矩形， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当时， ∵， ∴， 结合翻折可得：，，， ∴，， 记的中点为，过作交的延长线于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴， ∴线段中点运动的路径长为； 当时，如图， 结合（1）得：， 同理：， ∴，， ∴线段中点运动的路径长为； 当不符合题意，舍去； 综上：线段中点运动的路径长为或． 9．（2026·河南周口·一模）如图，已知四边形是边长为的菱形，为上异于点的一动点，点在上，是等边三角形，为的中点，连接并延长，与交于点，连接． (1)证明：垂直平分． (2)随着和点位置的改变，的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． (3)当时，若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)的值不随和点位置的变化而变化， (3) 【分析】（1）首先证明，可得，连接，再证明，可得，利用等腰三角形三线合一即可证明； （2）首先证明，可得，则，由菱形可得，即可得，不随和点位置的变化而变化； （3）连接，，先证明，可得，再由为的中点，可得，由，则，从而，可得，再证明∽，可得，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，，， ∴，， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分． （2）解：的值不随和点位置的变化而变化． 由（1）可知，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，， 由（1）可知，， ∵四边形为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与都可以看作以为底，点在上， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∽， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $