专题08菱形性质与判定压轴专项训练(知识梳理+12大题型+突破题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题08菱形性质与判定压轴专项训练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.菱形性质与判定综合证明 题型02.菱形与勾股定理综合 题型03.菱形与坐标系综合 题型04.菱形与动点问题 题型05.菱形与最值问题 题型06.菱形与特殊三角形综合 题型07.菱形与折叠问题 题型08.菱形面积计算 题型09.菱形与平行四边形矩形综合 题型10.菱形存在性问题 题型11.菱形高的相关计算 题型12.菱形对称性质应用 . 知识点01:菱形的核心定义（压轴题解题切入点） 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ▶ 双重属性：平行四边形的所有性质 + 邻边相等的独特性质，压轴题常结合双重属性设题，需优先锁定 “平行四边形基底”。 知识点02:菱形的三大核心性质（压轴题高频考查维度） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的判定定理（压轴题证明类核心，需精准匹配条件） 知识点04:菱形的核心计算模型（压轴题计算类必考，直接套用） 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:菱形与矩形的核心区别（压轴题易混点辨析，避坑必备） 核心维度 菱形 矩形 边的性质 四条边都相等 对边相等，邻边不一定相等 角的性质 无直角，邻角互补 四个角都是直角 对角线 互相垂直平分，平分一组对角 互相平分且相等，无平分对角属性 面积公式 底 × 高 / × 对角线乘积 长 × 宽 / 底 × 高 特殊化 加直角→正方形 加邻边相等→正方形 题型01.菱形性质与判定综合证明 【典例】如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 【答案】3 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的面积为15和，进行求解即可． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意得，， 四边形是菱形， ∵菱形的面积为15， ∴ 解得． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 【答案】 【分析】过点作于点，根据平行四边形的性质求出，，根据勾股定理逆定理求出，即可判定四边形 是菱形，根据菱形的性质求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知， ，， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即点 O 到的距离为． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为6，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，进而得到，易证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论； （2）设，，由菱形的面积为6可得；再利用勾股定理可得，再利用完全平方公式以及算术平方根求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，四边形是平行四边形， ，，． ， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是菱形．． （2）解：四边形是平行四边形， ， 设，，由菱形的面积为6， ∴，即． 在中，，，即， ， 的周长为． 题型02.菱形与勾股定理综合 【典例】如图，在菱形中，，则菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，交于点，由菱形的性质和，可得是等边三角形，可得，再利用勾股定理可求得，即可求得面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求得的长，进而得到的长，最后根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，点在边上，点在边上，，，，连接，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键：将绕点A顺时针旋转得到，连接，过M作，交的延长线于N，过E作于H，证明，得到，证明，得到，设，则：，，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，连接，过M作，交的延长线于N，过E作于H， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴，， 设，则：，， 由勾股定理，得：，， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴； 故选B． 【跟踪专练3】如图，菱形中，对角线与交于点O，，，求菱形的面积． 【答案】8 【分析】根据菱形的性质可知，，，，，再结合含30度角的直角三角形和勾股定理，得出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴该菱形的面积． .题型03.菱形与坐标系综合 【典例】如图，已知菱形，四个顶点坐标分别为，，，，则的值为______． 【答案】6 【分析】由菱形的性质得到，，根据已知条件求得的大小，过点作于点，由勾股定理得到的大小，从而得到． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【跟踪专练1】在菱形中，，，建立平面直角坐标系如图所示，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 题型04.菱形与动点问题 【典例】如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为______． 【答案】 【分析】连接，通过菱形的周长和面积分别求出边长和，最后由面积和差即可求出的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ， ， ， 则． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则________． 【答案】/度 【分析】过作于，得出，根据含30度角的直角三角形的性质勾股定理，求得，根据的最小值为，得到点在上，即可得出． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形，，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点在上时，可有的值最小，且最小值为， 此时， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，，点是上的动点，连接． (1)若平行四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，请写出、、的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，即可求出，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作交于点，根据题意可得，，根平行四边形的性质得出，根据勾股定理列出方程，解方程求出，进一步求出，，根据勾股定理即可求解； （3）连接，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合等腰直角三角形的判定和性质得出，结合邻补角的定义和平行线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，， 即， ∵， ∴． （2）解：过点作交于点，如图： ∵， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， 在中，， 故， 即， 解得， ∴， 故，， 在中，． （3）解：，证明如下： 连接，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 故， 在中，， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型05.菱形与最值问题 【典例】如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的最短路线问题，包括菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接交于，以为邻边作平行四边形，则，故，据此计算即可得到答案． 【详解】解：连接交于，以为邻边作平行四边形， ， ， 故的最小值为， 菱形，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， 则的最小值为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O，得到当点E，P和点G共线，时，有最小值，即为的长，然后求出，，勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴与关于直线对称， 如图，设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O． ∴． 当点E，P和点G共线，且时，有最小值，即为的长． ∵，，四边形是菱形， ∴，． ∴，． ∴，即， 解得，即的最小值为4.8． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点C作，且，连接，设交于点O，由菱形的性质得到，则可证明，设，则，由勾股定理得，解方程可推出；证明，得到，则可推出当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，且，连接，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、F、G三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 【答案】面积的最大值为． 【分析】连接，利用菱形性质及角度条件证得为等边三角形，得到．通过角的等量代换，证明，从而推出四边形（定值）．依据“垂线段最短”，当时，最短，此时等边面积最小．结合四边形，求出面积的最大值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴, 由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是定值， ∴， 由“垂线段最短”可知：当等边的边与垂直时，边最短， 此时，， ∴的面积会随着的变化而变化，且当最短时，等边的面积最小， 又∵， 等边的面积最小时，的面积最大， 此时，， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 题型06.菱形与特殊三角形综合 【典例】将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点依次在同一直线上，连结，已知，四边形是菱形，那么的长为_________． 【答案】 18 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余可求得和，然后根据菱形的性质可知平分，结合三角形外角的性质可推出，最后利用等角对等边和线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意可知，在中，，，， ，， 四边形是菱形，点在同一直线上 ，， 平分， ， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出边的长度，然后利用勾股定理进行求得，最后根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质以及勾股定理． 【跟踪专练2】如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，③错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，②正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据平行的性质证明，再根据，证明，即可得到结论； （2）根据题意证明和，由此证明点为的中点，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ． ， ， ， ， 点为的中点， ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 题型07.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查图形翻折的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形中位线定理，特殊角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点． （1）连接交于点，根据折叠的性质得到垂直平分，继而证明是的中位线，从而得证结论． （2）根据四边形是菱形，得到是等边三角形，过点作于点，设，根据特殊角的直角三角形的性质，以及勾股定理得到的长度，进而得到的长度． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 由折叠可知：垂直平分，    是的中点， ∵点为边的中点， 是的中位线， ， ； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点，则， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ，解得：， ． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）由矩形的性质得到，，由折叠得到，，，，因此，从而，得到四边形为平行四边形，再由，即可得证； （2）由菱形的性质得到，，，，，进而有，在中根据勾股定理可求出，从而得到的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， 由折叠的性质可知，，，，， ， ， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ∴为菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形，，， ，，，， ， ∵，即， ， ， ， 即四边形的面积是． 题型08.菱形面积计算 【典例】如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，由题意可知，则四边形为菱形，根据菱形的性质与勾股定理可求得，由此即可求得四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ， 四边形的面积为：． 故答案为：24． 【跟踪专练1】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)120 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ， 四边形的面积． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； (2)根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 四边形的周长是， ， 设、， 则有，，， ， 在中，， ， ， ， 整理可得：， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式． 题型09.菱形与平行四边形矩形综合. 【典例】如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果且，那么四边形是菱形． 其中，正确的有_____（只填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】由两组对边都平行的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，则①正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，则②正确；根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，则③正确；由三线合一定理可得平分，则由③可得④正确． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则， ∴平行四边形是矩形，故②正确； 当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故③正确； 当且时，平分，由③可知平行四边形是菱形，故④正确； 【跟踪专练1】如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 【跟踪专练2】如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 【跟踪专练3】已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定等知识点，证明简单的线段相等，一般是通过全等三角形来证明的．由四边形是平行四边形，即可得, 易证得, 可得, 即可证得四边形是平行四边形，又由, 即可证得四边形是菱形. 【详解】证明：四边形是平行四边形， , , , , 又, 四边形是平行四边形， , 是菱形. 题型10.菱形存在性问题 【典例】已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 【答案】或 【分析】分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴轴，，， ∵点D是的中点， ∴， 当O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，则， ∴， ∴； 综上：或． 【跟踪专练1】在矩形 中，，，， 是对角线 上不重合的两点，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，．若由点 ，，， 构成的四边形恰好为菱形，则 的长为____． 【答案】 【分析】先证明矩形的四个顶点均在菱形的四条边上，且分别为各自边的中点，然后证明菱形的边长等于矩形的对角线长，再证，根据等腰三角形的三线合一性质与勾股定理，求出的长，同理得的长，即可得解． 【详解】解：矩形 中，，， ， 轴对称性质， ， 点A在菱形的边上， 同理可知：点均在菱形的边上， ， 点为的中点， 同理，点为的中点， 连接，交于点，如图所示， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ； 同理可求得：， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形与菱形的性质、平行四边形与等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定是解答此题的关键． 【跟踪专练2】如图，矩形中，对角线相交于点，点是线段上一动点（不与点重合），的延长线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，点从点出发，以的速度向点匀速运动．设点运动的时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能，运动时间t为时，四边形是菱形 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据菱形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ∴， ∴， 在和中，     ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由题意得：， 则 当四边形是菱形时，得， ∵四边形是矩形    ∴． ∵在中，    ∴    解得 ∴运动时间为时，四边形是菱形． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中有矩形，，． (1)如图1，矩形的顶点B的坐标是______； (2)如图2，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，交轴于点．点是对角线上一动点，求的最小值； (3)点P为x轴负半轴上一动点，Q是平面内一点，若以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点坐标______ 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用矩形的性质和含有角的直角三角形求出即可得解； （2）过点作轴于点，作轴于点，在中，得出，则在中，,，得出，过点作于点，并延长交于点，连接，根据折叠可得，，，，进而得出，当且仅当点三点共线时，取得等于号，在中，勾股定理求得，即可求解． （3）分类讨论，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：如图，设与轴交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由矩形的性质可得，，， ∴， 过点作轴于点，作轴于点， 在中，，， ∴， ∴， 在中，,， ∴，. 过点作于点，并延长交于点，连接， 由折叠可得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，当且仅当点三点共线时，取得等于号， 在中，，， ∴， 即的最小值为； （3）解：①若、为边，为对角线， 则作的垂直平分线交轴负半轴于，即第（）问的点， ，即第（）问的点； ②若、为边，为对角线， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 则以为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点， 将点沿方向平移即向下平移个单位，向左平移个单位得到， ， ③若、为边，为对角线， ∵，， ∴， ∴， 则以为圆心，长为半径画弧，交轴负半轴于点， 将按方向平移，即向右平移个单位向上平移个单位得到， ∴， 综上所述，点坐标为或或． 题型11.菱形高的相关计算 【典例】如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可知，直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如下图所示，连接 菱形的周长为， ， 菱形的面积为， ， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为，则的长为 _____． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 【跟踪专练2】如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及面积公式．连接交于点，延长交于点，根据菱形面积公式可得，由菱形的性质结合勾股定理可得，根据菱形的对称性得，则，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 在面积为96的菱形中，对角线， ， ， 由菱形的性质可知：，，， ， 根据菱形的对称性得：， ， 根据菱形的面积公式：， ， 解得：， 即． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若菱形的面积为120，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，可证，，再证，从而可证四边形是平行四边形，再根据，即可求证； （2）根据菱形的性质和“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，可得，再根据菱形的面积公式“对角线之积的一半”，可得，从而，再根据勾股定理，可求，最后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：菱形， ，， ， ，即， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：菱形， 与互相平分，， ， ， ， ， 菱形的面积为120， ， ， ， 在中，， ， ． 题型12.菱形对称性质应用 【典例】如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，（菱形的边长不变）．若，则的度数为________． 【答案】/26度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角相等，对角线平分对角，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形的性质得出，得出，证出四边形是平行四边形，再由，即可证出四边形是菱形； （2）求出，得出再证出，在中，由勾股定理求出， 即可得出菱形的周长． 【详解】（1）证明：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，四边形 是菱形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08菱形性质与判定压轴专项训练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.菱形性质与判定综合证明 题型02.菱形与勾股定理综合 题型03.菱形与坐标系综合 题型04.菱形与动点问题 题型05.菱形与最值问题 题型06.菱形与特殊三角形综合 题型07.菱形与折叠问题 题型08.菱形面积计算 题型09.菱形与平行四边形矩形综合 题型10.菱形存在性问题 题型11.菱形高的相关计算 题型12.菱形对称性质应用 . 知识点01:菱形的核心定义（压轴题解题切入点） 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ▶ 双重属性：平行四边形的所有性质 + 邻边相等的独特性质，压轴题常结合双重属性设题，需优先锁定 “平行四边形基底”。 知识点02:菱形的三大核心性质（压轴题高频考查维度） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的判定定理（压轴题证明类核心，需精准匹配条件） 知识点04:菱形的核心计算模型（压轴题计算类必考，直接套用） 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:菱形与矩形的核心区别（压轴题易混点辨析，避坑必备） 核心维度 菱形 矩形 边的性质 四条边都相等 对边相等，邻边不一定相等 角的性质 无直角，邻角互补 四个角都是直角 对角线 互相垂直平分，平分一组对角 互相平分且相等，无平分对角属性 面积公式 底 × 高 / × 对角线乘积 长 × 宽 / 底 × 高 特殊化 加直角→正方形 加邻边相等→正方形 题型01.菱形性质与判定综合证明 【典例】如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为_______ ． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为6，求的周长． 题型02.菱形与勾股定理综合 【典例】如图，在菱形中，，则菱形的面积为_____． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是______． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，点在边上，点在边上，，，，连接，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【跟踪专练3】如图，菱形中，对角线与交于点O，，，求菱形的面积． .题型03.菱形与坐标系综合 【典例】如图，已知菱形，四个顶点坐标分别为，，，，则的值为______． 【跟踪专练1】在菱形中，，，建立平面直角坐标系如图所示，则点的坐标是_____． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 题型04.菱形与动点问题 【典例】如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，点为对角线上的动点，若，，当的最小值为时，则________． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，，点是上的动点，连接． (1)若平行四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，请写出、、的数量关系，并证明． 题型05.菱形与最值问题 【典例】如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 【跟踪专练1】如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，E、F分别为线段和线段上两动点，且满足，连接、，则的最小值为________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 题型06.菱形与特殊三角形综合 【典例】将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点依次在同一直线上，连结，已知，四边形是菱形，那么的长为_________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【跟踪专练3】如图，在中，，过上一点作，交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)当点为的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 题型07.菱形与折叠问题 【典例】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，为上一点，将沿折叠，恰与对角线重合，点的对应点为点，再将沿折叠，点的对应点为点，且在上． (1)求证：四边形为菱形； (2)求四边形的面积． 题型08.菱形面积计算 【典例】如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 【跟踪专练1】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【跟踪专练2】如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 题型09.菱形与平行四边形矩形综合. 【典例】如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果且，那么四边形是菱形． 其中，正确的有_____（只填写序号）． 【跟踪专练1】如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【跟踪专练2】如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】已知：如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与、分别交于点E、O、F．求证：四边形是菱形． 题型10.菱形存在性问题 【典例】已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 【跟踪专练1】在矩形 中，，，， 是对角线 上不重合的两点，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，．若由点 ，，， 构成的四边形恰好为菱形，则 的长为____． 【跟踪专练2】如图，矩形中，对角线相交于点，点是线段上一动点（不与点重合），的延长线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，点从点出发，以的速度向点匀速运动．设点运动的时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中有矩形，，． (1)如图1，矩形的顶点B的坐标是______； (2)如图2，将矩形沿对角线折叠，使得点落在点处，交轴于点．点是对角线上一动点，求的最小值； (3)点P为x轴负半轴上一动点，Q是平面内一点，若以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点坐标______ 题型11.菱形高的相关计算 【典例】如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为，则的长为 _____． 【跟踪专练2】如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 【跟踪专练3】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若菱形的面积为120，，求的长． 题型12.菱形对称性质应用 【典例】如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【跟踪专练1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，（菱形的边长不变）．若，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $