双曲线中的向量问题、双曲线中的参数范围与最值问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

双曲线中的向量问题、双曲线中的参数范围与最值问题专项训练 双曲线中的向量问题、双曲线中的参数范围与最值问题专项训练 考点目录 双曲线中的向量问题 双曲线中的参数范围与最值问题 考点一 双曲线中的向量问题 例1．（25-26高三下·山东·月考）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）为定值，证明过程见解析；（ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入中，得， 所以双曲线方程为； （2）（i）显然直线不为0，故设直线为， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 例2．（2026·广东惠州·一模）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，过作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. (1)求双曲线方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线与在轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线上是否存在点满足，且？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意由双曲线离心率公式、通径公式进行求解即可； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【详解】（1）过右焦点作垂直于轴的直线，所以令，解得，所以有 ①     又由离心率为2，得 ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． （2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知，     由题可知直线斜率不能为0，可设为， 联立方程，得，化简整理，得，     所以且，且，     所以 ，解得，   所以直线的方程是或．    （3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得，设，， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解不等式组得：，         设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时与交点为）．     因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，， 依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分     经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立．     例3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，且过点. (1)求的方程； (2)设为双曲线上任一点，为双曲线右焦点，到直线的距离为，求的值； (3)已知为坐标原点，直线与交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据渐近线相同得到，根据点在双曲线上得到，然后解方程即可； （2）设，利用两点间距离公式得到，然后求计算比值即可； （3）联立直线和双曲线方程，然后利用韦达定理和列方程，最后解方程即可. 【详解】（1） 的渐近线方程为，所以①， 因为双曲线过点，所以②， 联立①②得， 所以的方程为. （2）由（1）得，， 设，则，， ，， 所以. （3）联立得， ， 设，，则，， ， ， 解得. 变式1．（25-26高二上·河北·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． (1)若，，求曲线，的方程. (2)若，，证明：为定值. (3)若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 【答案】(1)的方程为（），的方程为（） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设出动点的坐标，利用斜率坐标公式及斜率关系列式求出曲线的方程，再将代入即得. （2）设，由给定条件可得，再利用斜率坐标公式求出的表达式，然后利用点分别在曲线上推理计算得证. （3）设，确定直线的方程为.通过联立椭圆方程得到 .同理得到.进而可求证. 【详解】（1）设，.若，，则，，， 由，整理得（），即曲线的方程为（）. 同理，由，得（），即曲线的方程为（）. （2）设，则， 由，得，即， ， 由点在曲线上，得；由点在曲线上，得， 则，于是，即， 所以为定值. （3）证明：设，则由（2）可得（）①. 设，.因为，所以直线的方程为. 由消去，得， 结合①，消去，整理得， 则，代入直线的方程，可得，即. 同理可得直线的方程为， 由消去，并结合①，消去，整理得， 同理可得. 易知直线与轴垂直，且线段的中点的坐标为， 故，为定值. 变式2．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 变式3．（24-25高三上·江西·月考）已知双曲线：（）的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右支分别交于点，，为坐标原点，连接并延长，交双曲线于点． (1)已知为的左焦点． ①求的方程； ②若，求直线的方程． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)①;②或. (2) 【分析】（1）①根据焦点坐标求出后可求双曲线方程；②根据为等腰三角形及双曲线的对称性可得，从而，联立直线方程和双曲线方程后结合韦达定理可求直线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理消元后可得. 【详解】（1）①因为为双曲线的焦点，故，故， 故双曲线方程为：. ②因为，故为等腰三角形，而，故， 由题设可得的斜率存在且不为零，故设，， 则由可得， 故，且即， 又， 因为，故，故， 整理得到：， 所以，故， 故直线的方程为：或. （2） 由题设有由（1）中假设有， 整理得到：， 设直线，故， 又由可得， 故且， 故， 又， 所以， 整理得到在上恒成立，所以. 考点二 双曲线中的参数范围与最值问题 例1．（2026·陕西西安·三模）“八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求曲线和的方程； (2)设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； (3)在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 【答案】(1)方程：；方程： (2) (3) 【分析】（1）使用待定系数法，通过椭圆与双曲线的定义，双曲线的渐近线求解； （2）设直线的方程并与双曲线方程联立，消元，韦达定理，表示弦长，利用三角形的面积求解； （3）利用椭圆方程设点的坐标，使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离最大值求解. 【详解】（1）由题意得： 解得 所以椭圆的方程为： 解得 所以双曲线的方程为：. （2）设直线的方程为， 得，设，， 由韦达定理得：，， 原点到直线的距离为， 则，解得， 所以直线l的斜率为： （3）由（2）知直线的方程为：，不妨取直线的方程为，即， ， 椭圆：，设 则点到直线的距离为： ，其中 ，当时，取最大值为， 所以面积的最大值为：. 例2．（2026·湖南·二模）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点的轨迹方程； （2）（i）求出点、的坐标，直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，点，利用角平分线定理得出，结合两点间的距离公式解出的值，即可证得结论成立； （ii）先证明、、三点共线，可得出，根据点在第二象限求出的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 由此得，平方化简得，即． （2）（i）令，代入，得，解得，故、， 设直线的方程为，与曲线的方程联立得： ，则， 所以，解得， 故，故， 设点，则， 由题意得，， 因为平分，由角平分线定理得，即， 化简得，即，解得， 所以点在定直线上． （ii）连接并延长交双曲线于点，下证点与点重合， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 将直线与曲线的方程联立得：， 所以，， 故，则， 由（i）得，则，故、、三点共线． 又因为、、三点共线，即与点重合，所以， 因为点在第二象限，则，解得， 所以． 例3．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知平面上动点到定点的距离与点D到直线的距离比为．动点D的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程； (2)已知点P为直线上任一点，过点P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过曲线E的右顶点Q作垂直于x轴的直线与直线PA，PB分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．求mn的值．并求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据动点所满足的条件直接可得曲线的方程； （2）先设切点，进而可得切点连线的方程为，结合根与系数的关系可得故，再用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）根据题意，动点满足：, 两边平方整理得： , 展开化简得：，即 .所以曲线E的方程为. （2）设，切点，因为双曲线过切点的切线方程为， 因此： 切线：，切线：. 因为在两条切线上，代入得，，故直线的方程为.所以直线过定点. 将代入双曲线方程，整理得关于的二次方程： , 由韦达定理：,.如图： 右顶点，过垂直轴的直线为，代入切线方程得： ， 所以 代入韦达定理得： 因为，，故， 由均值不等式： , 当且仅当时等号成立，代入，解得时等号成立， 因此的最小值为. 变式1．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点在离心率为2的双曲线：上，直线：交双曲线的右支于，两点． (1)求双曲线的方程． (2)线段的垂直平分线过点． ①探究并写出与的关系式； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）由双曲线离心率以及点在双曲线上，即可求解双曲线方程. （2）①设，，联立方程与双曲线，由韦达定理与的关系，求解线段的中点，再由线段的垂直平分线过点，可得，求解即可. ②由，得到与的关系，求解，，，由，再由，求解即可. 【详解】（1）由双曲线：的离心率为2，得，解得． 又因为点在双曲线：上，则，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）①设，， 联立消去得， 所以，即， 且，，由，得，所以． 则． 因为线段的中点为，所以． 因为线段的垂直平分线过点， 则，整理得． 结合，得，所以，． ②由①知，， 则，，． 因为点，是直线与双曲线的右支的交点，所以，，则，， 则，解得． 因为 ， 所以． 又因为， 所以，即． 因为， 所以的取值范围为，即的取值范围为． 变式2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，实轴的左、右顶点分别为、，虚轴的上、下顶点分别为、，且四边形的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与交于、两点，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设、，设线段的中点为，易知点，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合斜率关系可得出，再结合，，可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，， 所以四边形的面积为，① 又因为该双曲线的离心率为，② 且，③ 联立①②③可得，，， 所以双曲线的标准方程为. （2）设、，设线段的中点为，易知点， 联立消去整理可得， 所以， 即且④， 由韦达定理可得，. 所以，则， 因为，所以，所以， 所以⑤，结合，可得⑥， 又， 由④⑤⑥得，解得或， 因此实数的取值范围是. 变式3．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标； (3)求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)或1 (3)4 【分析】（1）由双曲线为等轴双曲线，结合实轴长，求出得双曲线C的标准方程； （2）通过设点，设切线方程， 联立方程组结合韦达定理和点在双曲线C上，求点P的横坐标； （3），求出点P的坐标，得，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）由双曲线为等轴双曲线，有， 又由，有，可得， 故双曲线C的标准方程为. （2）设（其中），有，可得. 设直线的方程为，直线的方程为. 由直线和直线都与圆O相切，有.，       可得是关于k的方程的两个根，整理为， 有. 联立直线和直线方程消去y后，有， 代入，有，整理为， 又由 ， 有，代入，可得，故点P的横坐标为或1. （3）由圆的对称性，可知. 又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1， 又由，可得直线OP的方程为，取，可得点P的坐标为， 有. 可得（当且仅当或时取等号）， 故的面积的最小值为4. 2 学科网（北京）股份有限公司 $双曲线中的向量问题、双曲线中的参数范围与最值问题专项训练 双曲线中的向量问题、双曲线中的参数范围与最值问题专项训练 考点目录 双曲线中的向量问题 双曲线中的参数范围与最值问题 考点一 双曲线中的向量问题 例1．（25-26高三下·山东·月考）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 例2．（2026·广东惠州·一模）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，过作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. (1)求双曲线方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线与在轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线上是否存在点满足，且？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，且过点. (1)求的方程； (2)设为双曲线上任一点，为双曲线右焦点，到直线的距离为，求的值； (3)已知为坐标原点，直线与交于两点，且，求的值. 变式1．（25-26高二上·河北·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． (1)若，，求曲线，的方程. (2)若，，证明：为定值. (3)若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 变式2．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 变式3．（24-25高三上·江西·月考）已知双曲线：（）的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右支分别交于点，，为坐标原点，连接并延长，交双曲线于点． (1)已知为的左焦点． ①求的方程； ②若，求直线的方程． (2)若，求的取值范围． 考点二 双曲线中的参数范围与最值问题 例1．（2026·陕西西安·三模）“八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求曲线和的方程； (2)设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； (3)在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 例2．（2026·湖南·二模）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 例3．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知平面上动点到定点的距离与点D到直线的距离比为．动点D的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程； (2)已知点P为直线上任一点，过点P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过曲线E的右顶点Q作垂直于x轴的直线与直线PA，PB分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．求mn的值．并求的最小值． 变式1．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点在离心率为2的双曲线：上，直线：交双曲线的右支于，两点． (1)求双曲线的方程． (2)线段的垂直平分线过点． ①探究并写出与的关系式； ②求的取值范围． 变式2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，实轴的左、右顶点分别为、，虚轴的上、下顶点分别为、，且四边形的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与交于、两点，若，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标； (3)求的面积的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $