精品解析：沈阳市苏家屯区2025-2026学年度下学期九年级学情调研问卷（一）数学试卷

2025—2026学年度下学期九年级学情调研问卷（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈记作（ ） A. 圈 B. 圈 C. 圈 D. 圈 【答案】A 【解析】 【分析】若逆时针旋转的圈数用“ ”表示，那么顺时针旋转的圈数就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈记作 圈． 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，根据几何体的特征，从上往下看，可以看到三个并排的矩形，且分界线为实线． 【详解】解：从上面看，该几何体的整体轮廓是一个长方形． ∵中间部分高出左右两部分， ∴从上往下看时，中间部分与左右部分的分界线是可见的棱，应画为实线． ∴它的俯视图是： ． 3. 太阳每秒照射到地球上的能量相当于燃烧5000000吨优质煤释放的能量，太阳能的开发和利用引起科学家的广泛关注．数据5000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确； 对于选项B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B错误； 对于选项C：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C错误； 对于选项D：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D错误． 5. 小明随机抽查爱民小区户家庭月均用水情况，分别是：，， ， ，， （单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（ ）． A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大重新排列，再按照众数、中位数、平均数和方差的定义进行计算即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排序得：，， ， ，， ， ∵这组数据中， 出现 次，出现的次数最多， ∴众数为 ，故A错误； ∵这组数据的第个数和第个数都是 ， ∴中位数为，故B正确； 平均数，故C错误； 方差，故D错误． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则，逐一计算各选项进行判断． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，正确． 7. 如图，菱形 中， ，连接，点 是对角线上一点，，垂足为 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出 的度数，再利用对角线平分对角求出的度数，最后在中利用两锐角互余即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ， ， ， 是菱形的对角线， 平分 ， ， ， ， ． 8. 我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为 ，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据速度和时间表示出各段路程，再抽象出直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解： 如图， 由题意可得， ， ，， ∴由勾股定理得，． 9. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 随 的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. 随 的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质与图象上点的坐标特征，根据中k的符号判断图象位置和增减性，再验证点是否满足解析式即可得到结果. 【详解】∵ 反比例函数解析式为，可得； 选项A：将 代入解析式，得，∴ 点不在该函数图象上，A错误， 根据反比例函数性质：当时，函数图象位于第二、四象限，∴ C正确， 关于增减性：当时，只有在每个象限内， 才随 的增大而增大；选项B描述本身错误， 选项D未说明“在每个象限内”，若 跨象限（如 从到 ）， 从变为， 减小，因此B，D的描述均错误. 10. 如图，在 中，对角线 与相交于点，在的延长线上取一点 ，连接交 于点 ，若，，，则 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过点作 的平行线交于点，利用平行线分线段成比例得到为的中点，再结合相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 四边形 是平行四边形， 是的中点， ， ， ∴， 是 的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 12. 一个盒子有1个红球，1个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图如解图：∵共有4种等可能的结果，两次都摸出红球有1种情况，∴两次都摸出红球的概率为． 13. 如图，在矩形 中，连接，以 为圆心，为半径画弧交射线 于点 ，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形的性质、勾股定理求出对角线的长，再利用圆的半径相等求出的长，然后求出的长，最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴相交于点， ，点 的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令 ，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点 ，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令 ，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 15. 如图，正方形 的面积为16，点 、 分别是边、 上的动点，连接、 ，点为的中点，点 为 的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由三角形的中位线性质可知，，所以要使最大，只要达到最大即可，当 与 重合时，达到最大，这样即可求解本题． 【详解】解：如图，连接，， 正方形 的面积为， ， ， 点为的中点，点 为 的中点， ， 当有最大值时，有最大值， 点 是边 上的动点， 当点 与点 重合时，有最大值为， 的最大值为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） ； （2）． 【解析】 【分析】（ ）分别计算零指数幂，算术平方根，绝对值的性质，有理数除法运算，然后合并即可； （ ）先算除法，将除法转化为乘法后因式分解约分，再算同分母分式加法，即可得到化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某商家推出、两款文旅纪念品．已知购进款文旅纪念品比购进款文旅纪念品每个进价多元；购进款文旅纪念品 个和款文旅纪念品 个，需花费元． （1）求、两款文旅纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款文旅纪念品共个，那么至少需要购进款文旅纪念品多少个？ 【答案】（1）款文旅纪念品每个进价元，款文旅纪念品每个进价元； （2）至少需要购进款文旅纪念品 个． 【解析】 【分析】（ ）设款每个进价为 元，款每个进价为 元，根据题意可得，然后解方程组即可； （ ）设购进款文旅纪念品个，则购进款文旅纪念品个，根据题意得，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设款每个进价为 元，款每个进价为 元， 根据题意可得：， 解得， 答：款文旅纪念品每个进价元，款文旅纪念品每个进价元； 【小问2详解】 解：设购进款文旅纪念品个，则购进款文旅纪念品个， 根据题意得： ， 答：至少需要购进款文旅纪念品 个． 18. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：乙队员的射击成绩条形统计图和扇形统计图 信息二：甲队员射击成绩10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 信息三：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中， 的值：______，______，并补全条形统计图； （2）______队员在射击选拔赛中发挥更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）求扇形统计图中10环所对扇形圆心角的度数． 【答案】（1） ，补全条形统计图如下： （2）乙 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义作答，求出10环次数，进而补全条形统计图即可； （2）根据方差作答即可； （3）用10环次数除以总数乘以即可． 【小问1详解】 解：乙中第5个和第6个数据分别为：和， ∴ ； 甲中数据出现次数最多的是，则众数为，故； 乙中10环次数为 ， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：∵ ∴乙队员在射击选拔赛中发挥更稳定； 【小问3详解】 解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与反比例函数图象交于点，点 的坐标为，连接，动点 从开始以每秒1个单位长度的速度沿 轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点 作轴，分别交，于点，． （1）求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； （2）求的长（用含的代数式表示）； （3）点 是线段上一动点（点 不与点，重合），和 的面积分别表示为和，当 时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为 （2） （3）36 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入正比例函数的表达式中求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，把 分别代入和 中，求出对应的x的值即可得到点M和点N的坐标，进而可求出； （3）根据（2）所求可得，设，则，则可求出，进而可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：在 中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入中得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为 ； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∴； 在 中，当 时，，则， 在 中，当 时，，则， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，，， ∴当 时，，， 如图所示，设，则 ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为36． 20. 如图，某数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的P处，测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ） 【答案】教学楼的高度约 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用．延长交直线于点C，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可得解． 【详解】解：延长交直线于点C，如图， ∵， ∴ , ∴， ∴四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故教学楼的高度约． 21. 如图，的直径，为上的一点，已知，垂足为 ，并且 ，， 平分，，垂足为 ． （1）求证：是的切线； （2）求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，由 平分，，可得，再由，可得 ，可得，即可证明结论； （2）证明，可得，设，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ， ∵是的直径， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，整理得，， 解得，， ∴或 ， 当时，， 当 时，， ∵， ∴． 22. 如图 中，过点 作 ，垂足为点 ，将绕点 逆时针旋转得到，点 落在上点 处，点落在 内部点处，延长交 于点 ，连接、 ，且与 交于点 ，连接． （1）求证： ； （2）求证： ； （3）在上取一点，连接、 ， ，，， ，求 的面积． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵将绕点 逆时针旋转得到， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ； （2） 过点G作 交于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵将 绕着点B逆时针旋转， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即点P是的中点， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ，再由垂直的定义确定 ，利用旋转的性质及角的等量代换得出 ，即可证明； （2）过点G作 交于点N，根据平行四边形及旋转的性质得出 ，确定 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ， ，即点P是的中点，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明； （3）过点D作 于点M，连接，设 ，利用勾股定理建立方程得出，确定，再由正切函数得出，结合图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点D作 于点M，连接， 在 中，设 ， ∴， ∵ ∴ ， 在 中，， 在 中， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 的面积为：． 23. 如图 ，在平面直角坐标系 中，一次函数的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点，经过 、两点的二次函数的图象交 轴于另一点． （1）求二次函数的表达式； （2）点 、 在直线上，点 是第二象限位于抛物线上一点，点在 轴上若四边形是正方形，求点 的坐标； （3）连接 、 ，抛物线上是否存在点 ，使得，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据 在上方或下方两种情况讨求解即可. 【小问1详解】 解：∵当时，， ∴， ∵当 时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴ 即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点 是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； 【小问3详解】 答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当 时，， ∴， ∴即： ， 如图：当 在下方时，过点 作射线使交于点交抛物线于点 ，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线 的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当 在上方时， 作点关于的对称点 ， ∵四边形是正方形， ∴点 在上，，， ∴， ∵时，， ∴ 在抛物线上， ∵， ∴， 当 与 重合时，，此时，， 综上：存在，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期九年级学情调研问卷（一） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈记作（ ） A. 圈 B. 圈 C. 圈 D. 圈 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 太阳每秒照射到地球上的能量相当于燃烧5000000吨优质煤释放的能量，太阳能的开发和利用引起科学家的广泛关注．数据5000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明随机抽查爱民小区户家庭月均用水情况，分别是：，，，，，（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（ ）． A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中， ，连接，点是对角线上一点，，垂足为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 随的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. 随的增大而增大 10. 如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若， ，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：2a2﹣8=_____． 12. 一个盒子有1个红球，1个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率为________． 13. 如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接 ，若，，则 的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 15. 如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接 、，点为 的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 某商家推出、两款文旅纪念品．已知购进款文旅纪念品比购进款文旅纪念品每个进价多元；购进款文旅纪念品个和款文旅纪念品个，需花费元． （1）求、两款文旅纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款文旅纪念品共个，那么至少需要购进款文旅纪念品多少个？ 18. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：乙队员的射击成绩条形统计图和扇形统计图 信息二：甲队员射击成绩10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 信息三：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中，的值：______，______，并补全条形统计图； （2）______队员在射击选拔赛中发挥更稳定（填“甲”或“乙”）； （3）求扇形统计图中10环所对扇形圆心角的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 与反比例函数图象交于点，点的坐标为，连接，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为秒（），过点作轴，分别交，于点 ，． （1）求反比例函数的表达式和直线的函数表达式； （2）求的长（用含的代数式表示）； （3）点是线段上一动点（点不与点 ，重合），和的面积分别表示为和，当 时，请直接写出（即与的积）的最大值为______． 20. 如图，某数学兴趣小组用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的P处，测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，求教学楼的高度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ） 21. 如图，的直径，为上的一点，已知，垂足为，并且 ，，平分，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 22. 如图中，过点作 ，垂足为点，将绕点逆时针旋转得到，点落在上点处，点落在内部点处，延长交于点，连接、，且与交于点，连接． （1）求证： ； （2）求证： ； （3）在上取一点，连接、 ， ，，， ，求 的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． （1）求二次函数的表达式； （2）点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； （3）连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $