第09讲 双曲线多选题专练-2026年高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

**基本信息** 聚焦双曲线核心概念与综合应用，通过66道多选题系统覆盖定义、方程、几何性质及交汇问题，强化数学思维与知识迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与方程|1-3,11-13|参数分类讨论曲线类型|从标准方程到参数关系推导| |几何性质|4-7,14-15|离心率、渐近线、距离计算|性质间的内在联系及应用| |焦点三角形|5,8-10,21-23|面积、周长、角度关系|定义与余弦定理的综合应用| |直线与双曲线|16-20,24-26|焦点弦、中点弦、位置关系|方程联立与韦达定理的应用|

第09讲 双曲线多选题专练（66道） 1.已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 2.曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 3.已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 4.已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（    ） A．当时，双曲线的实轴长为4 B．当时， C．无论取何值，双曲线的焦距都为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 5.已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 6.已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 7.已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ） A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4 B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大 C．为定值 D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点 8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 9.双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 10.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（    ） A． B．的最小值为 C．点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D．取得最小值时，的面积为 11.关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 12.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ） A． B．3 C． D．4 13.已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 14.已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 15.双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 16.已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．记，则的面积； C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 17.已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则（   ） A．双曲线C的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若，直线l的倾斜角为，则 18.已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 19.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 20.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 21.已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 22.已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 23.已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 24.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 25.双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 26.已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 27.黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 28.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 29.如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 30.已知点是双曲线：的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列结论正确的是（    ） ①点的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为. A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 31.已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 32.已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 33.已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 34.已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 35.已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（   ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 36.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 37.已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C． D．的周长为 38.已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 39.已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 40.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 41.已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 42.设，是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是　　 A．到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C．△的外接圆半径为 D．△的面积为9 43.已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 44.已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 45.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 46.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 47.若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（       ） A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 48.在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 49.已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（       ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点 D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2= 50.已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（       ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 51.双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为 A．4 B． C．2 D． 52.已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 53.若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 54.已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 55.已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的实轴长为8 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 56.已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（    ） A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1 B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于 C．的最短长度为6 D．满足的直线有4条 57.已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（    ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 58.已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 59.已知P是左、右焦点分别为、的双曲线上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的面积是 C．焦点到渐近线的距离为 D．内切圆圆心横坐标或 60.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（    ） A．C的离心率为 B．C的焦点到其渐近线的距离为1 C．若，则的面积为2 D．若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 61已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 62.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点为上位于第二象限内一点，分别为的左､右焦点，内切圆的圆心为，则（    ） A．的虚轴长为 B．当时，的面积为 C． D．若为坐标原点，则 63.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（    ） A．若，则有 B．若的周长为20，则的面积为 C．的最大值为5 D．设，的斜率分别为、，则的最小值为 64.已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为 C． D． 65.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 66.双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 双曲线多选题专练（66道） 1.已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【答案】ACD 【详解】当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确. 由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误. 若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确. 若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得， 所以，， 所以的焦距为，故D正确. 故选：ACD. 2.曲线，则（    ） A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称 C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点 【答案】ACD 【解析】表示椭圆在x轴上方的部分， 表示双曲线在x轴下方的部分， 作出图象： 双曲线的一条渐近线为， 故选项ACD正确，选项B错误. 故选：ACD. 3.已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（  ） A．到的距离为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 【答案】ACD 【解析】因为双曲线的渐近线为，又是的一条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为. 对于A，由双曲线知右焦点，， 所以到的距离为，故A正确； 对于B，的渐近线方程为，即，故B错误； 对于C，的离心率为，故C正确； 对于D，当点是双曲线的右支与轴的交点时，即时，，故D正确. 故选：ACD. 4.已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（    ） A．当时，双曲线的实轴长为4 B．当时， C．无论取何值，双曲线的焦距都为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【详解】由双曲线的方程为，依题意，， 注意到，故，设双曲线方程为. B选项，由，即，则，解得，B正确； C选项，，，则， 所以，所以双曲线的焦距为，C错误； A选项，由，得双曲线的方程为，即， 则双曲线的实轴长为4，A正确； D选项，由，得双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，D错误. 故选：AB 5.已知分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，在线段上，，离心率为，则下列结论正确的为（    ） A．实轴长为4 B． C．的面积为3 D． 【答案】ACD 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的实轴、虚轴、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据离心率列方程求得，即可判断A，根据中线向量运算及中位线性质得，然后利用双曲线定义得判断B，根据勾股定理及双曲线定义求得，代入面积公式判断C，结合选项C根据完全和平方公式求解判断D. 【详解】由题意知，，解得，所以实轴长为4，故A正确； 因为，所以是线段的中点， 因为是线段的中点，所以， 由双曲线定义知，， 所以，故B错误； 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以的面积为，故C正确； 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 6.已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线右支上一点，的最小值为1，且当轴时，，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的一条渐近线被圆：截得的弦长为2 C．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则 D．为圆：上一点，的最大值为3 【答案】ABD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、圆的弦长与中点弦、定点到圆上点的最值（范围）、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】对于A，由题干条件可得，，再结合双曲线中的平方关系，联立可解得，则双曲线的焦距为，由此可判断A；对于B，由A可得双曲线的方程，进而得到渐近线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理可算得弦长，由此可判断B；对于C，由对称性取任意一条渐近线，先求出垂线方程，与渐近线方程联立求得垂足坐标，再利用两点间的距离公式即可判断；对于D，由双曲线的定义可知，再由三角形两边之和大于第三边可得，由此可判断D. 【详解】对于A，双曲线右支上点到右焦点的最小距离为右顶点到右焦点的距离，即， 当轴时，此时点的横坐标为，代入双曲线方程可得， 由双曲线中的平方关系，联立解得， 所以双曲线的焦距为，故A正确； 对于B，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 圆：的圆心为，半径为，且经过原点， 则圆和两条渐近线关于轴对称，二者所截的弦长相等，取其中一条渐近线， 则圆心到渐近线的距离为， 由垂径定理可知所截的弦长为，故B正确； 对于C，由对称性，过点作双曲线的一条渐近线的垂线， 则垂线方程为，与联立可解得垂足， 则，故C错误； 对于D，圆：的圆心为，半径为1， 由双曲线的定义可知， 则，当且仅当在线段的延长线上取等， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 7.已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ） A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4 B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大 C．为定值 D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点 【答案】AC 【解析】对于A，因为双曲线的一个焦点，渐近线方程化为， 焦点到渐近线的距离为，故正确； 对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则， 所以新离心率， 即离心率变小，故B错误；对于选项C， ，， 又点在双曲线上，， ，（定值），故C正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误；故选：AC 8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为（） 【答案】BD 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解 【分析】本题考查双曲线，掌握双曲线的定义，理解双曲线的概念与性质． 【详解】A、由，得，，则，，， 当时，，由，可得，故A不正确； B、焦点的面积公式，将代入可知，故B正确； C、当时，，当时，， 因为为锐角三角形，所以，故C不正确； D、设，（），则（）， 由题设知，，则， 所以点的轨迹方程为，故D正确． 故选：BD. 9.双曲线的左、右焦点分别为，，下列说法正确的有（   ） A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 B．过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率为 C．若双曲线的焦距为，为双曲线上一点，则到两渐近线距离之积为 D．若点为该双曲线上的一点，且，则 【答案】ABD 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】A利用斜率之积为计算；B计算和即可求出；C根据条件写出双曲线和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式化简即可；D先求证三点均在以为直径的圆上，再利用双曲线的定义以及勾股定理得出即可. 【详解】渐近线方程为，若双曲线的两条渐近线互相垂直，则， 得，故A正确； 由题意可知，点到渐近线的距离为， 又直线的斜率为，则， 则，得，， 故离心率为，故B正确； 由题意可知，，则，则双曲线方程为， 渐近线方程为， 设点，则， 点到两条渐近线的距离之积为， 故C错误； 因，则， 则三点均在以为直径的圆上， 设，由于对称性，不妨设点在第一象限， 则，得， 则，故D正确. 故选：ABD 10.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（    ） A． B．的最小值为 C．点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D．取得最小值时，的面积为 【答案】ACD 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、用和、差角的正切公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设点P的坐标，再结合斜率公式计算判断A，应用两角和正切公式计算判断B，C，应用基本不等式公式计算结合面积公式计算判断D. 【详解】由题意知，设点P的坐标为，α，，所以，所以，所以A对； 因为，所以无最小值，所以B错， ， 又因为P横坐标逐渐变大时，α也跟着变大，在变小，所以逐渐变小，所以C对， 又当， 当且仅当取得等号，即，即，，，， 所以，所以面积为． 故选：ACD． 11.关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当 时，曲线表示的图形是一个圆 B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 C．当 时，曲线表示的图形是一个圆 D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 【答案】BCD 【分析】 根据椭圆方程、双曲线方程以及圆的方程的概念求解. 【详解】 对A,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形不是一个圆，故A错误； 对B,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对C,当时，曲线方程为，即，所以曲线表示的图形是一个圆，故C正确； 对D，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故D正确； 故选:BCD. 12.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】AB 【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出的取值范围，即可判断． 【详解】因为方程表示的曲线是双曲线， 由，显然， 即，则， 其中表示点到定点的距离， 表示点直线的距离，又点不在直线上， 则表示平面内一点到定点的距离与到直线的距离之比， 依题意可得，解得，结合各选项可知，只有A、B符合题意. 故选：AB 13.已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】对ACD采用举例法即可判断其正确，对B分析出为定值，显然不可能. 【详解】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确； 对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线， 则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误； 对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：ACD. 14.已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得直线的斜率为2 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：AD 15.双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】由双曲线，得， 则双曲线的渐近线方程为，焦点为， 对于A：如图： 易知，即渐近线是的角平分线， ∴当且仅当与渐近线垂直时，即时，是等腰三角形，此时有，故A错误； 如图： 不妨设均在x轴上方． 对于B：设直线的方程为， 联立，得， ∵， ∴， 则， 则，即中点为， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则中点为，即为， ∴中点即为中点，设为，则， ∴，故B正确； 对于C：如图： 由双曲线的渐近线方程可知，， 由于，∴， 则，故C错误； 对于D：由选项B知，为中点， 若，则，则， 即，负值（负值舍去），则， 则，故D正确． 故选：BD． 16.已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．记，则的面积； C．若，过点且斜率为的直线与有2个交点，则； D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为. 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式求出k的取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值. 【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点， 由切线长定理可知，，，因为在轴上，所以， 所以 ， ，，， 双曲线的方程为：， 若，则，所以，故A正确； 对于B，因为的面积，故B错误； 对于C，若，则，，，双曲线的方程为， 直线的方程为，联立，消得， 则， 解得且，故C错误； 对于D，若，则，，，双曲线的方程为， 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，设、、与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 ， 而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点， 轴，所以的横坐标为， 同理可求得的横坐标为，则， 设直线的倾斜角为，则， 在，中有 ，， 设，所以， 显然，当，即，即取得最小值8， 记的内切圆面积为，的内切圆面积为， 故的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确. 故选：BD. 17.已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，则（   ） A．双曲线C的离心率为 B．若，则 C．若，则 D．若，直线l的倾斜角为，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的通径问题、求双曲线中的弦长、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】对于A选项：由渐近线方程为得到，从而求出离心率；对于B选项：时，求出通径长，与焦距长相比即可得到长度关系；对于C选项：结合双曲线的定义，在中，通过余弦定理求角即可；对于D选项：联立，通过韦达定理求弦长即可. 【详解】依题意可知，则，故A正确； 若，则，故，故B错误； 不妨设，因为， 则，则，而， 则在中，由余弦定理，， 则，则，故C正确； 联立， 联立则， 所以， 则，故D正确. 故选： ACD. 18.已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【答案】ABD 【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去），故实轴长为，故A正确； 由A知，，，即双曲线焦点为， 存在圆， 设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：， 所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确； 因为直线与双曲线的渐近线平行， 而两条平行线间的距离为， 所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误； 设，则由，相减可得： ，所以，即， 所以D在一条定直线上，故D正确. 故选：ABD 19.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 20.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 21.已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 【答案】BD 【详解】依题意，，双曲线的焦点在轴上. A选项，双曲线的虚轴长，故A错误； B选项，由于，故点P为双曲线E上支上一点， 故，解得，故B正确； C选项，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； D选项，，，故， 于是的面积， 故点到直线的距离，故D正确； 故选：BD.    22.已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 23.已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【详解】因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.   代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 24.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，则的取值可以是（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】AB 【详解】双曲线中，，实轴长， 不妨设点在第一象限，，则， 所以，，则， 又点在双曲线上，所以，即， 则，由，可知，即， 则的最大值为16，所以的取值可以是，. 故选：. 25.双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率 C．直线与的斜率之积是2 D．双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD 26.已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【答案】ABD 【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去），故实轴长为，故A正确； 由A知，，，即双曲线焦点为， 存在圆， 设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：， 所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确； 因为直线与双曲线的渐近线平行， 而两条平行线间的距离为， 所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误； 设，则由，相减可得： ，所以，即， 所以D在一条定直线上，故D正确. 故选：ABD 27.黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 28.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 29.如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据直角三角形的性质计算判断A；延长交于点H，结合直角三角形的性质，根据正弦定理及两角差的正余弦公式求解，进一步求解，判断B，利用双曲线定义求出，进而求出离心率判断C，利用直角三角形面积求解面积判断D. 【详解】对于A，因为，O为中点，所以． 已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确. 对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以， 记，则，在中，由正弦定理得， 所以，从而，延长交于点H， 则，且H为线段的中点，在中，， 所以， 所以，B错误. 对于C，由B可得，， 所以，所以，所以， 所以离心率，C正确． 对于D，的面积，D正确． 故选：ACD 30.已知点是双曲线：的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列结论正确的是（    ） ①点的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为. A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】对于①，双曲线中，故. 左焦点，右焦点，. 设，则， 所以，将代入到双曲线方程中得， ，得到，即，负根舍去，故①正确. 对于②，计算的周长，由双曲线定义得， ， 故周长为，故②正确. 对于③，由余弦定理 ， 因为余弦函数在单调递减，故，故③正确. 关于④，设三角形内切圆半径为，周长为，由三角形面积公式，则， 故④正确. 故选： 31.已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 【答案】BD 【详解】依题意，，双曲线的焦点在轴上. A选项，双曲线的虚轴长，故A错误； B选项，由于，故点P为双曲线E上支上一点， 故，解得，故B正确； C选项，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； D选项，，，故， 于是的面积， 故点到直线的距离，故D正确； 故选：BD.    32.已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 33.已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【详解】因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.   代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 34.已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABC 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：ABC． 35.已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（   ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 【答案】ACD 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，由题知，，故A正确； 当为的右支上两点时，由双曲线的定义得的周长为， 当分别为的左，右两支上两点时，的周长为，故B错误； 由题意的方程为，与联立得，所以， 所以，故C正确； 因为为的右支上两点，所以或，故D正确． 故选：ACD． 36.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【答案】BCD 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 37.已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C． D．的周长为 【答案】CD 【详解】 由题意得，由双曲线定义得 所以． 由，得，即． 即解方程组得 所以． 由，得，得，， 所以的焦距为，渐近线方程为，，故A、B错误，C正确； 又的周长为，故D正确； 故选：CD 38.已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【详解】A项，由题意知，设焦距为，则. 设椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的实轴长为，虚轴长为， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限， 由椭圆的定义知，则， 由双曲线的定义知，则， 由两式相加化简得， 因为点在圆上，所以，所以， 则，则，又，联立解得，，故A项正确； B项，由A项可知，解得，则，所以椭圆的方程为，故B项正确； C项，由，，则， 所以的面积，故C项正确； D项，的周长为，故D项错误. 故选：ABC 39.已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【解析】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 40.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【解析】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 41.已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 【分析】根据椭圆的简单几何性质即可分别求解． 【解答】解：椭圆方程为：， ，，， △的周长为，正确； △面积的最大值为，正确； 的最小值为， 又为椭圆上异于长轴端点的动点，错误； 椭圆的焦距为，错误． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题． 42.设，是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是　　 A．到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C．△的外接圆半径为 D．△的面积为9 【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断选项； 利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断选项； 求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断选项； 利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断选项． 【解答】解：由题意，到准线的距离， ， ，如图过向作垂线，垂足为， 由，为中点， 则为△的中位线， 所以，即是的中点， 因为，，，，， 因此到直线的距离为，故错误； 在中，， 又，得到，解得，，， 所以双曲线的离心率，故正确； ，设△的外接圆半径， 因此，所以，故错误； △的面积，故错误． 故选：． 43.已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】由题意得的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由不可能为等边三角形，判断选项B；分析可得当，的外接圆的面积取到最小值，据此求得的面积，判断选项C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确； 对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确； 对于C，设的外接圆的半径为R，则，即. 当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值. 此时，，所以的面积为.所以选项C正确； 对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为， 则，所以. 所以点是双曲线的右顶点，点在直线上. 设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确. 故选：ACD. 44.已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由题意得到的距离为，得到，解得， 又渐近线方程为，则，而， 联立方程组，解得， 则双曲线的方程为，故A错误． 对于B，如图，作出符合题意的图形，    因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确， 对于C，由已知得，由双曲线定义可得， 而为在第一象限的点，可得， 则，解得，，而， 在中，由余弦定理得， 因为是的中点，所以， 则，可得， 而， 可得，解得，故C错误， 对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得， 设点到轴的距离为，由等面积公式得， 得到，解得，故D正确． 故选：BD 45.如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断； 由余弦定理计算判断，； 由余弦定理、二倍角的余弦计算判断作答． 【解答】解：对于，椭圆，双曲线， 由椭圆、双曲线的定义可知，，解得，，故错误； 对于，令，由余弦定理得， 当时，，即，因此，故正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，故错误；，， ，解得， 而，因此，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题． 46.已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且交的右支于点，设为坐标原点，为的左支上一动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据条件，确定双曲线的方程，进而确定的坐标，利用两点间的距离公式，可判断A的真假；利用平面向量的坐标表示，可判断B的真假；利用三角形的边的关系，结合两点间的距离公式，可判断C的真假；结合双曲线的定义和两点间的距离公式，可判断D的真假. 【详解】对双曲线：，，所以. 双曲线在一、三象限的渐近线方程为. 如图： 直线所在的直线方程为：. 由，即. 由且，即. 又，所以. 对A：因为，所以，，所以，故A正确； 对B：因为，，所以不成立，故B错误； 对C：,当三点共线时取等号，故C正确； 对D：设双曲线左焦点为，则， 所以，当三点共线时取等号.故D正确。 故选：ACD 47.若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（       ） A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项. 【详解】由题意知，，即，因为，所以，解得：， 所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为，对于A：到渐近线的距离为，故A正确；对于B：因为，所以双曲线的离心率为，故B错误；对于C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故C正确；对于D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故D错误． 48.在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（       ） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】 求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D． 【详解】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，， ，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时， 综上的最小值为6．D正确． 【点睛】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值． 49.已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（       ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点 D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2= 【答案】AC 【解析】 【分析】 可设，代入双曲线的方程，结合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，可判断，，，再由焦点三角形面积及双曲线的对称性，即可判断． 【详解】可设，可得，即有，由，，可得， 即，若恒成立，且实数的最大值为1，可得的最小值为1， 由，当时等号成立，则，解得，可得双曲线的方程为，则，故正确，错误；由双曲线的焦点为，，函数，的图象恒过双曲线的焦点，，故正确；由△PF1F2的面积为及双曲线的对称性可知，P点可在左支，也可在右支上，所以∠PF1F2=错误，故错误． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查不等式恒成立问题解法和函数的图象的特点、以及直线和双曲线的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 50.已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（       ） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出渐近线方程，设，直接计算，然后判断各选项． 【详解】由题意双曲线的渐近线为，即，设，不妨设在第一象限，在渐近线上，则，，，A正确；在双曲线上，则，， ，，∴，B正确；，当且仅当时等号成立，即的最小值为，C错误；渐近线的斜率为，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 51.双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为 A．4 B． C．2 D． 【答案】ABD 【解析】由渐近线上的点的坐标可求得渐近线方程；利用对称关系可知，由此求得；当三点共线且在双曲线右支上时，可知取得最小值，无最大值，由此可判断各个选项能否取得. 【详解】由双曲线方程得渐近线方程为：，在渐近线上， 渐近线方程为 设坐标原点为，则，，当三点共线且在双曲线右支上时，最小，，又为双曲线上的动点 ， 无最大值 选项中的值均大于，选项中的值小于，选项中的值均有可能取得 52.已知双曲线的左右顶点分别为，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时，的面积为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、基本不等式求和的最小值、双曲线中的定值问题、求点到直线的距离 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】    由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 为定值，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D正确； 故选：BCD 53.若双曲线的左，右焦点分别为，过的右支上一点作圆的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为9 B．若为圆上的一动点，则的最小值为3 C．四边形面积的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由焦点三角形面积公式可得A错误；由双曲线的定义可得B正确；当点位于右顶点时可得C正确；由向量的数量积和基本不等式可得D错误. 【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的焦点， 对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得，故A错误； 对于B，由双曲线的定义可得，当三点共线时取等号，故B正确； 对于C，，所以当最小时，四边形的面积最小， 由双曲线的性质可得当点位于右顶点时，最小， 所以，所以四边形面积的最小值为，故C正确； 对于D， ，当时取等号，但，所以取不到等号，故D错误. 故选：BC 54.已知曲线，则（  ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【解析】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． 故选：ABD 55.已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的实轴长为8 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 【解析】由双曲线C的方程为，得：，， 对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确； 对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确； 对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确； 对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误； 故选：ABC. 56.已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（    ） A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1 B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于 C．的最短长度为6 D．满足的直线有4条 【解析】由双曲线可得，，所以， 对于A：若在双曲线右支上，则的最短长度为，故选项A正确； 对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确； 对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确； 对于D：当，同在双曲线右支上时，，当，在双曲线两支上时，，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确； 故选：AD. 57.已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（    ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 【解析】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，， 直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而， 联立，得，则，，， 若，则，即，解得，不满足，故B错误； 对于C，由，则，， 所以 因为，所以，故C正确； 对于D，， 设，则，，令，函数在上单调递减，因此，故D正确， 故选：ACD． 58.已知动点是双曲线上的点，点是的左、右焦点，是双曲线的左、右顶点，下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为 B．点在双曲线的左支时，的最大值为 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．若是△的面积，则为定值 【解析】对A：因为双曲线，故可得，则离心率，故A正确； 对B：因为，故可得， 则，因为，则， 令，故，，故当时，取得最大值.故B错误； 对C：设点，则，又双曲线渐近线为， 故到两渐近线的距离之积为.故C正确； 对D：不妨设点在轴上方，则， 则， 又，， 故，又， 故；当点在轴下方时，同理可得.故D正确. 故选：ACD. 59.已知P是左、右焦点分别为、的双曲线上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的面积是 C．焦点到渐近线的距离为 D．内切圆圆心横坐标或 【答案】BD 【详解】在双曲线中，，，则， 对于A选项，由双曲线的定义得，所以，A错； 对于B选项，由余弦定理得 ， 所以，故，B对； 对于C选项，双曲线的右焦点为，该双曲线的渐近线方程为， 故该双曲线的焦点到渐近线的距离为，C错； 对于D选项，如下图所示： 当点在双曲线的右支上，设内心为，设点的横坐标为， 设的内切圆分别切边、、于点、、， 由圆的几何性质可得轴，故点的横坐标也为， 由切线长定理可得，，， 所以， 即， 易知点，所以，解得， 当点在双曲线的左支上，可知内心的横坐标为， 综上所述，内切圆圆心横坐标或，D对. 故选：BD. 60.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，，点P，Q分别是C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则下列说法正确的是（    ） A．C的离心率为 B．C的焦点到其渐近线的距离为1 C．若，则的面积为2 D．若P，M都位于第二象限，且，P、M三点共线，则 【答案】ABD 【详解】由双曲线的方程可知，且焦点在x轴上， 因为，即，则， 可得点，，渐近线为，即. 对于选项A：双曲线C的离心率为，故A正确； 对于选项B：双曲线C的焦点到其渐近线的距离，故B正确； 对于选项C：因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为，故C错误； 对于选项D：可知渐近线，直线， 联立方程，解得，即， 因为，即， 则， 当且仅当点Q 在线段上时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD. 61已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．直线斜率存在时， C．若，则直线的斜率为 D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】依题意，得，，得，则，，，，设点，，， 对于A项，如图，设的内切圆的切点为，，，由双曲线的定义得，，而，得，而，，得,又因为，得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点共线，故A项正确； 对于B项，由相减得，，得，即，故B项正确； 对于C项，设直线的倾斜角为，连接，， 则， 又， 则，，若，则，，故C项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，，因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以，，，令，则，则在单调递减，在单调递增，故，故D项正确． 故选：ABD． 62.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点为上位于第二象限内一点，分别为的左､右焦点，内切圆的圆心为，则（    ） A．的虚轴长为 B．当时，的面积为 C． D．若为坐标原点，则 【答案】BC 【详解】 设内切圆与的切点分别为， 则，， 因为点为上位于第二象限内一点，所以， 又， 所以， 则点即为的左顶点，又，所以， 因为，则，所以，所以，双曲线的方程为， 对于A选项，的虚轴长为，所以A选项不正确； 对于B选项，，即内切圆半径为， 所以，所以， 即为直角三角形，所以，所以的面积为，所以B选项正确； 对于C选项，因为， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，，所以， 整理得， 又， 两式相加可得， 即，所以，所以D选项不正确. 故选：BC. 63.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（    ） A．若，则有 B．若的周长为20，则的面积为 C．的最大值为5 D．设，的斜率分别为、，则的最小值为 【答案】BC 【详解】由双曲线：，可得，所以，所以， 所以双曲线：的左、右焦点分别为、， 所以，若，则， 所以或，又在右支时，， 所以或，故A错误； 若的周长为20，则，又， 由对称性，不妨设，所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以的面积为，故B正确； 设，则， 所以， 当且仅当时，取等号，故C正确； 设，由，可得， 所以，则可得， 所以，当且仅当取等号， 又时，三点共线，由题意，三点不能共线，故等号不成立，故D错误. 故选：BC. 64.已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为 C． D． 【答案】ABD 【详解】由双曲线，可得， 则，且其渐近线方程为， 对于A中，不妨设点位于第一象限， 由双曲线的定义，可得，所以， 则，又由双曲线的几何性质，可得， 所以，即的最大值为，所以A正确； 对于B，如图所示，设的内切圆与轴，的切点分别为， 可得， 又由，可得， 又由，可得， 所以点的横坐标为，即圆心的横坐标为，所以的内心到轴的距离为，所以B正确； 对于C，设，则满足， 则点到直线的距离为，到直线的距离为， 则， 因为，且与的夹角为，所以， 所以，所以C不正确； 对于D，由，可得， 联立方程组，解得， 即，同理可得， 所以， 因为，代入可得， 又因为，可得，所以，所以D正确. 故选：ABD. 65.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【详解】对A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对B：设，则，即， 双曲线的渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在， 则，， 有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则， 又，故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确. 故选：ABD. 66.双曲线为其左､右焦点，为原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于四个不同的点，从左到右依次记为，则下列正确的是（    ） A．若为斜率，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】由双曲线，得， 则双曲线的渐近线方程为，焦点为， 对于A：如图： 易知，即渐近线是的角平分线， ∴当且仅当与渐近线垂直时，即时，是等腰三角形，此时有，故A错误； 如图： 不妨设均在x轴上方． 对于B：设直线的方程为， 联立，得， ∵， ∴， 则， 则，即中点为， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则中点为，即为， ∴中点即为中点，设为，则， ∴，故B正确； 对于C：如图： 由双曲线的渐近线方程可知，， 由于，∴， 则，故C错误； 对于D：由选项B知，为中点， 若，则，则， 即，负值（负值舍去），则， 则，故D正确． 故选：BD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $