专题08菱形性质与判定专项训练 (13大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题08菱形性质与判定专项训练 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.添条件并证四边形是菱形 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求面积 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与最值问题 题型12.菱形与坐标综合题 题型13.菱形的探究型问题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点02:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 题型01.利用菱形的性质求角度 1．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴， 故选：A ． 2．已知菱形的边长为1，它的一条对角线长也为1，那么这个菱形较小的内角是______度． 【答案】 【分析】根据菱形的性质以及已知条件得到为等边三角形，即可得到，再由平行得到． 【详解】解：如图， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴这个菱形较小的内角是． 3．如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，连接与．则的度数为________． 【答案】或 【分析】完成作图，根据作图过程可得和是等边三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，点或点即为所求； 在菱形中，， ， ， 由作图过程可知：， ∴， 和是等边三角形， ， ，， ， ，， ，， 则的度数为或． 4．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，可利用即可证明； （2）结合菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02.利用菱形的性质求线段长 6．如图，菱形的对角线、相交于点，若菱形的周长为20，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质得到，，，，求出，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∵菱形的周长为20， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 7．如图，四边形是边长为4的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出相等的线段和平行线，证明为等边三角形，为的中位线，然后利用三线合一以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形是边长为4的菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∵，且， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴． 8．如图，在菱形中，连接，点E在上，连接交于点F，作于点G，，，若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先设，，根据菱形的性质及，得到平分，根据角平分线的性质，进而得出，进一步得出，，再证明，得到，利用勾股定理求出，设，，则，再利用勾股定理求出的值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点， 设，，则， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， 由勾股定理得，， 故设，，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴． 故选：A． 9．如图，在中，，，分别以A，C为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交于点E，连接，点D是的中点，连接并延长至点F，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则由三角形中位线定理可得，据此可证明四边形是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半得，进而可证明四边形是菱形； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得，，进而可求、，再根据菱形的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 题型03.利用菱形的性质求面积 10．已知菱形的对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线的长分别为和， ∴这个菱形的面积是， 故答案为：． 11．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，由菱形的性质可得，，．利用勾股定理可计算出，则，最后利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，， ∴， ∴． 12．如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 14．如图，在平行四边形中，于，于，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）四边形是平行四边形，则，证明，所以，然后通过菱形的判定方法即可求证； （）连接交于，由菱形的性质可得，，，由勾股定理求得，所以，然后通过菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型04.利用菱形的性质证明 15．如图，四边形是菱形，与交于点O．下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，逐一分析，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由菱形的性质，可知对角线垂直，但不一定相等，故不一定等于； 对角相等，但不一定互补，故不一定等于； 对角线互相平分，即，故不一定等于． 故选：C． 16．任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个________（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 【答案】矩形 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，连接、，根据菱形的对角线互相垂直得到，由三角形的中位线定理得到，，则，同理可得，，，据此可得答案． 【详解】解：如图，在菱形中，点E、F、G、H分别是的中点， 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，，，分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴， 同理，，， ∴四边形是矩形． ∴任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个矩形， 故答案为：矩形． 17．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键． 连接，与交于点，由四边形为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形的面积即可． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形为矩形， ，，且，即， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，，， ，且， 四边形为平行四边形， ，， ，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 则． 故答案是：． 18．把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形中，，，则菱形的等积线段长度取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据过菱形对角线交点的直线l将该菱形分成面积相等的两部分，设直线l交于点F，交于点E，则的长即为a的值．根据当时a最小，当线段与线段重合时a最大，结合题干所给条件和含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵过菱形对角线交点的直线l将该菱形分成面积相等的两部分，设直线l交于点F，交于点E， ∴“等积线段”即为线段，即的长即为a的值． ∵当直线时，最短， ∴的最小值即为此时的长． 过点作于点N， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为； ∵当线段与线段重合时，最长， ∴的最大值即为的长． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最大值为， ∴的取值范围是． 故选D． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．理解当时a最小，当线段与线段重合时a最大是解题关键． 题型05.添条件并证四边形是菱形 19．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定方法．矩形是有一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形，矩形是对角线相等的平行四边形，据此求解即可． 【详解】解：选项A：，对角线互相垂直，平行四边形成为菱形，不一定是矩形，不符合题意； 选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项C：，是平行四边形对边相等的性质，不能判定矩形，不符合题意； 选项D：，是平行四边形对角相等的性质，不能判定矩形，不符合题意． 故选B． 20．在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，琪琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分别相等，然后再测量出_____，最后得到结论：这个四边形是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．两条对角线垂直 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 由两组对边分别相等可知四边形为平行四边形，再根据菱形的判定定理，添加对角线垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：∵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴ 测量两条对角线垂直后，可判定该四边形是菱形． 故选：B． 21．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得． 【详解】解： ①，不能作为构成菱形的条件； ②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； ③时，平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 22．如图，已知，，，，点是上一动点（不与、重合），连接，分别将和沿直线、翻折得到和，连接，给出下列结论： ； 面积的最小值为； 当、、三点共线时，四边形是菱形； 当时，的长为； 则正确结论有______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】先根据折叠的性质证明是顶角是的等腰三角形，过点作于，然后利用勾股定理和三线合一求解即可； 由知，的面积，当时，的面积最小，同理求出，，代入求解即可； 如图，当、、三点共线时，由折叠得：，，，利用等角对等边得到，进而证明即可； 由折叠得，，证明出可得． 【详解】解：由折叠得：，，， ， ， ， 如图，过点作于， ， ，， ， ∴， ，故正确； 由知：的面积， ∴当最小时，面积最小， 如图，当时，面积最小， ，，， ∴， 同理可得，，， 面积的最小值为，故正确； 如图，当、、三点共线时，则， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，故正确； 如图，当时， ∴ 由折叠得，， ， ， ，故错误； ∴正确的结论有． 23．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，证得四边形是菱形是解题的关键． 过点作于，于，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同，再由平行四边形的面积可得领边相等，则重叠部分为菱形，连接，相交于点，再直角三角形中利用勾股定理可求出的长，进而求出的长． 【详解】过点作于，于，如图 ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形， 连接，相交于点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型06.由菱形的性质与判定求角度 24．如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，进而求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：等边的边长为，将向右平移到的位置， cm，, 四边形是菱形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，求得是解题的关键． 25．如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点D为上一点，若，，，则的面积为________．    【答案】 【分析】由等腰三角形性质得，由三角形内角和定理得，由折叠得到，，由菱形性质得，求得，过B作于F，求出长，过C作于H，得，根据三角形面积公式可得出结论． 【详解】解：，， ， ， 将沿向下翻折得到， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 过B作于F， ， ， 过C作于H， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形判定与性质，菱形判定与性质，等腰三角形性质，正确作出辅助线是解题关键． 26．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 【答案】A 【分析】先证四边形EGFH是平行四边形，再证四边形EGFH是菱形即可，由，，可求，利用平角定义可求，于是，利用菱形性质求，从而求出． 【详解】解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点， ， ， 同理：， 四边形EGFH是平行四边形， AB=CD， GE=GF， 四边形EGFH是菱形 ∠ABD= 20°，∠BDC= 70°，， ，， ， ， ， FE平分 ，    故选:： A． 【点睛】本题考查菱形判断与性质，求菱形内角，掌握菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键． 27．如图，点O是平行四边形对角线的交点，分别过点C、D作、，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，得出，即，即可得证． 【详解】证明：∵、， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为平行四边形，且， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 28．如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，解一元一次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点，由已知条件“四边形的四边相等”可证得四边形为菱形，于是可得，，，，由已知条件“面积为”可得，解方程即可求出的长，进而可求出，的长，在中，根据勾股定理可得，据此可求出的长，然后根据“四边形的周长”即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点， 四边形的四边相等， 四边形为菱形， ，，，， ， 解得：， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， 四边形的周长， 故选：． 29．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴，即， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 30．如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据折叠和矩形的性质即可证明，即可判断①；先判断四边形是平行四边形，再根据判断四边形是菱形，即可判断②；点与点重台时设，表示出，利用勾股定理解出，进而求出即可判断③；当过点时，求出四边形面积的最小值，当与重台时，求出四边形面积的最大值，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠可得， ∵， ∴，故①正确； ， ， 根据折叠得， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为菱形，故②正确，符合题意； 当点与重合时，如图所示 设，则． 在中，，即， 解得：． ， ， 又∵四边形为菱形， ， ， 故③错误，不符合题意； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴，故④正确，符合题意． 故正确的是①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，翻折问题，三角形的面积，矩形、菱形及平行四边形的性质等知识点，熟练应用矩形、菱形、平行四边形的性质及翻折的性质是解题的关键． 31．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． （1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴CF的长是． 题型08.由菱形的性质与判定求面积 32．如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形为菱形 【答案】C 【分析】本题主要查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．根据平行四边形的性质可得，再由四边形的内角和定理可得，可判定A；再由，，可得，可判定D；再证明，可得，从而得到，可判定B，即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴四边形为菱形，故D选项正确，不符合题意； ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到的大小关系， ∴无法确定的形状，故C选项错误，符合题意； 故选：C 33．如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：C． 34．如图，在中，，对角线，则的面积为 _____． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，勾股定理求得，进而求得，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于， 在中，， 四边形是菱形， ， 又对角线， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 35．如图，两条宽度为1的纸带，相交成角，那么重叠部分的面积是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，勾股定理，直角三角形的性质．先确定重叠部分为菱形，再通过构造直角三角形，利用勾股定理求出菱形边长，最后根据菱形的面积公式计算面积即可得解． 【详解】解：由题可知：重叠部分是菱形，设菱形，则， 过作于点， 纸带的宽度为1， ， 设， ， ， （在直角三角形中，角所对直角边是斜边的一半）， 在中，， 解得：， ， 重叠部分的面积是：． 故选：A． 36．如图，在中，，O，C 分别是，边的中点．连接，过点 B 作 交的延长线于点 A ，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形的面积为36 【分析】本题考查平行四边形/菱形判定、直角三角形斜边中线性质、勾股定理、面积计算．证全等得平行四边形，结合直角三角形性质证菱形；用勾股定理求线段，算菱形面积再求和．解题关键为用斜边中线证邻边相等；借菱形对角线算面积．易错点：漏用斜边中线性质；混淆面积组成． (1) 由、O是中点，由证，得，定平行四边形；用斜边中线性质，得，平行四边形邻边相等，定菱形． (2) 由菱形得，用勾股定理得，；算菱形面积；加面积，得总面积36． 【详解】（1）由，得； 又O是中点， ，且； ， ； ， 故四边形是平行四边形． 在中，C是中点， ； ， 故四边形为菱形． （2）由菱形得， 在中，，O是中点，故； 由勾股定理得，故． ； ， 故； ． 题型09.菱形与折叠问题. 37．如图，在中，，将翻折，点恰好落在边上的点，折痕分别交边和边于点和，使四边形是菱形．当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，菱形的边长是____________． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 连接交于点O，由菱形的性质可得，分三种情况：，，，画出图形，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理分别求解即可． 【详解】解：连接交于点O， 四边形是菱形， ， ， 当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，分三种情况： 当时，如图， ， ， ， 又四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， 解得， 菱形的边长； 当时，如图， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 在中，， ， ， ， 解得，负值舍去， 当时，点D与点B重合，此种情况不存在， 综上可知，菱形的边长是或． 故答案为：或． 38．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵F为中点， ∴（等腰三角形三线合一的性质），即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又由折叠的性质得：， ， 在中，由三角形的内角和定理得：， 故选：C． 【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键． 39．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出，然后根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度即可． 【详解】解：菱形中，，， ，，，， ，， ， ， 将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处， ，， ，， ，， ，， ． 40．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 题型10.菱形与动点问题 41．菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第时，点P的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是找出点P运动规律．先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】解：的坐标为，点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点每运动8秒回到点位置， 点移动到第秒时，落在中点，即点， 故答案为：． 42．如图，在菱形中，，，为的中点，为上的一个动点，则周长的最小值为______ 【答案】/ 【分析】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理和轴对称-最短路线问题．熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答本题的关键．连接交于点，连接，由菱形的性质，得出B点关于的对称点D，则就是的最小值，再由勾股定理可求出，此时得周长的最小值． 【详解】解：连接交于点，连接， 四边形是菱形， ， 关于直线对称， ， , ， 当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，即为的长， ， ， ， 是等边三角形， 是的中点， ，， , 的周长． 故答案为：． 43．如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是菱形，，，算出，再根据点M是边的中点，，得出，是边上的中点，作点关于的对称点，连接交于，此时，得出当三点共线时，有最小值，最小值为的长．，再证明四边形是平行四边形，得出，求出的最小值为1，根据周长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵点M是边的中点，， ∴是的中位线， ∴，是边上的中点， 作点关于的对称点，连接交于， 此时，当三点共线时，有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， ∴是的中点， 又∵是边上的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∵周长， 则周长的最小值是， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识点，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 44．【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值. 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵，，， ∴解得：（舍） 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 题型11.菱形与最值问题. 45．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，作点，使得且，连接，可得 四边形是平行四边形，得到，即得，作点关于直线的对称点，连接、， 得，即得，根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，利用平移的性质可得，， 最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是菱形，，， ，，， ∵四边形是平行四边形， ，， 作点，使得且，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于直线的对称点，连接、， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， ，， ∴点可看作由点沿方向平移得到， ∵，， 又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧， ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处， ∵点在下方个单位处，且在上， ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， ∵点与点关于对称， ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为， ，， 在中，， 的最小值为． 46．如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，，对称得到，进而得到，证明，进而得到，得到，进而得到当点三点共线时，的值最小，根据菱形的性质，易得关于对称，为等边三角形，三线合一得到，进而得到，进而得到当点移动到点时，点三点重合，此时的值最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，，，，则， ∵对称， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵四边形为菱形， ∴，垂直平分， ∴，关于对称， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵点在上运动， ∴当点运动到点时，此时三点重合，的值最小为的长， 故的最小值为． 47．如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】在菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小， 当时，为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 48．如图1，在菱形中，，点是上一点． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将（1）中作图添加的线段作为辅助线，证明； (3)如图2，在（1）的条件下，若是AB中点，求的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，点即为所求； （2）连接，，证明为等边三角形，进而得到，证明，进而得到，，进而推出为等边三角形，即可得证； （3）取的中点，作点关于的对称点，连接，证明，得到，进而得到，推出当三点共线时，的值最小，为的长，连接，交于点，延长，交于点，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理推出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）连接， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）取的中点，作点关于的对称点，连接，则：， 由（2）知：， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 连接，交于点，延长，交于点， ∵关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查尺规作图--复杂作图，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 题型12.菱形与坐标综合题 49．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 50．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的对边平行、利用坐标轴垂直的特点推导三角形内角是解题的关键． 利用菱形的性质推导角的关系，结合坐标轴垂直的特点，证明为等腰直角三角形，进而求出线段长度确定点坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴是等腰直角三角形． 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴（线段长度为正）． ∵， ∴， ∴点的坐标为 故选：A． 51．如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，先求出，再根据菱形的性质得出，，求出，，根据作图可知垂直平分，根据中点坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，作于G，作于T，    ∵， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 由作图得垂直平分， ∴， ∴点E是的中点， ∴，即， 故选：A． 52．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 53．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 题型13.菱形的探究型问题 54．【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接、，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【答案】[探究发现]四边形是菱形．理由见解析 [探究证明]证明见解析 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，菱形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理． [探究发现]由于将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形． 【详解】解：[探究发现] 四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明] 证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形． 55．探究小组在研究平行四边形时发现：过平行四边形两条对角线的交点作其中一条对角线的垂线，与一组对边所在直线相交所得的两点和该对角线的两个端点连成的四边形是菱形．现在你作为小组成员，请根据以上思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂线（不写作法，保留作图痕迹） 如图，在中，点为对角线，的交点．用尺规过点作的垂线，分别交直线，于点，，连接，． 第二步：证明四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ①______． 四边形是平行四边形， ， ②______． ， ， ③______． ， ④______． 又， 四边形是菱形． 【答案】图见解析；；；；四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定定理、全等三角形的判定与性质，根据题意画出图形即可，由平行四边形的性质可得，证明垂直平分，得出，再证明得出，再证明四边形是平行四边形，结合即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：图形如图所示： ， 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 56．在学习了平行四边形的性质，小东和小西进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． (1)作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小东写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵在中，， ∴ ， ∵平分， ∴ ． ∴， ∴ ． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵， ∴四边形是菱形． 小东和小西经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)；；；；四边形是平行四边形；互相垂直 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定、角平分线的尺规作图及性质，关键是利用平行四边形的对边平行及平行四边形与菱形的判定定理完成证明与命题推导． （1）需掌握用尺规作角平分线的基本步骤； （2）先利用平行得内错角相等，结合角平分线得角相等，进而证边相等，再通过一组对边平行且相等证平行四边形，最后由邻边相等证菱形． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 所以平行四边形的任意一组邻角的平分线：互相垂直， 故答案为：；；；；四边形是平行四边形；互相垂直． 57．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理． （1）根据菱形的性质结合已知条件可得，根据折叠的性质得出，则，根据等角对等边，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，根据菱形的性质可得，结合，即可证明，从而得证； （3）先求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 是菱形， ，， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 为的中点 于点 四边形是矩形； （3）解：∵为的中点，， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴，则 ∴ ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴，则 在中， 设，则， 又∵ ∴ 解得： ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08菱形性质与判定专项训练 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.添条件并证四边形是菱形 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求面积 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与最值问题 题型12.菱形与坐标综合题 题型13.菱形的探究型问题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 知识点02:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 题型01.利用菱形的性质求角度 1．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知菱形的边长为1，它的一条对角线长也为1，那么这个菱形较小的内角是______度． 3．如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，连接与．则的度数为________． 4．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 题型02.利用菱形的性质求线段长 6．如图，菱形的对角线、相交于点，若菱形的周长为20，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，四边形是边长为4的菱形，，延长至点E，使得，连接交于点F，连接，则的长为_______． 8．如图，在菱形中，连接，点E在上，连接交于点F，作于点G，，，若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，，分别以A，C为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交于点E，连接，点D是的中点，连接并延长至点F，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 题型03.利用菱形的性质求面积 10．已知菱形的对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是______． 11．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（   ）． A． B． C． D． 12．如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 13．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 14．如图，在平行四边形中，于，于，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 题型04.利用菱形的性质证明 15．如图，四边形是菱形，与交于点O．下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 16．任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个________（填“菱形”或“矩形”或“正方形”）． 17．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则四边形的面积为__________． 18．把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形中，，，则菱形的等积线段长度取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05.添条件并证四边形是菱形 19．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 20．在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，琪琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分别相等，然后再测量出_____，最后得到结论：这个四边形是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．两条对角线垂直 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 21．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 22．如图，已知，，，，点是上一动点（不与、重合），连接，分别将和沿直线、翻折得到和，连接，给出下列结论： ； 面积的最小值为； 当、、三点共线时，四边形是菱形； 当时，的长为； 则正确结论有______．（填序号） 23．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为________． 题型06.由菱形的性质与判定求角度 24．如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为______． 25．如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点D为上一点，若，，，则的面积为________．    26．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 27．如图，点O是平行四边形对角线的交点，分别过点C、D作、，连接．求证：四边形是矩形． 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 28．如图，四边形的四边相等，且面积为，对角线，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 29．如图，矩形的对角线，相交于点，．．若，，则四边形的周长为______． 30．如图，矩形纸片，，，点M、N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在点G处，连接，交于点Q，连接．给出下列结论：①当点G落在矩形外时，；②四边形是菱形；③点P与点A重合时，；④的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 31．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型08.由菱形的性质与判定求面积 32．如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形为菱形 33．如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 34．如图，在中，，对角线，则的面积为 _____． 35．如图，两条宽度为1的纸带，相交成角，那么重叠部分的面积是（   ） A． B． C． D．1 36．如图，在中，，O，C 分别是，边的中点．连接，过点 B 作 交的延长线于点 A ，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型09.菱形与折叠问题. 37．如图，在中，，将翻折，点恰好落在边上的点，折痕分别交边和边于点和，使四边形是菱形．当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，菱形的边长是____________． 38．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点D的对应点为，与交于点F，若F为中点，则的度数为（  ） A． B． C． D． 39．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将菱形沿着折叠，使得点恰好落在上的点处，与相交于点、，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 40．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 题型10.菱形与动点问题 41．菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发，沿的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第时，点P的坐标为_____． 42．如图，在菱形中，，，为的中点，为上的一个动点，则周长的最小值为______ 43．如图，点P是菱形对角线上一动点，，，点M是边的中点，过点M作交于点N，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 44．【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 题型11.菱形与最值问题. 45．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 46．如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 47．如图，在菱形中，，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 48．如图1，在菱形中，，点是上一点． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将（1）中作图添加的线段作为辅助线，证明； (3)如图2，在（1）的条件下，若是AB中点，求的最小值． 题型12.菱形与坐标综合题 49．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 50．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，点在轴上，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 51．如图，已知菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线，交于点E，连接，若恰好经过点A，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 52．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 53．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 题型13.菱形的探究型问题 54．【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接、，如图②．求证：四边形是平行四边形． 55．探究小组在研究平行四边形时发现：过平行四边形两条对角线的交点作其中一条对角线的垂线，与一组对边所在直线相交所得的两点和该对角线的两个端点连成的四边形是菱形．现在你作为小组成员，请根据以上思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂线（不写作法，保留作图痕迹） 如图，在中，点为对角线，的交点．用尺规过点作的垂线，分别交直线，于点，，连接，． 第二步：证明四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ①______． 四边形是平行四边形， ， ②______． ， ， ③______． ， ④______． 又， 四边形是菱形． 56．在学习了平行四边形的性质，小东和小西进行了拓展探究．如图，在中，点E是上的一点，且． (1)作的平分线交于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，小西猜测四边形是菱形，小东写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵在中，， ∴ ， ∵平分， ∴ ． ∴， ∴ ． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵， ∴四边形是菱形． 小东和小西经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组内角的平分线 ． 57．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $