9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 [课标解读]　1．掌握利用正弦定理解决简单的实际问题．2．掌握利用余弦定理解决简单的实际问题． 知识点一　测量距离问题 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A，B间不可达也不可视 测得AC＝b，BC＝a，∠ACB＝C，则由余弦定理得AB＝ B，C与点A可视但不可达 测得BC＝a，∠ABC＝B，∠ACB＝C，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝ C，D与点A，B均可视不可达 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB 知识点二　测量高度问题 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan_C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及∠ACD与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数． 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 知识点三　测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念． 解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可． 1． (2021·全国期末考试)中国人民解放军某舰队一艘巡逻舰在南海执行任务时以60海里/小时的速度向正北航行，如图，在A处发现S处有一艘船只，仪表显示S处在A处的北偏东30°，半小时后航行 学生用书第10页 到B处，在B处测得S处在巡逻舰的北偏东75°，则S与B之间的距离是(　　) A．15海里　　　　　　 B．15 海里 C．20海里 D．20 海里 B　[由题意可得三角形ABS中， AB＝60×＝30，∠BAS＝30°，∠ABS＝180°－75°＝105°， 所以可得∠S＝45°， 由正弦定理可得：＝， 即＝， 解得：SB＝15， 故选B．] 2．(2022·广东省单元测试)如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500 m，则山高MN(单位：m)为(　　) A．750 B．750 C．850 D．850 A　[由题意得C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝500 m， 由勾股定理，可得AC＝500． 在△MCA中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，那么∠AMC＝45°， 又AC＝500， 由正弦定理，得＝， 可得AM＝500． 在Rt△MAN中，∠MAN＝60°， 可得MN＝500×sin 60°＝750． 故选A．] 3． (2022·安徽省合肥市联考题)蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年(1621年)，为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝30米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB＝150°，则蜚英塔的高度CD是(　　) A．25米 B．25米 C．30米 D．30米 C　[设CD＝h， 在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，所以AD＝CD＝h， 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以BD＝CD＝h， 在△ABD中，由余弦定理知，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB， 所以(30)2＝h2＋(h)2－2h·h·(－)，解得h＝30， 所以蜚英塔的高度CD是30米．] 4．已知两座灯塔A，B到海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°方向，灯塔B在观察站C的南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向 C．南偏东10°方向 D．南偏西10°方向 B　[ 如图，由题意得，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， 所以∠ABC＝×(180°－80°)＝50°． 又60°－50°＝10°， 所以A在B的北偏西10°方向．故选B．] 5．(2021·江苏省南通市期末考试)如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 k