专题13 统计与概率（6大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题13 统计与概率 6大考点概览 考点01判断全面调查与抽样调查 考点02数据的收集与整理 考点03数据的集中趋势 考点04数据的波动程度 考点05用列举法求概率 考点06用频率估计概率 判断全面调查与抽样调查 考点01 1．（2026·河南信阳·一模）下列调查中适合采用全面调查的是（   ） A．调查一箱苹果的甜度情况 B．调查某品牌手机屏幕的抗摔能力 C．调查某市初中同学周末使用手机时长的情况 D．调查年级班男生引体向上成绩情况 【答案】D 【分析】根据全面调查的适用条件判断，全面调查适合调查范围小，无破坏性，易操作的调查，反之则适合抽样调查． 【详解】解：由于全面调查适用于调查范围小，无破坏性，便于统计的调查， 、选项中调查苹果甜度的过程具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； 、选项中测试手机屏幕抗摔能力具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； 、选项中调查某市初中生的情况范围广，人数多，适合抽样调查，不符合题意； 、选项中调查年级班男生引体向上成绩，范围小，人数少，便于全面统计，适合全面调查，符合题意． 2．（2026·河南周口·一模）下面的调查中，最适合用普查的是（   ） A．了解某款新能源汽车的电池的使用寿命 B．了解某校八（1）班全体学生的体重 C．了解我市全体初中生每周做家务的时间 D．了解黄河中鱼的总质量 【答案】B 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，适合普查的调查特征为，范围小，无破坏性，易操作，结果要求精准，范围过大或具有破坏性的调查更适合抽样调查，据此判断选项即可． 【详解】解：根据普查适用条件判断： 选项A中，调查新能源汽车电池使用寿命具有破坏性，不适合普查，不符合题意； 选项B中，某校八（）班全体学生人数少，范围小，易开展全面调查，符合题意； 选项C中，我市全体初中生数量大，调查范围广，不适合普查，不符合题意； 选项D中，黄河中鱼的数量多，调查操作难度大，不适合普查，不符合题意； 故选：B． 3．（2026·河南周口·一模）下列调查中，适宜采用普查方式的是（   ） A．了解一批超高音速导弹的使用寿命 B．考察全国人民保护国家安全的意识 C．了解军事训练中几个打击目标的坐标 D．了解全国小学生的身体健康状况 【答案】C 【分析】普查适用于调查对象数量少、要求结果准确且调查无破坏性的情况，抽样调查适用于调查范围广、对象数量大或调查具有破坏性的情况，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．了解一批超高音速导弹的使用寿命，调查具有破坏性，不适宜普查； B．考察全国人民保护国家安全的意识，调查范围广对象数量多，不适宜普查； C．了解军事训练中几个打击目标的坐标，调查对象数量少，要求结果准确，适宜普查； D．了解全国小学生的身体健康状况，调查范围广对象数量多，不适宜普查． 4．（2026·河南洛阳·一模）下面调查统计中，适合采用普查方式的是（    ） A．了解某爆款商品的受众群体的收入情况 B．了解某市学生观看春节档电影的情况 C．了解郑州市民对2026年总台春晚的喜爱程度 D．了解春晚节目《武》中型人形机器人的所有零件情况 【答案】D 【详解】解：A选项，某爆款商品受众群体数量大，范围广，适合抽样调查，不符合要求； B选项，某市学生数量多，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求； C选项，郑州市民数量多，调查范围广，适合抽样调查，不符合要求； D选项，机器人每个零件都关乎整体性能，对精度要求高，需要逐一检查，适合普查，符合要求． 5．（2026·河南驻马店·一模）下列说法中正确的是（   ） A．为了解驻马店市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃”是必然事件 C．一组数据3，5，7，9，10，13的样本容量是6 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【分析】本题考查统计相关基础概念，涉及全面调查与抽样调查的选择，事件的分类，样本容量的定义，抽样调查的特点，根据对应知识点逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，驻马店市中学生人数较多，调查工作量大，适合采用抽样调查，因此A错误； 对于选项B，“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃A”可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件，因此B错误； 对于选项C，样本容量是指样本中个体的数目，该组数据共有6个数据，因此样本容量是6，因此C正确； 对于选项D，在抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计越准确，样本容量越小估计越不准确，因此D错误． 数据的收集与整理 考点02 6．（2026·河南·一模）某校八年级学生会主席小伟，为更好地了解本年级同学们参加体育活动情况，随机抽样调查了本年级50名学生最喜欢的体育活动，根据调查结果，绘制出了扇形统计图，如图所示．若八年级有600名学生，则估计该年级喜欢打乒乓球的学生有______人 【答案】105 【分析】根据用样本估计总体，用600乘以喜欢打乒乓球所占百分比计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 7．（2026·河南新乡·一模）某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 【答案】(1)1000，32； (2)补图见解析； (3)7600人． 【分析】（）由A组人数及其所占百分比可得样本容量，用C组人数除以总人数，求出C组人数所占百分比，即可解答； （）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，即可补全图形； （）用总人数乘以样本中组人数和所占比例即可； 【详解】（1）解：抽样调查的总人数是(人)， ， 故答案为：1000，32； （2）解：组的频数为， 补全频数分布直方图如图所示； （3）解：（人）， 答：该市每周课外阅读时长不少于小时的初中学生人数约为7600人． 8．（2026·河南许昌·一模）某地区九年级共有3000名男生，为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 8 70 17 5 根据以上信息，估计该地区九年级3000名男生中等级为正常的人数是（   ） A．1500 B．2100 C．2200 D．2400 【答案】B 【分析】用3000乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解． 【详解】解：估计该地区九年级3000名男生中等级为正常的人数是（人）． 9．（2026·河南信阳·一模）某小区物业为了解小区四月份家庭用水情况，随机调查了40户家庭，并对每户的用水量(单位：)进行收集、整理、描述和分析，过程如下： 【收集数据】随机调查的40户家庭的用水量(单位：m3)如下：                                                                            【整理并描述数据】列出用水量频数分布表，并绘制用水量频数分布直方图： 用水量频数分布表 用水量/ 频数 【分析数据】 40户家庭用水量的平均数、中位数及众数(单位：)如下表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表中a的值为 ． (2)为了鼓励节约用水，小区物业计划确定一个用水量的标准，对四月份用水量不超过这个标准的家庭给予奖励． ①如果家庭用水量的标准定为 ，已知该小区共户家庭，请估计获奖家庭有多少户； ②要使小区一半左右的家庭获奖，你认为用四月份用水量的平均数、中位数和众数中的哪个量作为标准合适？请说明理由． 【答案】(1) (2)①户，②中位数，理由见解析 【分析】（1）根据中位数的定义，即可求解； （2）①用四月份用水量不超过 的家庭户数的占比乘以即可求解； ②根据中位数的意义分析，即可求解． 【详解】（1）解：根据用水量频数分布表可知，中位数为这组数据的第和第个数据的平均数， 将的数据从小到大重新排列为： ，，，，，，，，，， 所以40户家庭用水量的中位数． （2）解：① 户． 答：估计获奖家庭有户． ②中位数，理由如下： 因为从样本情况看，四月份用水量不超过 (中位数)的有户，占被调查家庭数量的一半，可以估计，如果用四月份用水量的中位数作为标准，将有一半左右的家庭获奖． 10．（2026·河南洛阳·一模）每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______，______； (2)直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， (4)若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 【答案】(1)50，32 (2)见解析 (3) (4)每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名 【分析】（1）用A的人数除以占比即可求出样本容量；用B的人数除以样本容量即可求出n； （2）用样本容量乘以D的占比求出D的人数，然后求出C的人数，然后补全统计图； （3）用乘以C的占比即可求出对应扇形的圆心角； （4）用2000乘以C和D的占比即可求解． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是； ∴； （2）解：D的人数为（人） ∴C的人数为（人） 补全条形统计图如下： （3）解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为； （4）解：（名）． 答：每周阅读时长不少于3小时的学生约有1040名． 11．（2026·河南信阳·一模）信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 【答案】(1) (2)甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种 (3)株数约625株 【分析】本题考查的是数据的整理，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据甲、乙种稻高的表格，即可直接得到、的值，以及甲种水稻的中位数，乙种水稻的众数； （2）根据方差的意义作出判断； （3）根据频数分布直方图得到乙种稻高在的占比，再利用总数乘以其占比，即可解题． 【详解】（1）解：由表可知：甲种稻高在的有，故； 甲种稻高在的有，故； 将甲种稻高从小到大排列得，故中位数为； 乙种稻高最多，为5次，故乙种水稻的众数是； （2）解：∵甲种水稻高的方差大于乙种水稻高的方差， ∴甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种； （3）解：由频数分布直方图可知，随机抽取株乙种水稻中，稻高在的有株， ∴若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株， 估计稻高在（单位：）的株数约为（株）． 12．（2026·河南平顶山·一模）每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了m名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理、描述、分析，部分信息如下．分为5组：①组：；②组：；③组：；④组：；⑤组：． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)填空：_______，这m名学生视力的中位数落在第_______组； (2)补全频数统计图； (3)该校八年级共有600名学生． ①该校八年级学生的视力在范围内的人数约为_______名； ②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数320人．请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并提一条保护学生视力的合理化建议． 【答案】(1)40；③ (2)见解析 (3)①240；②今年学生视力在范围内的人数相比去年减少较多，建议见解析 【分析】（1）用第③组的人数除以其人数占比可求出m的值，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据（1）所求求出第④组的人数，进而补全统计图即可； （3）①用600乘以样本中视力在范围内的人数占比即可得到答案；②比较数据发现今年学生视力在范围内的人数相比去年减少较多，据此提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴第②组的人数为名， 把这40名学生的视力按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平均数， ∵， ∴第20个数据和第21个数据都在第③组， ∴这m名学生视力的中位数落在第③组； （2）解：由（1）得第②组的人数为8名， ∴第④组的人数为（名）， 补全统计图如下： （3）解：①（名）， ∴该校八年级学生的视力在范围内的人数约为240名； ②∵， ∴今年视力在范围内的人数相比去年减少较多， 建议：读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；保证充足的睡眠，饮食均衡；减少电子产品的使用（合理即可）． 13．（2026·河南·一模）在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了初赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解初赛的成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 20 60 m 30 频率 0.05 0.1 0.3 0.4 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)请直接补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和2名女生的初赛成绩都为100分，若从这4名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)80   (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出抽查的人数，再进行计算即可； （2）根据人数将频数分布直方图补全即可； （3）根据列表法列出表格，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：抽查的人数：， 人， ； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：设2名男生分别为男1、男2，2名女生分别为女1、女2，列表如下． 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 由表格可知，从4人中随机抽2人，共有12种等可能结果（考虑顺序），其中“1名男生和1名女生”的结果有8种 抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 14．（2026·河南驻马店·一模）2026年理化生考试前夕，学校为了解九年级学生的理化生实验情况，随机抽取1班、2班各20名同学进行调查，并将其笔试成绩（满分100分）和操作成绩（满分30分）进行整理． ①笔试成绩 成绩/分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班的20名学生的笔试成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 2班的20名学生的笔试成绩在“良好”等级的数据是：81，82，84，87，88，89． ②操作成绩 成绩分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班和2班所抽取的学生的笔试成绩和操作成绩统计表 班级 笔试成绩平均数 笔试成绩中位数 笔试成绩众数 操作成绩平均数 1班 85 86 26.2 2班 85 79 25.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上面图表中________，________，________． (2)根据以上信息，你认为1班和2班哪个班级的学生理化生实验的成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)86，40，87.5； (2)1班更好，理由见解析． 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）根据表格及题意可直接进行求解； （2）比较平均数、众数、中位数即可得出结论． 【详解】（1）解：1班20名学生的笔试成绩中86的频数最多，故众数， ，即， 2班“优秀”的人数为：（人）， 将2班笔试成绩按从小到大排列，排在中间的两个数分别是， ∴中位数， 故答案为：86，40，87.5； （2）答：两个班笔试成绩的平均数相同，1班操作成绩的平均数（分）高于2班（ 分），说明1班操作整体水平更高，因此1班理化生实验的整体成绩更好． 15．（2026·河南郑州·一模）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能B．人工智能机器人 C．语音类人工智能D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 0.25 C．语音类人工智能 28 D．视觉类人工智能 24 0.3 (1)填空：___________，___________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为___________； (2)若该中学共有900名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有___________人； (3)已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】(1)；；； (2)225； (3) 【分析】（1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用900乘以B的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为（人）， ∴，， C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角， 故答案为：；；； （2）解：（人）； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 16．（2026·河南郑州·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）                          整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组； Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 【答案】(1)见解析，4.65 (2)Ⅰ (3)②区叶片发育品质更优，见解析 【分析】（1）根据题意及①区样本数据频数分布直方图提供的数据求出C组对应的样本数据，再画图即可；找到②区样本数据频数分布直方图提供的数据及对应组内每片叶片的长度x的中间值，代入平均数计算公式计算平均数即可； （2）根据①、②区样本数据频数分布直方图提供的数据逐一分析即可； （3）根据题意分别求出①、②区“优质发育叶片”所占比例，然后，再进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意知，C组对应样本数据为，故补全的频数分布直方图如图所示； ②区样本数据的平均数为； （2）解：分别从①、②区样本数据频数分布图中看出第90片和第91片样本数据均落在C组，故①、②区样本数据的中位数在C组，Ⅰ正确； 根据图表提供的信息不能确定两区样本数据的中位数的具体数值，故Ⅱ不一定正确； 综上，故选：Ⅰ； （3）解：②区叶片发育品质更优． 理由：①区“优质发育叶片”所占比例为；②区“优质发育叶片”所占比例为，②区比例高于①区，故②区叶片发育品质更优． 17．（2026·河南周口·一模）9月7日，2025年河南省中小学“开学第一课”安全教育活动在全省上下全面展开，为了提高同学们的安全意识，某校组织七、八年级学生开展了以“人人讲安全个个会应急”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试．调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（记为，单位：分，分数为整数），并对这些数据分别进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩扇形图如图； b．如图中，部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89． c．相关统计量如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 79 78 79 八年级 80 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次调查中八年级的样本容量为___________，表中___________； (2)结合相关统计量，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好？请说明理由； (3)为了提高学生学习安全知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励．已知该校八年级的学生人数为400，请估计八年级学生中可以获得奖励的人数． 【答案】(1)20，82 (2)八年级的学生此次测试的成绩更好，理由见解析 (3)100人 【分析】本题考查了样本容量，中位数，利用中位数，众数作决策，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意以及观察扇形数据，运用八年级的部分的人数除以占比，得出八年级的样本容量为，再结合中位数的定义进行分析，即可作答． （2）比较数据：，即从平均数、中位数和众数上看，八年级学生的测试成绩都高于七年级，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即此次调查中八年级的样本容量为， ∴八年级的成绩按低到高进行排列，中位数位于第名之间， 则， 故第名的成绩分别是81分，83分， ∴表中中位数， （2）解：由（1）得， 八年级的学生此次测试的成绩更好． 理由如下： ∵ 即从平均数、中位数和众数上看，八年级学生的测试成绩都高于七年级， ∴八年级的学生此次测试的成绩更好． （3）解：依题意，（人）． 答：估计八年级学生中可以获得奖励的人数为100人． 18．（2026·河南焦作·一模）应用已深入我们的生活．为了解甲、乙两款软件对同学们学习的帮助，学校数学兴趣小组从使用甲、乙两款软件的同学中各随机抽取人，记录使用者对两款软件“及时反馈”和“能力拓展”两项功能的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： ．及时反馈（满分10分）　．能力拓展（满分10分） ．及时反馈和能力拓展得分统计表 软件 统计量 项目 及时反馈得分 能力拓展得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 (1)表格中______，______； (2)若学校共有人使用甲款软件，请估计对本款软件能力拓展打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量并结合自己的实际情况，你认为哪款软件更适合自己使用？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)甲，理由见解析 【分析】（1）根据平均数、众数的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：， 甲组数据中出现的次数最多，故众数， （2）解：（人）， 估计对本款软件能力拓展打分超过7分的人数约为人； （3）解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 能力拓展得分的平均数甲高于乙， 甲款软件使用效果更好． 19．（2026·河南平顶山·一模）随着人工智能技术的迅猛发展，聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下． ①甲款聊天机器人评分数据：7，8，7，，7，6，6，8，，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6． ②乙款聊天机器人评分条形统计图． ③甲、乙两款聊天机器人评分统计表． 平均数 众数 中位数 特别满意所占百分比 甲款      a           乙款      8 b c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中的 (2)你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由． (3)在此次调查中，各有人对甲、乙两款聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数． 【答案】(1)8，7.5， (2)乙款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析 (3)此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数是人 【分析】（1）根据众数，中位数的定义分别求出，统计乙款9 分及以上的数据个数，利用求百分比的公式计算即可； （2）分别从表格所给的四个方面进行比较分析即可； （3）利用样本中的特别满意的百分比估计总体的百分比，分别求出两款机器人特别满意的人数，然后相加即可． 【详解】（1）解：甲款聊天机器人评分数据中出现次数最多的是 8 分，故 ； 乙款聊天机器人评分数据共个数据，中位数为第个数的平均数，排序后第 个数分别为 7和8，故； 特别满意为 9 分及以上，乙款共人，故； （2）解：乙款 AI 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 两款机器人平均数和中位数相同，但乙款的众数高于甲款，说明乙款评分整体更集中在高分段；乙款特别满意所占百分比高于甲款，说明更多用户对乙款给出了极高评价； （3）解：甲款特别满意人数估计：（人） ， 乙款特别满意人数估计： （人）， 总人数：（人）． 答：此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数是人． 20．（2026·河南周口·一模）2025年可以说是应用落地元年，字节跳动、腾讯、阿里等公司相继推出了自己的软件，已经融入了日常生活．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行了一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）． 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 1 7 m (1)求甲组成绩统计表中m的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整； (2)求甲、乙两组学生成绩的中位数； (3)成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会跟乙组的中位数相等，直接写出若要将这名学生的成绩改正，至少应减少多少分． 【答案】(1)，图见解析 (2)甲组的中位数为分，乙组的中位数为分 (3)至少应减少2分 【分析】（1）利用部分数据和占比求出总数，然后求出各部分的数据，补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义进行求解； （3）根据中位数的定义，进行分析讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得，乙组人数为（人），则8分人数为（人）． ∴甲组人数也为24人． ． 补全乙组成绩条形统计图如下： （2）解：甲乙两组的中位数为排序后第12位和13位的平均数， 甲组的中位数为分，乙组的中位数为分； （3）解：∵甲组的中位数要降低， ∴该同学的成绩应小于，原成绩为9分或10分， 当该同学的成绩为分时，中位数为8，不符合题意； 当该同学的成绩为分时，中位数为，符合题意； ∴若要将这名学生的成绩改正，至少应减少分． 21．（2026·河南信阳·一模）某班“营养先锋”，“绿色未来”两个实践社团开展种植实验，各种植小白菜20棵，一段时间后，将小白菜采摘称重，并把所得数据整理、描述和分析． 数据分组：甲．；乙．；丙．；丁．（单位：克），下面给出了部分信息： “营养先锋”社团20棵小白菜重量位于乙组中的数据是：88，87，85，84，84，84，83． “绿色未来”社团20棵小白菜重量数据是：96，97，98，98，99，81，82，84，86，86，86，89，71，72，72，75，78，62，63，65． 统计表 社团 “营养先锋” “绿色未来” 中位数 a 83 众数 84 b 平均数 82 82 “营养先锋”社团数据扇形统计图 (1)填空：统计表中a＝________，b＝________，m＝________． (2)你认为哪个实践社团种植的小白菜多数更重？请用数据来说明． 【答案】(1)84，86，30 (2)“营养先锋”社团种植的小白菜多数更重，见解析； 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可； （2）“营养先锋”社团种植的小白菜重量中位数大于“绿色未来”社团种植的小白菜重量中位数可得答案． 【详解】（1）解：依题意：， ∴， “营养先锋”社团20棵小白菜重量位于丁组中的有（棵）， “营养先锋”社团20棵小白菜重量位于丙组中的有（棵）， ∴“营养先锋”社团20棵小白菜重量从小到大排列，排在第位的数是， ∴中位数， “绿色未来”社团20棵小白菜重量出现次数最多的是， ∴众数， 依题意：， ∴， （2）解：“营养先锋”社团种植的小白菜重量中位数大于“绿色未来”社团种植的小白菜重量中位数，所以“营养先锋”社团种植的小白菜多数更重． 22．（2026·河南南阳·一模）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取甲和乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：①操作规范性： ②书写准确性： 甲：1  1  2  2  2  3  1  3  2  1 乙：1  2  2  3  3  3  2  1  2  1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的________，________；________（填“”“”或“”）； (2)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由； (3)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？ 【答案】(1)2；2；； (2)乙同学得分情况较好．操作规范性方面，在平均分相等的情况下，乙同学得分较稳定；书写准确性方面，乙同学平均分数高 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数和平均数的定义可得a、b的值，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （2）从平均分和方差进行判断即可； （3）言之有理即可． 【详解】（1）解：将甲的10次的书写准确性的得分按照从低到高的顺序排列为：，故甲的10次实验的书写准确性的得分的中位数为，即； ； 由统计图可知，甲的10次实验的操作规范性的得分的波动比乙的大，故； （2）解：乙同学得分情况较好，理由如下： 操作规范性方面，在平均分相等的情况下，乙同学得分较稳定；书写准确性方面，乙同学平均分数高，故乙同学得分情况较好； （3）解：熟悉实验方案和操作流程或注意仔细观察实验现象和结果或平衡心态，沉着应对． 23．（2026·河南周口·一模）某学校为了普及消防安全知识，随机在七、八年级分别抽取20名同学进行相关知识测试（满分100分），统计他们的测试成绩（），并绘制相关统计图（不完整），请你根据以下数据完成下列任务． 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 八年级成绩在之间的数据为：89，88，85，81． (1)填空：___________，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； (2)请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 89 八年级 96 93 其中___________，___________； (3)请根据上述统计图表的信息，分析哪个年级对消防安全知识掌握的较好，说明理由． 【答案】(1)45；见解析 (2)92； (3)八年级对消防安全知识掌握的较好，理由见解析． 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可求出m的值；求出七年级成绩在之间的数据个数，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据八年级成绩的中位数和众数都比七年级成绩的中位数和众数大即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 七年级成绩在之间的数据有个， 补全统计图如下： （2）解：七年级成绩中得分为92分的人数最多，故七年级成绩的众数为92分，即； ，，， 把八年级成绩按照从低到高的顺序排列，第10个数据和第11个数据分别为88分，89分， ∴八年级成绩的中位数为分，即； （3）解：八年级对消防安全知识掌握的较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，且八年级成绩的众数大于七年级成绩的众数， ∴八年级对消防安全知识掌握的较好． 数据的集中趋势 考点03 24．（2026·河南周口·一模）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为52，66，50，48，61，54，则这组数据的中位数是______． 【答案】53 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：重新排列为48，50，52，54，61，66， 这组数据的中位数为， 故答案为：53． 25．（2026·河南·一模）随着电子产品普及和学业压力增大，青少年颈椎病发病率持续上升．某健康研究机构为对比城市与农村青少年的颈椎健康差异，从两地各随机抽取60名12～15岁青少年进行颈椎功能评估（10分为满分，得分越高颈椎健康状况越好），整理数据后得到部分得分分布及统计量如下： 相关数据 城市青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 农村青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 两组数据的部分统计量对照表如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 优秀率（8分及以上） 城市青少年 ％ 农村青少年 ％ (1)表格中的______，______，______； (2)结合方差数据，哪个地区青少年的颈椎健康状况更整齐？请说明理由； (3)综合所有统计量，从预防颈椎病的角度，你对城市青少年有哪些建议？（一条即可） 【答案】(1)，， (2)农村青少年的颈椎健康状况更整齐．理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数以及众数的定义，即可求解； （2）根据方差的意义，比较方差即可求解； （3）根据题意写出建议合理即可． 【详解】（1）解： ； 60名学生的中位数是第30、31个数据的平均数． 累计得分：5～6分共20人，7分累计35人，故第30、31个数据均为7分，则； 众数c（农村）：农村青少年得分中7分出现18次，次数最多，故． （2）农村青少年的颈椎健康状况更整齐． 理由：农村青少年颈椎功能得分的方差小于城市青少年，方差越小，数据的离散程度越小，说明农村青少年的颈椎健康水平差异更小、更整齐． （3）建议城市青少年减少每日电子产品使用时长（结合城市青少年得分方差大，可能存在高分、低分两极分化，推测部分学生因过度使用电子产品导致颈椎问题）； 或增加户外运动时间，模仿农村青少年更规律的运动习惯，改善颈椎健康状况（答案合理即可）． 26．（2026·河南信阳·一模）楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（    ） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】根据给定的权重比，按照加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：∵ 四项得分的权重比为 ，总权重和为 ， ∴ 小明的综合得分为：． 27．（2026·河南郑州·一模）信阳毛尖滋味鲜爽，香气清高，具有独特的品质．如图是某信阳毛尖专卖店在春茶上市某一周周一至周五的促销活动中连续五天的销售盒数图，则这组销售数据（盒数）的众数为______． 【答案】50 【分析】根据众数的定义进行解答即可． 【详解】解：根据图中数据可知：在星期一至星期五的促销活动中，连续五天的销售盒数分别为43，50，56，50，60，出现次数最多的是50， ∴这组销售数据的众数50． 28．（2026·河南南阳·一模）某学校食堂有8元、9元和10元三种价格的午餐供师生选择（每人限购一份），4月份该食堂午餐的销售情况如图所示，则该月师生购买午餐的平均价格为______元． 【答案】 【详解】解：由题意，得该月师生购买午餐的平均价格为（元）． 29．（2026·河南周口·一模）在一次演讲比赛中，甲选手的演讲内容95分、演讲能力80分，若按照“演讲内容占60、演讲能力占40”的方式计算选手的综合成绩，则甲选手的综合成绩为（    ） A．86 B．87 C．88 D．89 【答案】D 【分析】根据加权平均数的定义，将各项得分与对应权重相乘后求和即可得到综合成绩． 【详解】解：综合成绩（分）． 30．（2026·河南·一模）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：，众数是，由此得到答案． 【详解】解：由题图数据可知，年龄小于14岁的有人，大于14岁的有人， ∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等， ∴其众数也是14岁， 岁的队员最少有3人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 31．（2026·河南南阳·一模）直播电商作为新兴电商形态，近年来其市场规模实现爆发式增长，为中国消费市场注入强劲动力．某公司为提升直播间运营效率，对某个直播平台的A类零食直播间和B类零食直播间近10天的上架商品审核耗时（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）进行统计，具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 A类零食直播间 5 8 7 11 8 6 10 5 12 8 B类零食直播间 5 4 8 7 9 6 7 8 6 8 统计人员对以上数据进行分析，结果如下： 类型 平均数 中位数 方差 A类零食直播间 8 5.2 B类零食直播间 7 2.16 根据以上信息，回答下列问题 (1)表格中_____，_____． (2)请结合统计数据对这两类直播间的运营效率作出合理评价． 【答案】(1)8；6.8 (2)B类零食直播间审核的平均耗时小于A类零食直播间，说明B类零食直播间整体运营效率较高；B类零食直播间审核耗时的方差小于A类零食直播间，说明B类零食直播间每天审核耗时的波动范围较小，运营效率更稳定．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义计算即可； （2）根据表格数据合理分析即可． 【详解】（1）解：A类零食直播间排序后得：5、5、6、7、8、8、8、10、11、12， 可知； ； （2）解：B类零食直播间审核的平均耗时小于A类零食直播间，说明B类零食直播间整体运营效率较高；B类零食直播间审核耗时的方差小于A类零食直播间，说明B类零食直播间每天审核耗时的波动范围较小，运营效率更稳定．（答案不唯一，合理即可） 32．（2026·河南周口·一模）一组数据：3，4，5，5，6，这组数据的众数和中位数分别是（  ） A．5，5 B．5，4 C．5，6 D．6，5 【答案】A 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将数据按大小顺序排列后，若数据个数为奇数，中间位置的数就是中位数，若数据个数为偶数，中间两个数的平均数是中位数． 【详解】解：这组数据已经按从小到大顺序排列为：，总个数为，是奇数， 数字出现了次，出现次数最多，因此这组数据的众数为． 数据共个，中位数是第个数，是，因此这组数据的中位数为． 33．（2026·河南三门峡·一模）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，将数据收集、整理、描述、分析如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据 这组数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数/分 众数/分 中位数/分 80 c 78 根据以上信息回答下列问题． (1)表格中的______，_____，_____； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为_____分； (3)学校要从成绩为91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训.请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【答案】(1)5，2，75 (2)78 (3)A，B两名队员恰好同时被选中的概率为 【分析】（1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值； （2）根据中位数的意义即可求解； （3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； （2）解：∵由统计图可知中位数为78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分； （3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 34．（2026·河南洛阳·一模）为了解用户对甲、乙两种型号新车的满意度，某新能源汽车公司针对汽车在动力性能、操控与舒适性、空间表现、安全性、智能化配置等方面进行问卷调查．现各随机选取20名用户的调查数据进行收集、整理、分析（得分共分为四组：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 甲型号得分：68，69，69，75，75，75，75，76，78，78，81，85，85，85，86，89，89，90，91，91． 甲、乙型号新车得分统计表： 型号 平均分 中位数 众数 甲型 b 乙型 a 78 根据以上信息、解答下列问题： (1)上述表格中的_____，_____； (2)若该公司计划从甲、乙两种型号的新车中优先推广一种，综合以上统计量，你认为应该优先推广哪种型号的新车？请说明理由． (3)如果你家准备购买新能源汽车，你还希望了解哪些方面的信息（列出一条即可）？ 【答案】(1)， (2)应优先推广乙型车，理由见解析 (3)答案不唯一，见解析 【详解】（1）解：由扇形统计图可知，乙型号的得分数据中，A组占， 所以C组占， 所以将乙型号的得分数据从小到大排列，A，B两组占，计9个数据，所以居中的两个数据落在C组中，且为C组中最小的两个数据80和82， 所以中位数； 因为甲型号的得分数据中，出现次数最多的是75，所以众数； （2）解：应优先推广乙型车．因为两种车型得分的平均数相同，乙车型得分的中位数、众数均高于甲车型． （3）解：充电速度，车辆价格，售后服务，电池寿命等． （列出一条即可，答案不唯一） 35．（2026·河南新乡·一模）我国在无人机研发领域不断取得突破．某研发团队为了测试某种新型物流无人机的续航性能，随机抽取6架无人机进行飞行测试，测得的续航时间（单位：分）如下：70，65，67，70，78，75．这组数据的中位数是___________． 【答案】70 【分析】根据中位数的定义求解，先将数据按大小顺序排序，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数得到中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，． 这组数据共有个，个数为偶数， 中位数为从小到大（或从大到小）排列后中间两个数的平均数，即． 36．（2026·河南焦作·一模）某班调查全班同学一周平均每天的睡眠时间，制作了如下统计图，则该班同学睡眠时间的中位数是______． 【答案】时 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 【详解】解：6时和7时一起占比，6时、7时和8时一起占比， ∴该班同学睡眠时间的中位数是时． 37．（2026·河南驻马店·一模）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别求出甲乙的平均数和方差，进行比较即可得到结论． 【详解】解：甲的平均数为， 甲的方差； 乙的平均数为， 乙的方差； 则． 38．（2026·河南商丘·一模）宁陵金顶谢花酥梨是商丘的特产，已有700年栽培历史．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的梨树进行种植，则应选的品种是（） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】要选出产量既高又稳定的品种，产量高由平均产量判断，平均产量越大产量越高，稳定性由方差判断，方差越小产量越稳定，先筛选平均产量高的品种，再从中选出方差最小的即可． 【详解】解：∵要满足产量既高又稳定， ∴需要同时满足平均产量大，方差小两个条件． 比较四个品种的平均产量，可得，因此甲、乙的产量更高，排除丙、丁． 比较甲、乙的方差，可得， ∴甲的产量比乙更稳定． 39．（2026·河南周口·一模）五四青年节，又称中国青年节，时间为每年的5月4日，是纪念1919年5月4日爆发的“五四”运动，为了继承和发扬“五四”运动以来中国青年光荣的革命传统而设定的节日．在今年五四青年节来临之际，某校随机抽取七、八年级各15名学生参与以“新时代五四爱国主义精神”为主题的作文比赛，并对比赛成绩（成绩记为，单位：分，满分100分，成绩均为整数）进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：67，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，93，94，94，98 八年级：63，78，78，80，83，84，85，87，89，90，90，90，97，97，99 【整理数据】 成绩 七年级 2 5 4 八年级 1 2 6 【分析数据】 平均数 中位数 众数 七年级 82 87 八年级 86 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_______，________，________，________； (2)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学的成绩为多少分，并说明理由． 【答案】(1)4；6；80；90 (2)A同学的成绩为94分，见解析 【分析】（1）利用中位数和众数的定义进行求解； （2）得出七年级和八年级前的数据，然后进行分析推理即可． 【详解】（1）解：； ； 七年级的中位数取排序后的第8位数， ∴； 八年级数据中出现次数最多的是90， ∴； （2）解：A同学的成绩为94分． 理由如下：七年级学生成绩的前分别为94，94，98，八年级学生成绩的前分别为97，97，99． 如果A是八年级学生，那么他的成绩最低为97分，这个成绩在七年级学生的成绩中，能进入前，与B同学说的话矛盾； 如果A是七年级学生，那么当他的成绩为94分时，这个成绩在八年级学生的成绩中，进不了前，符合题意； 当他的成绩为98分时，这个成绩在八年级学生的成绩中，能进入前，与B同学说的话矛盾． ∴A同学的成绩为94分． 数据的波动程度 考点04 40．（2026·河南洛阳·一模）为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从两组数据的波动情况可以直观得出答案． 【详解】解：从每组数据的波动情况看，第二组的数据波动比第一组数据波动大，所以第一组数据的方差小于第二组数据的方差，即． 41．（2026·河南三门峡·一模）某校在中秋节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的活动．每个月饼的标准质量为，甲、乙两名同学各做了5个月饼，每个月饼的质量（单位：g）统计如图，则做的月饼质量比较稳定的是__________同学（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】观察统计图，可知甲同学所做月饼的质量数据相对集中、波动较小，即可得出结论． 【详解】解：观察统计图，可知甲组数据相对乙组数据的波动较小，所以甲同学做的月饼质量比较稳定． 42．（2026·河南商丘·一模）甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示．已知两人10次投掷的平均成绩相同．甲、乙两人中成绩稳定性更好的是________． 【答案】乙 【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：从图看出：甲选手的成绩波动较大，乙选手的成绩波动较小； 故甲、乙两人中成绩稳定性更好的是乙． 43．（2026·河南周口·一模）2026年国际射联射击世界杯是由国际射击运动联合会（ISSF）主办的大型射击单项赛事，定于2026年9月10日至19日在中国杭州富阳银湖体育中心举行．甲、乙两名运动员分别进行了10次射击测试，他们的成绩如图所示若要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加此次比赛，则应选择__________． 【答案】甲 【分析】根据方差越小越稳定判断即可； 【详解】根据折线统计图可得出甲运动员的成绩波动较小，所以甲的方差较小，成绩稳定，所以选择甲． 44．（2026·河南平顶山·一模）对甲、乙两名运动员进行12次跑步心率监测，两名运动员的心率平均值均为170次/分，方差分别为 则心率数据更稳定的运动员是____________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 甲 【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，数据越稳定，只需比较两名运动员心率方差的大小即可判断. 【详解】由题意可知，两名运动员心率平均值相等，方差，， ，即. ∴心率数据更稳定的运动员是甲. 45．（2026·河南商丘·一模）进入决赛的甲、乙两人10次射击平均成绩均为9环，且，，若判定成绩较为稳定的为冠军，则获得冠军的是______．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题根据方差的意义判断成绩稳定性，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较甲乙两人方差大小即可得到结果． 【详解】已知甲乙两人射击平均成绩相同，，，， 根据方差的性质，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定， 因此乙的成绩更稳定，符合冠军判定要求． 用列举法求概率 考点05 46．（2026·河南周口·一模）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水（呈中性）、稀硫酸（呈酸性）、碳酸钠溶液（呈碱性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小东和淇淇随机各选1瓶，将酚酞溶液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出遇酚酞变红的溶液数量，再用列表法或画树状图法确定所有等可能的结果数和符合条件的结果数，然后用概率公式计算概率即可． 【详解】解：设四瓶溶液分别为：A：纯水（中性，不变红），B：稀硫酸（酸性，不变红），C：碳酸钠溶液（碱性，变红），D：氢氧化钠溶液（碱性，变红） 画树状图， ，所有等可能的结果共 12 种：， 其中，两瓶都变红（即均为碱性溶液 C、D）的结果有 2 种：， ． 故选：B． 47．（2026·河南·一模）在一个水平平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有2种， ∴天平恢复平衡的概率为． 48．（2026·河南信阳·一模）信阳龟山公园历史底蕴深厚，山顶有双层八角龟山亭和单层四角晴雪亭，园内有长达200米的文化景观墙，公园共有三个出入门（曲径门、揽胜门、泛月门），记作A、B、C．假设小明去龟山公园游玩，随意选择门进与出，则小明进与出的门不同的概率为________． 【答案】 【分析】先画出树状图，列出所有可能的结果和所求事件发生的情况，得出选择不同的门进出的结果，然后根据概率公式即可求得． 【详解】解∶画树状图，如下 由树状图可知所有可能的结果有9种，其中选择不同的门进出有6种结果， ∴选择不同的门进出的概率为． 49．（2026·河南周口·一模）随着米兰冬奥会圣火缓缓熄灭，16天冰雪战圆满落幕，中国体育代表团斩获5金4银6铜共15枚奖牌，创下冬奥会境外参赛历史最好成绩．明明和亮亮准备分别从A．短道速滑，B．花样滑冰，C．速度滑冰和D．单板滑雪四个项目中随机选择一个观看决赛回放，则他们选择同一个项目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图求概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的结果有16种，其中符合题意的结果有4种， ∴他们选择同一个项目的概率为． 50．（2026·河南南阳·一模）在一个平衡的天平左、右两端的托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 51．（2026·河南许昌·一模）河南古代书院文化兴盛，应天府书院（商丘）、嵩阳书院（登封）、伊川书院（洛阳）、百泉书院（辉县）是其中较有代表性的四所．现从这四所书院中随机选取两所进行传统文化研学，则选中的恰好是应天府书院和嵩阳书院的概率是________． 【答案】 【分析】先列举出从四所书院中随机选取两所的所有等可能结果，再找出符合题意的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记应天府书院为，嵩阳书院为，伊川书院为，百泉书院为， 从四所书院中随机选取两所，所有等可能的结果为：，，，，，，共种等可能的结果， 其中选中的恰好是应天府书院和嵩阳书院的结果有种， ． 52．（2026·河南周口·一模）端午佳节，妈妈为小明准备了豆沙粽2个、红枣粽2个、腊肉粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得到所有等可能性的结果数，再确定恰好选中两个甜粽的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，甜粽一共有个，不是甜粽有2个， 用A、B、C、D分别表示4个甜粽，E、F分别表示两个非甜粽，列表如下： 由表格可知，一共有30种等可能性的结果数，其中小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的结果数有12种， ∴小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的概率为． 53．（2026·河南商丘·一模）毕业之际学校组织九年级学生开展以“知不足，学不止”为主题的研学活动，策划了A，B，C，D四条研学线路供学生选择，每名学生只能任意选择一条线路，则小欢和小乐选择同一线路的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列表法求概率即可． 【详解】解：由题意，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共16种等可能的结果，其中小欢和小乐选择同一线路的结果共有4种， ∴． 54．（2026·河南平顶山·一模）为了丰富学生的课余生活，某校准备举行趣味运动会，共设A，B，C三种项目．规定每人只能参加一个项目，学校利用计算机软件随机分配，则小萌和小聪被分配到同一项目组的概率为_______． 【答案】 【分析】首先确定小萌和小聪分配项目的所有可能结果，再找出两人分配到同一项目组的结果数，最后根据概率公式（为总结果数，为符合条件的结果数）计算概率． 【详解】解：用列表法列出所有可能的分配情况： 小萌/小聪 总结果数， 其中小萌和小聪被分配到同一项目组的结果有，共种， ∴． 55．（2026·河南南阳·一模）3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出表格，列出所有等可能的情况数，然后根据概率求解即可． 【详解】解：记三个游戏分别为1，2，3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 可知一共9种情况，其中两人选择相同游戏的结果有3种，即，，， ∴选择相同游戏的概率． 56．（2026·河南洛阳·一模）在一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色后将它放回盒中并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色，则摸到的两个球颜色“一红一黄”的概率是_____． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果数，找出“一红一黄”的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中摸到的两个球颜色为“一红一黄”的结果有种， 则摸到的两个球颜色“一红一黄”的概率是． 57．（2026·河南驻马店·一模）驻马店是全国知名的文化旅游城市，八年级学生小明和小亮的两个家庭均在2026年“清明”假期去爬山，并约定好于4月5号上午在“嵖岈山、老乐山、金顶山”三个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为________． 【答案】 【分析】先列表法确定所有等可能的结果数，再找出两个家庭选择同一景区的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设嵖岈山，老乐山，金顶山三个景区分别为，，， 列表得： 由表格可得，其中两个家庭选择同一景区的结果有，，，共种． 故两个家庭选择同一景区的概率． 58．（2026·河南焦作·一模）宋代“五大名瓷”之一汝瓷，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．两位游客都想从图中所示的三种汝瓷文物复制品中任意选购两种，他们选中相同两种的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用画树状图求出概率即可． 【详解】解：将三种文物用来表示，画树状图如下： 等可能出现的情况有9种，符合题意的情况有3种， ∴他们选中相同两种的概率是． 59．（2026·河南新乡·一模）中国古代四大名楼为“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”，现有分别与这四个楼有关的四首诗，甲从这四首诗中随机选取两首背诵，恰好选到分别与“黄鹤楼”和“岳阳楼”有关的两首诗的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：记“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”分别为A，B，C，D， 画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的可能结果有2种可能， ∴抽取的两首恰好是“黄鹤楼”和“岳阳楼”的概率是． 60．（2026·河南许昌·一模）小张和小杨都有5张分别标有数字1、2、3、4、5的纸牌，打乱后背面向上扣在桌面，如图表示的是两人的牌中都有三张未翻开的情形，此时各自翻开一张自己的牌，比较两人翻开的那张牌上的数字，则小张翻开的那张牌上的数字大的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到小张和小杨未翻开的那张牌上的数字，画出树状图，得到所有可能情况数和小张翻开的那张牌上的数字比小杨数字大的情况数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：小张翻开的那张牌上的数字可以为2、4、5， 小杨翻开的那张牌上的数字可以为1、3、4， 树状图如下： 由图可知，两人各自随机翻开一张，所有可能情况有，其中小张翻开的那张牌上的数字比小杨数字大的情况有6种， 因此，小张翻开的那张牌上的数字大的概率是． 61．（2026·河南许昌·一模）豆包在回答“禹州市有哪些非遗项目？”时，列出了禹州市部分非物质文化遗产代表项目：①钧瓷烧制技艺；②中药加工炮制技艺；③顺店刺绣；④传统宴席制作技艺（禹州十三碗），若小轩从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“中药加工炮制技艺”和“顺店刺绣”的概率为________． 【答案】 【分析】列表，先确定所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 共有12种等可能的结果，两个代表项目中恰好有“中药加工炮制技艺”和“顺店刺绣”的有2种， 所以所选两个代表项目中恰好有“中药加工炮制技艺”和“顺店刺绣”的概率为． 62．（2026·河南平顶山·一模）2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的结果有2种， ∴恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为． 用频率估计概率 考点06 63．（2026·河南南阳·一模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一、某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有________棵． 【答案】800 【分析】根据折线图可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算成活数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∵移植这种树苗1000棵， ∴成活的大约有：（棵）． 64．（2026·河南周口·一模）某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共50张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下统计图．估计箱子绿色卡片的最可能是___________张． 【答案】15 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图可得抽到绿色卡片的概率约为，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，抽到绿色卡片的频率逐步稳定在附近， ∴抽到绿色卡片的概率约为， ∴估计箱子绿色卡片的最可能是张． 65．（2026·河南·一模）小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 【答案】 【分析】当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值，根据表格中频率的变化趋势即可求解. 【详解】解：观察表格可知，随着试验次数不断增大，“两位玩家平局”的频率逐渐稳定在附近， 结果要求精确到， 因此用频率估计“两位玩家平局”的概率是． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 统计与概率 6大考点概览 考点01判断全面调查与抽样调查 考点02数据的收集与整理 考点03数据的集中趋势 考点04数据的波动程度 考点05用列举法求概率 考点06用频率估计概率 判断全面调查与抽样调查 考点01 1．（2026·河南信阳·一模）下列调查中适合采用全面调查的是（   ） A．调查一箱苹果的甜度情况 B．调查某品牌手机屏幕的抗摔能力 C．调查某市初中同学周末使用手机时长的情况 D．调查年级班男生引体向上成绩情况 2．（2026·河南周口·一模）下面的调查中，最适合用普查的是（   ） A．了解某款新能源汽车的电池的使用寿命 B．了解某校八（1）班全体学生的体重 C．了解我市全体初中生每周做家务的时间 D．了解黄河中鱼的总质量 3．（2026·河南周口·一模）下列调查中，适宜采用普查方式的是（   ） A．了解一批超高音速导弹的使用寿命 B．考察全国人民保护国家安全的意识 C．了解军事训练中几个打击目标的坐标 D．了解全国小学生的身体健康状况 4．（2026·河南洛阳·一模）下面调查统计中，适合采用普查方式的是（    ） A．了解某爆款商品的受众群体的收入情况 B．了解某市学生观看春节档电影的情况 C．了解郑州市民对2026年总台春晚的喜爱程度 D．了解春晚节目《武》中型人形机器人的所有零件情况 5．（2026·河南驻马店·一模）下列说法中正确的是（   ） A．为了解驻马店市中学生周末在家干家务活的时间，采用全面调查的方式 B．“从一副扑克牌中随机抽取一张，恰好是黑桃”是必然事件 C．一组数据3，5，7，9，10，13的样本容量是6 D．在抽样调查中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 数据的收集与整理 考点02 6．（2026·河南·一模）某校八年级学生会主席小伟，为更好地了解本年级同学们参加体育活动情况，随机抽样调查了本年级50名学生最喜欢的体育活动，根据调查结果，绘制出了扇形统计图，如图所示．若八年级有600名学生，则估计该年级喜欢打乒乓球的学生有______人 7．（2026·河南新乡·一模）某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 8．（2026·河南许昌·一模）某地区九年级共有3000名男生，为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 8 70 17 5 根据以上信息，估计该地区九年级3000名男生中等级为正常的人数是（   ） A．1500 B．2100 C．2200 D．2400 9．（2026·河南信阳·一模）某小区物业为了解小区四月份家庭用水情况，随机调查了40户家庭，并对每户的用水量(单位：)进行收集、整理、描述和分析，过程如下： 【收集数据】随机调查的40户家庭的用水量(单位：m3)如下：                                                                            【整理并描述数据】列出用水量频数分布表，并绘制用水量频数分布直方图： 用水量频数分布表 用水量/ 频数 【分析数据】 40户家庭用水量的平均数、中位数及众数(单位：)如下表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表中a的值为 ． (2)为了鼓励节约用水，小区物业计划确定一个用水量的标准，对四月份用水量不超过这个标准的家庭给予奖励． ①如果家庭用水量的标准定为 ，已知该小区共户家庭，请估计获奖家庭有多少户； ②要使小区一半左右的家庭获奖，你认为用四月份用水量的平均数、中位数和众数中的哪个量作为标准合适？请说明理由． 10．（2026·河南洛阳·一模）每年的4月23日是世界读书日．某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读小时，C：每周课外阅读小时，D：每周课外阅读5小时以上．将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图． 请根据图中所给出的信息解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是______，______； (2)直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______， (4)若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人． 11．（2026·河南信阳·一模）信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 12．（2026·河南平顶山·一模）每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了m名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理、描述、分析，部分信息如下．分为5组：①组：；②组：；③组：；④组：；⑤组：． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)填空：_______，这m名学生视力的中位数落在第_______组； (2)补全频数统计图； (3)该校八年级共有600名学生． ①该校八年级学生的视力在范围内的人数约为_______名； ②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数320人．请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并提一条保护学生视力的合理化建议． 13．（2026·河南·一模）在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都参加了初赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解初赛的成绩分布情况，随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 10 20 60 m 30 频率 0.05 0.1 0.3 0.4 n 请根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： __________， __________； (2)请直接补全频数分布直方图； (3)某班恰有2名男生和2名女生的初赛成绩都为100分，若从这4名学生中随机抽取2名学生参加复赛，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 14．（2026·河南驻马店·一模）2026年理化生考试前夕，学校为了解九年级学生的理化生实验情况，随机抽取1班、2班各20名同学进行调查，并将其笔试成绩（满分100分）和操作成绩（满分30分）进行整理． ①笔试成绩 成绩/分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班的20名学生的笔试成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 2班的20名学生的笔试成绩在“良好”等级的数据是：81，82，84，87，88，89． ②操作成绩 成绩分 等级 优秀 良好 及格 不及格 1班和2班所抽取的学生的笔试成绩和操作成绩统计表 班级 笔试成绩平均数 笔试成绩中位数 笔试成绩众数 操作成绩平均数 1班 85 86 26.2 2班 85 79 25.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)上面图表中________，________，________． (2)根据以上信息，你认为1班和2班哪个班级的学生理化生实验的成绩更好？请说明理由． 15．（2026·河南郑州·一模）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．我校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能B．人工智能机器人 C．语音类人工智能D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 0.25 C．语音类人工智能 28 D．视觉类人工智能 24 0.3 (1)填空：___________，___________；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为___________； (2)若该中学共有900名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有___________人； (3)已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 16．（2026·河南郑州·一模）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm）                          整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． (2)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组； Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． (3)结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 17．（2026·河南周口·一模）9月7日，2025年河南省中小学“开学第一课”安全教育活动在全省上下全面展开，为了提高同学们的安全意识，某校组织七、八年级学生开展了以“人人讲安全个个会应急”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试．调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（记为，单位：分，分数为整数），并对这些数据分别进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩扇形图如图； b．如图中，部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89． c．相关统计量如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 79 78 79 八年级 80 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次调查中八年级的样本容量为___________，表中___________； (2)结合相关统计量，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好？请说明理由； (3)为了提高学生学习安全知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励．已知该校八年级的学生人数为400，请估计八年级学生中可以获得奖励的人数． 18．（2026·河南焦作·一模）应用已深入我们的生活．为了解甲、乙两款软件对同学们学习的帮助，学校数学兴趣小组从使用甲、乙两款软件的同学中各随机抽取人，记录使用者对两款软件“及时反馈”和“能力拓展”两项功能的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： ．及时反馈（满分10分）　．能力拓展（满分10分） ．及时反馈和能力拓展得分统计表 软件 统计量 项目 及时反馈得分 能力拓展得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 (1)表格中______，______； (2)若学校共有人使用甲款软件，请估计对本款软件能力拓展打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量并结合自己的实际情况，你认为哪款软件更适合自己使用？请说明理由． 19．（2026·河南平顶山·一模）随着人工智能技术的迅猛发展，聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下． ①甲款聊天机器人评分数据：7，8，7，，7，6，6，8，，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6． ②乙款聊天机器人评分条形统计图． ③甲、乙两款聊天机器人评分统计表． 平均数 众数 中位数 特别满意所占百分比 甲款      a           乙款      8 b c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中的 (2)你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由． (3)在此次调查中，各有人对甲、乙两款聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数． 20．（2026·河南周口·一模）2025年可以说是应用落地元年，字节跳动、腾讯、阿里等公司相继推出了自己的软件，已经融入了日常生活．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行了一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）． 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 1 7 m (1)求甲组成绩统计表中m的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整； (2)求甲、乙两组学生成绩的中位数； (3)成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会跟乙组的中位数相等，直接写出若要将这名学生的成绩改正，至少应减少多少分． 21．（2026·河南信阳·一模）某班“营养先锋”，“绿色未来”两个实践社团开展种植实验，各种植小白菜20棵，一段时间后，将小白菜采摘称重，并把所得数据整理、描述和分析． 数据分组：甲．；乙．；丙．；丁．（单位：克），下面给出了部分信息： “营养先锋”社团20棵小白菜重量位于乙组中的数据是：88，87，85，84，84，84，83． “绿色未来”社团20棵小白菜重量数据是：96，97，98，98，99，81，82，84，86，86，86，89，71，72，72，75，78，62，63，65． 统计表 社团 “营养先锋” “绿色未来” 中位数 a 83 众数 84 b 平均数 82 82 “营养先锋”社团数据扇形统计图 (1)填空：统计表中a＝________，b＝________，m＝________． (2)你认为哪个实践社团种植的小白菜多数更重？请用数据来说明． 22．（2026·河南南阳·一模）为了解学生物理实验操作情况，随机抽取甲和乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：①操作规范性： ②书写准确性： 甲：1  1  2  2  2  3  1  3  2  1 乙：1  2  2  3  3  3  2  1  2  1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的________，________；________（填“”“”或“”）； (2)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由； (3)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？ 23．（2026·河南周口·一模）某学校为了普及消防安全知识，随机在七、八年级分别抽取20名同学进行相关知识测试（满分100分），统计他们的测试成绩（），并绘制相关统计图（不完整），请你根据以下数据完成下列任务． 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 八年级成绩在之间的数据为：89，88，85，81． (1)填空：___________，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； (2)请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 89 八年级 96 93 其中___________，___________； (3)请根据上述统计图表的信息，分析哪个年级对消防安全知识掌握的较好，说明理由． 数据的集中趋势 考点03 24．（2026·河南周口·一模）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为52，66，50，48，61，54，则这组数据的中位数是______． 25．（2026·河南·一模）随着电子产品普及和学业压力增大，青少年颈椎病发病率持续上升．某健康研究机构为对比城市与农村青少年的颈椎健康差异，从两地各随机抽取60名12～15岁青少年进行颈椎功能评估（10分为满分，得分越高颈椎健康状况越好），整理数据后得到部分得分分布及统计量如下： 相关数据 城市青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 农村青少年得分分布/分 分人 分人 分人 分人 分人 分人 两组数据的部分统计量对照表如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 优秀率（8分及以上） 城市青少年 ％ 农村青少年 ％ (1)表格中的______，______，______； (2)结合方差数据，哪个地区青少年的颈椎健康状况更整齐？请说明理由； (3)综合所有统计量，从预防颈椎病的角度，你对城市青少年有哪些建议？（一条即可） 26．（2026·河南信阳·一模）楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（    ） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 27．（2026·河南郑州·一模）信阳毛尖滋味鲜爽，香气清高，具有独特的品质．如图是某信阳毛尖专卖店在春茶上市某一周周一至周五的促销活动中连续五天的销售盒数图，则这组销售数据（盒数）的众数为______． 28．（2026·河南南阳·一模）某学校食堂有8元、9元和10元三种价格的午餐供师生选择（每人限购一份），4月份该食堂午餐的销售情况如图所示，则该月师生购买午餐的平均价格为______元． 29．（2026·河南周口·一模）在一次演讲比赛中，甲选手的演讲内容95分、演讲能力80分，若按照“演讲内容占60、演讲能力占40”的方式计算选手的综合成绩，则甲选手的综合成绩为（    ） A．86 B．87 C．88 D．89 30．（2026·河南·一模）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 31．（2026·河南南阳·一模）直播电商作为新兴电商形态，近年来其市场规模实现爆发式增长，为中国消费市场注入强劲动力．某公司为提升直播间运营效率，对某个直播平台的A类零食直播间和B类零食直播间近10天的上架商品审核耗时（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）进行统计，具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 A类零食直播间 5 8 7 11 8 6 10 5 12 8 B类零食直播间 5 4 8 7 9 6 7 8 6 8 统计人员对以上数据进行分析，结果如下： 类型 平均数 中位数 方差 A类零食直播间 8 5.2 B类零食直播间 7 2.16 根据以上信息，回答下列问题 (1)表格中_____，_____． (2)请结合统计数据对这两类直播间的运营效率作出合理评价． 32．（2026·河南周口·一模）一组数据：3，4，5，5，6，这组数据的众数和中位数分别是（  ） A．5，5 B．5，4 C．5，6 D．6，5 33．（2026·河南三门峡·一模）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，将数据收集、整理、描述、分析如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据 这组数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数/分 众数/分 中位数/分 80 c 78 根据以上信息回答下列问题． (1)表格中的______，_____，_____； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为_____分； (3)学校要从成绩为91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训.请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 34．（2026·河南洛阳·一模）为了解用户对甲、乙两种型号新车的满意度，某新能源汽车公司针对汽车在动力性能、操控与舒适性、空间表现、安全性、智能化配置等方面进行问卷调查．现各随机选取20名用户的调查数据进行收集、整理、分析（得分共分为四组：A：，B：，C：，D：），部分信息如下： 甲型号得分：68，69，69，75，75，75，75，76，78，78，81，85，85，85，86，89，89，90，91，91． 甲、乙型号新车得分统计表： 型号 平均分 中位数 众数 甲型 b 乙型 a 78 根据以上信息、解答下列问题： (1)上述表格中的_____，_____； (2)若该公司计划从甲、乙两种型号的新车中优先推广一种，综合以上统计量，你认为应该优先推广哪种型号的新车？请说明理由． (3)如果你家准备购买新能源汽车，你还希望了解哪些方面的信息（列出一条即可）？ 35．（2026·河南新乡·一模）我国在无人机研发领域不断取得突破．某研发团队为了测试某种新型物流无人机的续航性能，随机抽取6架无人机进行飞行测试，测得的续航时间（单位：分）如下：70，65，67，70，78，75．这组数据的中位数是___________． 36．（2026·河南焦作·一模）某班调查全班同学一周平均每天的睡眠时间，制作了如下统计图，则该班同学睡眠时间的中位数是______． 37．（2026·河南驻马店·一模）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则______（填“”，“”或“”）． 38．（2026·河南商丘·一模）宁陵金顶谢花酥梨是商丘的特产，已有700年栽培历史．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克）如下表所示，准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的梨树进行种植，则应选的品种是（） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 39．（2026·河南周口·一模）五四青年节，又称中国青年节，时间为每年的5月4日，是纪念1919年5月4日爆发的“五四”运动，为了继承和发扬“五四”运动以来中国青年光荣的革命传统而设定的节日．在今年五四青年节来临之际，某校随机抽取七、八年级各15名学生参与以“新时代五四爱国主义精神”为主题的作文比赛，并对比赛成绩（成绩记为，单位：分，满分100分，成绩均为整数）进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：67，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，93，94，94，98 八年级：63，78，78，80，83，84，85，87，89，90，90，90，97，97，99 【整理数据】 成绩 七年级 2 5 4 八年级 1 2 6 【分析数据】 平均数 中位数 众数 七年级 82 87 八年级 86 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_______，________，________，________； (2)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学的成绩为多少分，并说明理由． 数据的波动程度 考点04 40．（2026·河南洛阳·一模）为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 41．（2026·河南三门峡·一模）某校在中秋节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的活动．每个月饼的标准质量为，甲、乙两名同学各做了5个月饼，每个月饼的质量（单位：g）统计如图，则做的月饼质量比较稳定的是__________同学（填“甲”或“乙”）． 42．（2026·河南商丘·一模）甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图所示．已知两人10次投掷的平均成绩相同．甲、乙两人中成绩稳定性更好的是________． 43．（2026·河南周口·一模）2026年国际射联射击世界杯是由国际射击运动联合会（ISSF）主办的大型射击单项赛事，定于2026年9月10日至19日在中国杭州富阳银湖体育中心举行．甲、乙两名运动员分别进行了10次射击测试，他们的成绩如图所示若要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加此次比赛，则应选择__________． 44．（2026·河南平顶山·一模）对甲、乙两名运动员进行12次跑步心率监测，两名运动员的心率平均值均为170次/分，方差分别为 则心率数据更稳定的运动员是____________（填“甲”或“乙”）． 45．（2026·河南商丘·一模）进入决赛的甲、乙两人10次射击平均成绩均为9环，且，，若判定成绩较为稳定的为冠军，则获得冠军的是______．（填“甲”或“乙”） 用列举法求概率 考点05 46．（2026·河南周口·一模）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水（呈中性）、稀硫酸（呈酸性）、碳酸钠溶液（呈碱性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小东和淇淇随机各选1瓶，将酚酞溶液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·河南·一模）在一个水平平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为（    ） A． B． C． D． 48．（2026·河南信阳·一模）信阳龟山公园历史底蕴深厚，山顶有双层八角龟山亭和单层四角晴雪亭，园内有长达200米的文化景观墙，公园共有三个出入门（曲径门、揽胜门、泛月门），记作A、B、C．假设小明去龟山公园游玩，随意选择门进与出，则小明进与出的门不同的概率为________． 49．（2026·河南周口·一模）随着米兰冬奥会圣火缓缓熄灭，16天冰雪战圆满落幕，中国体育代表团斩获5金4银6铜共15枚奖牌，创下冬奥会境外参赛历史最好成绩．明明和亮亮准备分别从A．短道速滑，B．花样滑冰，C．速度滑冰和D．单板滑雪四个项目中随机选择一个观看决赛回放，则他们选择同一个项目的概率为（    ） A． B． C． D． 50．（2026·河南南阳·一模）在一个平衡的天平左、右两端的托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为（    ） A． B． C． D． 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 51．（2026·河南许昌·一模）河南古代书院文化兴盛，应天府书院（商丘）、嵩阳书院（登封）、伊川书院（洛阳）、百泉书院（辉县）是其中较有代表性的四所．现从这四所书院中随机选取两所进行传统文化研学，则选中的恰好是应天府书院和嵩阳书院的概率是________． 52．（2026·河南周口·一模）端午佳节，妈妈为小明准备了豆沙粽2个、红枣粽2个、腊肉粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取2个粽子，恰好都是甜粽的概率是（　　） A． B． C． D． 53．（2026·河南商丘·一模）毕业之际学校组织九年级学生开展以“知不足，学不止”为主题的研学活动，策划了A，B，C，D四条研学线路供学生选择，每名学生只能任意选择一条线路，则小欢和小乐选择同一线路的概率是（   ） A． B． C． D． A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 54．（2026·河南平顶山·一模）为了丰富学生的课余生活，某校准备举行趣味运动会，共设A，B，C三种项目．规定每人只能参加一个项目，学校利用计算机软件随机分配，则小萌和小聪被分配到同一项目组的概率为_______． 小萌/小聪 55．（2026·河南南阳·一模）3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（    ） A． B． C． D． 1 2 3 1 2 3 56．（2026·河南洛阳·一模）在一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种只有颜色不同的球各一个，从中先摸出一个球，记录下它的颜色后将它放回盒中并搅匀，再摸出一个球，记录下颜色，则摸到的两个球颜色“一红一黄”的概率是_____． 57．（2026·河南驻马店·一模）驻马店是全国知名的文化旅游城市，八年级学生小明和小亮的两个家庭均在2026年“清明”假期去爬山，并约定好于4月5号上午在“嵖岈山、老乐山、金顶山”三个景区中随机选择一个作为游玩目的地，则两个家庭选择同一景区的概率为________． 58．（2026·河南焦作·一模）宋代“五大名瓷”之一汝瓷，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．两位游客都想从图中所示的三种汝瓷文物复制品中任意选购两种，他们选中相同两种的概率是（   ） A． B． C． D． 59．（2026·河南新乡·一模）中国古代四大名楼为“滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼、鹳雀楼”，现有分别与这四个楼有关的四首诗，甲从这四首诗中随机选取两首背诵，恰好选到分别与“黄鹤楼”和“岳阳楼”有关的两首诗的概率是（   ） A． B． C． D． 60．（2026·河南许昌·一模）小张和小杨都有5张分别标有数字1、2、3、4、5的纸牌，打乱后背面向上扣在桌面，如图表示的是两人的牌中都有三张未翻开的情形，此时各自翻开一张自己的牌，比较两人翻开的那张牌上的数字，则小张翻开的那张牌上的数字大的概率是（   ） A． B． C． D． 61．（2026·河南许昌·一模）豆包在回答“禹州市有哪些非遗项目？”时，列出了禹州市部分非物质文化遗产代表项目：①钧瓷烧制技艺；②中药加工炮制技艺；③顺店刺绣；④传统宴席制作技艺（禹州十三碗），若小轩从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“中药加工炮制技艺”和“顺店刺绣”的概率为________． ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 62．（2026·河南平顶山·一模）2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“骐骐”和“骥骥”的概率为（   ） A． B． C． D． 用频率估计概率 考点06 63．（2026·河南南阳·一模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一、某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有________棵． 64．（2026·河南周口·一模）某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有形状、大小完全相同的红、绿两种颜色卡片共50张．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的颜色后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到绿色卡片的次数，并计算出抽到绿色卡片的频率，绘出如下统计图．估计箱子绿色卡片的最可能是___________张． 65．（2026·河南·一模）小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况．试验的部分结果如下图： 试验次数 两位玩家平局的试验频数 两位玩家平局的试验频率（精确到） 根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是__________．（精确到） 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $