9.3 数学探究活动得到不可达两点之间的距离(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦运用正弦定理与余弦定理解决不可达两点距离的核心知识点，通过测量教学楼、旗杆、校外大厦高度等案例，搭建从定理理论学习到实际问题解决的学习支架，衔接数学知识与现实应用。 该资料以完整数学建模活动（选题、开题、做题、结题）为特色，通过两次测角法、镜面反射法等具体方案，培养学生用数学眼光观察现实（从测量情境抽象模型）、用数学思维分析问题（误差推理与改进）的核心素养，课中辅助教师开展实践教学，课后帮助学生巩固建模步骤与误差处理方法。

9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 案例：测量学校内、外建筑物的高度 活动目的：运用所学的正弦定理与余弦定理的知识，解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程. 课题：（1）测量本校的一所教学楼的高度； （2）测量本校旗杆的高度； （3）测量校外不可及的“理想大厦”的高度. 一、选题 分成若干个学习小组，每两个小组确定一个课题，以便于分析数据的可靠性和选择方案的合理性. 二、开题 1.准备测量工具：米尺，测角仪等；要求测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真. 2.研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题报告. 三、做题 以测量不可及“理想大厦”的方案为例. 1.两次测角法 （1）测量并记录测量工具距离地面高度h m； （2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α； （3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角β； （4）大厦高度x的计算公式为：x＝＋h，其中α，β，a，h如图所示. 2.镜面反射法 （1）将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到大厦顶部的位置，测量人与镜子的距离； （2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作； （3）大厦高度x的计算公式为x＝，其中a1，a2是人与镜子的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示.根据光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式. 3.对实际测量数据和计算结果、测量误差简要分析 （1）两次测角法 实际测量数据： 第一次 第二次 仰角 67° 52° 后退距离为25 m，测量工具距离地面1.5 m，计算可得理想大厦的高度约为71.5 m，结果与期望值（70 m～80 m）相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小. （2）镜面反射法 实际测量数据： 第一次 第二次 人与镜子的距离 3.84 m 3.91 m 镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高度约为217 m，结果与期望值相差较大. 产生误差有以下几点原因： ①镜面放置不能保持水平； ②两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差； ③人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点； ④人体不一定在两次测量时保证高度不变. 综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小.通过进一步分析产生误差的原因还包括： Ⅰ.测量工具问题，采用两次测角法时，自制量角工具比较粗糙，角度的刻度误差较大；采用镜面反射法时，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量有较大误差. Ⅱ.间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的，因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1 m.由于间距太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导致计算结果产生巨大误差. Ⅲ.测量者用自己的身高代替“眼高”，反映了测量者没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度. 四、结题 通过建模活动，明晰在进行方案设计问题时要遵循如下思路： （1）依据测量目标和实际情境及测量工具等实际设计合理的方案； （2）决定收集和测量哪些信息及数据； （3）对所设计的方案进行推理运算和改进. 注意事项： （1）实际测量往往受地形、地貌、测量工具等条件的制约，因此设计的方案要切实可行； （2）测量要符合题目与实际要求； （3）计算要做到算法简捷，计算准确. 五、应用 测量不可达两点之间的距离. 【典例】　如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度，在只能使用简单测量工具的前提下，可以设计出哪些测量方案？并提供出每种方案的计算公式. 解：方案一：如图①，在地面上引一条基线AB，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长及角β，γ和A对塔顶P的仰角α的大小，则可求出铁塔PO的高度.计算方法如下： 在△ABO中，由正弦定理，得 AO＝＝， 在Rt△PAO中，PO＝AOtan α， 则PO＝. 方案二：如图②，在地面上引一条基线AB，并使A，B，O三点在同一条直线上，测出AB的长和A，B分别对塔顶P的仰角α，β，则可求出铁塔PO的高度.计算方法如下： 在△PAB中，由正弦定理，得 PA＝. 在Rt△PAO中，PO＝PAsin α， 则PO＝. 方案三：如图③，在地面上引一条基线AB，且使AB不过点O，测出AB的长，点O对AB的视角θ，A，B分别对塔顶P的仰角α，β，则可求出塔高PO.计算方法如下： 在Rt△POA中，AO＝， 在Rt△POB中，BO＝， 在△AOB中，由余弦定理，得OA2＋OB2－2OA·OBcos θ＝AB2， ∴PO＝ . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $