9.2 正弦定理与余弦定理的应用（讲义）高一数学人教B版必修第四册

第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 知识点一 正余弦定理解三角形 1、 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。 2、解三角形图形问题常用方法： （1）两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； （2）面积法是一种常用的方法，利用面积公式，通过等面积或者面积直接关系来列方程。 （3）正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； （4）若有角分线的话，可以使用角分线定理； （5）若有中线的话，可以使用中线定理 （6）平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则jie可以将其与余弦定理充分结合到一起； 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 知识点二 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 即学即练 1．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 2．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 知识点三 测量距离问题 解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。 1、 两点间不可达又不可视，如图，A、B 两点间有障碍物，但分别可以到达和，并能测量、 及 。 方法：已知两边及夹角（），用余弦定理直接求 。 2、 两点间可视但不可达，如图，在河一侧点，要测对岸、两点间的距离。 方法：在处测得 ∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求。 3、 两点都不可达，如图，两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点构成基线（可测长度），分别在处测量角度：在测与等，在测与等 通过多次正弦定理解三角形链： ① 在 中由及求或。 ② 在或中继续用正弦定理或余弦定理最终求。 即学即练 1．（25-26高一下·海南海口·月考）如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 知识点四 测量高度问题 利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。 基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。 1、 底部可达：利用直角三角形解 2、 底部不可达（仰角在不同位置测两次）： 设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。 即学即练 1．（25-26高一下·安徽安庆·月考）安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得，，则该塔高为（   ）（参考数据：） A．88m B．72m C．60m D．54m 知识点五 测量角度问题 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 2、方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 3、方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． 4、坡角与坡度 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 5、测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 即学即练 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 题型01 正余弦定理判断三角形形状 1、边化角：利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过三角恒等变换判断角的关系（如等腰、直角、等边）。 2、角化边：利用余弦定理将角的余弦转化为边的关系，通过代数变形判断边的相等或满足勾股关系。 3、结合内角和消元：将表达式中的多余角用另外两角表示，化简后分析角的等式或范围。 4、特殊值验证：得出一般结论后，代入特殊三角形（如30-60-90）验证是否自洽，避免遗漏情况。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 2．（25-26高一下·浙江宁波·月考）已知的内角所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等腰直角三角形 3．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 题型02 证明三角形中的恒等式或不等式 1、边化角统一变量：利用正弦定理将边转化为角的正弦，再通过三角恒等变换（和差化积、倍角公式等）化简目标式。 2、角化边转化为代数：利用余弦定理将角的余弦转化为边的关系，将原式化为关于三边的代数式，再通过因式分解或基本不等式证明。 3、引入外接圆半径：将边表示为半径与角正弦的乘积，代入后半径常可约去，简化表达式。 4、利用内角和消元：将三个角的函数转化为两个角的函数，减少变量个数，再分析单调性或值域。 5、构造函数求最值：对于不等式，可将一边视为函数，利用导数或已知不等式（如均值、柯西、琴生）证明。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 2．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 3．（25-26高一下·山东青岛·月考）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（   ） A．的最小值为 B． C．中线的长度为 D． 题型03 求三角形中的边长或周长的最值（范围） 若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 1、若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北保定·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 2．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知三个内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则边上高的最大值为 C．若的角平分线长为，且，则 D．若是锐角三角形，且，则的取值范围是 3．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 题型04 求三角形面积的最值（范围） 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·期中）已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 3．（2026高一·全国·专题练习）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 题型05 距离测量问题 1、建立几何模型：根据实际问题中的方位角、仰角、俯角等，将实际场景抽象为三角形，标出已知边长和角度。 2、选择解三角形工具：两角一边用正弦定理，两边及其夹角或三边用余弦定理，两边及一边对角需讨论解的情况。 3、分割复杂图形：若无法直接求解，可将多边形分割为多个三角形，逐个解出所需边长或角度。 4、利用公共边或公共角：多个三角形共享同一边或同一角时，通过该公共元素建立方程，联立求解。 5、实际意义检验：计算出的距离或角度需符合实际情况（如距离为正、角度在合理范围内），排除增根。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·山东淄博·月考）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 3．（25-26高一下·广西贵港·期中）已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 题型06 高度测量问题 1、构造直角三角形：涉及垂直高度（如楼高、山高、塔高）时，优先构造直角三角形，利用仰角俯角直接求解。 2、设未知数列方程：当无法直接构造直角三角形时，设所求高度为未知数，利用正余弦定理建立方程求解。 3、多个测量点联合：若在一个点无法测量，可在两个不同位置分别测量仰角或俯角，利用两观测点间的距离列方程。 4、转化为水平距离：高度往往与水平距离和仰角相关，先求出水平距离，再乘以仰角的正切得到高度。 5、利用相似或比值：当测量工具受限时，可借助已知高度的参照物，通过相似三角形或角度相等列比例式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·山东淄博·月考）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 3．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 题型07 角度测量问题 1、明确基准与方向：弄清仰角/俯角、方位角、方向角的定义。 2、画出示意图：根据文字描述画出包含已知点和未知点的图形，标出所有已知角度和边长。这是将实际问题转化为数学问题的关键步骤。 3、构造三角形：连接图中的关键点，构造出可解的三角形。通常需要利用对顶角相等、内错角相等（基于平行线）或互余关系，将测量角转化为三角形的内角。 4、选择合适的定理：已知两角一边：用正弦定理求边；已知两边及夹角或三边：用余弦定理求角；涉及直角三角形：优先用正切、正弦等三角函数定义。 典｜例｜精｜析 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)． 2．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 题型08 正余弦定理的其他应用 正余弦定理在几何图形中的计算、面积计算、与向量结合等问题中的应用。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，已知，，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点）． (1)求外接圆的直径； (2)直接写出面积的最大值（无需过程）； (3)记与的夹角为，试将表示为的函数，并求的最大值． 2．（25-26高一下·吉林长春·月考）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量． (1)若，，求的长度； (2)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与，面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值. 3．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点A，B，它们到河岸线l的距离都为3百米．为了铺设管道取水，计划在河岸线l上找一点Q修建抽水点，在AB与l之间修建中转接水点P，设计铺设三条直线管道PA，PB，PQ，其中百米，，．记铺设管道的总长度为y百米． (1)按下列要求建立函数关系式： （ⅰ）设，将y表示成的函数； （ⅱ）设百米，将y表示成x的函数； (2)请你选用（1）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 知识点一 正余弦定理解三角形 1、 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。 2、解三角形图形问题常用方法： （1）两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； （2）面积法是一种常用的方法，利用面积公式，通过等面积或者面积直接关系来列方程。 （3）正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； （4）若有角分线的话，可以使用角分线定理； （5）若有中线的话，可以使用中线定理 （6）平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则jie可以将其与余弦定理充分结合到一起； 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】AB 【分析】解法1：根据余弦定理和正弦定理进行边角关系转化可得，从而可得或，进而可判断三角形形状；解法2：对已知等式化简变形，然后根据边的关系判断三角形形状. 【详解】解法1：在中由余弦定理可得,整理得， 由正弦定理得,即，故， 所以，即， 所以，则，即. 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 解法2：因为，所以， 所以， 所以， ， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：AB 知识点二 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 即学即练 1．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 2．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 知识点三 测量距离问题 解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。 1、 两点间不可达又不可视，如图，A、B 两点间有障碍物，但分别可以到达和，并能测量、 及 。 方法：已知两边及夹角（），用余弦定理直接求 。 2、 两点间可视但不可达，如图，在河一侧点，要测对岸、两点间的距离。 方法：在处测得 ∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求。 3、 两点都不可达，如图，两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点构成基线（可测长度），分别在处测量角度：在测与等，在测与等 通过多次正弦定理解三角形链： ① 在 中由及求或。 ② 在或中继续用正弦定理或余弦定理最终求。 即学即练 1．（25-26高一下·海南海口·月考）如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【详解】由题意可知：， 由余弦定理可得， 所以甲船到达处需要的时间为小时. 知识点四 测量高度问题 利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。 基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。 1、 底部可达：利用直角三角形解 2、 底部不可达（仰角在不同位置测两次）： 设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。 即学即练 1．（25-26高一下·安徽安庆·月考）安庆振风塔，始建于1570年，为长江流域规模最大、最高的七级浮屠，有“万里长江第一塔”的美誉.如图，某同学测量振风塔高度时，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量点C，D，且在C，D两点测得塔顶A的仰角分别为63°，45°，在水平面上测得，，则该塔高为（   ）（参考数据：） A．88m B．72m C．60m D．54m 【答案】B 【分析】设，用表示，然后应用余弦定理求解. 【详解】设，在中，，，则， 在中，，则. 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去负值）， 所以该塔高为72m. 知识点五 测量角度问题 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 2、方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 3、方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． 4、坡角与坡度 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 5、测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 即学即练 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】/ 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 题型01 正余弦定理判断三角形形状 1、边化角：利用正弦定理将边转化为角的正弦，通过三角恒等变换判断角的关系（如等腰、直角、等边）。 2、角化边：利用余弦定理将角的余弦转化为边的关系，通过代数变形判断边的相等或满足勾股关系。 3、结合内角和消元：将表达式中的多余角用另外两角表示，化简后分析角的等式或范围。 4、特殊值验证：得出一般结论后，代入特殊三角形（如30-60-90）验证是否自洽，避免遗漏情况。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 2．（25-26高一下·浙江宁波·月考）已知的内角所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知为锐角，但不能确定三角形形状；C由正弦边角关系及三角形内角和性质推出即可判断；D由正弦定理及三角形内角性质得到可判断. 【详解】A：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确； B：由余弦定理知，只能说明为锐角，但不能确定是锐角三角形，错误； C：由可得， 即，则，故是等腰三角形，正确； D：由题设结合正弦定理得， 则，且，故， 即是等腰直角三角形，正确. 3．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】AB 【分析】根据正弦定理，可判断A的正误；根据数量积公式，可得，分析可判断B的正误；根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可判断C的正误；根据诱导公式、同角三角函数的关系，可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】对于A，在中，若，则. 由正弦定理，得，故，故A错误. 对于B，由向量数量积的定义，得， 则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角， 所以不一定是锐角三角形，故B错误. 对于C，因为，所以， 得到， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确. 对于D，因为， 又，则， 所以，所以. 因为为锐角三角形，所以，所以. 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 题型02 证明三角形中的恒等式或不等式 1、边化角统一变量：利用正弦定理将边转化为角的正弦，再通过三角恒等变换（和差化积、倍角公式等）化简目标式。 2、角化边转化为代数：利用余弦定理将角的余弦转化为边的关系，将原式化为关于三边的代数式，再通过因式分解或基本不等式证明。 3、引入外接圆半径：将边表示为半径与角正弦的乘积，代入后半径常可约去，简化表达式。 4、利用内角和消元：将三个角的函数转化为两个角的函数，减少变量个数，再分析单调性或值域。 5、构造函数求最值：对于不等式，可将一边视为函数，利用导数或已知不等式（如均值、柯西、琴生）证明。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对的边分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为． (1)若，求证： ①为的面积）； ②为等边三角形； (2)若，求证： 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①先根据表示出三角形的面积，再在中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；②先利用作差法证明，并求出取等号的条件，再结合即可得证； （2）方法一：根据（1）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证；方法二：在和中，分别利用正弦定理即可得证； 【详解】（1）①若，则 ， 所以． 在中，分别应用余弦定理，得 三式相加并整理，得， 即，所以； ②在中，由余弦定理可得， 则 ， 当且仅当且时取等号， 因为，所以， 所以，所以， 即当且仅当且时，即当且仅当为等边三角形时，， 又由①知， 所以为等边三角形； （2）方法一：由（1）得， 所以． 又， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得，故得证． 方法二：因为，所以， ，在中，， 即，在中，， 即，所以， 即，所以即. 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 2．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【详解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 3．（25-26高一下·山东青岛·月考）在锐角中，角，，对应的边分别为，，，若，则（   ） A．的最小值为 B． C．中线的长度为 D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判定A，利用余弦定理得，进而利用三角恒等变换和正弦定理和余弦定理即可判定B，利用向量和数量积即可判定C，利用B选项结合基本不等式即可判定D. 【详解】对于A：由，即， 当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由余弦定理有：，解得， 由 ， 由正弦定理得：， 又由余弦定理得， 所以 ，故B正确； 对于C：由，所以 ，所以，故C错误； 对于D：由选项B有①， 又，所以， 又②， 由①②有：，又由选项A有，且为锐角， 所以，所以， 所以，又为锐角三角形，所以， 所以， 所以，当时，等号成立，故D正确. 题型03 求三角形中的边长或周长的最值（范围） 若周长的最值或两边和的最值问题，通常有以下两种方法 1、若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。运用基本不等式时，看是否满足取等条件。 2、若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制（锐角或钝角），这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。 对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·河北保定·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理将已知关系式化为边的二次式，再利用余弦定理求角； （2）由是锐角三角形求出的范围，由正弦定理及将转化为关于的三角函数，求出范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，可转化为，即， 由余弦定理，又，所以； （2）因为为锐角三角形，所以，解得， 由正弦定理可得，， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 所以，即周长的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】连接，由题意可得，则可利用余弦定理求得，则可得，再设，利用正弦定理可表示出，最后利用辅助角公式及范围即可得解. 【详解】如图，连接，在中，，则， 所以， 则， 所以， 设，则， 于是在中，由正弦定理，得， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 2．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知三个内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则边上高的最大值为 C．若的角平分线长为，且，则 D．若是锐角三角形，且，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】借助余弦定理与两角和的正弦公式计算可得A；借助等面积法、余弦定理及基本不等式计算即可得B；借助等面积法结合余弦定理计算即可得C；利用正弦定理可用表示除，再利用的范围计算即可得. 【详解】对A：由可得， 由余弦定理可得， 利用正弦定理可得， 则， 即有，又，故， 则，又，故，故A正确； 对B：设边上高为，则，即， 由余弦定理可得，即， 即，当且仅当时，等号成立， 故，故B错误； 对C：由题意可得， 即有， 故，又，则， 故， 故，故C正确； 对D：由正弦定理可得， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 故，故， 故，故D正确. 3．（25-26高一下·黑龙江鸡西·月考）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简整理得到结论； （2）利用面积比可求得，根据，利用余弦定理可构造方程求得，进而得到结果； （3）利用正弦定理边化角，结合两角和差和二倍角公式进行化简，将问题转化为三角函数值域的问题，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得：， ， ， ； ，， 或， 即或（舍）， ； （2） 由（1）知：，又为的平分线， ， ， ， ， 设，则， ， ， 又， ， ， 解得：或（舍），即， ， ； （3），，， ， 为锐角三角形， ， 解得：， ， ， . 题型04 求三角形面积的最值（范围） 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理结合已知条件，求出角，向量两边同时平方，由基本不等式可求出面积最大值. 【详解】由及余弦定理得， 由两边平方得： 即 ，整理得： ，解得，当且仅当时取等号， 又因为，所以三角形面积最大值为. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·期中）已知点是边长为3的正三角形的重心，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，，利用三角形重心性质、向量线性运算建立关于的方程，可得，可得的面积为， 再利用换元法和对勾函数性质求解最值. 【详解】如图所示，取的中点为， 因为点是正三角形的重心，则，即， 所以，① 设，，，，， 则 ，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则， 得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为 ， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为． 2．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 3．（2026高一·全国·专题练习）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，先由余弦定理得到，再用基本不等式求出AB⋅AC的最大值，最后代入面积公式判断面积最大值；对B，先由余弦定理和b+c=8得到与bc的关系，再用基本不等式求出bc的最大值，最后代入面积公式求最大值；对C，先由角平分线和正弦定理得到b=2c，再代入余弦定理表示，最后通过换元法求面积的最大值；对D，先设BM=x 得到BA=BC=2x，再由余弦定理求出，最后代入面积公式并通过配方求最大值. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以， 即，所以，由余弦定理可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则， 所以 ， 所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 题型05 距离测量问题 1、建立几何模型：根据实际问题中的方位角、仰角、俯角等，将实际场景抽象为三角形，标出已知边长和角度。 2、选择解三角形工具：两角一边用正弦定理，两边及其夹角或三边用余弦定理，两边及一边对角需讨论解的情况。 3、分割复杂图形：若无法直接求解，可将多边形分割为多个三角形，逐个解出所需边长或角度。 4、利用公共边或公共角：多个三角形共享同一边或同一角时，通过该公共元素建立方程，联立求解。 5、实际意义检验：计算出的距离或角度需符合实际情况（如距离为正、角度在合理范围内），排除增根。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·山东淄博·月考）如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】在中， ， 根据正弦定理，代入，，， 得，解得. 在中，，，， 所以，且， 根据余弦定理，在中，， 代入得， 因此. 故答案为：. 2．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此； 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值： ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 3．（25-26高一下·广西贵港·期中）已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 【答案】 【分析】先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】如图所示，，， ，． 在中，由，又海里， 所以，解得（海里）， 在中，由余弦定理可得， 又海里， 则（海里）． 题型06 高度测量问题 1、构造直角三角形：涉及垂直高度（如楼高、山高、塔高）时，优先构造直角三角形，利用仰角俯角直接求解。 2、设未知数列方程：当无法直接构造直角三角形时，设所求高度为未知数，利用正余弦定理建立方程求解。 3、多个测量点联合：若在一个点无法测量，可在两个不同位置分别测量仰角或俯角，利用两观测点间的距离列方程。 4、转化为水平距离：高度往往与水平距离和仰角相关，先求出水平距离，再乘以仰角的正切得到高度。 5、利用相似或比值：当测量工具受限时，可借助已知高度的参照物，通过相似三角形或角度相等列比例式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·山东淄博·月考）某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度______ 【答案】米 【分析】设塔高，利用仰角关系将用表示，再在中应用余弦定理列方程求解正根得到塔高. 【详解】设塔高米，由题意平面，因此： 在中，点仰角为，，得； 在中，点仰角为，，得； 在 中，已知，， 由余弦定理得， 得， 化简得一元二次方程：， 解得 或（舍去），即塔高为30米. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，核心是利用仰角定义结合余弦定理解决高度测量问题，体现了数形结合与方程思想. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·山东菏泽·月考）如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 2．（25-26高一下·福建厦门·月考）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 【答案】(1)10米； (2)米. 【详解】（1），，， 则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米， 在中，，由正弦定理得：， 代入数据得：米. 点到建筑物的距离是10米. （2）在中，由正弦定理得： 代入数据得：米. 米， 旗杆的高度为米. 3．（25-26高一下·重庆江津·月考）重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 【答案】B 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：，​ 又，即 ， 是 中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式： ，​ 化简计算： ， 因此木铎金声钟的高约为 . 题型07 角度测量问题 1、明确基准与方向：弄清仰角/俯角、方位角、方向角的定义。 2、画出示意图：根据文字描述画出包含已知点和未知点的图形，标出所有已知角度和边长。这是将实际问题转化为数学问题的关键步骤。 3、构造三角形：连接图中的关键点，构造出可解的三角形。通常需要利用对顶角相等、内错角相等（基于平行线）或互余关系，将测量角转化为三角形的内角。 4、选择合适的定理：已知两角一边：用正弦定理求边；已知两边及夹角或三边：用余弦定理求角；涉及直角三角形：优先用正切、正弦等三角函数定义。 典｜例｜精｜析 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·山东临沂·月考）如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟，)． 【答案】救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟 【分析】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，可得，，先结合余弦定理求得，再利用正弦定理计算得到B点在C点的正东方向上，进而再利用正弦定理得到，可得救援船沿北偏东的方向行驶，进而得到，即可求解. 【详解】设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上（在D点）故障船，则，， 在中，由余弦定理，得 ，即， 由正弦定理得，， 则， 又，则，所以B点在C点的正东方向上， 则， 在中，由正弦定理，得， 所以， 又，则， 所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，，则，即， 则，即小时，则（分钟）， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 2．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 【答案】/ 【分析】先根据在A处的杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的杆，以及正弦定理算出斜面角. 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 题型08 正余弦定理的其他应用 正余弦定理在几何图形中的计算、面积计算、与向量结合等问题中的应用。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又， 所以 （2）在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·河北石家庄·月考）如图，已知，，与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点）． (1)求外接圆的直径； (2)直接写出面积的最大值（无需过程）； (3)记与的夹角为，试将表示为的函数，并求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)，；最大值为． 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理可得外接圆半径； （2）作出辅助线，得到的高的最大值，进而得到面积最大值； （3）记与的夹角为，，由正弦定理，用含的式子表达出，从而由三角恒等变换和三角函数的有界性得到的最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理， 所以， 由正弦定理可得直径． （2），理由如下： 设的外接圆圆心为， 由（1）可知外接圆直径为，故外接圆半径为，， 取的中点，连接，，由垂径定理得⊥， 显然当三点共线时，取得最大值，此时取得最大值， 其中，故，由勾股定理得， 所以， 故的面积最大值为. （3）记与的夹角为，连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得，，． 因此 ． 其中为锐角，． 又，现取，则有． 2．（25-26高一下·吉林长春·月考）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量． (1)若，，求的长度； (2)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与，面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值. 【答案】(1) (2)定值为 (3) 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，得到，再由，得到，结合勾股定理，即可求解； （2）在与中，利用余弦定理求得和，列出关系式，即可求解； （3）利用三角形的面积公式，分别求得和，根据题意，得到，将，代入，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：在中，，且， 由余弦定理得， 所以，可得，所以 因为，可得，所以， 在直角中，可得. （2）解：在中，由余弦定理得， 即， 同理可得，在中，可得， 即， 所以，整理得， 所以无论多长，此时为定值. （3）解：因为的面积为， 的面积， 所以， 由（2）知，可得， 代入上式得， 根据二次函数的性质得，当时，取得最大值， 最大值为. 3．（25-26高一下·江苏苏州·期中）如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点A，B，它们到河岸线l的距离都为3百米．为了铺设管道取水，计划在河岸线l上找一点Q修建抽水点，在AB与l之间修建中转接水点P，设计铺设三条直线管道PA，PB，PQ，其中百米，，．记铺设管道的总长度为y百米． (1)按下列要求建立函数关系式： （ⅰ）设，将y表示成的函数； （ⅱ）设百米，将y表示成x的函数； (2)请你选用（1）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值． 【答案】(1) （ⅰ），. （ⅱ） (2)选用（ⅰ），最小值为米；选用（ⅱ），最小值为米 【分析】（1）（ⅰ）求出，利用正弦定理求出，求出到直线的距离为，从而求出，于是铺设管道的总长度为，利用两角和差的正弦公式和二倍角的正余弦公式求解即可； （ii）设百米，则到直线的距离为百米，利用三角形面积求出，从而得到利用余弦定理求出，从而得到，继而得到，从而求出，即可得到，求出即可得解. （2）若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式，设，则，求出的范围，则函数转化为，设，则转化为，利用二次函数的图像和性质求出最小值；若选用第（1）问中的第（ii）个函数关系式，利用换元法，结合二次函数的单调性求出的最小值. 【详解】（1）在中， 由正弦定理， 所以 又因为 ，且到河岸线的距离都为百米， 所以与的距离为3百米， 到直线的距离为， 故， 于是铺设管道的总长度为 ， 所以，. ，. （ii）设百米， 则到直线的距离为百米， 在中， 又因为 所以 由余弦定理， 因为，所以 代入，得 从而， 所以 于是 又因为 所以 即 解得 又由于点在与之间，所以 故自变量的取值范围为 所以. （2）若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式： ，. 设，则， ，，， 转化为 即 设，，， 转化为， 对称轴为，开口向下， 在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 故铺设管道总长度的最小值为百米，即米. 若选用第（1）问中的第（ii）个函数关系式： ， 设，则，， ，，， ，，， 转化为， 对称轴为，开口向下，在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为， 故铺设管道总长度的最小值为百米，即米. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $