期中复习：向量与几何最值问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：向量与几何最值问题复习讲义 期中培优：向量与几何最值问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将几何中的线段、角度、位置关系转化为向量坐标/线性运算，依托向量的模长、数量积、共线/垂直性质，把几何最值问题转化为向量表达式的最值求解，本质是几何问题向量化，向量运算代数化，代数运算求最值。 二、通用解题思路（四步法） 1. 建系/设基，向量化几何元素：坐标系背景下将点坐标转化为向量坐标；无坐标系时选合适基底表示相关向量，把几何中的线段、动点转化为向量的模长、和差、数量积形式； 1. 列向量表达式，关联最值目标：根据几何最值要求（如线段长最值、夹角最值、面积最值），列出对应的向量式——模长最值直接表为，垂直/夹角最值用数量积，面积最值结合叉乘/模长与数量积； 1. 代数化化简，转化为函数/不等式最值：利用向量坐标运算（加减、数乘、数量积）、模长公式、数量积性质（）化简表达式，转化为单变量函数最值（如二次函数、一次函数）或不等式求最值（如柯西、三角不等式）； 1. 求最值，还原几何结论：求解代数最值，结合向量与几何的对应关系，还原得到几何中的线段长、角度、面积等最值，注明取等条件（如向量共线、垂直时）。 三、核心技巧&避坑要点 1. 坐标系优先用坐标法：将向量坐标化，把模长、数量积转化为坐标运算，计算更直接，是几何最值的首选方法； 1. 抓核心向量性质：模长最值靠配方/公式，夹角/数量积最值靠极化恒等式/向量不等式，共线时取到最值是高频结论； 1. 动点问题设参表示：几何动点转化为向量参数式，将最值表达式化为单参数函数，结合参数范围求最值； 1. 勿忘取等条件：向量不等式求最值时，需验证等号成立的几何条件（如向量共线、同向/反向），确保最值可取。 例题分析 例1．（2026·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 例2．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）设点O是三边的垂直平分线的交点，且，则的取值范围是______． 例4．（25-26高一下·广东广州·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 例5．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示． (1)若，求与夹角的大小； (2)试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值． 例6．（25-26高一下·江苏扬州·月考）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 变式训练 变式1．（2026·云南曲靖·一模）在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D．6 变式2．（25-26高一下·吉林·月考）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 变式3．（25-26高一下·天津·月考）梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 变式4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 变式5．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 实战演练 1．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·吉林·月考）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知为单位向量，，满足，则的最小值为_____. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 5．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：向量与几何最值问题复习讲义 期中培优：向量与几何最值问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将几何中的线段、角度、位置关系转化为向量坐标/线性运算，依托向量的模长、数量积、共线/垂直性质，把几何最值问题转化为向量表达式的最值求解，本质是几何问题向量化，向量运算代数化，代数运算求最值。 二、通用解题思路（四步法） 1. 建系/设基，向量化几何元素：坐标系背景下将点坐标转化为向量坐标；无坐标系时选合适基底表示相关向量，把几何中的线段、动点转化为向量的模长、和差、数量积形式； 1. 列向量表达式，关联最值目标：根据几何最值要求（如线段长最值、夹角最值、面积最值），列出对应的向量式——模长最值直接表为，垂直/夹角最值用数量积，面积最值结合叉乘/模长与数量积； 1. 代数化化简，转化为函数/不等式最值：利用向量坐标运算（加减、数乘、数量积）、模长公式、数量积性质（）化简表达式，转化为单变量函数最值（如二次函数、一次函数）或不等式求最值（如柯西、三角不等式）； 1. 求最值，还原几何结论：求解代数最值，结合向量与几何的对应关系，还原得到几何中的线段长、角度、面积等最值，注明取等条件（如向量共线、垂直时）。 三、核心技巧&避坑要点 1. 坐标系优先用坐标法：将向量坐标化，把模长、数量积转化为坐标运算，计算更直接，是几何最值的首选方法； 1. 抓核心向量性质：模长最值靠配方/公式，夹角/数量积最值靠极化恒等式/向量不等式，共线时取到最值是高频结论； 1. 动点问题设参表示：几何动点转化为向量参数式，将最值表达式化为单参数函数，结合参数范围求最值； 1. 勿忘取等条件：向量不等式求最值时，需验证等号成立的几何条件（如向量共线、同向/反向），确保最值可取。 例题分析 例1．（2026·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】取中点，可得，利用余弦定理求出后，由模长与数量积关系计算可得，再利用点坐标，可得当、、三点共线时，取最小，即可得最小值. 【详解】取中点，则，则， 由，则， 则， 由，则，则， 当且仅当、、三点共线，且在、之间时，等号成立， 故的最小值为. 例2．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 例3．（25-26高一下·辽宁沈阳·月考）设点O是三边的垂直平分线的交点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合外心的性质和向量线性运算可得，再代入原式可得，利用二次函数性质求解即可. 【详解】如图所示， 由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故. 因为， 所以， 由是的中线，可得，且， 故. 已知，可得：， 由，，可得， 将代入目标式： ， 设，则， 为开口向上的二次函数，对称轴为，， 当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）； 当时，，但，故. 因此的取值范围是. 例4．（25-26高一下·广东广州·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【答案】 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示： ，则 ， 设 ，其中 ， 则 ， ， 当时，取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为，则 ， 当为中点时，取得最小值为 . 例5．（25-26高一下·山东淄博·月考）已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示． (1)若，求与夹角的大小； (2)试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值． 【答案】(1) (2)，最小值 【分析】（1）先利用任意角三角函数的定义易求的坐标，再利用平面向量的夹角公式求解即可； （2）设（），用表示点坐标，代入数量积的坐标计算公式即可求解. 【详解】（1）因为半圆的直径，由题易知：． 又，则，即． 所以， 所以． 设与夹角为，则， 又因为，所以，即与的夹角为． （2）设（）， 由（1）知，， 所以， 又因为，所以当时，有最小值为， 此时点P的坐标为． 例6．（25-26高一下·江苏扬州·月考）如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； （2）由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. （3）设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 变式训练 变式1．（2026·云南曲靖·一模）在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由，判断三角形的形状，结合数量积结果，求得的夹角，以及三角形的边长；取的中点为，的中点为，求得的轨迹是以为圆心的圆，再根据圆外一点到圆上一点距离最值的求解方法，计算即可. 【详解】设圆的半径为，则， 又， 故两两之间的夹角相等，且均为，三角形为等边三角形， 故，解得； 连接，取的中点分别为，如下图所示： 因为，故点在以为圆心，1为半径的圆上运动； 若三点不共线时，在三角形中，分别为的中点， 故， 故点是在以为圆心，为半径的圆上运动； 若三点共线且为线段上点时， 此时，， 故； 同理若三点共线且为线段延长线上一点时，也有； 综上所述：点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 对等边三角形，由正弦定理可得：， 又为中点，则； 故圆外一点到圆上一点的距离， 当且仅当三点共线，且在线段延长线上时取得等号， 所以的最大值是5. 变式2．（25-26高一下·吉林·月考）四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段AE上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，，. 设，. 则， ， 所以， 所以当时，取得最小值，为. 故答案B正确. 变式3．（25-26高一下·天津·月考）梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质即可. 【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设，由， ， 则， ， 令，则， ， 当时，有. 变式4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先建立直角坐标系求出各点坐标和向量坐标，再计算向量数量积转化为与横坐标相关式子，最后确定横坐标范围从而得出数量积取值范围. 【详解】由题意可得，大三角形为等边三角形， 又因为，且等边三角形， 所以，又因为，所以， 作垂直于直线于， 在直角中，， 所以，， 作垂直于直线于，根据等腰梯形的对称性可得： ，即， 所以大三角形的边长为4，， 以为原点，为轴，垂直于为轴，建立直角坐标系， 则，， 所以，作垂直于直线于， 在三角形中，， ，所以， 平移直线到，则， 所以，作垂直于直线于， 在三角形中，， ，所以， 根据图形关系可得，等腰梯形满足：，，腰长均为， 则，设，则， 因此：问题转化为求点横坐标的范围， 又因为等腰梯形最小横坐标为，最大横坐标为， 且对梯形内任意点，， 因此，即的取值范围是. 变式5．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【详解】（1）当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以，    故，； （2）为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 实战演练 1．（25-26高一下·山东青岛·月考）已知正方形的边长为，点在线段上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，根据共线定理表示点的坐标，代入表达式根据二次函数求最值. 【详解】 已知正方形，以建立平面直角坐标系， ，，，， 设，点在线段上，， 则，， ， 时，的最大值为. 2．（25-26高一下·吉林·月考）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上， 又，所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，且. 取的中点，连接，则. 由题意知，，，所以. 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，故， 设（），则，即. . 所以， 当时，取得最小值，为. 3．（25-26高一下·江苏南京·月考）已知为单位向量，，满足，则的最小值为_____. 【答案】2 【分析】根据数量积和向量相减模的几何意义，构造图形，并建立坐标系，转化为两点间距离的最小值问题. 【详解】设，，，， ，得点在直线上， ，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上， , 所以的最小值为2. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若正方形的边长为2，分别为的中点，为线段上的动点（含端点），则的最小值为__________. 【答案】 【分析】借助正方形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求出的坐标，进而可得到的表达式，根据线段的方程及二次函数的性质可求其最值. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为分别为的中点，所以. 又为线段上的动点（含端点），故可设. 所以， 所以. 由知之间的关系为，所以， 将代入可得 ， 又，所以当时，取得最小值. 5．（24-25高一下·云南丽江·期中）已知，是单位向量，且． (1)若非零向量满足，求的最大值； (2)若向量满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为向量与的夹角，表示，推出，进而得到最大值; （2）方法一：令，，，则，，根据几何关系求解； （2）方法二：令，，，，则，所以点在以点为圆心，半径为的圆上，当点，，共线时，得到最大值和最小值，进而得到答案. 【详解】（1）因为， 所以 ，其中为向量与的夹角， 所以． 又，， 所以， 所以的最大值为． （2）方法一：由，得． 又，且， 不妨令，，，则． 又， 故根据几何关系可知，， 所以的取值范围是． 方法二： 令，，，， 则． 又， 所以点在以点为圆心，半径为的圆上， 如图所示，易知当点，，共线时，取得最值， 最大值为，最小值为， 所以的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $