第5章 特殊平行四边形（单元自测·提升卷）数学新教材浙教版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第5章 特殊平行四边形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D C B B A B D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．或 12． 13． /45度 14． 10 15． 3s或6s或9s 16． ①②③ 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得，根据三角形的周长公式求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴．（8分） 18．（8分） 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴．（8分） 19．（8分） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形．（8分） 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质，结合，四边形是平行四边形，结合，即可证明平行四边形是矩形． （2）由（1）可知，结合，可得四边形是平行四边形，，再根据矩形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形；（4分） （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是矩形， ．（8分） 21．（8分） 【答案】（1） （2），理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）由正方形性质可得，，可证得，，即可证得结论； （2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论． 【详解】解：（1）， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ．（4分） （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ．（8分） 22．（10分） 【答案】(1)，， (2)①，证明见解析；② 【分析】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据垂美四边形和勾股定理解答即可； （2）①如图，连接，根据垂美四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质进行证明即可；②结合①的结论计算即可． 【详解】（1）解： ， 理由：∵， ∴， 由勾股定理得， ，， ∴， ， ； 故答案为：，，（4分） （2）①，证明如下： 如图2，连接， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形，（7分） ②由①得，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：（10分） 23．（10分） 【答案】(1)①；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴；（3分） ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积；（6分） （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（8分） ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或．（10分） 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．（12分） 【答案】(1)①；；②且 (2) 【分析】本题主要围绕“等直点”的定义展开，通过分析点与线段、正方形的位置关系，结合坐标运算和几何图形的性质来求解相关问题． （1）①需要根据“等直点”定义，逐一判断所给点是否满足条件； ②要先确定线段 “等直点”的区域，再根据直线经过该区域边界点来确定k的取值范围； （2）则是先确定正方形 “等直点”的区域，再根据直线经过该区域边界点来确定线段长度a的取值范围． 【详解】（1）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图， 对于，， 对于，， ∴， ∴， ∴和是线段的“等直点”； 而对于和线段上找不到任何两个点可以使和符合线段的“等直点”的条件， 故答案为：；；（3分） ②设点是线段的“等直点”， 如图，，点C坐标为，D坐标为， 根据“等直点”定义可知，点P的横坐标必须在A、B两点横坐标之间，点P到的最大距离为的长度， ∴点P在平面直角坐标系中的位置都在线段外围虚线所围的区域内，但不包含线段， ∴， ∴当直线经过点时，k取最大值，最大值为3， 当直线经过点时，k取最小值，最小值为， ∵， ∴k的取值范围为且；（6分） （2）解：如图，根据（1）②得，所有正方形的“等直点”都在虚线封闭图形区域内，而直线上的所有正方形的“等直点”组成的线段，就是直线在虚线封闭图形内的线段部分，长度为a， 当直线经过点或时，a取得最小值， 此时； 当直线经过点、、、中任意一点时，a取得最大值， 此时， ∴a的取值范围为． 故答案为：（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第5章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 3．若一个正方形的边长是方程的一个根，则该正方形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 7．如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 10．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，要使是菱形，需添加的条件是 ． 12．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 13．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ． 14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 16．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 18．（8分）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：． 19．（8分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 20．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 21．（8分）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角． （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 22．（10分）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理 ＝ ＋ ；＝ ＋ ； ＝ ＋ ；＝ ＋ ； 所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ； (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，． ①与的位置关系是 ，给出证明； ②若，，则线段的长是 ． 23．（10分）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 24．（12分）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下 定义：若图形W上存在点M和点Q，使得，且，则称点P为图形W的“等直点”． (1)如图1，点A的坐标为，点B的坐标为， ①点， 是线段的“等直点”； ②若直线上存在线段的“等直点”，求k的取值范围； (2)如图2，边长为2的正方形的对角线交于O点，其各边与坐标轴平行．记线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”所构成的图形为G．若直线上的所有图形G上的点所组成的线段长度为a，则直接写出a的取值范围是 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第5章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形称为菱形．菱形的四条边相等，据此判定即可． 【详解】解：选项A中四边形不是平行四边形， 选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意； 选项C中是矩形， 选项D中没有四边都相等的四边形． 故选：B． 2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质：矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等， 故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 3．若一个正方形的边长是方程的一个根，则该正方形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解二次方程得到两个根，取正根作为边长，计算周长． 【详解】解：∵可因式分解为， ∴或． ∵正方形的边长必须为正数， ∴取． ∴周长为． 故选：D． 4．下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意； 选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意； 选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意． 故选：． 5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由菱形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 7．如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中位线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 设的中点分别为，连接，可证为的中位线，得到，，，再由勾股定理即可得到，同理可得即可求解． 【详解】解：设的中点分别为，连接， 在矩形中，O是对角线的中点， 为的中位线，即， ，， 又， ， 又为中点，， ， ， 同理可得， ， ． 故选：A． 8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 9．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 10．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到函数，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 由点是点关于直线的对称点，连接交于点，则此时取得最小值，即，即可求解． 【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接交于点， 根据点的对称性，，则为最小， 故， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）， 故选：B． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，要使是菱形，需添加的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 12．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且，， ∴， ∴， 在中，由等积法得：， ∴， 故答案为：． 13．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片． 本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形对边平行相等， ∴ ∴． 故答案为：10． 15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 16．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则结论①正确；先求出，再过点作于点，利用勾股定理可得的长，然后根据即可得结论②正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，则，再利用三角形的面积公式可得结论③正确；先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后利用的面积求出的长，由此即可得结论④错误． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； ∵在中，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，则结论②正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，连接，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， ∴的最小值为，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得，根据三角形的周长公式求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．（8分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 20．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质，结合，四边形是平行四边形，结合，即可证明平行四边形是矩形． （2）由（1）可知，结合，可得四边形是平行四边形，，再根据矩形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是矩形， ． 21．（8分）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角． （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）由正方形性质可得，，可证得，，即可证得结论； （2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论． 【详解】解：（1）， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 22．（10分）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理 ＝ ＋ ；＝ ＋ ； ＝ ＋ ；＝ ＋ ； 所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ； (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，． ①与的位置关系是 ，给出证明； ②若，，则线段的长是 ． 【答案】(1)，， (2)①，证明见解析；② 【分析】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据垂美四边形和勾股定理解答即可； （2）①如图，连接，根据垂美四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质进行证明即可；②结合①的结论计算即可． 【详解】（1）解： ， 理由：∵， ∴， 由勾股定理得， ，， ∴， ， ； 故答案为：，， （2）①，证明如下： 如图2，连接， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形， ②由①得，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为： 23．（10分）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．（12分）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下 定义：若图形W上存在点M和点Q，使得，且，则称点P为图形W的“等直点”． (1)如图1，点A的坐标为，点B的坐标为， ①点， 是线段的“等直点”； ②若直线上存在线段的“等直点”，求k的取值范围； (2)如图2，边长为2的正方形的对角线交于O点，其各边与坐标轴平行．记线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”所构成的图形为G．若直线上的所有图形G上的点所组成的线段长度为a，则直接写出a的取值范围是 ． 【答案】(1)①；；②且 (2) 【分析】本题主要围绕“等直点”的定义展开，通过分析点与线段、正方形的位置关系，结合坐标运算和几何图形的性质来求解相关问题． （1）①需要根据“等直点”定义，逐一判断所给点是否满足条件； ②要先确定线段 “等直点”的区域，再根据直线经过该区域边界点来确定k的取值范围； （2）则是先确定正方形 “等直点”的区域，再根据直线经过该区域边界点来确定线段长度a的取值范围． 【详解】（1）解：①∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图， 对于，， 对于，， ∴， ∴， ∴和是线段的“等直点”； 而对于和线段上找不到任何两个点可以使和符合线段的“等直点”的条件， 故答案为：；； ②设点是线段的“等直点”， 如图，，点C坐标为，D坐标为， 根据“等直点”定义可知，点P的横坐标必须在A、B两点横坐标之间，点P到的最大距离为的长度， ∴点P在平面直角坐标系中的位置都在线段外围虚线所围的区域内，但不包含线段， ∴， ∴当直线经过点时，k取最大值，最大值为3， 当直线经过点时，k取最小值，最小值为， ∵， ∴k的取值范围为且； （2）解：如图，根据（1）②得，所有正方形的“等直点”都在虚线封闭图形区域内，而直线上的所有正方形的“等直点”组成的线段，就是直线在虚线封闭图形内的线段部分，长度为a， 当直线经过点或时，a取得最小值， 此时； 当直线经过点、、、中任意一点时，a取得最大值， 此时， ∴a的取值范围为． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第5章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 3．若一个正方形的边长是方程的一个根，则该正方形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 7．如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 8．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 10．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，要使是菱形，需添加的条件是 ． 12．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 13．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ． 14．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 15．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 16．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 18．（8分）如图，在正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，连接，且．求证：． 19．（8分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 20．（8分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 21．（8分）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角． （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 22．（10分）定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理 ＝ ＋ ；＝ ＋ ； ＝ ＋ ；＝ ＋ ； 所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ； (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，． ①与的位置关系是 ，给出证明； ②若，，则线段的长是 ． 23．（10分）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 24．（12分）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，给出如下 定义：若图形W上存在点M和点Q，使得，且，则称点P为图形W的“等直点”． (1)如图1，点A的坐标为，点B的坐标为， ①点， 是线段的“等直点”； ②若直线上存在线段的“等直点”，求k的取值范围； (2)如图2，边长为2的正方形的对角线交于O点，其各边与坐标轴平行．记线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”、线段的“等直点”所构成的图形为G．若直线上的所有图形G上的点所组成的线段长度为a，则直接写出a的取值范围是 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $