专题01 数与式、方程与不等式（复习讲义）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题01 数与式、方程与不等式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：比较大小问题 题型三：用科学记数法表示较大/较小的数 题型四：整式的混合运算 题型五：化简求值问题 题型六：规律探究问题 题型七：因式分解 题型八：分式有/无意义，值为0的条件 题型九：分式的混合运算 题型十：二次根式有意义的条件 题型十一：二次根式的混合运算 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 知识5 二次根式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：已知方程（组）的解，求参数 题型二：解方程（组）、不等式（组） 题型三：一元二次方程根的判别式 题型四：一元二次方程根与系数的关系 题型五：一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 题型六：分式方程的参数问题 题型七：根据实际问题列方程 题型八：利用方程、不等式解决实际问题 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识2 解二元一次方程（组） 知识3 解分式方程 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 命题预测 命题透视 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题” 特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1）数与式：侧重运算工具性，常与几何、函数结合，新定义运算、规律探究为创新考法。 2）方程与不等式：侧重实际应用与综合建模，方案设计、参数讨论、整数解问题为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 实数的概念与运算 T1（湖南省卷·实数比较） T1（长沙市卷·科学记数法） T17（长沙市卷·实数运算） T1（湖南省卷·正负数） T2（湖南省卷·科学记数法） T17（长沙市卷·实数运算） 整式的运算与化简求值 T4（长沙市卷·整式运算） T20（湖南省卷·整式化简求值） T4（湖南省卷·整式运算） T18（长沙市卷·整式化简求值） 因式分解 T11（长沙市卷·提公因式法） T13（湖南省卷·提公因式法） T11（长沙市卷·提公因式法） T13（湖南省卷·公式法） 分式 T13（湖南省卷·分式有意义） T20（湖南省卷·分式化简） T13（湖南省卷·分式有意义） T20（长沙市卷·分式化简求值） 二次根式 T12（湖南省卷·二次根式化简） T4（长沙市卷·二次根式运算） T5（湖南省卷·二次根式乘法） T4（长沙市卷·二次根式运算） 一元一次方程与二元一次方程组 T22（湖南省卷·列方程组） T22（长沙市卷·列方程组） T22（湖南省卷·列方程组） T22（长沙市卷·列方程组） 一元二次方程 T18（长沙市卷·一元二次方程） T25（湖南省卷·一元二次方程） T15（湖南省卷·根的判别式） T25（长沙市卷·一元二次方程） 分式方程 T13（长沙市卷·分式方程） T13（湖南省卷·分式方程） T13（长沙市卷·分式方程） T13（湖南省卷·分式方程） 一元一次不等式（组） T18（湖南省卷·不等式组） T22（长沙市卷·不等式应用） T18（长沙市卷·不等式组） T22（湖南省卷·不等式应用） 方程与不等式综合 T22（湖南省卷·利润问题） T22（长沙市卷·费用问题） T22（湖南省卷·方案选择） T22（长沙市卷·费用问题） 命题预测 1. 考情预测 · 数与式： · 基础题：侧重运算准确性，零指数幂、负指数幂、二次根式化简为必考点。 · 中档题：新定义运算、规律探究、整体代入为创新方向，与几何、函数结合更紧密。 · 工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。 · 方程与不等式： · 核心考点：一元二次方程的判别式与韦达定理、不等式组的整数解与参数、分式方程的实际应用。 · 综合趋势：方程（组）+ 不等式 + 一次函数的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力。 · 情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。 · 突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。 · 强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。 · 关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。 考点一 数与式 题型一 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 2．（2025·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 4.（2024·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 题型二 比较大小问题 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 1．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 【详解】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 2．（2023·湖南益阳·中考真题）四个实数，0，2，中，最大的数是（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的数是2． 故选：C 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 3．（2023·湖南怀化·中考真题）下列四个实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可． 【详解】 最小的数是： 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键． 题型三 用科学记数法表示较大/较小的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·湖南长沙·中考真题）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为， 故选：C． 3．（2024·湖南·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 题型四 整式的混合运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误； B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误； C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确； D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C 2．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 3．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（2023·湖南岳阳·中考真题）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解． 【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；     B、 ，故该选项不正确，不符合题意；     C、 ，故该选项不正确，不符合题意；     D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键． 题型五 化简求值问题 1）整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入. 2）分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（2023·湖南常德·中考真题）若，则(   ) A．5 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】把变形后整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 2．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可． 【详解】 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键． 4．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式。 5．（2023·湖南益阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入化简后的分式中进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练的计算分式的混合运算是解本题的关键． 6.（2023·湖南张家界·中考真题）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 当时 原式． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 7.（2023·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；2 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键． 题型六 规律探究问题 1．（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为(   )                           …… A．2003 B．2004 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致． 【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则． ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性． 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子： ；；；；；… 依此规律，则第（为正整数）个等式是_________． 【答案】 【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解． 【详解】解：∵；；；；；… ∴第（为正整数）个等式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 【答案】DDDD 【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的． 【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的； ，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的； ， 2的乘方的个位数字4个一循环， ， 的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的； ，，且 ，故QGYW（强国有我）的理解是正确的； 故答案为：DDDD． 【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键． 4．（2021·湖南湘西·中考真题）古希腊数学家把，，，，，，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为，第二个图形表示的三角形数记为，…，则第个图形表示的三角形数＝___．（用含的式子表达） 【答案】 【分析】由题意易得，，，；…..；然后由此规律可得第个图形表示的三角形数． 【详解】解：由图及题意可得： ，，，；….. ∴第个图形表示的三角形数； 故答案为． 【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可． 题型七 因式分解 1．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【详解】解：， 故答案为： 3．（2025·湖南·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2023·湖南张家界·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键． 5．（2023·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：． ①若，则_________． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有_________个 【答案】 【分析】①把代入求值即可； ②由题意知：均为整数， ，则再分三种情况讨论即可． 【详解】解：①当时，， 解得：； ②当m、、为正整数时， 均为整数， 而 或或， 或或， 当时，时，；时，， 故为，共2个； 当时，时，；时，，时， 故为，共3个； 当时，时，；时，， 故为，共2个； 综上所述：共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． 题型八 分式有/无意义，值为0的条件 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 2．（2023·湖南·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 题型九 分式的混合运算 按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. 1．（2025·湖南·中考真题）约分：______； 【答案】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的约分可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的加法运算可判断C，根据零指数幂的含义可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，运算正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查分式的约分，幂的乘方运算，分式的加法运算，零指数幂，熟记运算法则是解本题的关键． 3.（2023·湖南·中考真题）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可． 【详解】解：原式= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理． 题型十 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 1.（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， ， 故选：D． 【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键． 2．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答． 【详解】解：当时，没有意义， 解得， 为正整数， 可取1，2， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键． 3.（2022·湖南常德·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键． 题型十一 二次根式的混合运算 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的； 2）灵活运用运算律. 3）正确使用乘法公式. 4）有些运算中约分可使运算简便. 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．（2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先计算零次幂，化简绝对值，化简二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂的含义，化简绝对值，二次根式，熟记相关概念与运算法则是解本题的关键． 4.（2022·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可． 【详解】解： = =6 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键． 知识1 实数的混合运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识2 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识5 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2026·湖南长沙·二模）第35届乒乓球亚洲杯于2026年2月4日至8日在海南海口举行．在比赛用球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示（    ） A．低于标准质量 B．低于标准质量 C．高于标准质量 D．减少 【答案】A 【分析】根据已知正量的含义，推得负量表示的相反意义即可得到答案. 【详解】∵题目规定高于标准质量记为正，高于标准质量记作， ∴负号表示与“高于标准质量”相反的意义，即低于标准质量， 因此表示低于标准质量，A选项符合. 2．（2026·湖南长沙·一模）在下列四个数中，其中是无理数的是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【详解】A选项：是分数，属于有理数； B选项：开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； C选项：是有限小数，属于有理数； D选项：2026是整数，属于有理数， 所以是无理数的是选项B． 3．（2026·湖南·模拟预测）2025年全国普通高校毕业生规模大约达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值是解题关键，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值大于时，为正数． 【详解】∵将变形为符合科学记数法要求的时，得到，小数点向左移动了位， ∴， 即， 故选C． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（    ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示一粒粟的重量约为千克． 故选：C． 5．（2026·湖南岳阳·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需根据二次根式的加减法法则，幂的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式，逐一判断各选项的运算是否正确． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得 ，∴B正确； 选项C：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得 ，∴C错误； 选项D：根据完全平方公式展开，可得 ，∴D错误． 6．（2026·湖南长沙·一模）因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 7．（2026·湖南·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】根据二次根式以及分式有意义的情况进行求解不等式即可． 【详解】解：该函数含二次根式、以及分式， 故需同时满足且， 解得． 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）化简的结果等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：原式 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】D 【分析】先确定的取值范围，再通过不等式性质得到的范围． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 因此的值在3和4之间，故选D． 10．（2026·湖南郴州·一模）定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“溯源值”的定义，将二次多项式代入方程，求出方程的解（用含m的式子表示），再结合“溯源值”的取值范围，通过不等式的性质求出m的取值范围，进而得到m的最小值． 【详解】解：∵是二次多项式， ∴，，， 将，，代入方程， 得：，即， 解得， ∵二次多项式的“溯源值”的取值范围是， ∴， 解得， 由可知，m的最小值是． 11．（2026·湖南娄底·一模）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形按此规律，第2026个图案中有___________个正三角形． 【答案】8106 【分析】通过观察前三个图案中正三角形的个数，发现后一个图案比前一个图案多4个正三角形，从而归纳出第n个图案中正三角形个数为，最后将代入计算即可． 【详解】解：第1个图案中正三角形的个数为， 第2个图案中正三角形的个数为， 第3个图案中正三角形的个数为， 依次类推， 第个图案中正三角形的个数为， 因此，第2026个图案中正三角形的个数为． 12．（2025·山西临汾·二模）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先根据平方差公式计算乘法、并根据二次根式的除法运算法则计算除法，再进行加减计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．（2026·湖南常德·一模）计算：； 【答案】 【分析】先化简二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再合并计算即可得到结果． 【详解】解： 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、单项式乘多项式、多项式除以单项式把原式化简，由得，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 16．（2026·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则，将除法转化为乘法并因式分解，约分后进行减法运算，化简分式，再将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 17．（2026·湖南娄底·一模）以下是某同学化简分式的运算过程． 解：原式    ①     ②     ③ (1)以上的运算过程第______（填序号）步出现了错误； (2)写出正确的完整化简过程，并求出当时分式的值． 【答案】(1)③ (2)过程见解析； 【分析】（1）先对原式中的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，最后进行约分； （2）先对原式进行化简，再将代入化简后的式子求值． 【详解】（1）解：在第③步中，对进行约分，先将化为，分子分母同时约去和a，可得，而不是， ∴第③步错误． （2）解：正确的完整化简过程如下： 原式 ， 当时， ． 18．（2026·湖南永州·一模）新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）由题意可知，，即可求解． （2）由题意可知，，化简代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据可知， 根据可知； （2）解： 考点二 方程与不等式 题型一 已知方程（组）的解，求参数 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】把代入再进行求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 2．（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则______． 【答案】6 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． 3．（2023·湖南怀化·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 【答案】 【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴ 解得：， 设原方程的另一个根为，则， ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 题型二 解方程（组）、不等式（组） 1．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再把求出的值代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时， 可得：， 是原分式方程的解． 故答案为：． 3．（2023·湖南常德·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：将①得：③ 得： 将代入①得： 所以是原方程组的解． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 4．（2025·湖南长沙·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 题型三 一元二次方程根的判别式 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 1．（2023·湖南怀化·中考真题）下列说法错误的是（    ） A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 B．一元二次方程有两个相等的实数根 C．任意多边形的外角和等于 D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 【答案】B 【分析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意； B、，则一元二次方程没有实数根，故此选项符合题意； C、任意多边形的外角和等于，故此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知识点是解题的关键． 2．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 3．（2023·湖南张家界·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 题型四 一元二次方程根与系数的关系 1．（2023·湖南湘西·中考真题）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________． 【答案】3 【分析】根据根与系数的关系得：，求出即可． 【详解】解： 则根据根与系数的关系得：， 解得：， 即方程的另一个根为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，． 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________． 【答案】3 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 题型六 分式方程的参数问题 1．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______． 【答案】 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 题型七 根据实际问题列方程(组) 1．（2023·湖南永州·中考真题）某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023·湖南益阳·中考真题）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据题意得： ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3．（2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设用6210文能买x株椽， 由题意得：， 故选：C． 4．（2023·湖南·中考真题）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 【答案】 【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 题型八 利用方程、不等式解决实际问题 1．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 (2)要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． （2）解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 2．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)最多能购买种材料20件． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 3．（2023·湖南怀化·中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)原计划租用种客车辆，这次研学去了人 (2)共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， (3)租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算 【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得， ， 解得： 所以（人） 答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人； （2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得 解得：， ∵为正整数，则， ∴共有种租车方案， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， （3）∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元， ∴种客车越少，费用越低， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， ∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键． 4．（2023·湖南·中考真题）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 【答案】(1)； (2)该商店继续购进了件航天模型玩具． 【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； （2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：因每件玩具售价为x元， 依题意得； （2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具， 依题意得：， 解得， 答：该商店继续购进了件航天模型玩具． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键． 5.（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 6.（2023·湖南岳阳·中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量． 【答案】今年龙虾的平均亩产量． 【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 答：今年龙虾的平均亩产量． 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 知识1 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 知识2 解二元一次方程（组） 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 知识3 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 1．（2026·湖南岳阳·一模）在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 2．（2026·湖南长沙·一模）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】先求出两个不等式的解集，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示为： 所以C符合题意． 3．（2026·湖南长沙·二模）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为一元一次方程，解一元一次方程后，检验所得根是否使分式分母不为零，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得 去括号得 移项，合并同类项得 系数化为得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 4．（2026·湖南郴州·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根，计算判别式即可判断根的情况． 【详解】对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 5．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 6．（2026·湖南怀化·一模）一元二次方程的两根之和为a，两根之积为b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将方程化为一般形式，再利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标后即可判断所在象限． 【详解】解：∵将原方程化为一般式得， 对于一元二次方程，两根之和为，两根之积为， ∴，，， ∴题目中两根之和，两根之积， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 7．（2026·湖南·模拟预测）在中，，若实数，是方程的两根，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形三角函数关系，一元二次方程根与系数的关系求解，先利用直角三角形两锐角互余得到，再结合同角三角函数平方关系，通过根与系数关系建立关于的方程，最后根据三角函数值的正负性筛选符合条件的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在中，， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∵，是方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∵， 将代入得：， 整理得：， 两边同乘（）：， 整理得：， 解得， 即或， ∵，， ∴，得， ∴， 故选：． 8．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 9．（2026·湖南邵阳·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 【答案】1 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，由此得到的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 11．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 12．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 13．解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）整理后，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：将方程组整理得：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得：， ∴方程组的解为． 14．（2026·湖南岳阳·一模）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 15．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 16．（2026·湖南株洲·一模）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元 (2)最多能买型机器人台 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台，根据题意列出不等式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台， 由题意得，， 解得，， 答：最多能买型机器人台． 17．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】(1) 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； (2) 最多能购进种赛车模型个． 【分析】（1）设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． （2）解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 18．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】(1)；， (2)①对称轴为；②过定点， (3)6 【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式、方程与不等式 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 数与式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：实数的混合运算 题型二：比较大小问题 题型三：用科学记数法表示较大/较小的数 题型四：整式的混合运算 题型五：化简求值问题 题型六：规律探究问题 题型七：因式分解 题型八：分式有/无意义，值为0的条件 题型九：分式的混合运算 题型十：二次根式有意义的条件 题型十一：二次根式的混合运算 必备知识 知识1 实数的混合运算 知识2 整式的混合运算 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 知识5 二次根式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：已知方程（组）的解，求参数 题型二：解方程（组）、不等式（组） 题型三：一元二次方程根的判别式 题型四：一元二次方程根与系数的关系 题型五：一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 题型六：分式方程的参数问题 题型七：根据实际问题列方程 题型八：利用方程、不等式解决实际问题 必备知识 知识1 解一元一次方程 知识2 解二元一次方程（组） 知识3 解分式方程 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 命题预测 命题透视 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题” 特点，以文字、图表、表格为载体，突出对运算能力、建模能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1）数与式：侧重运算工具性，常与几何、函数结合，新定义运算、规律探究为创新考法。 2）方程与不等式：侧重实际应用与综合建模，方案设计、参数讨论、整数解问题为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 实数的概念与运算 T1（湖南省卷·实数比较） T1（长沙市卷·科学记数法） T17（长沙市卷·实数运算） T1（湖南省卷·正负数） T2（湖南省卷·科学记数法） T17（长沙市卷·实数运算） 整式的运算与化简求值 T4（长沙市卷·整式运算） T20（湖南省卷·整式化简求值） T4（湖南省卷·整式运算） T18（长沙市卷·整式化简求值） 因式分解 T11（长沙市卷·提公因式法） T13（湖南省卷·提公因式法） T11（长沙市卷·提公因式法） T13（湖南省卷·公式法） 分式 T13（湖南省卷·分式有意义） T20（湖南省卷·分式化简） T13（湖南省卷·分式有意义） T20（长沙市卷·分式化简求值） 二次根式 T12（湖南省卷·二次根式化简） T4（长沙市卷·二次根式运算） T5（湖南省卷·二次根式乘法） T4（长沙市卷·二次根式运算） 一元一次方程与二元一次方程组 T22（湖南省卷·列方程组） T22（长沙市卷·列方程组） T22（湖南省卷·列方程组） T22（长沙市卷·列方程组） 一元二次方程 T18（长沙市卷·一元二次方程） T25（湖南省卷·一元二次方程） T15（湖南省卷·根的判别式） T25（长沙市卷·一元二次方程） 分式方程 T13（长沙市卷·分式方程） T13（湖南省卷·分式方程） T13（长沙市卷·分式方程） T13（湖南省卷·分式方程） 一元一次不等式（组） T18（湖南省卷·不等式组） T22（长沙市卷·不等式应用） T18（长沙市卷·不等式组） T22（湖南省卷·不等式应用） 方程与不等式综合 T22（湖南省卷·利润问题） T22（长沙市卷·费用问题） T22（湖南省卷·方案选择） T22（长沙市卷·费用问题） 命题预测 1. 考情预测 · 数与式： · 基础题：侧重运算准确性，零指数幂、负指数幂、二次根式化简为必考点。 · 中档题：新定义运算、规律探究、整体代入为创新方向，与几何、函数结合更紧密。 · 工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。 · 方程与不等式： · 核心考点：一元二次方程的判别式与韦达定理、不等式组的整数解与参数、分式方程的实际应用。 · 综合趋势：方程（组）+ 不等式 + 一次函数的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力。 · 情境创新：以 “传统文化、科技发展、社会热点” 为背景，考查数学应用。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。 · 突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。 · 强化综合：针对 “方程 + 不等式 + 函数” 综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力。 · 关注创新：熟悉新定义、规律探究类题型，培养迁移与推理能力。 考点一 数与式 题型一 实数的混合运算 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 1．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 2．（2025·湖南·中考真题）计算：． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）计算：． 4.（2024·湖南·中考真题）计算：． 题型二 比较大小问题 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 1．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 2．（2023·湖南益阳·中考真题）四个实数，0，2，中，最大的数是（    ） A． B．0 C．2 D． 3．（2023·湖南怀化·中考真题）下列四个实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 题型三 用科学记数法表示较大/较小的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（2025·湖南长沙·中考真题）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·中考真题）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 题型四 整式的混合运算 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·湖南岳阳·中考真题）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 化简求值问题 1）整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入. 2）分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（2023·湖南常德·中考真题）若，则(   ) A．5 B．1 C． D．0 2．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 5．（2023·湖南益阳·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6.（2023·湖南张家界·中考真题）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 7.（2023·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值：，其中x满足． 题型六 规律探究问题 1．（2023·湖南常德·中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为(   )                           …… A．2003 B．2004 C．2022 D．2023 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子： ；；；；；… 依此规律，则第（为正整数）个等式是_________． 3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 4．（2021·湖南湘西·中考真题）古希腊数学家把，，，，，，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为，第二个图形表示的三角形数记为，…，则第个图形表示的三角形数＝___．（用含的式子表达） 题型七 因式分解 1．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式：______． 3．（2025·湖南·中考真题）因式分解：______． 4．（2023·湖南张家界·中考真题）因式分解：______． 5．（2023·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：． ①若，则_________． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有_________个 题型八 分式有/无意义，值为0的条件 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误. 1．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 2．（2023·湖南·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 题型九 分式的混合运算 按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式. 1．（2025·湖南·中考真题）约分：______； 2．（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·湖南·中考真题）已知，则代数式的值为________． 题型十 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 1.（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 3.（2022·湖南常德·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围为______． 题型十一 二次根式的混合运算 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的； 2）灵活运用运算律. 3）正确使用乘法公式. 4）有些运算中约分可使运算简便. 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．（2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）计算：． 4.（2022·湖南长沙·中考真题）计算：． 知识1 实数的混合运算 1.实数的混合运算 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 2.补充知识（特殊角的锐角三角函数值） 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 知识2 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识3 因式分解 知识4 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识5 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2026·湖南长沙·二模）第35届乒乓球亚洲杯于2026年2月4日至8日在海南海口举行．在比赛用球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示（    ） A．低于标准质量 B．低于标准质量 C．高于标准质量 D．减少 2．（2026·湖南长沙·一模）在下列四个数中，其中是无理数的是（   ） A． B． C． D．2026 3．（2026·湖南·模拟预测）2025年全国普通高校毕业生规模大约达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（    ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 5．（2026·湖南岳阳·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·一模）因式分解：________． 7．（2026·湖南·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是______． 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）化简的结果等于（    ） A． B． C． D．1 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 10．（2026·湖南郴州·一模）定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 11．（2026·湖南娄底·一模）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形按此规律，第2026个图案中有___________个正三角形． 12．（2025·山西临汾·二模）计算：_____． 13．（2026·湖南长沙·模拟预测）计算： 14．（2026·湖南常德·一模）计算：； 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 16．（2026·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中． 17．（2026·湖南娄底·一模）以下是某同学化简分式的运算过程． 解：原式    ①     ②     ③ (1)以上的运算过程第______（填序号）步出现了错误； (2)写出正确的完整化简过程，并求出当时分式的值． 18．（2026·湖南永州·一模）新定义：符号“f”表示一种新运算．它对一些数的运算结果如下： ，， ，，， …… 新定义：符号“g”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： ，，，， …… 利用以上规律计算： (1)______，______； (2)计算：． 考点二 方程与不等式 题型一 已知方程（组）的解，求参数 将方程的解代入原方程，等式左右两边的值一定相等，所以在利用方程的解求方程中的待定字母的值时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题. 1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（    ） A．3 B． C．7 D． 2．（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则______． 3．（2023·湖南怀化·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________． 题型二 解方程（组）、不等式（组） 1．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·中考真题）分式方程的解为______． 3．（2023·湖南常德·中考真题）解方程组： 4．（2025·湖南长沙·中考真题）解不等式组： 题型三 一元二次方程根的判别式 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 1．（2023·湖南怀化·中考真题）下列说法错误的是（    ） A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 B．一元二次方程有两个相等的实数根 C．任意多边形的外角和等于 D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 2．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 3．（2023·湖南张家界·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 题型四 一元二次方程根与系数的关系 1．（2023·湖南湘西·中考真题）已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________． 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________． 题型六 分式方程的参数问题 1．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______． 题型七 根据实际问题列方程(组) 1．（2023·湖南永州·中考真题）某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南益阳·中考真题）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南张家界·中考真题）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南·中考真题）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为__________． 题型八 利用方程、不等式解决实际问题 1．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 2．（2025·湖南·中考真题）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 3．（2023·湖南怀化·中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 4．（2023·湖南·中考真题）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 5.（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 6.（2023·湖南岳阳·中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量． 知识1 解一元一次方程 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 知识2 解二元一次方程（组） 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 知识3 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 知识4 解一元二次方程 知识5 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 1．（2026·湖南岳阳·一模）在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2026·湖南长沙·一模）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A．B．C．D． 3．（2026·湖南长沙·二模）分式方程的解为______． 4．（2026·湖南郴州·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 5．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．（2026·湖南怀化·一模）一元二次方程的两根之和为a，两根之积为b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2026·湖南·模拟预测）在中，，若实数，是方程的两根，则（   ） A．或 B． C． D．或 8．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 9．（2026·湖南邵阳·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 11．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 12．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______． 13．解下列方程（组）： (1) (2) 14．（2026·湖南岳阳·一模）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 15．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 16．（2026·湖南株洲·一模）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 17．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 18．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $