数学（甘肃兰州卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共11个小题，每小题3分，共33分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B D D B A A C B C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12． 13． 14． 15． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（5分）【详解】解： ．.................................5分 17.（5分）【详解】解：解不等式①，得，.................................1分 解不等式②，得，.................................2分 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为．.................................4分 整数解为 或或或或．.................................5分 18.（5分）【详解】， ， ， ，.................................3分 当时，原式．.................................5分 19.（7分）【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得，.................................1分 ∴点， 把点代入中， 得， ∴反比例函数的表达式为；.................................3分 （2）解：将代入中，得， ∴， 由题意知，直线向上平移m个单位长度后的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得，.................................5分 ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得， 即， ∴．.................................7分 20.（7分【详解】（1）解：设无人机所在位置D离白塔的水平距离为 米，白塔的高度为 米．无人机飞行高度为米，即点离地面的高度为米． ∴ 米．.................................1分 在中， ，， ∴ 解得：.................................3分 答：无人机所在的位置D离白塔的水平距离为12米． （2）解：在中，，，， .................................4分 ∴ ，.................................5分 ∴ 答：白塔的高度约为29米．.................................7分 21.（7分）【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征．.................................2分 （2）解：设一次函数解析式为， 将点，代入得， 解得，.................................4分 一次函数解析式为；.................................5分 （3）解：，，（天）， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约130天．.................................7分 22.（7分）【详解】（1）解：画法一中的依据是平行线分线段成比例的基本事实；.................................1分 （2）证明：由作法可知： 四边形是菱形 ，， .................................2分 ， 由作法可知：， 点是线段的一个三等分点．.................................4分 （3）解：如图所示，点即为所作．（画出一个即可） .................................7分 23.（7分）【详解】（1）解：由题意知A组占，有5人， 所以掷实心球的女生的人数为：（人）． C组有 人.................................1分 所以E组有人， 将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组；.................................2分 （2）解：E组有5人，优秀率为.................................3分 所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为 （人）.................................4分 （3）由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，画树状图如下： .................................6分 共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， ∴恰好抽到选手的概率为．.................................7分 24.（7分）【详解】（1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ．.................................3分 （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形，.................................4分 ， ， ．.................................7分 25.（9分）【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 的周长．................................1分 （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴，.................................2分 由折叠的性质得：，， 的周长 ， ；.................................3分 （3）解：当时，此时落在的垂直平分线上， 如图，连接，则， ∴为等边三角形， ∴，.................................4分 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ， ∴；.................................5分 当时，在上取点F，使，此时，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为或；.................................6分 （4）解：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，.................................7分 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，的值最小，最小值为， 即的最小值为； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴．.................................9分 26.（9分）【详解】（1）解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的周长为，矩形的面积为；.................................2分 ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴或6．.................................4分 （2）解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； .................................5分 ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或；.................................6分 （3）解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴，.................................7分 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或．.................................9分 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 11[AJ[B][CIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12. 13 4. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(5分)计算：()2-64+20s45。-V2-2 (3x+1>2(x-1)① 17.(5分)求不等式组 ≥暨-1@ 的所有整数解. 3 解：解不等式①，得 解不等式②，得 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 巧43之寸0广2)4方六：不等式组的解集为 ·整数解为x= 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分)先化简，再求值：42÷古，其中x=3. 19.(7分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) C A 沿河白塔 B 21.(7分) Aw/mL fo 760003020 51015202530 1/min 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) D B D 图④ 备用图 23.(7分) 频数（学生人数） 15 E 10% A 10 B D 30% 0V6256.257.258.259.2510.25成绩（米） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) 4D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) D A.G E F D D 个G 图1 图2 图3 图4 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) 5 D G B .M 432012345元4-321012345x 0 -2 -2 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解A．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，故A错误； B．根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，故B正确； C．根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，可得，故C错误； D．与不是同类项，不能合并，故D错误． 3．若点在第二象限，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据点在第二象限得到，的取值范围，再判断点横纵坐标的正负，即可确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征， ∴点在第四象限． 4．图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，由题意得 ∵， ∴， ∵， ∴． 5．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 7．水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定属于液化现象的有几张卡片，再由概率公式求解即可． 【详解】解：总共有四张卡片，属于液化现象的有甲和丁两张卡片， ∴从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是． 故选：A． 8．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解的长度，再根据直径所对的圆周角为直角，可求解的长度，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， 则有，且， ∴为等边三角形， ∴， ∵的直径为12，即， 在中，， ∴的面积是 ． 9．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定，解题关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，再通过线段差计算DH的长度． 【详解】解：由题意是通过“作一个角的平分线”的尺规作图方法得到的， 因此， 在平行四边形中：，，，， 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 结合，可得； 因此为等腰三角形，即； 因为，， 所以． 故选：B． 10．已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线对称轴的两种计算方法列式子求出的值，进而根据抛物线图象的性质分析的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线对称轴为：直线， 解得：， 抛物线表达式为：， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取最大值，， 当时，取最小值，， ． 11．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E，连接与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据菱形的判定、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； ∴ ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误． 设的面积为a，则的面积为，的面积为， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积为，的面积为， ∴．故④正确， 综上，正确的结论是①②④． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 13．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 【答案】 【分析】边形的内角和（其中为多边形的边数，且，为正整数），先得到俯视图为六边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该六棱柱的俯视图为六边形， 根据多边形的内角和公式可得，其俯视图的内角和为． 14．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系和根的判别式得到，，，进而得到，结合可得出关于的方程，解之可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ，，， ， 或 （舍去），或， 故答案为：． 15．如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示，则点的横坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意得到当点运动秒时到达点，得到，过作于，根据等腰三角形的三线合一的性质得到，点运动到点时面积是且此时是直角三角形，根据面积公式求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过作于， 则四边形是矩形，是中点， 由题意知，， ， ， 由图知，最大值为， 即 ， ， ， 由勾股定理得：， ，即， 的横坐标为． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算： 【答案】 【详解】解： ． 17．（5分）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，，图见解析，，或或或或 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 整数解为 或或或或． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式除法的运算法则进行化简，再将代入计算即可求解． 【详解】， ， ， ， 当时，原式． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，求出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴点， 把点代入中， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入中，得， ∴， 由题意知，直线向上平移m个单位长度后的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得， 即， ∴． 20．（7分）沿河白塔始建于清代，有着悠久的历史，2016年3月重建完工后被列为县级重点保护单位，是沿河的地标建筑，登上塔顶可以俯瞰沿河全景，是人们休闲游玩的好地方．一天小红来到白塔，想借助无人机来测量白塔的高度，无人机飞到离白塔地面高空的C处，测得白塔底部B处的俯角为，然后水平向左靠近白塔飞行后到处，测得白塔顶端A处的俯角为．（线段为白塔的高度，为无人机的飞行路线，A、B、C、D在同一平面内．） (1)求无人机所在的位置离白塔的水平距离？ (2)求白塔的高度？（，结果保留整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)米， (2)29米． 【分析】（1）根据题意问题转化为解直角三角形，在中，根据列方程求解即可， （2）在中，根据求出，最后用即可求解． 【详解】（1）解：设无人机所在位置D离白塔的水平距离为 米，白塔的高度为 米．无人机飞行高度为米，即点离地面的高度为米． ∴ 米． 在中， ，， ∴ 解得： 答：无人机所在的位置D离白塔的水平距离为12米． （2）解：在中，，，， ∴ ， ∴ 答：白塔的高度约为29米． 21．（7分）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点，连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的__________函数；（填“正比例”或“一次”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1000毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】(1)图见解析；一次 (2) (3)这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约天 【分析】（1）根据表格数据，画出函数图象，从图象观察符合一次函数图象特征即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先计算出一个月的漏水量，最后与作除法运算即可． 【详解】（1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征． （2）解：设一次函数解析式为， 将点，代入得， 解得， 一次函数解析式为； （3）解：，，（天）， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约130天． 22．（7分）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)平行线分线段成比例的基本事实 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例进行作答即可； （2）证明，得到，进而得到，即可； （3）连接，易得是的一条中线，根据重心的性质，作的另一条中线，与的交点即为点. 【详解】（1）解：画法一中的依据是平行线分线段成比例的基本事实； （2）证明：由作法可知： 四边形是菱形 ，， ， 由作法可知：， 点是线段的一个三等分点． （3）解：如图所示，点即为所作．（画出一个即可） 23．（7分）【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】 (1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组； (2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； (3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【答案】(1)50；C (2)（人） (3) 【分析】（1）根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数，进而根据中位数的定义求解即可； （2）根据E组有5人，求得优秀率，再根据样本估计总体，即可求解； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意知A组占，有5人， 所以掷实心球的女生的人数为：（人）． C组有 人 所以E组有人， 将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组； （2）解：E组有5人，优秀率为 所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为 （人） （3）由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，画树状图如下： 共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， ∴恰好抽到选手的概率为． 24．（7分）如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 25．（9分）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 【答案】(1)12 (2) (3)或 (4)的最小值为，此时线段的长为 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出，即可求解； （2）根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质得：，，可得的周长，即可求解； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 的周长． （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， 的周长 ， ； （3）解：当时，此时落在的垂直平分线上， 如图，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ， ∴； 当时，在上取点F，使，此时，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 综上所述，的长为或； （4）解：连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，的值最小，最小值为， 即的最小值为； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴． 26．（9分）平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②或 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可； （2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将代入，可得x分别为，点P的坐标为或； （3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式． 【详解】（1）解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的周长为，矩形的面积为； ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴或6． （2）解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴， 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 11.[AJ[B1[CJ[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 12 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或算步骤) 16.(5分)计算：（份2-6+2c0s45-N2-2 3x+1>2(x-1)① 17.(5分)求不等式组 2+2≥-1@ 的所有整数解。 3 解：解不等式①，得 解不等式②，得 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 与4日2十0之日4方不等式组的解集为 整数解为x= 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18《5分)先化简，再求值：2÷高其中x=3. 1 19.(7分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) D 沿河白塔 B 21.(7分) Aw/mL 80 06004030 10 51015202530i7min 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) D G B D 图④ 备用图 23.(7分) A频数（学生人数） 15 E 10% A 10 B 5 C 30% 0 V5.256.257.258.259.2510.25成绩（米） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(7分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) D A.G E D D AG D C D A B R 图1 图2 图3 图4 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) 5 5 D G N. 以 N. 3 2 A B 1 ·M ·M F 4-32110123454321012345x 0 -2 -2 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若点在第二象限，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 5．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 7．水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 10．已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 11．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E，连接与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：______． 13．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 14．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 15．如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示，则点的横坐标为________． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算： 17．（5分）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 20．（7分）沿河白塔始建于清代，有着悠久的历史，2016年3月重建完工后被列为县级重点保护单位，是沿河的地标建筑，登上塔顶可以俯瞰沿河全景，是人们休闲游玩的好地方．一天小红来到白塔，想借助无人机来测量白塔的高度，无人机飞到离白塔地面高空的C处，测得白塔底部B处的俯角为，然后水平向左靠近白塔飞行后到处，测得白塔顶端A处的俯角为．（线段为白塔的高度，为无人机的飞行路线，A、B、C、D在同一平面内．） (1)求无人机所在的位置离白塔的水平距离？ (2)求白塔的高度？（，结果保留整数） （参考数据：，，） 21．（7分）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点，连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的__________函数；（填“正比例”或“一次”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1000毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 22．（7分）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 23．（7分）【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】 (1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组； (2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； (3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 24．（7分）如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 25．（9分）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 26．（9分）平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若点在第二象限，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 5．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 7．水的物态变化使自然界有了露、雾、霜、冰等千姿百态的奇观．其中雾和露是空气中的水蒸气形成的液化现象；霜是空气中的水蒸气凝华形成的冰晶，属于凝华现象；而冰则是水的凝固现象；为了熟知水的物态变化，小强制作了四张除图案不同，形状、大小、材质完全相同的卡片，从中任意抽取出一张卡片，属于液化现象的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，六边形是的内接正六边形，若的直径为12，则的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 10．已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 11．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E，连接与交于点F，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．因式分解：______． 13．七巧桌的设计灵感源自宋代黄伯思的《燕几图》，由其演变的七巧板，在西方被称为“唐图”，也叫“东方魔板”，是古代智慧的体现．下图是一张七巧桌，可以看作一个六棱柱，则其俯视图的内角和为_____________度． 14．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 15．如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图②所示，则点的横坐标为________． 三、解答题（本大题共11个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算： 17．（5分）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 20．（7分）沿河白塔始建于清代，有着悠久的历史，2016年3月重建完工后被列为县级重点保护单位，是沿河的地标建筑，登上塔顶可以俯瞰沿河全景，是人们休闲游玩的好地方．一天小红来到白塔，想借助无人机来测量白塔的高度，无人机飞到离白塔地面高空的C处，测得白塔底部B处的俯角为，然后水平向左靠近白塔飞行后到处，测得白塔顶端A处的俯角为．（线段为白塔的高度，为无人机的飞行路线，A、B、C、D在同一平面内．） (1)求无人机所在的位置离白塔的水平距离？ (2)求白塔的高度？（，结果保留整数） （参考数据：，，） 21．（7分）综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点，连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的__________函数；（填“正比例”或“一次”） (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1000毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 22．（7分）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知： （依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 23．（7分）【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】 (1)任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组； (2)任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； (3)任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 24．（7分）如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 25．（9分）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识． 小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题． 【活动】 小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接． 小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折． 【理解】 (1)如图1操作，的周长是________． (2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________； 【感悟】 (3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长； 【延伸】 (4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长． 26．（9分）平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $