专题06 二次函数综合压轴解答题（3题型1重难）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题06 二次函数综合压轴解答题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 二次函数核心基础公式（必考） 【考点02】 高频辅助公式（几何+代数，必备） 【考点03】 最值与动点相关公式（压轴题重点）【考点04】 存在性问题核心公式（高频考点） 【考点05】 函数综合相关公式（中频考点） 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】二次函数增减性、最值问题 【题型02】二次函数交点问题 【题型03】二次函数与几何综合 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】二次函数 + 几何存在性（压轴高频） 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 解析式求解与图像性质：第一问高频考点，要求熟练掌握一般式、顶点式、交点式三式互化，结合已知点、顶点、对称轴等条件求解析式；同时考查开口方向、对称轴、顶点、增减性、与坐标轴交点等基础性质。 几何综合压轴：二次函数与三角形、四边形、圆深度融合，是中考压轴题的主流形式。核心包括面积最值（铅垂法 / 割补法）、特殊图形存在性（等腰 / 直角三角形、平行四边形）、线段最值（将军饮马、瓜豆原理）。 动态与参数综合：以动点、动直线、动图形为背景，结合区间最值（动轴定区间、定轴动区间）、参数范围求解、定点 / 定值证明，考查分类讨论与代数推理能力。 实际应用：以销售利润、拱桥 / 隧道、抛体运动、校园规划等生活情境为载体，考查数学建模，核心是将实际问题转化为二次函数求最值或不等式求解。 关键能力与思维瓶颈 能力类型 典型瓶颈 破题关键 数形结合能力 无法将几何条件（如垂直、相等、相似）转化为代数方程；忽视图像关键点（顶点、交点、对称轴）的标注与分析 遇题必画草图，标注开口、对称轴、交点；几何条件→坐标 / 距离 / 比例关系 分类讨论能力 等腰三角形直角顶点漏讨论；平行四边形顶点顺序漏解；区间最值未考虑顶点与区间的位置关系 建立分类框架（如直角顶点分 3 种、平行四边形对角线 3 种组合）；临界值验证 参数与建模能力 含参函数性质分析混乱；实际问题未确定定义域；无法将动态问题转化为二次函数表达式 主元优先（确定自变量与参数）；定义域优先（先列约束再求解）；参数化表示动点 命题前瞻与备考策略 综合度升级：一道题同时考 3-4 个知识点，如二次函数 + 相似 + 圆 + 最值，但核心模型不变，强调知识网络的系统性整合。 新情境与跨学科：融入物理抛体运动、生态数据拟合、校园规划等真实场景；增加数据驱动型问题（如给数据表拟合二次函数），考查信息提取与建模能力。 新定义与创新探究：高频出现 “伴随函数、平方点、同族点” 等新定义，考查即学即用能力；开放作答题型增多，如设计几何方案、提出优化建议。 过程分强化：即使最终答案错误，完整呈现分类讨论、图像分析、步骤推导也可获 50%-80% 过程分，要求书写规范、逻辑清晰。 ◇考点 01 二次函数核心基础公式（必考） 一般式：（），其中决定开口方向与开口大小，开口向上，开口向下；对称轴为，顶点坐标为。 顶点式：（），其中为顶点坐标，对称轴为，可快速求解顶点、最值问题，是综合题中最常用的表达式。 交点式：（），其中是二次函数与轴交点的横坐标，即方程的两个根，适用于已知与轴交点的综合题。 ◇考点 02 高频辅助公式（几何+代数，必备） 根的判别式：（判断二次函数与轴交点个数，有两个不同交点，有一个交点，无交点）。 根与系数的关系（韦达定理）：若是的两个根，则，（常用于求线段长度、交点坐标相关问题）。 两点间距离公式：若、，则（求线段长度、最值的核心公式）。 ◇考点 03 最值与动点相关公式（压轴题重点） 1.二次函数最值公式 一般式最值：（取最小值，取最大值） 顶点式最值：（取最小值，取最大值） 限定自变量范围（）：对称轴 ：最值为顶点纵坐标 ：取时最小值，取时最大值 ：取时最小值，取时最大值 2. 动点相关常用表达式 动点坐标表示：若动点在上，设横坐标为，则 动点与定点距离平方（简化计算）：若、，则 ◇考点 04 存在性问题核心公式（高频考点） 1. 等腰三角形存在性（设，定点） ：中点坐标相等（，），垂直平分线斜率 ： ： 2. 直角三角形存在性（设，定点） 直角顶点为： 直角顶点为： 直角顶点为： 3. 平行四边形存在性（设、，定点） 对角线互相平分：， ◇考点 05 函数综合相关公式（中频考点） 一次函数表达式：（） 反比例函数表达式：（） 二次函数与一次函数交点：联立，消去得，解方程求根 ◇题型 01 二次函数增减性、最值问题 方｜法｜提｜练 结合函数图像的开口方向、增减性，比较函数值大小（注意自变量取值范围） 自身最值（直接用顶点公式） 对于（），最值为顶点纵坐标；对于，最值为。 注意：若题目限定自变量的取值范围（如），需分三种情况讨论：① 对称轴在区间内，最值为顶点纵坐标；② 对称轴在区间左侧（），最值在区间端点取得（取时的最小值，取时的最大值）；③ 对称轴在区间右侧（），最值在区间端点取得（取时的最小值，取时的最大值）。 几何最值（结合公式+转化思想） 线段最值：利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”，结合距离公式、点到直线距离公式求解； 面积最值：将面积表示为关于自变量的二次函数，结合二次函数最值公式求解（核心是“化斜为直”，将不规则图形面积转化为规则图形面积，如分割成三角形、矩形）。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 典例2（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． (1)若点和都是相反点，则_____，_____． (2)小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； (3)小芳在研究抛物线：时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． (4)在（3）的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中，且） ①求m的值； ②当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 典例3（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 变式2（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为． (1)当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)①若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； ②设点在抛物线上，点在抛物线上，当时的最大值为，求a的值． 变式3（2026·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求a，b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（A，B与原点不重合）． ①若且，求h的值； ②若，求t的最小值． 变式4（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2) 若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． ◇题型 02 二次函数交点问题 方｜法｜提｜练 联立两函数解析式，消去，得到关于的一元二次方程（或一元一次方程），求解方程的根，再代入其中一个函数解析式，得到交点坐标； 利用根的判别式判断两函数图像的交点个数（二次函数与一次函数：两个交点，一个交点，无交点）。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 典例2（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 典例3（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 典例4（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 变式2（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线， (1)当点在该抛物线上时，求抛物线的解析式； (2)已知点，点，若抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围； (3)若直线与抛物线交于点，两点，点是抛物线的顶点，设直线，的解析式分别为与，求之间的数量关系．（用只含的代数式表示） 变式3（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． ◇题型 03 二次函数与几何综合 方｜法｜提｜练 先根据已知条件，确定二次函数表达式（优先选择顶点式、交点式，简化计算）； 利用二次函数性质，求出关键点坐标（顶点、与坐标轴交点、与几何图形的交点）； 结合几何图形的判定定理（如等腰三角形“两边相等”“三线合一”，平行四边形“对边平行且相等”），结合距离公式求解。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 典例2（2026·辽宁营口·一模）定义：抛物线上任意两点M，N之间的部分（包括，两点）为抛物线弧．抛物线弧上所有点横坐标差的最大值为“水平宽度”，纵坐标差的最大值为“竖直高度”，且为抛物线弧的“匀称系数”．在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，对称轴为，抛物线顶点为，点是抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求和的值； (2)如图，若点在对称轴右侧， 用含的代数式表示抛物线弧的“水平宽度”与“竖直高度”的差，并求的最大值； 求抛物线弧的“匀称系数”与的函数解析式； (3)若点在对称轴左侧，过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在的左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“匀称系数”之和为，请直接写出的值． 典例3（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 典例4（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 变式2（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3（2026·湖南邵阳·二模）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 变式4（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． ◇重难 01 二次函数 + 几何存在性（压轴高频） 方｜法｜提｜练 （1）等腰三角形存在性 设动点，定点、，分三种情况：① （中点坐标公式+垂直斜率关系：中点在AB的垂直平分线上，垂直平分线斜率为）；② （距离公式列方程）；③ （距离公式列方程），求解后检验点是否在指定范围内。 （2）直角三角形存在性 设动点，定点、，分三种情况（直角顶点分别为、、）：① 直角顶点为，则，斜率关系为（或用勾股定理：）；② 直角顶点为，则，同理用斜率或勾股定理列方程；③ 直角顶点为，则，列方程求解，检验合理性。 （3）平行四边形存在性 设动点、，定点、，利用平行四边形“对角线互相平分”，即中点坐标相等：若与为对角线，则，，结合二次函数表达式列方程求解。 典｜例｜精｜析 典例1（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 典例2（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 典例3（2026·云南昭通·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 典例4（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 典例5（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 典例6（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 变式3（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 变式4（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当时，则y的取值范围是______． (3)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； 变式5（2026·甘肃天水·二模）如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． ◇测能力 1．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 2．（2026·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． (1)____________，____________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 4．（2022·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 6．（2026·贵州遵义·一模）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． ◇提能力 7．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点． (1)求该抛物线解析式（用含的式子表示）； (2)过点作轴的平行线，将抛物线（）在直线右侧的部分沿轴翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为，直线与直线交于点，与图形交于点（不与重合）． ①若的长度随的增大而减小，求所有满足题意的的取值范围； ②当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，求的取值范围． 8．（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 9．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．平移抛物线得到的抛物线经过点B和点． (1)求平移后抛物线的函数表达式． (2)点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t（），以点T为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，点O，C的对应点分别为． ①当时，请判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出t的取值范围； (3)约定：图象上P，Q两点之间的部分（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的最值差，记为．若新函数，点E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，，其中，是否存在m的值，使得？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 10．（2026·山东滨州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 11．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 12．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 13．（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 14．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数综合压轴解答题 目 录 第一部分 考情精析 锁定靶心 高效备考 第二部分 重难考点深解 深度溯源 扫清盲区 【考点01】 二次函数核心基础公式（必考） 【考点02】 高频辅助公式（几何+代数，必备） 【考点03】 最值与动点相关公式（压轴题重点）【考点04】 存在性问题核心公式（高频考点） 【考点05】 函数综合相关公式（中频考点） 第三部分 解题思维优化 典例精析+方法提炼+变式巩固 【题型01】二次函数增减性、最值问题 【题型02】二次函数交点问题 【题型03】二次函数与几何综合 第四部分 重难攻坚 攻克重难点 【重难01】二次函数 + 几何存在性（压轴高频） 第五部分 练测提能 效果及时检测 【测能力】→【提能力】 核心考向聚焦 解析式求解与图像性质：第一问高频考点，要求熟练掌握一般式、顶点式、交点式三式互化，结合已知点、顶点、对称轴等条件求解析式；同时考查开口方向、对称轴、顶点、增减性、与坐标轴交点等基础性质。 几何综合压轴：二次函数与三角形、四边形、圆深度融合，是中考压轴题的主流形式。核心包括面积最值（铅垂法 / 割补法）、特殊图形存在性（等腰 / 直角三角形、平行四边形）、线段最值（将军饮马、瓜豆原理）。 动态与参数综合：以动点、动直线、动图形为背景，结合区间最值（动轴定区间、定轴动区间）、参数范围求解、定点 / 定值证明，考查分类讨论与代数推理能力。 实际应用：以销售利润、拱桥 / 隧道、抛体运动、校园规划等生活情境为载体，考查数学建模，核心是将实际问题转化为二次函数求最值或不等式求解。 关键能力与思维瓶颈 能力类型 典型瓶颈 破题关键 数形结合能力 无法将几何条件（如垂直、相等、相似）转化为代数方程；忽视图像关键点（顶点、交点、对称轴）的标注与分析 遇题必画草图，标注开口、对称轴、交点；几何条件→坐标 / 距离 / 比例关系 分类讨论能力 等腰三角形直角顶点漏讨论；平行四边形顶点顺序漏解；区间最值未考虑顶点与区间的位置关系 建立分类框架（如直角顶点分 3 种、平行四边形对角线 3 种组合）；临界值验证 参数与建模能力 含参函数性质分析混乱；实际问题未确定定义域；无法将动态问题转化为二次函数表达式 主元优先（确定自变量与参数）；定义域优先（先列约束再求解）；参数化表示动点 命题前瞻与备考策略 综合度升级：一道题同时考 3-4 个知识点，如二次函数 + 相似 + 圆 + 最值，但核心模型不变，强调知识网络的系统性整合。 新情境与跨学科：融入物理抛体运动、生态数据拟合、校园规划等真实场景；增加数据驱动型问题（如给数据表拟合二次函数），考查信息提取与建模能力。 新定义与创新探究：高频出现 “伴随函数、平方点、同族点” 等新定义，考查即学即用能力；开放作答题型增多，如设计几何方案、提出优化建议。 过程分强化：即使最终答案错误，完整呈现分类讨论、图像分析、步骤推导也可获 50%-80% 过程分，要求书写规范、逻辑清晰。 ◇考点 01 二次函数核心基础公式（必考） 一般式：（），其中决定开口方向与开口大小，开口向上，开口向下；对称轴为，顶点坐标为。 顶点式：（），其中为顶点坐标，对称轴为，可快速求解顶点、最值问题，是综合题中最常用的表达式。 交点式：（），其中是二次函数与轴交点的横坐标，即方程的两个根，适用于已知与轴交点的综合题。 ◇考点 02 高频辅助公式（几何+代数，必备） 根的判别式：（判断二次函数与轴交点个数，有两个不同交点，有一个交点，无交点）。 根与系数的关系（韦达定理）：若是的两个根，则，（常用于求线段长度、交点坐标相关问题）。 两点间距离公式：若、，则（求线段长度、最值的核心公式）。 ◇考点 03 最值与动点相关公式（压轴题重点） 1.二次函数最值公式 一般式最值：（取最小值，取最大值） 顶点式最值：（取最小值，取最大值） 限定自变量范围（）：对称轴 ：最值为顶点纵坐标 ：取时最小值，取时最大值 ：取时最小值，取时最大值 2. 动点相关常用表达式 动点坐标表示：若动点在上，设横坐标为，则 动点与定点距离平方（简化计算）：若、，则 ◇考点 04 存在性问题核心公式（高频考点） 1. 等腰三角形存在性（设，定点） ：中点坐标相等（，），垂直平分线斜率 ： ： 2. 直角三角形存在性（设，定点） 直角顶点为： 直角顶点为： 直角顶点为： 3. 平行四边形存在性（设、，定点） 对角线互相平分：， ◇考点 05 函数综合相关公式（中频考点） 一次函数表达式：（） 反比例函数表达式：（） 二次函数与一次函数交点：联立，消去得，解方程求根 ◇题型 01 二次函数增减性、最值问题 方｜法｜提｜练 结合函数图像的开口方向、增减性，比较函数值大小（注意自变量取值范围） 自身最值（直接用顶点公式） 对于（），最值为顶点纵坐标；对于，最值为。 注意：若题目限定自变量的取值范围（如），需分三种情况讨论：① 对称轴在区间内，最值为顶点纵坐标；② 对称轴在区间左侧（），最值在区间端点取得（取时的最小值，取时的最大值）；③ 对称轴在区间右侧（），最值在区间端点取得（取时的最小值，取时的最大值）。 几何最值（结合公式+转化思想） 线段最值：利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”，结合距离公式、点到直线距离公式求解； 面积最值：将面积表示为关于自变量的二次函数，结合二次函数最值公式求解（核心是“化斜为直”，将不规则图形面积转化为规则图形面积，如分割成三角形、矩形）。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 典例2（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． (1)若点和都是相反点，则_____，_____． (2)小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； (3)小芳在研究抛物线：时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． (4)在（3）的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中，且） ①求m的值； ②当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 【详解】（1）解：点是相反点， ， ， 点是相反点， ； （2）解：设是“相反点”， ， ， 所有相反点都满足， 直线L的解析式为； （3）解：由（2）知，相反点在上， ， 整理得：， 抛物线的图象上有且只有一个“相反点”， 判别式， 将代入得：，即， 将代入得： ， 解得：， ； （4）解：①由（3）可知，抛物线：， 平移后抛物线的解析式为， 根据题意得：， 整理得：， 抛物线上有两个“相反点”， 设方程有两个不等实根、， 由韦达定理得：、， ，是相反点， 、， ， ， ， ， ， 解得：； ②由①知，，则抛物线的解析式为， 该抛物线对称轴为， 将代入得： ， 解得：，， 当时， 在对称轴处有最大值，最大值为：， 将代入的解析式得：， 将代入的解析式得：， 中y的最大值与最小值的差为：． 典例3（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 变式2（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为． (1)当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)①若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； ②设点在抛物线上，点在抛物线上，当时的最大值为，求a的值． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当时，解得， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为； （2）解：①∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∴，解得； ②∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵当时，的最大值为， ∴当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得（舍去）或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 综上：或． 变式3（2026·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和． (1)求a，b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（A，B与原点不重合）． ①若且，求h的值； ②若，求t的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点B（）在抛物线上，， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当h＝时，t有最小值，最小值为． 变式4（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． ◇题型 02 二次函数交点问题 方｜法｜提｜练 联立两函数解析式，消去，得到关于的一元二次方程（或一元一次方程），求解方程的根，再代入其中一个函数解析式，得到交点坐标； 利用根的判别式判断两函数图像的交点个数（二次函数与一次函数：两个交点，一个交点，无交点）。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 典例2（2026·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 典例3（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 典例4（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：依题意，分别把代入， 得， 解得． （2）解：由（1）得， 则， 令，则， ∴， 故， 分别过点E、D作如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴； 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； （3）解：存在，过程如下： 由（2）得， 整理 ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结． 如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 即 ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴， 令， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令则， ∴， 即， ∴， 则， ∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 变式2（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线， (1)当点在该抛物线上时，求抛物线的解析式； (2)已知点，点，若抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围； (3)若直线与抛物线交于点，两点，点是抛物线的顶点，设直线，的解析式分别为与，求之间的数量关系．（用只含的代数式表示） 【详解】（1）解：当点在该抛物线上时， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线 ∴当或时，，即抛物线经过点和， ∵抛物线 ∴抛物线对称轴为直线，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个公共点， ①当时，抛物线开口向上， 当抛物线的顶点在线段上时，符合条件， 则解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， ∴根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，如图所示， 当时，，解得； ②当时，抛物线开口向下， 当抛物线经过点时， 解得 ∴当时，抛物线在处的函数值小于1，在处的函数值大于1， ∴当抛物线与线段有且只有一个公共点时，； 当，抛物线开口向下， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，如图所示， 当时，，解得； 综上所述，的取值范围是或或； （3）解：∵直线与抛物线交于点，两点， 设， ∴联立得， 整理得， ∴， ∵抛物线顶点，直线的解析式为 ∴ ∴ 解得 同理可得， ∴ ； ∴ ∴ ∴ ∴之间的数量关系为． 变式3（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； (3)点为轴上的一个动点，且为钝角，请直接写出实数的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为轴，过坐标原点及点 ∴ ∴ ∴二次函数解析式为： （2）解：如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵，点坐标为， ∴， ∴，， ∴ ∵轴， ∴ ∵射线平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 消去得，， ∵， ∴直线与二次函数的图象的公共点的个数为 （3）解：设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或 ∴ 如图， 当以为直径的圆与轴相交时，设交点为，交点与构成的三角形为直角三角形， 当在之间时，即在圆内，此时 ∵，，， ∴， 当时，时， ∴ 解得：， ∴当为钝角时，． ◇题型 03 二次函数与几何综合 方｜法｜提｜练 先根据已知条件，确定二次函数表达式（优先选择顶点式、交点式，简化计算）； 利用二次函数性质，求出关键点坐标（顶点、与坐标轴交点、与几何图形的交点）； 结合几何图形的判定定理（如等腰三角形“两边相等”“三线合一”，平行四边形“对边平行且相等”），结合距离公式求解。 典｜例｜精｜析 典例1（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； （3）①当时，，当时，， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上：； ②∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 典例2（2026·辽宁营口·一模）定义：抛物线上任意两点M，N之间的部分（包括，两点）为抛物线弧．抛物线弧上所有点横坐标差的最大值为“水平宽度”，纵坐标差的最大值为“竖直高度”，且为抛物线弧的“匀称系数”．在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点，对称轴为，抛物线顶点为，点是抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求和的值； (2)如图，若点在对称轴右侧， 用含的代数式表示抛物线弧的“水平宽度”与“竖直高度”的差，并求的最大值； 求抛物线弧的“匀称系数”与的函数解析式； (3)若点在对称轴左侧，过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在的左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“匀称系数”之和为，请直接写出的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ， 抛物线对称轴为， ， ， ； （2）解：， ， 由题意， ， ， 当时取得最大值； 点在对称轴右侧，且， 当时， ， ， 当时， ， ， 综上“匀称系数”； （3）解：过点作轴平行线交抛物线于另一点， ，， 当时， 抛物线的“匀称系数”，抛物线的“匀称系数” ， 解得：（舍）； 当时，抛物线的“匀称系数”，抛物线的“匀称系数”， ， 解得：（舍）， 综上值为或． 典例3（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（此时的面积相等，不符合题意）， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 典例4（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 变｜式｜巩｜固 变式1（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 变式2（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 变式3（2026·湖南邵阳·二模）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）证明：在上任取点， 则， ∵， ∴， ∵点到的距离， ∴上任意点到定点的距离与到定直线的距离相等． （2）解：由（1）知函数的图象上的任意点到点的距离与到直线的距离相等， ∵抛物线是由的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到， ∴点平移到点，直线平移到直线， ∴抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等， 过点作直线的垂线段，垂线段的长即为的最小值， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， 令时，， 解得，， ∴， ∴， 分三种情形讨论： 第一种情况：， ①如图（一）， ∵， ∴， 取点，则在中，，， ∴， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点为的中点，即． ②如图（二）， 当点在上从点到点的运动中，时， 由可知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， 由可知，， ∴， ∴． 第二种情况：， 如图（三）， 由可知，， ∴将沿折叠得到时，点与点重合， ∴此时与重合，即；   第三种情况：， ∵， ∴， 当将沿折叠得到， 若点在上，则， ∴， ∴， 若点在上，则， ∴，即， ∴不存在． 综上所述，满足题意的点的坐标为． 变式4（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． ◇重难 01 二次函数 + 几何存在性（压轴高频） 方｜法｜提｜练 （1）等腰三角形存在性 设动点，定点、，分三种情况：① （中点坐标公式+垂直斜率关系：中点在AB的垂直平分线上，垂直平分线斜率为）；② （距离公式列方程）；③ （距离公式列方程），求解后检验点是否在指定范围内。 （2）直角三角形存在性 设动点，定点、，分三种情况（直角顶点分别为、、）：① 直角顶点为，则，斜率关系为（或用勾股定理：）；② 直角顶点为，则，同理用斜率或勾股定理列方程；③ 直角顶点为，则，列方程求解，检验合理性。 （3）平行四边形存在性 设动点、，定点、，利用平行四边形“对角线互相平分”，即中点坐标相等：若与为对角线，则，，结合二次函数表达式列方程求解。 典｜例｜精｜析 典例1（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 典例2（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 典例3（2026·云南昭通·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 典例4（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 典例5（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 典例6（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴当点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形时，只能得到正方形， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，解得， ∴或， ∵点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴或； （3）解： 作轴，交于点，作于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知，，直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时最大为； （4）解：由（3）可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点在直线上， ∴， ∴，即点在过点且平行于的直线上运动， 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，最小， 由（2）可知，， ∵，点在直线上， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 变｜式｜巩｜固 变式1（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 变式2（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 该二次函数的函数表达式为； （2）解：∵， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点C的坐标为，点P的坐标为， ∴，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ， 当，则，即， 解得，不符合题意，舍去； 当，则，即， 解得（不符合题意，舍去）或； 此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 当，则，即， 解得；此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的值或． 变式3（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，，，， ， 将、代入， 得， 解得， ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：令，得， ， 设直线的解析式为， 代入，解得， 直线的解析式为 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当取得最大值时，有最大值， 设点，则， ， ∵，， 当时，有最大值， 的和的最大值为，点的坐标为 ； （3）解：①当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， ， ∴二次函数顶点为， ∵， ，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， ，， ， ， 设，则， ， ， ； ②当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， 二次函数顶点为，， ，， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 过点作轴于点， ，， ， ，， ∴， ； 综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或. 变式4（2026·吉林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当时，则y的取值范围是______． (3)当该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； (4)当此抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； 【详解】（1）解：∵抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为：直线， ∴当时，， ∴； （3）解：∵点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m， ∴，当时，，即， 设， ∵点A为对称中心构造矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，点在轴右侧，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，； （4）解：由（3）可得， 令， 解得：，， 令，即， 解得：或，则抛物线经过点， 当，如图①，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大， 当时，如图②，抛物线在矩形内部无图象， 当时，如图③，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大， 当时，如图④，抛物线在矩形内部无图象， 当时，如图⑤，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大先增大后减小， 综上所述，的取值范围为或 变式5（2026·甘肃天水·二模）如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．过点D向x轴作垂线，交x轴于点E，以和为邻边在第二象限内作矩形．动点M从点D出发，沿向点E运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设点M的运动时间为t秒，过点M作，交于点G，过点G作于点H，交抛物线于点Q． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当M为的中点时，求的长． (3)如图1，连接，，当的面积最大时，求t的值． (4)如图2，点M运动的同时，点P从点A出发沿向点F运动，运动的速度为每秒1个单位长度，K为矩形内一点，且点K在点G的正下方．当四边形为菱形时，求t的值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， ， 解得：， 所以抛物线的函数解析式为． （2）解：根据顶点坐标公式可求顶点的坐标为， ∵点和点关于直线对称，且， ∴点坐标为， ， ，， ， 又， ， ∵M为的中点， ， ． （3）解：当边上的高最大时，的面积最大， 即平行于直线且与抛物线相切时，的面积最大， 设直线的解析式为，且点坐标为，点的坐标为， 解得：， 设平行于直线且与抛物线相切的直线为， ∵两直线平行， ， ， ∵直线与抛物线相切， ， 整理，得：， ， 解得：， ， 抛物线和直线解析式联立得，， 解得：， 即：， 此时，点横坐标为，代入得： ， 即：， ， ， （秒）． （4）解：， ， 根据题意可知点和点的纵坐标相等， ∴将代入得： ， ， ∵， ， ， 可设点坐标为， 则， 当四边形为菱形时，， 即：， 整理，得：， ∴点坐标为， 根据题意，由勾股定理可得： ， ， 即：， 整理，得：， 解得：（舍去），， （秒）． ◇测能力 1．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图，抛物线与水平地面交于，两点，以的中点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线与抛物线交于点，且点是抛物线的顶点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． (3)如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出的最小值． 【详解】（1）解：∵，，为的中点， ∴， ∵以点为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）， ∴，，， 设抛物线的函数表达式为，过点，，， ∴， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知：抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为； （3）解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵在轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于， ∴此时抛物线上的点的坐标为， ∴， ∴， ∴的最小值． 2．（2026·安徽滁州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，直线经过，两点． (1)____________，____________； (2)求直线的解析式； (3)先作关于轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到，使得抛物线的顶点与点恰好关于原点对称． ①求出的值及抛物线的解析式； ②若将直线沿轴向下平移个单位长度后，与抛物线交于，两点，，两点的纵坐标分别为，，设，直接用含的式子表示． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ，； （2）当时，， ， 设直线解析式为，则，解得， ； （3）①∵抛物线的顶点与点恰好关于原点对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵作关于x轴的轴对称图形，再将得到的图形向右平移个单位长度得到， ∴抛物线解析式的二次项系数为，， ∴抛物线解析式为；             ②∵直线l沿y轴向下平移个单位长度， ∴平移后的解析式为， 联立方程组，化简得， ， 又，， 3．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． （3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线． ①当时，即时，M在N的上方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 当时，M在N的下方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为； ②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上， ，化简得， 解得． ， ． 当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上或点H在直线的右侧． 若点在抛物线上，， 化简得，解得． ， ． 若点H在直线的右侧，，解得； 综上可知：或或． 4．（2022·湖北十堰·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、点C，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标，并求 出周长的最小值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故二次函数的解析式为； （2）解：令，即， 解得或， 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 连接， 则， 要使的周长最小，只要最小． 是对称轴上一点，且点A与点C关于对称轴对称， 则， 则，当且仅当P，B，C三点共线时等号成立， 因而与对称轴的交点P就是所求的点． 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得， 所以直线的解析式为； 联立，解得， 故所求的点P的坐标为， 此时的周长即为； （3）解：存在． ，， ， ，， ， ，， ， 当时， ， ， 解得：， ； 当时， ， ， 解得：， ， 故E点坐标为：， 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形相似，点E的坐标为：，． 5．（2026·四川德阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【详解】（1）解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 6．（2026·贵州遵义·一模）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过且顶点的横坐标为30， ∴，即，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线最低点到轴的水平距离为30， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， ， ∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上； （3）解：∵：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵：， ∴抛物线经过点， ∴将和代入中得：，解得：； 将和代入中得：，解得：， ∵射线与抛物线和抛物线都有交点， ∴的取值范围为：． ◇提能力 7．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点． (1)求该抛物线解析式（用含的式子表示）； (2)过点作轴的平行线，将抛物线（）在直线右侧的部分沿轴翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为，直线与直线交于点，与图形交于点（不与重合）． ①若的长度随的增大而减小，求所有满足题意的的取值范围； ②当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，求的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得， 化简,得， 即, 故抛物线表达式为； （2）解：①∵抛物线（）在过点平行轴的直线右侧的部分沿轴翻折， ∴翻折部分的解析式为， ∴， ∵直线与直线交于点，与图形交于点， ∴， 当时，， 联立，解得， 若， ， ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴无解； 当时，， 联立， 解得， ∴取， 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴； 若， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴无解； 综上，或或； ②当时，， ；， ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴在的范围内的值随t的增大而减小， ∴不存在两个t值使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而增大， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增， ∴有两个t值，使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而减小， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增——减， ∴有三个t值，使得的值相等； 当时，， ， ∵， ∴当时，随t增大而增大， ∴在的范围内的值变化情况是：减——增——减——增， ∴有四个t值，使得的值相等； 综上，当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，的取值范围是． 8．（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 9．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．平移抛物线得到的抛物线经过点B和点． (1)求平移后抛物线的函数表达式． (2)点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t（），以点T为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，点O，C的对应点分别为． ①当时，请判断点是否落在抛物线上，并说明理由； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出t的取值范围； (3)约定：图象上P，Q两点之间的部分（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的最值差，记为．若新函数，点E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，，其中，是否存在m的值，使得？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：对于， 令，解得或， ∴． ∵平移不改变二次项系数， ∴设， 把和代入， 得， ​解得， ∴，或； （2）解：对于， 令，得， ∴， 把点，绕逆时针旋转，得，， 即线段为水平线段，（）． ①当时，， 把代入​， 得， ∴不在抛物线上； ②当在抛物线上时，， 解得或（舍去）， 当在抛物线上时，， 解得或（舍去）， ∴． （3）解：​∵，E，F，G在新函数的图象上，它们的横坐标分别为m，，， ∴当时，，； 当时，，． ∴E，F两点在图象上，G点在图象上，且E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最高点为抛物线的顶点， G，F两点之间的部分（包括点G，F）的最高点为抛物线上的F点，最低点为 ∴， 当时，E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最低点为E， ∴， ∵​， ∴，解得，或（舍去）； 当时，E，F两点之间的部分（包括点E，F）的最低点为F， ∴， ∴，解得，或（舍去）． 综上，或． 10．（2026·山东滨州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵轴交直线于点， ∴，， ∴， ∵点作交直线于点， ∴，， ∴周长 ， ∵， ∴当时，周长最大为，此时， ∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，则 由平移的性质可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵将点向下平移一个单位长度得到点， ∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴点的横坐标为． 11．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 12．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， ， 解得， ． （2）设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点， 过，两点分别作，分别交于，两点， 点坐标为，点坐标为， ， ， 解得，， ∵点在轴左侧，， ． （3）解：，， ， ∵点坐标为， ，， ， ，． （4）解：依题意，点坐标为，， ，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，解得，（舍） ②当时，解得（舍） ③当时，解得（舍） ④当时，解得，（舍） 综上所述：或． 13．（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点E作于点F， 由（1）得抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，则， 解得或，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴点E的横坐标为 （3）解：①设抛物线L的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点P的纵坐标为n， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， 由（1）得点D的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即轴， ∴； ②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则， 解得； 如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线； 如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时， 由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点， ∴， ∴， 综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或； ∵， ∴当时，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 综上所述，当或时，S随n的增大而增大， ∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大． 14．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $