第二部分 6 题型六 几何综合探究题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦几何综合探究核心考点，紧密对接贵州中考25题考查要求，系统梳理分类讨论（点的对应关系、位置、图形形状、位置不确定）、几何变换等考向，分析近三年中考真题中此类题型占12分的权重，归纳出动点问题、折叠旋转等常考题型。 课件亮点在于“真题改编+分类突破+素养培养”模式，如通过例1点对应关系不确定分类求速度，示范全等判定与方程思想结合，培养学生推理意识与几何直观。设置变式训练与解题步骤模板，帮助学生掌握分类讨论技巧，教师可依此精准开展压轴题专项复习，提升学生中考得分率。

《二轮重难培优》 数学 第二部分 贵州重难题型突破 题型六　几何综合探究题 深研贵州统考方向 分类讨论——针对贵州中考25(3)题 考向1　点的对应关系不确定 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝8 cm，点D为AB的中点.点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，点Q在线段AC上以x cm/s的速度由点C向点A运动.两点同时出发，当△BPD与△CPQ全等时，求x的值. (例1题图) 新题好题 一练提优 解：∵AB＝AC＝12 cm，BC＝8 cm，点D为AB的中点， ∴BD＝×12＝6 cm. 设点P，Q的运动时间为t s， 则BP＝2t cm，PC＝(8－2t)cm. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. (例1题图) 新题好题 一练提优 ①当△BDP≌△CPQ时，BD＝PC，BP＝CQ， ∴6＝8－2t，解得t＝1， ∴BP＝CQ＝2， ∴点Q的运动速度x＝2÷1＝2(cm/s)； (例1题图) 新题好题 一练提优 ②当△BDP≌△CQP时，BP＝PC，BD＝CQ＝6， ∵BC＝8 cm， ∴BP＝4 cm， ∴t＝4÷2＝2(s)， ∴点Q的运动速度x＝6÷2＝3(cm/s). 综上所述，x的值为2或3. (例1题图) 新题好题 一练提优 【变式1】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，E为CD的中点，P为边AB上一个动点，连接AE，PE，过点P作PQ⊥AE于点Q，若△PQE与△ADE相似，求AP的长. (变式1题图) 新题好题 一练提优 解：∵在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，E为CD的中点，PQ⊥AE， ∴DE＝4，∠D＝∠PQE＝90°， ∴AE＝＝5. ①当△PQE∽△ADE时，∴＝， ∴＝，即QE＝PQ. ∵AP∙AD＝AE∙PQ，∴PQ＝AP. 新题好题 一练提优 ∵在Rt△APQ中，AQ2＋PQ2＝AP2， ∴(5－QE)2＋PQ2＝AP2， ∴(5－PQ)2＋PQ2＝AP2， ∴(5－×AP)2＋(AP)2＝AP2，解得AP＝. 新题好题 一练提优 ②当△PQE∽△EDA时，∴＝， ∴QE＝PQ.由①得PQ＝AP， ∵在Rt△APQ中，AQ2＋PQ2＝AP2， ∴(5－×AP)2＋(AP)2＝AP2， 解得AP＝4或AP＝－(舍去)， 综上所述，AP的长为或4. 新题好题 一练提优 考向2　点的位置不确定 如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为直线AC上一点，AE＝2CE，过点E 作EF⊥AC交直线CD 于点F，连接AF，求AF的长. (例2题图) 解：如解图①，当点E在线段AC 上时，∵正方形ABCD的边长为2， ∴∠ACF＝45°，AC＝2. ∵AE＝2CE， ∴AE＝，CE＝. 图① 新题好题 一练提优 ∵EF⊥AC，∴EF＝CE＝， ∴AF＝＝. 如解图②，当点E在线段AC的延长线上时， 同理可得AE＝4，EF＝2， ∴AF＝＝2. 综上所述，AF的长为或2. 图② 新题好题 一练提优 【变式2】如图，已知△ABC是等边三角形，点D在射线AB上运动(不与点A，B重合)，连接CD，点E在直线BC上，且CD＝DE.若DE和DF关于直线AB对称，连接BF，探究BC，BD，BF之间的数量关系，并证明. (变式2题图) 解：BC＝BD＋BF或BF＝BD＋BC， 证明如下：如解图①，当点D在线段AB上时， 新题好题 一练提优 过点D作DG∥AC交BC于点G. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BDG＝∠A＝60°，∠BGD＝∠BCA＝60°， ∴∠DBG＝∠BDG＝∠BGD＝60°， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠EBD＝∠CGD＝120°，BD＝BG. 又∵DE＝DC， ∴∠DEB＝∠DCG. 新题好题 一练提优 在△BDE和△GDC中，， ∴△BDE≌△GDC(AAS)， ∴BE＝GC. 又∵DE和DF关于直线AB对称， ∴BE＝BF＝GC， ∴BC＝BG＋GC＝BD＋BF. 新题好题 一练提优 如解图②，当点D在线段AB延长线上时， 过点D作DH∥AC交直线BC于点H. 同理得△BDH为等边三角形， ∴BD＝BH，∠EHD＝∠CBD＝120°. 又∵CD＝DE，∴∠E＝∠DCB. 在△DHE和△DBC中，， 新题好题 一练提优 ∴△DHE≌△DBC(AAS)，∴EH＝BC. 又∵DE和DF关于直线AB对称， ∴BF＝BE＝BH＋EH＝BD＋BC. 综上所述，BC＝BD＋BF或BF＝BD＋BC. 新题好题 一练提优 考向3　图形的形状不确定 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝12，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，连接BF.当△BDF是直角三角形时，求AD的长. (例3题图) 解：∵∠ABC＝60°，DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝60°. 由折叠得∠FDE＝∠ADE＝60°， ∴∠BDF＝180°－60°－60°＝60°. 当∠BFD＝90°时，如解图①， ∵∠BDF＝60°， 图① 新题好题 一练提优 ∴∠DBF＝30°，∴BD＝2DF. 由折叠得DF＝AD，∴BD＝2AD， ∴3AD＝AB＝12，∴AD＝4. 当∠DBF＝90°时，如解图②， 同理可得AD＝DF＝2BD， ∴3BD＝AB＝12， ∴BD＝4，∴AD＝8. 综上所述，AD的长为4或8. 图② 新题好题 一练提优 【变式3】如图，在矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝6，E是边BC上的一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AEF，连接DF，当△ADF为等腰三角形时，求BE的长. (变式3题图) 新题好题 一练提优 解：由翻折得AF＝AB＝5，BE＝EF. 当AF＝DF时，如解图①，此时点F在AD的垂直平分线上，过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N， 则AM＝AD＝3，∴FM＝＝4. ∵四边形ABCD为矩形，∴易得四边形ABNM是矩形， ∴∠BNM＝90°，MN＝AB＝5.∴FN＝MN－FM＝1. 设BE＝EF＝x，则EN＝3－x.在Rt△ENF中，EN2＋FN2＝EF2， ∴(3－x)2＋1＝x2，解得x＝，∴BE＝. 新题好题 一练提优 当AD＝DF时，如解图②，过点F作FP⊥AD于点P，延长PF交BC于点Q. 设AP＝y，则DP＝6－y. ∵AF2－AP2＝DF2－DP2，∴52－y2＝62－(6－y)2， 解得y＝，∴AP＝， ∴PF＝＝. ∵△ABE沿AE翻折得△AEF，∴∠AFE＝90°， 新题好题 一练提优 ∴易得△APF∽△FQE，∴＝＝. ∵BQ＝AP＝，∴＝. ∵BE＝EF，∴BE＝12－. 综上所述，BE＝或12－. 新题好题 一练提优 考向4　图形的位置不确定 (2025江西改编)如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P.当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，求∠APB的度数. (例4题图) 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°.由折叠得∠PAB′＝∠PAB＝∠BAB′.如解图①，当∠BAB′＝15°时，∵∠PAB＝×15°＝7.5°，∴∠APB＝90°－∠PAB＝82.5°. 图① 新题好题 一练提优 如解图②，当∠DAB′＝15°，且点B′在边AD下方时，∵∠BAB′＝∠BAD－∠DAB′＝75°，∴∠PAB＝×75°＝37.5°，∴∠APB＝90°－∠PAB＝52.5°. 图② 新题好题 一练提优 如解图③，当∠DAB′＝15°，且点B′在边AD上方时，∵∠BAB′＝∠BAD＋∠DAB′＝105°， ∴∠PAB＝×105°＝52.5°， ∴∠APB＝90°－∠PAB＝37.5°. 综上所述，∠APB的度数是82.5°或52.5°或37.5°. 图③ 新题好题 一练提优 【变式4】如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD交于点O，将△BOC绕点B旋转得到△BO′C′，当A，B，O′三点共线时，求C′D的长. (变式4题图) 新题好题 一练提优 解：如解图①，当点O′在线段AB的延长线上时， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝2， ∴△BOC为等腰直角三角形，BC＝2，BD＝AB＝2. 由旋转得BC′＝BC＝2，C′，B，D三点共线， ∴C′D＝BC′＋BD＝2＋2. 如解图②，当点O′在线段AB上时， 同理可得C′D＝BD－BC′＝2－2. 综上所述，C′D的长为2＋2或2－2. 解图① 解图② 新题好题 一练提优 (2025贵州25题12分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点(点E与点B不重合). 图① 图② 备用图 (例题图) 新题好题 一练提优 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝_______度，线段BP与线段AC的位置关系是____________； 图① 30 BP⊥AC 新题好题 一练提优 【解题突破点】 ①将△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ→△BEQ为等边三角形 ②∠AEP＝30°，∠PEC＝60°→∠AEB， ∠BQC，∠BEC度数→∠EQC， ∠ECQ度数→BE与EC的数量关系 (例题解图①) 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 图② 新题好题 一练提优 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 图② 解：EC＝2BE，理由如下： 如解图①，将△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ，连接EQ， ∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，∠AEB＝∠BQC. ∴△BEQ为等边三角形， ∴∠BEQ＝∠BQE＝60°，BE＝EQ. ∵点E在线段BP上，∠AEP＝30°，∠PEC＝60°， (例题解图①) 新题好题 一练提优 ∴∠AEB＝∠BQC＝150°， ∴∠BEC＝360°－150°－30°－60°＝120°， ∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°， ∴∠EQC＝150°－60°＝90°， ∴∠ECQ＝90°－60°＝30°. ∴EC＝2EQ＝2BE. (例题解图①) 新题好题 一练提优 【解题突破点】 分情况讨论： 情况1：当点P在线段OA上时 ①记BP与AD交于点H ②△HAB∽△BEG，△APH∽△CPB 情况2：当点P在线段OC上时 ①延长AD交BP于点H ②△BAH∽△GEB，△APH∽△CPB 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长. 新题好题 一练提优 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE＝2FG，AB＝5，求AP的长. 解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝5， ∴AB＝AC＝BC＝5. 如解图②，当点P在线段OA上时，记射线BP与AD交于点H， ∵AH∥BC，∴∠AHB＝∠CBH. ∵∠ABC＝60°，∠BAD＝120°＝∠BEG， ∴△HAB∽△BEG，∴＝. 解图② 新题好题 一练提优 设FG＝x，则EF＝BE＝2x，则EG＝3x， ∴＝，解得AH＝. ∵AD∥BC，∴△APH∽△CPB，∴＝， ∴＝＝，∴AP＝5×＝2. 新题好题 一练提优 如解图③，当点P在线段OC上时，射线BP与AD的延长线交于点H， 同理可得∠H＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°， ∴△BAH∽△GEB. 设BE＝EF＝2m，而BE＝2FG，则FG＝EG＝m， ∴＝＝＝.∴AH＝2AB. 同理可得△APH∽△CPB，∴＝＝2， ∴AP＝5×＝， 综上所述，AP的长为2或. 解图③ 新题好题 一练提优 【变式1】(优质原创)在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E是射线CB上的一点，点M为边AC上一点，连接EM. 图① 图② 备用图 (变式1题图) 新题好题 一练提优 【动手操作】 (1)如图①，当点E是BC的中点时，过点E作EN⊥EM交AB于点N，根据题意在图①中画出EN，EN与EM的数量关系是_____________； 图① 解：画出EN如解图①，EN＝EM. (变式1题解图①) EN＝EM 新题好题 一练提优 【问题探究】 (2)如图②，当点E在线段BC上，且＝k时，过点E作EN⊥EM交AB于点N，判断EN与EM的数量关系(用含有k的式子表示)，并说明理由. 图② 解：＝k. 理由如下： 如解图②，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G， 则∠BFE＝∠CGE＝90°. ∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠CEG＝∠BEF＝45°， (变式1题解图②) 新题好题 一练提优 ∴△BFE∽△EGC，EG＝CG， ∴＝＝＝k， ∴＝k. ∵∠BAC＝∠NEM＝90°， ∴∠ANE＋∠AME＝180°， ∴∠BNE＝∠AME. ∵∠AFE＝∠MGE＝90°， ∴△FNE∽△GME， ∴＝＝k. (变式1题解图②) 新题好题 一练提优 【拓展延伸】 (3)当点E在射线CB上时，过点E作EN⊥EM交射线AB于点N， 若∠BEN＝75°，BC＝8，＝，连接MN，求MN的长. 解：(3)如解图③，当点E在线段BC上时，过点E作EF⊥AB于点F， ∵BC＝8，＝，∴BE＝2，CE＝6. 由(2)得BF＝EF，∠B＝∠BEF＝45°，∴EF＝. ∵∠BEN＝75°，∴∠FEN＝75°－45°＝30°， ∴EN＝.由(2)得＝＝， 解图③ 新题好题 一练提优 ∴EM＝3EN＝2， ∴MN＝＝＝. 新题好题 一练提优 如解图④，当点E在CB的延长线上时， 过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，作EP⊥AC交CA的延长线于点P， 则∠NQE＝∠EQB＝∠P＝∠PAB＝90°， ∴四边形PEQA为矩形，QE＝PA，∠QEP＝90°. ∵BC＝8，＝，∴BE＝4，CE＝12. 新题好题 一练提优 ∵∠EQB＝∠BAC＝90°，∠EBQ＝∠CBA， ∴△EQB∽△CAB，∴＝＝， ∴AC＝2EQ，∴EP＝PC＝PA＋AC＝EQ＋2EQ＝3EQ. ∵∠NEQ＋∠QEM＝∠QEM＋∠PEM＝90°， ∴∠NEQ＝∠PEM，∴△EQN∽△EPM， ∴＝＝，∴EM＝3EN. 新题好题 一练提优 ∵∠BEN＝75°，∠BEQ＝45°，∴∠NEQ＝30°. ∵BE＝4，∴EQ＝BE∙cos 45°＝2， ∴EN＝＝，∴EM＝3EN＝4， ∴MN＝＝＝. 综上所述，MN＝或. 新题好题 一练提优 【变式2】(优质原创)如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上运动，连接AE，以AE为边在AE下方作矩形AEFG，交射线CB于点F. 【问题解决】 (1)如图①，当点F在线段CB上时，线段AE与EF的数量关系是_______； 图① AE＝EF 新题好题 一练提优 解：AE＝EF. 【解法提示】如解图①，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝90°.∵EM⊥BC，EN⊥AB，∴EN＝EM，∠ENB＝∠EMB＝90°，∴∠NEM＝90°.∵四边形AEFG为矩形，∴∠AEF＝90°，∴∠AEF－∠NEF＝∠NEM－∠NEF，即∠AEN＝∠FEM，∴△ANE≌△FME(ASA)， ∴AE＝EF. (变式2题解图①) 新题好题 一练提优 【问题探究】 (2)如图②，当点F在线段CB上时，连接BG，EG，探究线段BG，BE，EG之间的数量关系，并说明理由； 图② 解：BG2＋BE2＝EG2，理由如下：∵四边形AEFG为矩形，由(1)得AE＝EF，∴四边形AEFG为正方形，∴AG＝AE.∵∠GAE－∠BAE＝∠BAD－∠BAE，∴∠GAB＝∠EAD.又∵AB＝AD，∴△GAB≌△EAD(SAS)， ∴∠GBA＝∠EDA. ∵∠BAD＝90°，∴∠ABD＋∠EDA ＝90°，∴∠ABD＋∠GBA＝90°，即∠GBE＝90°， ∴BG2＋BE2＝EG2. (变式2题解图②) 新题好题 一练提优 【拓展延伸】 (3)当点F在射线CB上时，射线AF与射线DB交于点P，若tan∠FAB＝，求的值. 图① 图② 备用图 (变式2题图) 新题好题 一练提优 解：如解图②，当点F在线段CB上时，过点E作EN⊥ AB于点N，作EM⊥BC于点M，交AF的延长线于点Q. ∵∠ABC＝90°，∴tan∠FAB＝＝，∴AB＝4FB.设FB＝x，则AB＝4x.由(1)可得△ANE≌△FME，四边形NBME为正方形，∴AN＝FM，EN＝EM＝BN＝BM， (变式2题解图②) 新题好题 一练提优 ∴FB＋AB＝FB＋BN＋AN＝FB＋BN＋FM＝BN＋BM＝2BM＝x＋4x＝5x，∴EN＝EM＝BN＝BM＝2.5x，∴FM＝1.5x.∵AB∥EQ，∴△ABF∽△QMF，∴＝＝＝，∴MQ＝AB＝6x.∵AB∥EQ，∴△ABP∽△QEP，∴＝＝＝，∴＝. (变式2题解图②) 新题好题 一练提优 如解图③，当点F在射线CB上时，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥AB于点N，交AF于点Q，设FB＝x，同上可得，四边形NBME为正方形，AB＝4x，EN＝EM＝BN＝BM＝1.5x，AN＝FM＝AB－BN＝2.5x，∵QN∥FB，∴△AQN∽△AFB，∴＝＝＝， (变式2题解图③) 新题好题 一练提优 ∴QN＝BF＝x，∴EQ＝QN＋EN＝x＋1.5x＝x.∵QN∥FB，∴△PFB∽△PQE，∴＝＝，∴＝ . 综上所述，的值为或 . (变式2题解图③) 新题好题 一练提优 (2023贵州25题12分)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上. 图① 图② 图③ (例题图) 新题好题 一练提优 (1)【动手操作】 如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_____度； 图② 解：画出图形如解图①. (例题解图①) 135 新题好题 一练提优 (2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由； 解：PA＝PE，理由如下：过点P作PM∥AB交AC于点M，如解图①.∴∠MPC＝∠ABC＝45°，∴△PCM是等腰直角三角形，∴CP＝CM，∠PMC＝45°，∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE.∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°－∠APC＝∠PAC∴△APM≌△PEB(ASA)，∴PA＝PE. (例题解图①) 【解题突破点】 ①过点P作PM∥AB交AC于点M ②△PCM是等腰直角三角形→△APM≌△PEB 新题好题 一练提优 【解题突破点】分情况讨论： 情况1：当点P在线段BC上时 ①过点P作PM∥AB交AC于点M ②BA＝AC，PM＝CM 情况2：当点P在线段CB的延长线上时 ①过点P作PN⊥BC交BE于点N ②BN＝BP，△EPN≌△APB (例题解图①) (3)【拓展延伸】 如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由. 图③ 新题好题 一练提优 (3)【拓展延伸】 如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由. 图③ 解：BA＝BP＋BE或BE＝BA＋BP.理由如下： 当点P在线段BC上时，如解图①.由(2)可知， △APM≌△PEB，∴BE＝PM，BP＝AM.∵BA＝ (AM＋CM)，∴BA＝BP＋CM.∵PM＝CM，BE＝PM，∴BA＝BP＋BE； (例题解图①) 新题好题 一练提优 当点P在线段CB的延长线上时，过点P作PN⊥BC交BE于点N，如解图②. ∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°，∴∠PBN＝180°－∠ABC－∠ABD＝45°，∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°，∴BP＝NP，BN＝BP， (例题解图②) ∠PNB＝45°，∴∠PNE＝135°＝∠ABP.∵∠APE＝90°，∴∠EPN＝90°－∠APN＝∠APB，∴△EPN≌△APB(ASA)，∴EN＝BA.∵BE＝EN＋BN，∴BE＝BA＋BP. 综上，当点P在线段BC上时，BA＝BP＋BE；当点P在线段CB的延长线上时，BE＝BA＋BP. 新题好题 一练提优 【变式1】(优质原创)如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE，作点A关于直线BE的对称点A′，连接AA′与BE相交于点F，连接A′E，BA′，过点A′作A′G⊥AA′交射线BC于点G. (1)若∠ABE＝30°，用圆规和直尺在图①中画出图形，则△ABA′的形状为____________； (变式1题图) 解：如解图①所示，等边三角形. (变式1题解图①) 等边三角形 新题好题 一练提优 (2)在(1)的条件下，判断线段A′G与EF的数量关系，并证明； 解：EF＝A′G.证明如下：如解图②，过点A′作A′M∥GB交BE于点M.由题意得BF⊥AA′，A′G ⊥AA′，∴A′G∥BE，∴四边形BGA′M是平行四边形.∵△ABA′是等边三角形，BF⊥AA′，A′G ∥BE，∴∠ABF＝∠A′BF＝∠A′BG＝∠GA′B＝30°. ∴A′G＝BG，∠EBG＝60°，∴四边形 BGA′M是菱形. (变式1题解图①) (变式1题解图②) 新题好题 一练提优 ∵A′M∥BG，∴∠EMA′＝∠EBG＝60°.∵∠BAD＝90°，∠ABE ＝30°，∴∠A′EB＝∠AEB＝60°，∴△A′ME是等边三角形，∴EM＝MA′＝A′G.∵BF⊥AA′，∴EF＝EM＝A′M＝A′G. (变式1题解图②) 新题好题 一练提优 (3)若点E在射线AD上，射线AA′与射线BC相交于点H，且AB＝3，BC＝4，当CG＝2时，求的值. 解：设AF＝a，BF＝b，则FA′＝GN＝a. 如解图③，当点E在线段AD上时，过点G作GN⊥BE于点N.∵BC＝4，CG＝2，∴BG＝2.∵BF⊥AA′，AB⊥BC，∴∠ABF＋∠BAF＝90°，∠ABN＋∠GBN＝90°，∴∠BAF＝∠GBN.∵∠AFB＝∠GNB＝90°， (变式1题解图③) 新题好题 一练提优 ∴△AFB∽△BNG，∴＝，∴＝，∴＝. ∵BF⊥AA′ ，AB⊥BC， ∴∠ABF＋∠FBH＝90°，∠FBH＋∠H＝90°， ∴∠H＝∠ABF，∴tanH＝tan∠ABF，∴＝＝＝. (变式1题解图③) 新题好题 一练提优 如解图④，当点E在线段AD的延长线上时，过点G作GN⊥BE于点N.∵BC＝4，CG＝2，∴BG＝6.同上可得△AFB∽△BNG，∴＝，∴＝，∴＝2.∵BF⊥AA′，AB⊥BC，∴∠ABF＋∠FBH＝90°， (变式1题解图④) ∠FBH＋∠AHB＝90°，∴∠A′ HG＝∠AHB＝∠ABF，∴tan∠A′ HG＝tan∠ABF，∴＝＝＝2. 综上所述，的值为或2. 新题好题 一练提优 【变式2】(优质原创)如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，O是对角线BD的中点，M是对角线BD上任意一点，点E是AB边上一点，连接ME，将线段ME绕点M逆时针旋转120°，点E的对应点F刚好落在直线BC上. (1)如图①，若点M与点O重合，且ME⊥AB时，∠EMB＝ ______°，EM与BM的数量关系为_______________； 图① 图② 备用图 (变式2题图) 60 EM＝BM　 新题好题 一练提优 (2)若M不与O重合，且F落在BC边上时，在图②中画出图形，判断BE，BM，BF之间的数量关系，并证明； 图② 解：画出图形如解图①.BF＋BE＝BM，证明如下： 如解图①，延长BC至点N，使得FN＝BE，连接MN，过点M作MH⊥BC于点H，由题意得ME＝MF，∠EMF＝120°， ∠ABC＝60°，∴∠BEM＋∠BFM＝180°， (变式2题解图①) 新题好题 一练提优 ∠MBH＝30°.∵∠BFM＋∠MFN＝180°，∴∠BEM＝∠MFN，∴△BME≌△NMF(SAS)，∴BM＝MN，∴BH＝HN.∵在Rt△BMH中， ∠MBH＝30°，∴cos∠MBH＝＝，∴BH＝BM，∴BN＝2BH＝BM，∴BF＋BE＝BF＋FN＝BN＝BM. (变式2题解图①) 新题好题 一练提优 (3)连接AM并延长交菱形的边于点G，AB＝3，当CG＝1，且ME⊥AB时，求FG的长. 解：如解图②，当点G在线段BC上时，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝3，CG＝1，∴AD＝3，BG＝3－1＝2，BD＝3.∵AD∥BC， ∴△ADM∽△GBM，∴＝＝，∴BM＝BD＝.∵ME⊥AB，∠ABC＝60°，∠EMF＝120°，∴MF⊥BC，∠MBF＝30°，∴cos∠MBF＝＝，∴BF＝BM＝，∴FG＝BG－BF＝2－＝. (变式2题解图②) 新题好题 一练提优 如解图③，当点G在线段CD上时，过点G作GH⊥BC交BC的延长线于点H，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝3，CG＝1，∴DG＝3－1＝2，BD＝ 3. ∵AB∥CD，∴△ABM∽△GDM，∴＝＝， ∴DM＝，BM＝， (变式2题解图③) 新题好题 一练提优 ∵ME⊥AB，∠ABC＝60°，∠EMF＝120°，∴MF⊥BC，∠MBF＝ 30°，∴cos∠MBF＝＝，∴BF＝BM＝，∴CF＝.∵在Rt△CHG中，CG＝1，∠GCH＝60°，∴CH＝，GH＝，∴FH＝，∴FG＝＝. 综上所述，FG的长为或. (变式2题解图③) 新题好题 一练提优 (2024贵州省一模25题12分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点B在直线l上，直线l与BC的夹角为∠CBD，且∠CBD＝∠ABC，分别过点C，A作直线l的垂线，垂足分别为D，E. 图① 图② 图③ (例题图) 新题好题 一练提优 (1)【问题解决】 如图①，若∠CBD＝30°，则∠BAC的度数为_____，的值为____； 图① 60° 新题好题 一练提优 【解题突破点】 ①延长AC交直线l于点Q ②△ABC≌△QBC ③△CDQ∽△AEQ→＝ (例题解图①) (2)【问题探究】 如图②，若0°＜∠CBD＜90°，判断的值是否发生变化？并说明理由； 图② 新题好题 一练提优 (2)【问题探究】 如图②，若0°＜∠CBD＜90°，判断的值是否发生变化？并说明理由； 图② 解：不发生变化，理由如下：如解图①，延长AC交直线l于点Q， ∵∠ACB＝90°，∴∠BCQ＝90°.又∵∠ABC＝∠CBD，BC＝BC，∴△ABC≌△QBC(ASA)，∴AC ＝CQ＝AQ.∵AE⊥l，CD⊥l，∴AE∥CD，∴△CDQ∽△AEQ，∴＝，∴＝. (例题解图①) 新题好题 一练提优 【解题突破点】 ①过点C作CG∥DE分别交AE，AB于点G，H，四边形EDCG是矩形 ②HA＝HB＝HC，HG是△ABE的中位线 ③△HCF∽△BEF ④设HC＝2x，表示出BE，GH，AB，利用勾股定理求解 (例题解图②) (3)【拓展延伸】 如图③，CE，AB交于点F，点F在线段AB上，＝， CD＝2，求线段BD的长. 图③ 新题好题 一练提优 (3)【拓展延伸】 如图③，CE，AB交于点F，点F在线段AB上，＝，CD＝2，求线段BD的长. 图③ 解：如解图②，过点C作CG∥DE分别交AE，AB于点G，H，则四边形EDCG是矩形， ∴∠HCB＝∠CBD.又∵∠ABC＝∠CBD，∴∠HCB＝∠ABC，∴HC＝HB.∵∠ACH＋∠HCB＝∠CAH＋∠ABC＝90°，∴∠CAH＝∠ACH，∴HC＝HA，∴HA＝HB，∴H，G 分别是AB，AE的中点，∴AE＝2GE＝2CD＝4.∵CG∥DE， (例题解图②) 新题好题 一练提优 ∴△HCF∽△BEF，∴＝＝，∴设HC＝2x，则BE＝3x，GH＝x，AB＝4x.在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2，即42＋(3x)2＝(4x)2，解得x＝(负值已舍去)，∴BD＝DE－BE＝CG－BE＝GH＋CH－BE＝x＝×＝. (例题解图②) 新题好题 一练提优 【变式】(2025铜仁沿河县三模) 【问题解决】 (1)如图①，在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，过点D作DF⊥AE于点G，交AB于点F，求的值； 图① 图② 图③ (变式题图) 新题好题 一练提优 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠B＝90°，∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAB＝90°.∵DF⊥AE于点G，∴∠AGD＝90°，∴∠ADF＋∠EAD＝90°.∴∠BAE＝∠ADF.在 △ABE与△DAF中，，∴△ABE≌ △DAF(ASA)，∴DF＝AE，∴＝1. 图① 新题好题 一练提优 【灵活运用】 (2)如图②，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点G，交BC于点F，若AB＝6，BC＝8，求的值； 图② 解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD ＝8，∠C＝∠ADE＝90°，∴∠EDG＋∠DFC＝ 90°.∵DF⊥AE于点G，∴∠DGE＝90°，∴∠EDG＋∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠DFC， ∴△ADE∽△DCF，∴＝＝＝. 新题好题 一练提优 【知识迁移】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边AC的中点，连接BD，过点A作AF⊥BD于点E，交BC于点F，若＝，求的值. 图③ 解：如解图，构造矩形ABHC，延长AF交CH于点G，  ∵＝，∴设AB＝CH＝3k，AC＝BH＝4k.∵D为AC 的中点，∴AD＝AC＝2k，∴BD＝＝k. 由(2)得△ABD∽△CAG，∴＝＝＝，∴＝，＝， (变式题解图) 新题好题 一练提优 解得CG＝k，AG＝k.∵四边形ABHC为矩形， ∴AB∥CG，∴∠BAF＝∠CGF，∠ABF＝∠GCF， ∴△ABF∽△GCF，∴＝，即＝，解得 AF＝k，∴＝＝. (变式题解图) 新题好题 一练提优 (2024贵州25题12分)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A. 图① 图② 备用图 (例1题图) 新题好题 一练提优 (1)【操作判断】 如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为_____度； 图① 解：如解图①，PC即为所求. (例1题解图①) 90 【解题突破点】 ①过点P作PC⊥OB于点C ②四边形OAPC是正方形 ③△APM≌△CPN 新题好题 一练提优 (2)【问题探究】 如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA； 图② 证明：如解图②，过点P作PC⊥OB于点C.  由(1)知四边形OAPC是矩形， ∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴PA＝PC， ∴四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°. (例1题解图②) 新题好题 一练提优 ∵PN⊥PM， ∴∠APM＝90°－∠MPC＝∠CPN. 又∵∠MAP＝∠NCP＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)， ∴AM＝CN， ∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2PA. (例1题解图②) 新题好题 一练提优 【解题突破点】分情况讨论： 情况1：当点M在线段AO上时①延长NM，PA交于点G ②△MON≌△MAG③△PGF∽△ONF (例1题解图②) (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值. 情况2：当点M在AO的延长线上时 ①过点P作PC⊥OB于点C，延长PC交MN于点G ②△APM≌△CPN ③△CGN∽△OMN，△PGF∽△OMF 新题好题 一练提优 (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值. 解：当点M在线段AO上时，如解图③，延长NM，PA交于点G. 新题好题 一练提优 由(2)知OM＋ON＝2AP， 设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x， ∴AM＝AO－OM＝x＝OM. ∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG， ∴△MON≌△MAG(ASA)，∴AG＝ON＝3x. ∵AP∥OB，∴△PGF∽△ONF， ∴＝＝＝，∴＝； 新题好题 一练提优 当点M在AO的延长线上时，如解图④， 过点P作PC⊥OB于点C，延长PC交MN于点G. 由(2)知，四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝90°－∠MPC＝∠CPN. 又∵∠A＝∠PCN＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN(ASA)，∴AM＝CN， 新题好题 一练提优 ∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO. 设OM＝x，则ON＝3OM＝3x， ∴AO＝x，CN＝AM＝2x. ∵PC∥AO，∴△CGN∽△OMN， ∴＝，即＝，∴CG＝. ∵PC∥AO，∴△PGF∽△OMF， ∴＝＝＝，∴＝. 综上所述，的值为或. 新题好题 一练提优 (2025贵州省一模25题12分)劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼. (1)【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是______； (A)三角形的稳定性　(B)等腰三角形是轴对称图形　(C)三角形内角和等于180° 图① B 新题好题 一练提优 (2)【思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮.如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中.小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； 图② 解：如解图①，AB即为所画切痕. (例2题解图①) 新题好题 一练提优 (3)【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮.小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中.用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形ABCD铁皮.他能否在四边形内部取一点P，使切法满足PA＝AB，PB＝BC，PC＝CD，PD＝DA，让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程. 图③ 图④ 新题好题 一练提优 解：方法一：如解图②所示，AC，BC，CD即为所画切痕.依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(作三角形的一条高线，把三角形分成两个直角三角形，再分别画两个直角三角形斜边上的中线，可分出4个等腰三角形). (例2题解图②) 新题好题 一练提优 方法二：如解图③所示，OA，OB，OC即为所画切痕.依据：三角形的外心到各顶点的距离相等(作三角形的外心到三个顶点的连线，可把三角形分成3个等腰三角形). 不存在点P，使切法满足PA＝AB，PB＝BC，PC＝CD，PD＝DA. (例2题解图③) 新题好题 一练提优 如解图④，假设能取点P.则∠α＋∠β＋∠γ＋∠θ＝360°.∵PA＝AB，PB＝BC，PC＝CD，PD＝DA，∴∠2＝∠β， ∠4＝∠γ， ∠6＝∠θ，∠8＝∠α，∴∠2＋∠4＋∠6＋∠8＝∠β＋∠γ＋∠θ＋∠α＝360°，∴四边形ABCD的内角和 ＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7＋360°＞360°，这与四边形的内角和是360°相矛盾，∴假设不成立，∴不能取到满足条件的点P，让烙饼翻身刚好落在“锅”中. (例2题解图④) 新题好题 一练提优 【变式1】(优质原创)小红和小星在手工课上用正方形的纸片玩折纸，如图，当小红沿着折痕MN翻折四边形MNCD时发现点D恰好可以落到AB边上的点G处，小星说如果知道正方形ABCD的边长和BG的长度，便能求出折痕MN的长度. 小红用所学知识对其进行探究，她的思路如下：连接DG，沿DA平移MN，使得点M与点A重合，且与BC交于点H，与DG交于点P. (变式1题图)　 (备用图) 新题好题 一练提优 【问题探究】 (1)依据小红的思路中画出图形，MN与DG 的数量关系为___________； (变式1题图)　 (备用图) 解：作图如解图①. MN＝DG . (变式1题解图①) MN＝DG 新题好题 一练提优 【问题解决】 (2)若AB＝9，BG＝6，求MN的长； 解：∵在正方形ABCD中，AB＝9，BG＝6，∴AG＝9－6＝3. 由(1)知△ABH≌△DAG，AH＝MN，∴BH＝AG＝3， ∴AH＝＝＝3，∴MN＝3. (变式1题解图①) 新题好题 一练提优 【能力升华】 (3)在(2)的条件下，连接CP，DH交于点E，△DEP的面积为S1，△CEH 的面积为S2，求的值. 解：作图如解图②. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB＝BC＝9. ∵∠DPH＝∠BCD＝90°，∴P，H，C，D四点共圆，∴∠PDH＝∠PCH. (变式1题解图②) (变式1题解图①) 新题好题 一练提优 又∵∠DEP＝∠CEH，∴△DEP∽△CEH，∴＝()2. ∵AD＝9，AG＝3， ∴DG＝＝＝3. ∵∠APD＝∠GAD＝90°，∠ADP＝∠GDA， ∴△APD∽△GAD，∴＝，∴PD＝＝＝. 由(2)知BH＝3，∴HC＝9－3＝6， ∴＝()2＝()2＝. (变式1题解图②) 新题好题 一练提优 【变式2】(优质原创)小星在学习了全等三角形和矩形后，尝试将两个知识综合运用，于是他将一块等腰直角三角板ABC(∠A是直角)和一块矩形纸板DEFG按不同方式摆放. 图① 图② 备用图 (变式2题图) 新题好题 一练提优 【初步探究】 (1)如图①，若点A 在DG 边上，过点C作CM⊥DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，探究MN，CM，BN之间的数量关系，并说明理由； 图① 解：MN＝CM＋BN，理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠CAM＋∠BAN＝90°.∵CM⊥DG，BN⊥DG，∴∠CMA＝∠BNA＝90°，∴∠CAM＋∠MCA＝90°，∴∠MCA＝∠BAN，∴△ACM≌△BAN(AAS)，∴AM＝ BN，CM＝AN，∴MN＝AN＋AM＝CM＋BN. 新题好题 一练提优 【深入探究】 (2)如图②，若点A 在DG 边上，点C 在DE 边上，过点B作BH⊥DG于点H，探究CD，DH，BH之间的数量关系，并说明理由； 图② 解：BH＝CD＋DH，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠CAD＋∠BAD＝90°.∵四边形DEFG是矩形，∴∠D＝90°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°，∴∠BAD＝∠DCA.∵BH⊥DG，∴∠BHA＝∠D＝90°，∴△ABH≌△CAD(AAS)，∴AH＝CD，BH＝AD，∴BH＝AH＋DH＝CD＋DH. 新题好题 一练提优 【拓展发现】 (3)若点A与点D重合，点B在边EF上，连接CE，直线CE交直线DG于点P，若DB＝5，DE＝4，求EP的长. 图① 图② 备用图 (变式2题图) 新题好题 一练提优 解：∵DB＝5，DE＝4，∠DEB＝90°，∴BE＝＝＝3.如解图①，当点C在直线DG上方时，过点C作CH⊥DG于点H，则∠CHD＝90°.  ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠CDH＋∠BDH＝90°.∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEB＝∠EDG＝90°， (变式2题解图①) 新题好题 一练提优 ∴∠DEB＝∠CHD，∠EDB＋∠BDH＝90°，∴∠CDH＝∠EDB，∴△DHC≌△DEB(AAS)，∴CH＝BE＝3，DH＝DE＝4.∵∠DPE＝∠CPH，∠PDE＝∠PHC＝90°，∴△DPE∽△HPC，∴ ＝＝，∴DP＝DH＝×4＝，∴EP＝＝＝. (变式2题解图①) 新题好题 一练提优 如解图②，当点C在直线DG下方时，过点C作CH⊥DG交GD的延长线于点H，则∠CHD＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠CDE＋∠BDE＝90°.∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEB＝∠EDG＝90°，∴∠DEB＝∠DHC，∠CDE＋∠CDH＝90°，∴∠BDE＝∠CDH，∴△DEB≌△DHC(AAS)，∴BE＝CH＝ 3，DH＝DE＝4. (变式2题解图②) 新题好题 一练提优 ∵∠P＝∠P，∠PDE＝∠PHC＝90°， ∴△DPE∽△HPC，∴＝＝，∴DP＝4DH＝16，∴EP＝＝＝4. 综上所述，EP的长为或4. (变式2题解图②) 新题好题 一练提优 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $