专题8.4 椭圆综合（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

专题8.4 椭圆综合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 椭圆的定义及其应用】 1 【题型2 椭圆的标准方程的求解】 3 【题型3 椭圆中的焦点三角形问题】 6 【题型4 椭圆的轨迹问题】 8 【题型5 求椭圆的离心率或其取值范围】 10 【题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 12 【题型7 椭圆中的面积问题】 15 【题型8 直线与椭圆中的最值问题】 20 【题型9 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 25 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 椭圆的定义及其应用】 1．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义判断选项即可. 【解答过程】由椭圆可得：， 根据椭圆的定义，， 则. 故选：D. 2．（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【解题思路】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【解答过程】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则且， 得到，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·河南驻马店·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求解. 【解答过程】因为椭圆C的方程为，所以，由椭圆的定义可得，且，所以. 故选：D. 【题型2 椭圆的标准方程的求解】 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【解答过程】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 6．（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【解答过程】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 7．（2026·江西九江·一模）已知椭圆的中心在坐标原点，在上，是的焦点，垂直于轴，斜率为的直线经过点且与交于两点． (1)求的标准方程； (2)记直线与的交点为，若，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设椭圆的标准方程为，根据题干列出方程组解出，即可； （2）设直线的方程为，以此求出的坐标，设，，联立椭圆方程，求出关于k的表达式，再根据，列出关于的等式，再结合韦达定理所得等式联立求解即可． 【解答过程】（1）由题意可知，椭圆的焦点在轴上，标准方程为（）， 由轴，得点坐标为，故，且， 又点在椭圆上，所以， 解得，，所以椭圆的标准方程为． （2）如图所示，    FT的方程为，设直线的方程为，联立， 解得，所以，联立， 消去y并化简可得， 且，，解得， 设，，则， 由，可得， 整理得，联立， 解得， 代入，化简得， 解得，（舍去）， 综上所述，． 8．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【解题思路】（1）根据离心率可得，再结合的面积可得，，即可得椭圆方程； （2）设直线l：，与椭圆方程联立，利用韦达定理分别求线段、的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可. 【解答过程】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即， 则，， 又因为的面积，即，， 所以椭圆C的方程为. （2）由（1）可知：，， 则直线的斜率，且线段的中点为， 假设存在直线l满足题意，设直线l：，，， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得，， 即，则， 可得线段的中点为，直线的斜率， 此时，可知直线与直线不垂直， 这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意. 【题型3 椭圆中的焦点三角形问题】 9．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解题思路】根据离心率及求出椭圆方程，然后利用椭圆性质即可求解. 【解答过程】已知椭圆，离心率，则， 因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得，联立上述方程解得， 因为点在该椭圆上，椭圆的左、右焦点分别为， 根据椭圆的定义得， 所以的周长为. 故选：D. 10．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据椭圆定义和余弦定理求出，再根据面积公式求出答案. 【解答过程】因为椭圆方程为，，. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有： ，. 因为，在中使用余弦定理有：. . 即，. . 故选：B. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义结合已知求解. 【解答过程】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 12．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【解答过程】在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 【题型4 椭圆的轨迹问题】 13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简. 【解答过程】设，则由已知得， 化简得. 故选：C． 14．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用相关点法求动点轨迹方程. 【解答过程】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A. 15．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义判断即可. 【解答过程】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 16．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【解答过程】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B. 【题型5 求椭圆的离心率或其取值范围】 17．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆: 的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量关系得到点坐标，代入椭圆方程化简求解即可. 【解答过程】椭圆右焦点为，上顶点为，设. 由得， 所以，，即. 代入椭圆方程得，整理得，即. 又，所以. 故选：C. 18．（2026·全国·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】先确定的取值范围，再根据椭圆离心率的概念列式求的值. 【解答过程】因为表示椭圆， 所以且，所以，所以，所以椭圆的焦点在轴上. 由 . 故选：A. 19．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于A，B两点，若的面积为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆定义得，，利用面积公式和平行四边形性质求得，再利用余弦定理求解离心率. 【解答过程】如图所示，由椭圆的对称性可知，，且四边形是平行四边形， 令，则，可得，故， 所以，. 由题意知，解得， 因为， 所以，故. 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以离心率， 故选：D. 20．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【解答过程】    令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B. 【题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 21．（2026·陕西渭南·一模）抛物线的准线与椭圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】由题可得抛物线的准线为，将代入椭圆方程求得答案. 【解答过程】抛物线的准线为，将代入，得， 所以. 故选：B. 22．（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解答过程】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 23．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由椭圆的性质结合点在椭圆上代入解方程可得； （2）由椭圆的性质得到当，，三点共线时取得最大值，再直曲联立，由弦长公式计算可得. 【解答过程】（1）设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆的几何性质有， 故，. 所以的方程为. （2） 设的左焦点为，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时. 因为，故直线的方程为. 与的方程联立有， 整理有，，解得，. 故直线被截得的弦长为. 24．（24-25高三下·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线：，且，联立方程，设，，由韦达定理结合椭圆弦长公式得到，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）因为的离心率为，且焦距为， 可得且，解得，，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部， 设直线：，且， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 因此 ， 由，可得，即， 所以的取值范围为. 【题型7 椭圆中的面积问题】 25．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】设，根据向量加法的平行四边形法则得到，再根据其模长可得关于的等式，联立椭圆方程即可求出的值，再利用纵坐标的绝对值求三角形面积即可. 【解答过程】 设，为坐标原点，由， ，与，， . 故选：C. 26．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】先求出椭圆的右焦点坐标，然后分情况讨论直线的斜率情况.设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出和，进而得到四边形的面积表达式，再通过函数求最值的方法求出面积的最小值. 【解答过程】在椭圆中，，，则，所以右焦点. 当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，，. 联立，消去可得： 即 由韦达定理可得，. 根据弦长公式，可得： 因为，所以直线的斜率为，同理可得. 则四边形的面积 根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立. 所以. 当直线的斜率为时， 此时，，则四边形的面积. 当直线的斜率不存在时， 此时，，则四边形的面积. 综上所得，则四边形的面积最小值为 故选：B. 27．（25-26高三上·江苏·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)设，当面积为时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用离心率得出，进而得出，，再利用时，得出点的坐标，代入椭圆的方程即可求解； （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【解答过程】（1） 离心率，， 又，即，则， 椭圆：可化为， 当轴时，，，， 点在椭圆上，，将代入，得，， ，，椭圆C的方程为； （2） 由（1）知，设，， 当直线的斜率不存在时，，， 此时三点共线，不能构成三角形，故不满足题意； 当直线的斜率存在时，设， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 则，， ， 又点到直线的距离， ， 化简得，解得或（舍），则， 经检验符合题意. 直线的方程为或. 28．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）待定系数法即可求解. （2）（i）由三角形的重心坐标公式求得，直线方程与椭圆方程联立韦达定理即可求解； （ii）设 的面积，四边形的面积由面积之比可得，直线与椭圆联立韦达定理即可求解. 【解答过程】（1）由长轴长为6，可得，则. 将点的坐标代入椭圆方程，可得， 解得. 故的方程为. （2）（i）由（1）可知，设直线. 联立得可得. 由，可得. 的重心的横坐标为，则， 即，符合， 故直线的方程为. （ii）由（i）可知. 设， 联立得可得， 则 如图，因为的面积， 四边形的面积 所以，得. 故，① ，② 联立①②，得，又在第一象限，所以， 故解得，所以. 【题型8 直线与椭圆中的最值问题】 29．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案． 【解答过程】设，，为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， ∴ ， 同理可得，， 而 ， 即，解得，则的最大值为1. 故选：D. 30．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【解答过程】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选：D. 31．（2026·广东茂名·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）4，（ii） 【解题思路】（1）依条件列关于的方程，解方程即可； （2）（i）设直线方程与，，联立椭圆的方程，得到的值，由 的平分线垂直于 轴，得：，再代入坐标，代入韦达定理可得答案；（ii）分别计算三角形与圆的面积，代入，可把表示成关于的函数，利用对勾函数的单调性可得答案. 【解答过程】（1）由已知，右焦点为 ，故 ， 离心率 ，解得 ， 由 ， 得椭圆 的方程为 （2）（i）设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得， 设 ，，则 的平分线垂直于 轴，等价于 ， 且直线与椭圆有两个交点， 由 得， 将韦达定理代入：， 化简得：， 解得： . 因此，实数 的值为 ； （ii）由（i）知 ，直线方程为 （）， 联立椭圆方程得 则 由直线与椭圆有两个交点得： ， 三角形 的面积， ， 又， 所以， 于是， ， 故， 令 ，则： 考虑函数 ，， 由，得， 故在上单调递增， 当时，， 所以的值域为， 因此， 的取值范围是 。 32．（2026·上海青浦·一模）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或 (3) 【解题思路】（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解； （2）利用点和点的中点可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求得点坐标； （3）第三问分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率存在时，设斜率为，设点、坐标，写出直线方程，最终将转化为与斜率的关系，可通过直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题. 【解答过程】（1）由题意可知，，所以， 又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为， 由得，， 所以弦的长为. （2）因为，且直线过点， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点, 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或. （3）当直线的斜率不存在时，不妨设， 所以， 故； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设， 由得，， 所以， 所以， 化简得， ①当时， ，当且仅当时等式成立； ②当时，，当且仅当时等式成立； ③当时，； 综上所述可得，的取值范围为. 【题型9 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 33．（2026·湖南永州·二模）已知椭圆经过点为的右焦点． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于两点（的斜率存在且不为0），设点关于轴的对称点为，的外接圆圆心为． （i）求面积的最大值； （ii）直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）是；定值为1，证明见解析. 【解题思路】（1）根据椭圆定义求，再根据关系联立方程求解椭圆方程； （2）（i）直线方程为,跟椭圆方程联立可得，根据直线与直线的斜率之和为0，再结合韦达定理求得直线过定点，再利用韦达定理转化面积，再由一般不等式求解面积最值； （ii）求解和的垂直平分线方程为，，联立两直线方程可得，，即得，再结合可得斜率乘积为定值. 【解答过程】（1）如图所示，因为为的右焦点，则，且椭圆左焦点为， 所以, 所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设直线方程为，， 联立，得， ，即， ，， 因为点关于轴的对称点为，则直线与直线的斜率之和为0， 所以， 即，即， 得，即，所以直线过定点，且， 所以， 即，令， ， 当且仅当时，即时，面积的最大值为. （ii）因为的垂直平分线方程为， 即①，同理的垂直平分线方程为②， ①+②得，，故， ①-②得，， 所以，即， 所以，故， 又因为，故， 所以直线与直线的斜率之积是定值1. 34．（2025·海南·一模）已知椭圆的离心率为，上的点到两个焦点的距离之和为4. (1)求的方程. (2)过的右焦点且不与轴重合的直线与交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为D，O为坐标原点. （i）证明：直线恒过点； （ii）求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【解题思路】（1）由椭圆的定义可得，由离心率求得，从而可得的方程；    （2）（i）设，将与的方程联立可得，直线，令可得，结合韦达定理证其值为0即可； （ii）设，则，记，则，设，利用导数求其最大值即可. 【解答过程】（1）设的半焦距为. 由椭圆的定义可知，所以. 又，得，所以， 故的方程为. （2）（i）由的方程可得， 设，点. 将与的方程联立可得， 所以.        直线， 令，可得， 其中 ， 所以直线BD恒过点.        （ii）设， 则 .     记，则，， 设，，则， 当时，单调递减， 所以， 故的面积的最大值为. 35．（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率得到，将代入椭圆方程，待定系数法求出椭圆方程； （2）设直线AB的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据点B，P，D共线，得到方程，求出，得到，，而，所以，可得，而，故，又，所以，得到答案. 【解答过程】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 36．（2026·江西上饶·一模）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析②证明见解析 【解题思路】（1）由焦距为，在椭圆上，联立关于的方程求解即可； （2）①联立直线和椭圆的方程可得，利用和韦达定理得，化简整理可得，即可求得直线过定点; ②联立直线与的方程可得，进而求得和，在求解即可. 【解答过程】（1）如图所示， 设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为，在椭圆上， 所以且轴，故， 又由于，所以得， 故椭圆方程为 （2）①设直线方程为，与椭圆联立， 消去得， 设，由韦达定理得： 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， 即，整理得， 所以，故直线过定点. ②直线的方程，因为， 故直线可写为：，即： 直线过和，其方程为：， 联立直线与的方程，消去后解得，即； ， 同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故， 所以：. A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2026·重庆·一模）已知椭圆的离心率，则其焦距为（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【解题思路】由题意列关于方程组求出c，即可由焦距定义求解. 【解答过程】由题意可得， 所以椭圆焦距为. 故选：C. 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线： ，曲线：的离心率分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【解答过程】曲线的长半轴长为，短半轴长为，所以焦距为. 曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以焦距为. 由. 故选：A. 3．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】结合图形可以发现，利用焦半径及三角形中位线定理，得出，再应用斜率公式计算求解. 【解答过程】由题知，椭圆，焦点在轴上，， 设线段的中点为. 由题意知. 因为OM是的中位线，所以． 因为，所以，所以点的坐标为，且， 所以直线的斜率. 故选：C. 4．（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】利用三角形的中位线，结合椭圆的定义，就可以求解短轴长. 【解答过程】 由为中点，可得为的中位线， 由的周长为6，可得的周长为， 即，因为，所以， 即，所以椭圆的短轴长， 故选: B. 5．（2026·河南开封·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，若是等边三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求出，之间关系，利用椭圆的定义及勾股定理，即可求出离心率． 【解答过程】因为是等边三角形， 轴， 所以，故， 所以，解得； 又， 所以椭圆的离心率为． 故选：A. 6．（2026·湖北·二模）已知、为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出焦点坐标，根据矩形的几何性质求出矩形外接圆的半径，利用圆的面积公式可求得结果. 【解答过程】在椭圆中，，，则， 故、， 由四边形为矩形，知， 故该矩形的外接圆半径，故矩形的外接圆面积为． 故选：B． 7．（2025·广西河池·三模）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义和性质进行计算. 【解答过程】因为 又的周长为8， 则， 所以，则， 则， 则， 故选： 8．（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案. 【解答过程】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 9．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，M是C上一点，P、Q分别是的中点，O为坐标原点，若，且四边形OPMQ的面积为，则椭圆C的短轴长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用勾股定理推导出，根据面积可求出的值，利用勾股定理结合椭圆的定义可求出的值，由此可求得椭圆的短轴长. 【解答过程】因为P、Q分别是的中点，所以， 记，由题意， 所以，，所以，， 因为四边形的面积为，即 则， 因为，所以，， 即，可得，解得， 因此，椭圆的短轴长为. 故选：A. 10．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义、余弦定理、勾股定理列方程，利用整体法求得. 【解答过程】设，，则根据椭圆的定义可知，， 且， 又，因为， 故由余弦定理有， 整理得①. 又因为，故由勾股定理有， 整理得②， 由①②解得，所以. 故选：A. 11．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】设，由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解. 【解答过程】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后根据不等式的性质求出三角形面积的最大值. 【解答过程】因为椭圆方程为，设切点， 则切线的方程为，. 因为切线过点，所以，切线的方程变为： ，因为点都在直线上， 所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点. 联立直线方程和椭圆方程为： ，化简得. 根据韦达定理.而 所以. 因为， 要使得面积取得最大值，则应取最小值，根据不等式， 所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 故选：A. B组 培优提升练 一、解答题 1．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆上顶点为，直线与椭圆交于两点.当时，. (1)求椭圆的方程； (2)当的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由上顶点为得，当时，直线与椭圆方程联立，可得到坐标，结合已知，可求出的值，进而得到椭圆的方程。 （2）设，的外接圆的一般方程，将三点坐标代入，结合在直线上，化简得到外接圆方程参数的关系，根据外接圆半径公式，利用函数求最值的方法，求出当半径最大时的参数值，进而得到外接圆的方程 【解答过程】（1）因为上顶点为，所以， 当时，直线，代入椭圆方程得，整理得， 解得，故 又， ，所以，解得， 所以椭圆方程为 （2） 设，外接圆方程为 代入得，两式相加得， 两式相减得 又点既在，又在椭圆上，所以， 所以， 代入到外接圆方程得， 故， 设，则，， ， 所以外接圆半径 时，故其在上单调递增，在时取最大值， 此时，，， 即，，， 所以的外接圆面积最大时，其外接圆的方程为. 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的方程. （2）联立直线与椭圆方程，求出，结合圆的性质将的面积转化为的面积，求出点到的距离，由面积大小求出斜率并验证得解. 【解答过程】（1）依题意，，则， 解得，而，则， 所以椭圆的方程为． （2）如图，设，由消去，得， ，，， 则， 由为线段中点，得， 由，得，则，又点到的距离， 于是， 整理得，解得，此时， 圆心到的距离成立，故. 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知椭圆 的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据离心率及椭圆参数关系得，再由通径的长度求参数，即可得； （2）根据已知，设，联立椭圆，结合向量坐标的线性关系、韦达定理求参数值，即可得直线方程. 【解答过程】（1）由题意， 过右焦点作垂直轴的直线，交椭圆于， 代入，则， 所以，则， 所以椭圆方程； （2）由（1）可得，设， 由题意，直线斜率存在，设直线且， 联立，整理得， 所以，则，， 而， 由，则，即，， 所以，可得，则（舍）或，    当时，经验证满足题设，所以直线方程. 4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的意义及对称性列式求出即可. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求解最值，即可求得直线方程. 【解答过程】（1）设椭圆C的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1，得点在椭圆上， 于是，由离心率为，得，而，因此，， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意，，直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设， 则，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以直线的方程为或． 5．（2026·山东·模拟预测）已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. (1)求椭圆的方程； (2)已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入坐标即可列方程组求解， （2）根据等腰梯形的性质，求解直线的方程为，进而得，联立方程得韦达定理，得，代入化简可得，进而可求解坐标，即可求解斜率. 【解答过程】（1）将点代入椭圆方程， 得，化简为， 设，则， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. （2）由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴， 故,故, 取的中点为，连接,则, 则直线的方程为， 令 设直线，避免斜率不存在情况)，联立， 消去得， 则，则 ， ， 所以, 则,因此，又 所以 所以直线的方程为， 即. 6．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （ⅱ）求直线的斜率的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【解题思路】（1）由及点在椭圆上进行求解； （2）（ⅰ）设，则由及平面向量的坐标运算进行求解； （ⅱ）由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理得点的坐标，再求出，利用不等式求解． 【解答过程】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点， 故，故椭圆：，代入解得， 故椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设，则由知， 故，，故为定值. （ⅱ）由（ⅰ）可知直线：，直线：； 联立，整理得：， 故由韦达定理：； 同理可得：； 故 ， 故， 当且仅当时取等号；此时， 故在椭圆内成立； 综上所述：直线的斜率的最小值为. 7．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析，定值为. 【解题思路】（1）根据题设条件，写出两直线斜率，根据斜率之比化简即可得解； （2）（i）先求出椭圆方程，设，根据点在椭圆上得到，利用基本不等式求出面积的最值即可； （ii）设，，利用三点共线可得，再由两点间距离公式求出，即可得证. 【解答过程】（1）由题知，， 设，则， 由题意知，均不为0，即， 再由，得， 即 所以的方程为. （2）（i）因为椭圆的离心率为， 故， 所以椭圆的方程为， 如图， 设，其中，， 因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 而面积， 所以面积的最大值为. （ii）设，，则三点共线， 所以，即，解得， 则， 所以，为定值. 8．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线分别交轴于两点，证明： （ⅰ）的横坐标成等差数列； （ⅱ）与的面积之比为定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）由题可得，然后由到直线的距离可得，据此可得答案； （2）（i）由题设过点的直线方程为，、，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，由题可得，验证可完成证明； （ⅱ）注意到，据此可完成证明. 【解答过程】（1）由已知得，，所以， 原点到直线的距离为， 所以的方程为. （2）（i）当过点的直线斜率不存在时， 直线与椭圆只有1个交点，舍去， 设直线的方程为， 设、，由， 消去整理得， 所以，解得， ，， 直线的方程为，令，得， 同理可得. . 又因为， . 所以， 所以的横坐标成等差数列； （ⅱ）由（ⅰ）知为的中点，得， 所以， 所以与的面积之比为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 椭圆综合（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 椭圆的定义及其应用】 1 【题型2 椭圆的标准方程的求解】 2 【题型3 椭圆中的焦点三角形问题】 3 【题型4 椭圆的轨迹问题】 3 【题型5 求椭圆的离心率或其取值范围】 4 【题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 4 【题型7 椭圆中的面积问题】 5 【题型8 直线与椭圆中的最值问题】 6 【题型9 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 7 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【题型1 椭圆的定义及其应用】 1．（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 2．（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 3．（25-26高二上·河南驻马店·月考）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【题型2 椭圆的标准方程的求解】 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·二模）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江西九江·一模）已知椭圆的中心在坐标原点，在上，是的焦点，垂直于轴，斜率为的直线经过点且与交于两点． (1)求的标准方程； (2)记直线与的交点为，若，求． 8．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【题型3 椭圆中的焦点三角形问题】 9．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．（25-26高二上·广西梧州·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型4 椭圆的轨迹问题】 13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求椭圆的离心率或其取值范围】 17．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆: 的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·全国·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于A，B两点，若的面积为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 20．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题】 21．（2026·陕西渭南·一模）抛物线的准线与椭圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D．1 22．（25-26高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 24．（24-25高三下·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【题型7 椭圆中的面积问题】 25．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 26．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 27．（25-26高三上·江苏·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线与椭圆交于两点.当轴时，. (1)求椭圆C的方程； (2)设，当面积为时，求直线的方程. 28．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 【题型8 直线与椭圆中的最值问题】 29．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·广东茂名·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 32．（2026·上海青浦·一模）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 【题型9 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 33．（2026·湖南永州·二模）已知椭圆经过点为的右焦点． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于两点（的斜率存在且不为0），设点关于轴的对称点为，的外接圆圆心为． （i）求面积的最大值； （ii）直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 34．（2025·海南·一模）已知椭圆的离心率为，上的点到两个焦点的距离之和为4. (1)求的方程. (2)过的右焦点且不与轴重合的直线与交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为D，O为坐标原点. （i）证明：直线恒过点； （ii）求的面积的最大值. 35．（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 36．（2026·江西上饶·一模）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2026·重庆·一模）已知椭圆的离心率，则其焦距为（    ） A．1 B． C．2 D．2 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线： ，曲线：的离心率分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D．2 4．（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 5．（2026·河南开封·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，若是等边三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北·二模）已知、为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广西河池·三模）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作斜率不为零的直线交于，两点.若的周长为8，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·上海徐汇·一模）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，M是C上一点，P、Q分别是的中点，O为坐标原点，若，且四边形OPMQ的面积为，则椭圆C的短轴长为（    ） A．2 B．1 C． D． 10．（2026·陕西西安·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（    ） A． B． C．2 D． B组 培优提升练 一、解答题 1．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆上顶点为，直线与椭圆交于两点.当时，. (1)求椭圆的方程； (2)当的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程. 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，若圆的方程为，且圆心满足． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过与垂直的直线交圆于，两点，为线段中点，若的面积为，求的值． 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知椭圆 的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 5．（2026·山东·模拟预测）已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. (1)求椭圆的方程； (2)已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 6．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （ⅱ）求直线的斜率的最小值. 7．（2026·安徽马鞍山·一模）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 8．（2026·福建龙岩·一模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线分别交轴于两点，证明： （ⅰ）的横坐标成等差数列； （ⅱ）与的面积之比为定值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $