题号猜押03 安徽中考数学11～14题（填空题，6大考点）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03安徽中考数学11~14题（填空题） 考点1 实数 1．（2026•颍上县一模）计算：　 　 ． 2．（2026•蒙城县一模）计算：　 　 ． 3．（2026•江阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 4．（2026•芜湖模拟）函数y中自变量x的取值范围是　 　 ． 5．（2026•凉州区一模）计算：　 　 ． 6．（2025秋•南通校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 7．（2026•安徽模拟）计算：　 　 ． 8．（2026春•长丰县月考）计算：2﹣2﹣3tan30°＝　 　 ． 考点2 数学文化和新定义 9．（2026春•长丰县月考）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2），若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为　 　 ． 10．（2026•阜南县一模）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则　 　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 11．（2026春•四川校级月考）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边△ABC的边长为4，则这个“莱洛三角形”的面积是　 　 ．（结果保留根号和π） 12．（2026•琅琊区校级一模）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为　 　 mm． 考点3 估算 13．（2026•庐阳区校级一模）我国古代数学家刘徽用“割圆术”得到圆周率近似值，张衡将圆周率取值为，祖冲之给出更精确的近似值．比较大小：　 　 （填“＞”或“＜”）． 14．（2026•巢湖市一模）若，则整数n的值为　 　 ． 15．（2026春•保定校级月考）已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为　 　 ． 16．（2026•安徽校级模拟）比较大小： 　 　 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 17．（2026•颍泉区校级一模）已知（n为正整数），则n＝　 　 ． 18．（2026•包河区一模）已知整数n满足，若随机选择一个n的值，恰好是正整数的概率为　 　 ． 19．（2026•潘集区一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个底面是边长为xcm的正方形的长方体铁块拴住，完全滚入盛满水的溢水杯中，并测得溢出的水的体积为68cm3．若长方体的高是4cm，且正整数n满足n＜x＜n+1，则正整数n的值是　 　 ． 考点4 概率 20．（2026•巢湖市校级模拟）为保障学生们安全有序进出校园，校门口从左到右开设了A，B，C三个人脸识别通道．小红和小军两位同学在不同的时间入校并各随机选取一个通道进入校园，则这两位同学所选择的通道相邻的概率为　 　 ． 21．（2026•阜阳一模）从H2，CH4，CO2，O2四种气体中任意选择两种气体进行混合，则混合后能点燃的概率为　 　 ． 22．（2026•庐阳区校级一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能同时点亮灯泡L1、L2的概率为　 　 ． 23．（2026•太和县二模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是　 　 ． 24．（2026•宁国市一模）小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是　 　 ． 25．（2026•蚌埠一模）在一个不透明的箱子里，放有完全相同的四个小球，小球上分别标有数字﹣4，0，﹣3，2，随机摸出一个，记下数字后放回摇匀，再从中随机摸出一个，则两次摸出数字之积为负数的概率是　 　 ． 26．（2026•泗县一模）下列有6张大小外观一致的卡片，反面印有下列6种现象，随机抽取一张为化学变化的概率是　 　 ． ①自行车轮胎爆裂；②鞭炮爆炸；③泥浆水静置产生沉淀；④铁钉生锈；⑤从海水中晒出食盐；⑥水结成冰． 27．（2026春•蜀山区校级月考）如图是候车室摆放的三个座位，随机坐上三位乘客，则相邻座位上乘客性别不同的概率是　 　 ． 28．（2026•六安一模）一个不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出两个球，则两个球的编号之和为奇数的概率为　 　 ． 29．（2026•安庆模拟）亮亮参加“未来发明挑战赛”，展台上有四张科技项目评分卡，分别是：量子通信实验成功、智能语音识别系统（+4分）、全超导托卡马克装置故障（﹣3分）、新能源汽车电池短缺（﹣5分）．规则是随机抽一张卡记下分数后不放回，再抽一张．若两次分数相乘是正数就能赢得奖品．则亮亮获奖的概率是　 　 ． 30．（2026•芜湖模拟）将分别标有数字2，3，4的三张卡片洗匀后，背面有上放在桌上．随机抽取一张作为十位上的数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍的概率是　 　 ． 31．（2026•鸠江区校级一模）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是　 　 ． 32．（2026•天长市一模）机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是　 　 ． 考点5 反比例函数 33．（2026•裕安区校级模拟）如图，▱AOBC的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B，D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1：3，则△BOD的面积是 　 　 ． 34．（2026•蜀山区一模）如图，△ABO的顶点O为坐标原点，点B在x轴的负半轴上，AB＝AO，点A在第二象限，反比例函数的图象经过点A，过点B作OA的平行线交图象于点C，若，则m的值为　 　 ． 35．（2026•肥东县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABO为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为（﹣1，3），点B在反比例函数的图象上，则k的值为　 　 ． 36．（2026•蜀山区校级一模）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交y轴于点C，AB＝BC，点D在第一象限内，DO∥AB，若△ADC的面积是12，则k的值为　 　 ． 37．（2026•阜阳校级一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点C的坐标为（﹣2，0），反比例函数经过点D，若AC的延长线交y轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为　 　 ． 38．（2026•合肥校级一模）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C（3，0），D，若CA＝AB＝BD，则k的值为　 　 ． 39．（2026•五河县二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象经过边AB的中点E，并交BC于点D．若五边形OAEDC的面积为7，则k的值为　 　 ． 40．（2026•岳西县模拟）如图，反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分别与和的图象交于点A，B．若△OAB的面积为10，则k的值为　 　 ． 考点6 多空题 41．（2026•安徽模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC和BD相交于点O，E为边AB上一动点，连接EO并延长交边CD于点F，过点O作OG⊥EF交BC于点G，连接GF交OC于点H． （1）若，则∠DOF＝　 　 °； （2）若CG＝4CF，则OH的长是　 　 ． 42．（2026•安庆模拟）定义：若△ABC的内部存在一点O，满足∠BAO＝∠CBO＝∠ACO，称点O是△的等角点．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝30°，点O为△ABC的等角点，若BO＝1，则： （1）的值为　 　 ； （2）线段AO的长为　 　 ． 43．（2026•蚌山区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2tx+c上两点A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）若|x1﹣t|＞|x2﹣t|，则y1　 　 y2（填“＞”或“＜”）； （2）若对于任意都有y1＜y2，则t的取值范围是　 　 ． 44．（2026•肥西县一模）已知矩形ABCD，连接BD，点E是AD上一点，使得∠EBD＝∠CBD． （1）如图1，若AB＝3，BC＝5，则AE＝ 　 　 ； （2）如图2，连接CE交BD于点F，若CF＝CD，则 　 　 ． 45．（2026•定远县校级二模）如图，点P为Rt△ABC的边BC上一动点（点P与点B，C不重合），CA＝CB＝4，∠C＝90°，△ADP与△ACP关于边AP成轴对称，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接DE． （1）若PA＝2PC，则∠BPE的度数为　 　 ； （2）点P在运动的过程中，DE的最小值为　 　 ． 46．（2026•芜湖模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点E，F分别在边AC和边BC上，沿直线EF将△CEF翻折，使点C落于△ABC所在平面内，记为点D．直线CD交AB于点G． （1）若CF落在边AB上，则　 　 ； （2）若，则tan∠CEF＝　 　 （用含的代数式表示）． 47．（2026春•蜀山区校级月考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G，且AG＝AB． （1）∠EAF＝　 　 °； （2）连接BD，分别交AE，AF于点P，Q，已知BP＝2，DQ＝3，则PQ的长为　 　 ． 48．（2026•镜湖区校级模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠 （1）当四边形ADPD′是正方形时，CD′的长为 　 　 ． （2）当CD′的长最小时，PC的长为 　 　 ． 49．（2026•颍泉区校级一模）定义：若一个两位数k，满足k＝m2+mn+n2（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记F（k）＝mn．例如：39＝22+2×5+52，则39是一个“类完全平方数”，且F（39）＝2×5＝10． （1）已知37是一个“类完全平方数”，则F（37）＝　 　 ； （2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且F（a），则a的最大值＝　 　 ． 1．（2026•池州一模）　 　 ． 2．（2026•合肥一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 3．（2026春•淮南月考）在锐角△ABC中，若，则∠B的度数为　 　 ． 4．（2026•当涂县一模）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，则S的值为　 　 ． 5．（2026•颍上县一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 6．（2026春•金安区校级同步）在数学研究中，除了我们认识的无理数π外，还有一个自然常数e也是无理数，e≈2.71828…，试比较大小：　 　 e．（请选择“＞”或者“＜”进行填空） 7．（2026•池州一模）社团课上A、B、C三人玩足球传球游戏，游戏规则是：一开始是由其中一人将球随机地传给另外两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（注：球从一人传给另一个人就记为传球一次）．若这样传球三次后，要使球传到B脚下的概率最小，应该从　 　 的脚下开始传球． 8．（2025秋•蜀山区校级期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长　 　 尺． 9．（2026•阜阳校级一模）若，且a，b是两个连续整数，则a+b的值为 　 　 ． 10．（2026•安徽模拟）某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为　 　 ． 11．（2026•镜湖区校级一模）某智能巡检机器人从入口A出发，沿指定路线执行巡检任务．行至每个岔路口时，机器人会随机选择前方两条线路，且选择每条线路的可能性相同．如图是该机器人巡检的部分路线示意图，机器人经过H口的概率是　 　 ． 12．（2026•天长市一模）如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点A，B向x轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则k＝　 　 ． 13．（2026•六安一模）已知点A（a+2，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2+4ax（a≠0）上不重合的两点． （1）当a＝4时，y1＝y2，则b＝　 　 ； （2）若对于0＜b＜2，都有y1＜y2，则a的取值范围为　 　 ． 14．（2026•巢湖市一模）如图，点P的初始位置在原点上，每隔一秒P点随机向左或向右移动1个单位长度，则经过两秒后，P点回到原点的概率是　 　 ． 15．（2023•瑶海区三模）如图，已知反比例函数在第一象限内的图象与正方形AEOC的两边相交于B，D两点．若AB＝3，直线经过点B，则k的值是 　 　 ． 16．（2026•瑶海区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，∠BAC＝90°，点B、C分别在坐标轴上，且AB＝AC，若OB＝3，OC＝4，则k的值为　 　 ． 17．（2026•安徽模拟）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为　 　 ． 18．（2026•固镇县一模）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则AD2＝AB•AC﹣BD•DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH＝HG，EF＝4，FG＝5，EM＝2，GM＝2.5，则FH的长为 　 　 ． 19．（2025秋•亳州期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　 　 ． 20．（2024秋•杜集区校级月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是 　 　 cm． 21．（2026春•太湖县月考）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，BC交OA于点D，若D为AO的中点，△ABD的面积是6，则k的值为　 　 ． 22．（2026•合肥校级一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝8，则k的值为　 　 ． 23．（2026•裕安区校级模拟）已知两个整式M＝x+y，N＝x﹣y，将整式M与整式N求和后得到整式A1＝2x．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上M+2N的结果记为A2，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果A2加上2M+3N的结果记为A3，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果A3加上3M+4N的结果记为A4，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题： （1）计算：A2＝　 　 （用含x，y的代数式表示）； （2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且m+k＞3），则m+k的值为　 　 ． 24．（2026•临泉县模拟）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，以BC为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BDC，点E、F分别是AB、AC上一点，连接DE，EF，若∠BED＝∠AFE． （1）则∠DEF＝　 　 ； （2）若点E为AB的中点，则　 　 ． 25．（2026•岳西县模拟）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH． （1）∠EDH的度数为　 　 ； （2）若正方形ABCD的边长为4，则点H到DG的距离为　 　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 安徽中考数学11-14题（填空题） 考点1 实数 1．（2026•颍上县一模）计算：　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据零指数幂的运算法则和算术平方根的定义，分别计算两项后，再进行有理数减法运算即可得到结果． 【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1． 2．（2026•蒙城县一模）计算：　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】先算负整数指数幂、二次根式，再加减即可． 【解答】解：． 故答案为：﹣6． 3．（2026•江阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2　 ． 【答案】x≠2 【分析】根据分式的分母不能为零求解即可． 【解答】解：要使代数式有意义，只需x﹣2≠0， ∴x≠2， 则实数x的取值范围是x≠2， 故答案为：x≠2． 4．（2026•芜湖模拟）函数y中自变量x的取值范围是x≠2　 ． 【答案】x≠2 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣2≠0， 解得x≠2． 故答案为：x≠2． 5．（2026•凉州区一模）计算：　1　 ． 【答案】1． 【分析】利用算术平方根的定义，绝对值的性质计算后再算减法即可． 【解答】解：原式＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 6．（2025秋•南通校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 x＜3　 ． 【答案】x＜3． 【分析】根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案． 【解答】解：代数式有意义的x的取值范围是3﹣x＞0， 解得x＜3， 故答案为：x＜3． 7．（2026•安徽模拟）计算：　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】先算开立方，再算加法即可． 【解答】解：3+（﹣3） ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 8．（2026春•长丰县月考）计算：2﹣2﹣3tan30°＝　　 ． 【答案】． 【分析】先进行负整数指数幂和特殊角的三角函数值的运算，再进行减法运算即可． 【解答】解：2﹣2﹣3tan30°． 故答案为：． 考点2 数学文化和新定义 9．（2026春•长丰县月考）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2），若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为　0或　 ． 【答案】0或． 【分析】根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【解答】解：根据题意得出关于x的一元二次方程为： ， 整理得，有两个相等的根， ∴， 整理得n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3）， 对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k； 根据题意需要分类讨论： ①， ∴k＝0； ②，无解； ③， ∴或（舍去）． 故答案为：0或． 10．（2026•阜南县一模）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为，则　＞　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【分析】通过估算无理数的近似值，计算两个数的值后即可比较大小． 【解答】解：∵2.232＝4.9729，2.242＝5.0176， ∴． ∴． 又∵，1.23＞1.2， ∴． 故答案为：＞． 11．（2026春•四川校级月考）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边△ABC的边长为4，则这个“莱洛三角形”的面积是　　 ．（结果保留根号和π） 【答案】． 【分析】作CD⊥AB于点D，利用等边三角形的性质和勾股定理可计算出，则，作差可得一个弓形的面积为，“莱洛三角形”的面积可看作三个弓形和一个等边三角形的面积之和． 【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D， 由条件可知AC＝AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴， 由勾股定理可得， ∴，， ∴， 由题意可知，S1＝S2＝S3， ∴这个“莱洛三角形”的面积是． 故答案为：． 12．（2026•琅琊区校级一模）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为　13　 mm． 【答案】26． 【分析】先根据题意，则AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD，再结合正方形的性质以及垂径定理得CE＝5mm，CD＝12mm，由勾股定理列式计算，即可作答． 【解答】解：如图，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，AB是⊙O的直径，连接OD，过O作OC⊥TE， 由图可知，TE＝10mm，ED＝7mm， ∵OC⊥TE， ∴，CD＝5+7＝12（mm）， ∴， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：， 即这枚古钱币的直径为13×2＝26（mm）， 故答案为：26． 考点3 估算 13．（2026•庐阳区校级一模）我国古代数学家刘徽用“割圆术”得到圆周率近似值，张衡将圆周率取值为，祖冲之给出更精确的近似值．比较大小：　＞　 （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞． 【分析】对于两个正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，平方较大的正数更大，计算两个数的平方后比较即可得到结果． 【解答】解：由题意得，，， ∵（）2＝10，（）2＝（3.14）2＝9.86，而10＞9.86， ∴． 故答案为：＞． 14．（2026•巢湖市一模）若，则整数n的值为　4　 ． 【答案】4． 【分析】利用夹逼法估算2在哪两个连续整数之间即可． 【解答】解：∵9＜12＜16， ∴34， ∴3＜24， ∴整数n的值为4， 故答案为：4． 15．（2026春•保定校级月考）已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据无理数的估算，先估算和的取值范围，进而确定a和b的值，最后代入计算a+b即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， 根据不等式的性质，两边同时加15，得， ∴， ∴． ∴． 故答案为：13． 16．（2026•安徽校级模拟）比较大小： 　＞　 ．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【分析】先计算两个数的平方，再比较它们的算术平方根． 【解答】解：（）2＝15+7+222+2， （）2＝16+6+222+2， ∵， ∴（）2＞（）2． ∵（）＞0，（）＞0， ∴（）， 故答案为：＞． 17．（2026•颍泉区校级一模）已知（n为正整数），则n＝　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据与10相邻的上下两个整数是9和16，可得与相邻的两个整数是3和4，即得答案． 【解答】解：根据与10相邻的上下两个整数是9和16可知： ． 故答案为：3． 18．（2026•包河区一模）已知整数n满足，若随机选择一个n的值，恰好是正整数的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】先根据估算，求出满足条件的n的个数，再根据概率公式计算即可． 【解答】解：∵n， ∴整数n为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴随机选择一个n的值，恰好是正整数的概率为． 19．（2026•潘集区一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个底面是边长为xcm的正方形的长方体铁块拴住，完全滚入盛满水的溢水杯中，并测得溢出的水的体积为68cm3．若长方体的高是4cm，且正整数n满足n＜x＜n+1，则正整数n的值是　4　 ． 【答案】4． 【分析】先根据长方体的体积等于68cm3求出x的值，然后根据夹逼法求出x的取值范围，即可求解． 【解答】解：根据题意，得4x2＝68， x2＝17， 解得，负值舍去，只取x， ∵16＜17＜25， ∴，即4＜x＜5， 又n＜x＜n+1， ∴n＝4． 故答案为：4． 故答案为：． 考点4 概率 20．（2026•巢湖市校级模拟）为保障学生们安全有序进出校园，校门口从左到右开设了A，B，C三个人脸识别通道．小红和小军两位同学在不同的时间入校并各随机选取一个通道进入校园，则这两位同学所选择的通道相邻的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】先列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况，利用概率公式计算即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中这两位同学所选择的通道相邻的结果有4种， ∴这两位同学所选择的通道相邻的概率为． 故答案为：． 21．（2026•阜阳一模）从H2，CH4，CO2，O2四种气体中任意选择两种气体进行混合，则混合后能点燃的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及混合后能点燃的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： H2 CH4 CO2 O2 H2 （H2，CH4） （H2，CO2） （H2，O2） CH4 （CH4，H2） （CH4，CO2） （CH4，O2） CO2 （CO2，H2） （CO2，CH4） （CO2，O2） O2 （O2，H2） （O2，CH4） （O2，CO2） 共有12种等可能的结果，其中能点燃的结果有：（O2，H2），（O2，CH4），（H2，O2），（CH4，O2）共4种， 能点燃的概率为， 故答案为：． 22．（2026•庐阳区校级一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能同时点亮灯泡L1、L2的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及能同时点亮灯泡L1、L2的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： S1 S2 S3 S1 （S1，S2） （S1，S3） S2 （S2，S1） （S2，S3） S3 （S3，S1） （S3，S2） 共有6种等可能的结果，其中能同时点亮灯泡L1、L2的结果有：（S1，S3），（S3，S1），共2种， ∴能同时点亮灯泡L1、L2的概率为． 故答案为：． 23．（2026•太和县二模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】根据概率公式计算即可得到答案． 【解答】解：∵飞镖游戏板由大小相等的16个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的3个小正方形格子构成， ∴击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 24．（2026•宁国市一模）小芳和爷爷计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【解答】解：列表如下， A B D F A A，B A，D A，F B B，A B，D B，F D D，A D，B D，F F F，A F，B F，D 共有12种等可能结果，其中小芳和爷爷相邻而坐的有4种， 小芳和爷爷相邻而坐的概率是， 故答案为：． 25．（2026•蚌埠一模）在一个不透明的箱子里，放有完全相同的四个小球，小球上分别标有数字﹣4，0，﹣3，2，随机摸出一个，记下数字后放回摇匀，再从中随机摸出一个，则两次摸出数字之积为负数的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字之积为负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【解答】解：列表如下： ﹣4 0 ﹣3 2 ﹣4 16 0 12 ﹣8 0 0 0 0 0 ﹣3 12 0 9 ﹣6 2 ﹣8 0 ﹣6 4 由表知，共有16种等可能结果，两次摸出的小球数字之积为负数有4种， 则两次摸出的小球数字之积为负数的概率． 故答案为：． 26．（2026•泗县一模）下列有6张大小外观一致的卡片，反面印有下列6种现象，随机抽取一张为化学变化的概率是　　 ． ①自行车轮胎爆裂；②鞭炮爆炸；③泥浆水静置产生沉淀；④铁钉生锈；⑤从海水中晒出食盐；⑥水结成冰． 【答案】． 【分析】先判断化学变化的数量，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：①自行车轮胎爆裂；②鞭炮爆炸；③泥浆水静置产生沉淀；④铁钉生锈；⑤从海水中晒出食盐；⑥水结成冰，6种现象中化学变化的是②鞭炮爆炸和④铁钉生锈共2种， 所以，随机抽取一张为化学变化的概率是． 故答案为：． 27．（2026春•蜀山区校级月考）如图是候车室摆放的三个座位，随机坐上三位乘客，则相邻座位上乘客性别不同的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】设男性和女性分别为1和2，得到所有可能的结果数，再利用概率公式即可求解． 【解答】解：设男性和女性分别为1和2， 则共有111，112，121，211，221，212，122，222，共8种等可能的结果数，其中相邻座位上乘客性别不同的结果数有121，212，共2种， ∴所求概率是， 故答案为：． 28．（2026•六安一模）一个不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号2，3，4，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出两个球，则两个球的编号之和为奇数的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】本题考查概率公式的应用，先找出所有等可能的结果数，再找出两个球编号之和为奇数的结果数，代入概率公式计算即可． 【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号2，3，4， ∴搅匀后从中任意摸出两个球，所有等可能的结果为：（2，3），（2，4），（3，4），共3种等可能的结果，其中两个球的编号之和为奇数的结果有（2，3），（3，4），共2种， ∴搅匀后从中任意摸出两个球，则两个球的编号之和为奇数的概率为． 故答案为：． 29．（2026•安庆模拟）亮亮参加“未来发明挑战赛”，展台上有四张科技项目评分卡，分别是：量子通信实验成功、智能语音识别系统（+4分）、全超导托卡马克装置故障（﹣3分）、新能源汽车电池短缺（﹣5分）．规则是随机抽一张卡记下分数后不放回，再抽一张．若两次分数相乘是正数就能赢得奖品．则亮亮获奖的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出两次分数乘积为正数的结果数，根据概率公式计算即可，乘积为正数的条件是两个分数同号，即均为正数或均为负数． 【解答】解：列表如下： +6 +4 ﹣3 ﹣5 +6 +24 ﹣18 ﹣30 +4 +24 ﹣12 ﹣20 ﹣3 ﹣18 ﹣12 +15 ﹣5 ﹣30 ﹣20 +15 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中两次分数相乘是正数的有4种， 所以，亮亮获奖的概率为 ． 故答案为：． 30．（2026•芜湖模拟）将分别标有数字2，3，4的三张卡片洗匀后，背面有上放在桌上．随机抽取一张作为十位上的数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】根据概率公式求概率，用列表法求概率． 【解答】解：列表如下： 2 3 4 2 22 23 24 3 32 33 34 4 42 43 44 其中恰好是3的整数倍的，有3种，共有9种等可能结果， ∴恰概率是． 故答案为：． 31．（2026•鸠江区校级一模）如图是某旅游景点的两个入口（A，D）和三个出口（B，C，E），小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从A口进入，从E口离开的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】通过列表法列出所有入口和出口的组合情况，再找出从A口进入且从E口离开的情况数，最后根据概率公式计算概率． 【解答】解：列表 出口入口 B C E A （A，B） （A，C） （A，E） D （D，B） （D，C） （D，E） 由列表可知，共有6种等可能的结果． 其中从A口进入，从E口离开的结果只有1种，即（A，E）． 所以． 故答案为：． 32．（2026•天长市一模）机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】对三个机器人按身高编号，列举出所有等可能的出场顺序，再找出按程序能选到最高身高机器人的结果数，利用概率公式计算即可． 【解答】解：设三个机器人按身高从小到大记为1，2，3，其中3为身高最高的机器人． 三个机器人出场的所有等可能排列为： （1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），共6种等可能的结果． 根据选择程序判断符合条件的结果： 当排列为（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1）时，机器人甲可以选到最高的3号机器人，共3种符合条件的结果． ∵机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”， ∴机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是． 故答案为：． 考点5 反比例函数 33．（2026•裕安区校级模拟）如图，▱AOBC的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B，D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1：3，则△BOD的面积是 　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据平行四边形的性质，可求出S△BOCS▱AOBC，由反比例函数系数k的几何意义可确定反比例函数的关系式，再由B、D两点的横坐标之比是1：3，可设OM＝m，进而表示ON，MN，BM，DN，利用S△BOD＝S梯形BMND即可求出答案． 【解答】解：如图，过点B、D分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵▱AOBC，OA在x轴上，点C在y轴上， ∴BC⊥OC， ∴S△BOCS▱AOBC|k|， ∵k＞0， ∴k＝3， ∴反比例函数的关系式为y， 由于B、D两点的横坐标之比是1：3， 可设OM＝m，则ON＝3m，MN＝2m， 又∵点B、D在反比例函数y图象上， ∴BM，DN， ∵S△BOM+S梯形BMND＝S△BOD+S△DON，而S△BOM＝S△DON|k|， ∴S△BOD＝S梯形BMND（BM+DN）•MN （）×2m ＝4， 故答案为：4． 34．（2026•蜀山区一模）如图，△ABO的顶点O为坐标原点，点B在x轴的负半轴上，AB＝AO，点A在第二象限，反比例函数的图象经过点A，过点B作OA的平行线交图象于点C，若，则m的值为　1　 ． 【答案】1． 【分析】过A作AH⊥x轴于点H，过C作CP⊥x轴于点P，易证△CBP∽△AOH，得m，设OH＝a，则BP＝ma，OP＝OB+BP＝（m+2）a，进而可得AH、CP，代入建立方程求解即可． 【解答】解：如图，过A作AH⊥x轴于点H，过C作CP⊥x轴于点P， 则∠CPB＝∠AHO＝90°， ∵BC∥OA， ∴∠CBP＝∠AOH， ∴△CBP∽△AOH， ∴m， 设OH＝a，则BP＝ma， ∵AB＝AO， ∴OH＝BH＝a， ∴OP＝OB+BP＝（m+2）a， ∵点A、C在反比例函数y上， ∴CP，AH， ∴m， 解得m1（负值舍去）； 故答案为：1． 35．（2026•肥东县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABO为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为（﹣1，3），点B在反比例函数的图象上，则k的值为　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于D，根据全等三角形的性质，可以得到点B的坐标，由点B在反比例函数的图象上，从而可以得到k的值． 【解答】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于D，则∠ACO＝∠BDA＝90°， ∵顶点A的坐标为（﹣1，3）， ∴OC＝1，AC＝3， ∵△ABO是等腰直角三角形， ∴AO＝BA，∠BAO＝90°， ∴∠OAC+∠BAD＝∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠OAC＝∠ABD， ∴△AOC≌△BAD（AAS）， ∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝3， ∴点B的坐标为（﹣4，2）， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣4×2＝﹣8， 故答案为：﹣8． 36．（2026•蜀山区校级一模）如图，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交y轴于点C，AB＝BC，点D在第一象限内，DO∥AB，若△ADC的面积是12，则k的值为　﹣8　 ． 【答案】﹣8． 【分析】连接OA，设，C（0，﹣c），根据中点坐标公式可得点，代入反比例函数解析式并整理得ac＝﹣3k，再证明S△AOC＝S△ADC＝12，可得，由此即可求解． 【解答】解：连接OA，设，C（0，﹣c）， 由条件可知点， ∴， 整理得：ac＝﹣3k， ∵DO∥AB， ∴S△AOC＝S△ADC＝12， ∴， ∴， 解得：k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 37．（2026•阜阳校级一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点C的坐标为（﹣2，0），反比例函数经过点D，若AC的延长线交y轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为　6　 ． 【答案】6． 【分析】先求出点D的坐标为（﹣2，6），再根据矩形的性质可得CD⊥CO，即可得出CO＝2，CD＝6＝AB，进而得到CO×AB＝12，再根据AB∥OE可得△OCE∽△BCA，则，可得BC•EO＝AB•CO＝12，进而得到△BCE的面积． 【解答】解：由题意得点D的坐标为（﹣2，6）， 由条件可知CD⊥CO， ∴CO＝2，CD＝6＝AB， ∴CO×AB＝12， ∵AB∥OE， ∴△OCE∽△BCA， ∴， 即BC•EO＝AB•CO＝12， ∴△BCE的面积． 故答案为：6． 38．（2026•合肥校级一模）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，与x轴，y轴分别交于点C（3，0），D，若CA＝AB＝BD，则k的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】先求出一次函数的解析式，再A（r，﹣r+3），然后根据CA＝AB＝BD，C（3，0），得出xB＝2r﹣3，yB＝﹣2r+6，依题意，列式r（﹣r+3）＝k＝（2r﹣3）（﹣2r+6），解得r＝2，即A（2，1），代入求出k的值． 【解答】解：依题意，把C（3，0）代入y＝﹣x+b， 得0＝﹣3+b， 解得b＝3， ∴一次函数y＝﹣x+3， 设A（r，﹣r+3）， ∵CA＝AB＝BD，C（3，0）， ∴， ∴xB＝2xA﹣xC，yB＝2yA﹣yC， 则xB＝2r﹣3，yB＝2（﹣r+3）﹣0＝﹣2r+6， 由题意可得：r（﹣r+3）＝k＝（2r﹣3）（﹣2r+6）， ∴﹣r2+3r＝﹣4r2+12r+6r﹣18， 整理得r2﹣5r+6＝（r﹣2）（r﹣3）＝0， 解得r1＝2，r2＝3， ∵C（3，0）， ∴r＝3舍去， ∴r＝2， 即A（2，1）， 则， ∴k＝2． 故答案为：2． 39．（2026•五河县二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象经过边AB的中点E，并交BC于点D．若五边形OAEDC的面积为7，则k的值为　4　 ． 【答案】4． 【分析】设A（a，0），C（0，c），根据矩形的性质可表示出点B的坐标，根据中点的性质可表示出点E的坐标，由反比例函数图象经过点D、E，可得到k与a、c的关系，以及表示出点D的坐标，最后S五边形OAEDC＝S矩形OABC﹣S△BDE＝7列式计算即可得解． 【解答】解：设A（a，0），C（0，c），则B（a，c），则， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， 对于，令y＝c，即， ∴， ∴， ∵五边形OAEDC的面积为7，即， ∴， ∴ac＝8， ∴． 故答案为：4． 40．（2026•岳西县模拟）如图，反比例函数和的图象如图所示，点C是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分别与和的图象交于点A，B．若△OAB的面积为10，则k的值为　﹣14　 ． 【答案】﹣14． 【分析】从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，则，根据△OAB的面积为10，得，故|k|＝14，结合点A在第四象限，故k＝﹣14． 【解答】解：依题意，， ∵△OAB的面积＝S△BCO+S△ACO，△OAB的面积为10， ∴， ∴|k|＝14， ∵点A在第四象限， 故k＝﹣14， 故答案为：﹣14． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/17 10:46:14；用户：萧县丁楼学校；邮箱：dlxx88@xyh.com；学号：39801026 考点6 多空题 41．（2026•安徽模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC和BD相交于点O，E为边AB上一动点，连接EO并延长交边CD于点F，过点O作OG⊥EF交BC于点G，连接GF交OC于点H． （1）若，则∠DOF＝　67.5　 °； （2）若CG＝4CF，则OH的长是　　 ． 【答案】（1）67.5； （2）． 【分析】（1）由正方形的性质可得∠ABD＝45°，，结合题干容易证明BE＝OB，则，再利用对顶角相等求出∠DOF； （2）作OI⊥BC于点I，利用正方形的性质容易证明△BOG≌△COF（ASA），进而证明△GOF是等腰直角三角形，则∠OFH＝45°＝∠OCD，根据两角相等可判定△COF∽△FOH，则，利用勾股定理计算出OF和OC即可． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中，． ，， ∵BE＝OB， ∴△BOE为等腰三角形． ， ∵∠DOF＝∠BOE， ∴∠DOF＝67.5°； （2）如图，作OI⊥BC于点I， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OBC＝∠OCD＝45°，∠BOC＝90°，OB＝OC， ∵OG⊥EF， ∴∠GOF＝90°＝∠BOC， ∴∠BOC﹣∠GOC＝∠GOF﹣∠GOC，即∠BOG＝∠COF， 在△BOG和△COF中， ， △BOG≌△COF（ASA）， ∴OG＝OF，BG＝CF， ∵CG＝4CF， ∴CG＝4BG， ∴， ∵OI⊥BC， ∴， ∴IG＝BI﹣BG＝3， ∵∠OBC＝45°， ∴△OBI是等腰直角三角形， ∴OI＝BI＝5， 由勾股定理可得．，， ∴，， ∵∠GOF＝90°， ∴△GOF是等腰直角三角形， ∴∠OFH＝45°＝∠OCD， ∵∠FOH＝∠COF， ∴△COF∽△FOH， ∴， ∴． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 42．（2026•安庆模拟）定义：若△ABC的内部存在一点O，满足∠BAO＝∠CBO＝∠ACO，称点O是△的等角点．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝30°，点O为△ABC的等角点，若BO＝1，则： （1）的值为　　 ； （2）线段AO的长为　3　 ． 【答案】（1）； （2）3． 【分析】（1）先判断△ABC为等腰三角形，过点B作BD⊥AC于点D，从而得到AC＝2AD，通过即可得出的值； （2）设∠CBO＝x，根据点O为△ABC的等角点得出∠BAO＝∠CBO＝∠ACO＝x，利用三角形内角和从△CBO和△ABC中求出∠AOC＝∠BOC，然后证明△BCO∽△CAO，从而利用相似三角形的性质求得，从而求出AO的长． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝30°， ∴△ABC为等腰三角形， 如图，过点B作BD⊥AC于点D， ∴AC＝2AD， ∴， 即； （2）∵点O为△ABC的等角点，设∠CBO＝x，则∠BAO＝∠CBO＝∠ACO＝x， 在△CBO中，∠CBO＝x，∠BCO＝∠BCA﹣∠ACO＝30°﹣x， ∴∠BOC＝180°﹣x﹣（30°﹣x）＝150°， 在△ABC中，∠ACO＝x，∠CAO＝∠BAC﹣∠BAO＝30°﹣x， ∴∠AOC＝180°﹣x﹣（30°﹣x）＝150°， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠ACO＝∠CBO， ∴△BCO∽△CAO， ∴， ∵， ∴， 解得：，AO＝3（经检验，是分式方程的解，且符合题意）． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 43．（2026•蚌山区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2tx+c上两点A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）若|x1﹣t|＞|x2﹣t|，则y1　＞　 y2（填“＞”或“＜”）； （2）若对于任意都有y1＜y2，则t的取值范围是　0＜t≤1　 ． 【答案】（1）＞； （2）0＜t≤1． 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据题意可得抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．要使y1＜y2恒成立，则y1的上界须小于等于y2的最小值，根据x2＞t+1，可得y2的最小值是y（t+1）＝1+c﹣t2，从而得到，即可求解． 【解答】解：（1）在抛物线y＝x2﹣2tx+c中，b＝﹣2t，a＝1＞0， ∴对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线y＝x2﹣2tx+c上两点B（x2，y2），A（x1，y1），且|x1﹣t|＞|x2﹣t|， ∴y1＞y2， 故答案为：＞； （2）由（1）得：对称轴为x＝t， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小， 要使y1＜y2恒成立，则y1的最大值须小于等于y2的最小值， ∵x2＞t+1， ∴y2的最小值是y（t+1）＝1+c﹣t2， 因此，对于任意x1都必须满足y（x1）≤y（t+1），即， ∴1﹣t≥t﹣1且， 解得t≤1且t≥0． 同时，要使，成立， 解得t＞0，t＜6． 综上，t的取值范围是0＜t≤1． 故答案为：0＜t≤1． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 44．（2026•肥西县一模）已知矩形ABCD，连接BD，点E是AD上一点，使得∠EBD＝∠CBD． （1）如图1，若AB＝3，BC＝5，则AE＝ 　　 ； （2）如图2，连接CE交BD于点F，若CF＝CD，则 　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先导角证明EB＝ED，设AE＝x，则DE＝5﹣x＝EB，在Rt△ABF中列勾股方程即可求解； （2）先导角证明∠BEC＝90°，再证明△ABE∽△ECB，得到比例式，设AE＝1，BE＝DE＝m，则BC＝m+1，即，解得m，进而可得的比值． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， 又∵∠EBD＝∠CBD． ∴∠EBD＝∠EDB，从而EB＝ED， 设AE＝x，则DE＝5﹣x＝EB， 在Rt△ABF中，AB2+AE2＝BF2， 即32+x2＝（5﹣x）2，解得x． 故答案为：． （2）∵CF＝CD， ∴∠FDC＝∠DFC＝∠EFB， 同（1）可证BE＝DE， 故∠EBD＝∠EDB， 又∵∠EDB+∠FDC＝90°， ∴∠EBD+∠EFB＝90°， 从而∠BEC＝90°， 又∵∠AEB＝2∠EBD＝∠EBC， 可得△ABE∽△ECB， ∴， 设AE＝1，BE＝DE＝m，则BC＝m+1， ∴，整理得m2﹣m﹣1＝0，解得m（舍去负根） 故m， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上内容是解题关键． 45．（2026•定远县校级二模）如图，点P为Rt△ABC的边BC上一动点（点P与点B，C不重合），CA＝CB＝4，∠C＝90°，△ADP与△ACP关于边AP成轴对称，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接DE． （1）若PA＝2PC，则∠BPE的度数为　30°　 ； （2）点P在运动的过程中，DE的最小值为　　 ． 【答案】（1）30°； （2）． 【分析】（1）解直角三角形得出∠APC＝60°，由旋转的性质可得∠APE＝90°，即可得出结果； （2）由轴对称的性质可得AD＝AC＝4，∠ADP＝∠C＝90°，PC＝PD，作EF⊥PD，交PD的延长线于点F，则∠ADP＝∠PFE＝90°，由旋转的性质可得∠APE＝90°，AP＝EP，证明△APD≌△PEF（AAS），得出EF＝PD，PF＝AD＝4，设EF＝PD＝x（0＜x＜4），则DF＝4﹣x，再由勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：（1）在Rt△ACP中，∠C＝90°，PA＝2PC， ∴， ∴∠APC＝60°， ∵将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE， ∴∠APE＝90°， ∴∠BPE＝180°﹣∠APC﹣∠APE＝180°﹣60°﹣90°＝30°； （2）∵△ADP与△ACP关于边AP成轴对称， ∴AD＝AC＝4，∠ADP＝∠C＝90°，PC＝PD， 如图，作EF⊥PD，交PD的延长线于点F，则∠ADP＝∠PFE＝90°， ∵将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE， ∴∠APE＝90°，AP＝EP， ∵∠PAD+∠APD＝∠APD+∠EPF＝90°， ∴∠PAD＝∠EPF， 在△APD和△PEF中， ， ∴△APD≌△PEF（AAS）， ∴EF＝PD，PF＝AD＝4， 设EF＝PD＝x（0＜x＜4），则DF＝PF﹣PD＝4﹣x， 在直角三角形DEF中，由勾股定理得： ， ∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，DE的值最小，为． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 46．（2026•芜湖模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点E，F分别在边AC和边BC上，沿直线EF将△CEF翻折，使点C落于△ABC所在平面内，记为点D．直线CD交AB于点G． （1）若CF落在边AB上，则　　 ； （2）若，则tan∠CEF＝　　 （用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据折叠的性质得BG＝BC，CE＝GE，设BC＝a，则BG＝a，由勾股定理得，，从而可求值； （2）过点G作GH⊥AC于点H，由，设GB＝x，则AG＝λx，AB＝λx+x，，，进一步可求出答案． 【解答】解：（1）如图1， 由折叠得，CE＝GE，点B与点F重合， 则BG＝BC， 设BC＝a，则BG＝a， 在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则ABa， ∴AG＝AB﹣BG＝（1）a， ∴1； （2）过点G作GH⊥AC于点H， ∴∠CEF+∠CGH＝90°， ∵∠CEF+∠ECG＝90°， ∴∠CEF＝∠CGH， 由λ，设GB＝x，则AG＝λx， ∴AB＝AG+BG＝λx+x， 在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则ACAB，AHAG， ∴CH＝AC﹣AH（AB﹣AG）， 又由作图得△GHA为等腰直角三角形， ∴GHAG， ∴tan∠CGH， ∴tan∠CEF， 故答案为：1，． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理以及角的正切值． 47．（2026春•蜀山区校级月考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，连接EF，过点A作AG⊥EF于点G，且AG＝AB． （1）∠EAF＝　45　 °； （2）连接BD，分别交AE，AF于点P，Q，已知BP＝2，DQ＝3，则PQ的长为　　 ． 【答案】（1）45； （2）． 【分析】（1）证明Rt△AEB≌Rt△AEG（HL）得∠BAE＝∠GAE，证明Rt△AFD≌Rt△AFG（HL）得∠GAF＝∠DAF，推出2（∠GAF+∠GAE）＝90°，可得答案； （2）如图，连接GQ，GP，根据正方形的性质及垂直的定义得∠DBC＝45°＝∠BDC，∠AGE＝90°＝∠AGF，证明△GPE≌△BPE（SAS）得GP＝BP＝2，∠EGP＝∠EBP＝45°，证明△GFQ≌△DFQ（SAS）得GQ＝DQ＝3，∠FGQ＝∠FDQ＝45°，推出∠PGQ＝180°﹣∠FGQ﹣∠EGP＝90°，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AG⊥EF，AG＝AB， ∴AD＝AB＝AG，∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°＝∠AGE＝∠AGF， 在Rt△AEB和Rt△AEG中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△AEG（HL）， ∴∠BAE＝∠GAE， 在Rt△AFD和Rt△AFG中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AFG（HL）， ∴∠GAF＝∠DAF， ∴90°＝∠BAD＝∠GAF+∠DAF+∠GAE+∠BAE＝2（∠GAF+∠GAE）＝2∠EAF， ∴∠EAF＝45°； （2）如图，正方形ABCD中，BP＝2，DQ＝3，AG⊥EF，连接GQ，GP， ∴∠AGE＝90°＝∠AGF，∠DBC＝45°＝∠BDC， 由（1）知：Rt△AFD≌Rt△AFG，Rt△AEB≌Rt△AEG， ∴DF＝GF，∠BFA＝∠GFA，BE＝GE，∠BEA＝∠GEA， 在△GPE和△BPE中， ， ∴△GPE≌△BPE（SAS）， ∴GP＝BP＝2，∠EGP＝∠EBP＝45°， 在△GFQ和△DFQ中， ， ∴△GFQ≌△DFQ（SAS）， ∴GQ＝DQ＝3，∠FGQ＝∠FDQ＝45°， ∴∠PGQ＝180°﹣∠FGQ﹣∠EGP＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 在Rt△PGQ中，由勾股定理得：， 即PQ的长为． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 48．（2026•镜湖区校级模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠 （1）当四边形ADPD′是正方形时，CD′的长为 　　 ． （2）当CD′的长最小时，PC的长为 　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用勾股定理直接求解即可； （2）连接AC可得AC≤AD′+CD′，从而求出CD′的最小值，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ADPD′是正方形，四边形ABCD是矩形， ∴点D′位于AB上，BC＝AD＝5， ∴AD′＝AD＝5， ∴BD′＝AB﹣AD′＝7， ∴CD′， 故答案为：； （2）如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC13， ∵AC≤AD′+CD′， ∴CD′≥AC﹣AD′， ∴当D′在AC上时，CD′取得最小值， ∴CD′＝AC﹣AD′＝13﹣5＝8， 设PC＝x，则： PD′＝PD＝12﹣x， 在Rt△PCD′中，由勾股定理可得： 82+（12﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴PC． 故答案为：． 【点评】本题考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，解题的难点在于第二问理解CD′的长最小即A，D′，C三点共线． 49．（2026•颍泉区校级一模）定义：若一个两位数k，满足k＝m2+mn+n2（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记F（k）＝mn．例如：39＝22+2×5+52，则39是一个“类完全平方数”，且F（39）＝2×5＝10． （1）已知37是一个“类完全平方数”，则F（37）＝　12　 ； （2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且F（a），则a的最大值＝　93　 ． 【答案】12；93 【分析】（1）根据“类完全平方数”的定义可得37＝32+3×4+42，再根据F（k）＝mn，可求F（37）； （2）根据两位数a是一个“类完全平方数”，且F（a），可得a是3的倍数，再从最大的3的倍数的两位数开始，找到符合条件的a的最大值即可求解． 【解答】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37＝32+3×4+42， ∴F（37）＝3×4＝12． 故答案为：12； （2）∵两位数a是一个“类完全平方数”，且F（a）， ∴a是3的倍数， 若a＝99， 则F（99）30＝5×6＝3×10＝2×15， ∵52+5×6+62＝91， 32+3×10+102＝139， 22+2×15+152＝259， ∴a＝99不符合题意； 若a＝96， 则F（96）29＝1×29， ∵12+1×29+292＝871， ∴a＝96不符合题意； 若a＝93， 则F（93）28＝4×7＝2×14， ∵42+4×7+72＝93， 22+2×14+142＝228， ∴a＝93符合题意， ∴a的最大值＝93． 故答案为：93． 【点评】此题考查了完全平方数的应用问题．注意掌握数的整除问题，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 1．（2026•池州一模）　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据，即可求解． 【解答】解：4+1＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握求一个数的算术平方根是解题的关键． 2．（2026•合肥一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠﹣3　 ． 【答案】x≠﹣3． 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x+3≠0， 解得x≠﹣3． 故答案为：x≠﹣3． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 3．（2026春•淮南月考）在锐角△ABC中，若，则∠B的度数为　60°　 ． 【答案】60°． 【分析】根据绝对值的非负性求出，，再根据特殊三角函数的值推出∠A＝60°，∠C＝60°，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：由条件可得： 且 ， 即，， ∵△ABC是锐角三角形， ∴∠A＝60°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查绝对值的非负性、特殊三角函数的值、三角形的内角和定理，能够根据三角函数值反推特殊角是解题的关键． 4．（2026•当涂县一模）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，则S的值为　　 ． 【答案】． 【分析】直接将代入公式，再根据实数的运算法则、二次根式的性质求解即可． 【解答】解：将代入可得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2026•颍上县一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞1　 ． 【答案】x＞1． 【分析】利用分式和二次根式有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案． 【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1． 【点评】考查了二次根式及分式有意义的条件，属于基础题，比较简单． 6．（2026春•金安区校级同步）在数学研究中，除了我们认识的无理数π外，还有一个自然常数e也是无理数，e≈2.71828…，试比较大小：　＞　 e．（请选择“＞”或者“＜”进行填空） 【答案】＞． 【分析】根据e＜2.82，2.822＝7.9524＜8，可得 【解答】解：∵e≈2.71828…＜2.82，2.822＝7.9524＜8， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查实数大小比较，算术平方根，无理数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2026•池州一模）社团课上A、B、C三人玩足球传球游戏，游戏规则是：一开始是由其中一人将球随机地传给另外两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（注：球从一人传给另一个人就记为传球一次）．若这样传球三次后，要使球传到B脚下的概率最小，应该从B 的脚下开始传球． 【答案】B． 【分析】分别计算从A，B，C开始传球，传球三次后球传到B脚下的概率，再比较概率大小，即可得到结论． 【解答】解：∵游戏规则是：一开始是由其中一人将球随机地传给另外两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人， ∴分三种情况讨论： 若从A开始传球，有A→B→A→B，A→B→A→C，A→B→C→A，A→B→C→B，A→C→B→A，A→C→B→C，A→C→A→B，A→C→A→C， 共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在B脚下的结果有3种， 故此时球传到B脚下的概率为； 若从B开始传球，同理共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在B脚下的结果有2种， 故此时球传到B脚下的概率为； 若从C开始传球，同理共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在B脚下的结果有3种， 故此时球传到B脚下的概率为； ∵， ∴要使球传到B脚下的概率最小，应该从B的脚下开始传球． 【点评】本题主要考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 8．（2025秋•蜀山区校级期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长　15　 尺． 【答案】15． 【分析】设竿子长为y尺，绳子长为x尺，根据绳子比竿子长 5 尺和对折后比竿子短 5 尺的条件列出方程组，并求解． 【解答】解：设竿子长为y尺，绳子长为x尺．根据题意可列方程组为： ， 解得， 故答案为：15． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． 9．（2026•阜阳校级一模）若，且a，b是两个连续整数，则a+b的值为 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据a，b是两个连续的整数，，可以求得a、b的值，再代入计算即可求解． 【解答】解：∵， 又∵， ∴a＝4，b＝5， 当a＝4，b＝5时， a+b＝4+5＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查估算无理数的大小．解题的关键是求出a、b的值． 10．（2026•安徽模拟）某市端午赛龙舟，“飞云”与“乘风”两队进行三局两胜的友谊赛．双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺序．则“乘风”队获胜的概率为　　 ． 【答案】． 【分析】先列出“乘风”队所有等可能的出场顺序，再找出“乘风”队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【解答】解：同规格较量，“飞云”队皆占优；但“乘风”队的快速舟可胜“飞云”队的中速舟，中速舟可胜“飞云”队的慢速舟．若“飞云”队按快、中、慢顺序固定出场，“乘风”队随机安排顺，序则： “飞云”队出场顺序固定为快、中、慢，设“乘风”队的三种龙舟为快、中、慢，对“乘风”队出场顺序进行排列，共有快中慢、快慢中、慢快中、慢中快、中快慢、中慢快，所有等可能的结果共6种， 根据规则，“乘风”队要获得三局两胜，必须满足：“乘风”队慢速舟对“飞云”队快速舟（输一局），“乘风”队快速舟对“飞云”队中速舟（赢一局），“乘风”队中速舟对“飞云”队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，故“乘风”队获胜的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 11．（2026•镜湖区校级一模）某智能巡检机器人从入口A出发，沿指定路线执行巡检任务．行至每个岔路口时，机器人会随机选择前方两条线路，且选择每条线路的可能性相同．如图是该机器人巡检的部分路线示意图，机器人经过H口的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该机器人从H口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是 【解答】解：根据题意，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个， 根据概率的意义可知最终从点H驶出的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率的求法，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2026•天长市一模）如图，点A，B分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点A，B向x轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则k＝　7　 ． 【答案】7． 【分析】阴影部分的面积刚好等于以BO为斜边的大三角形的面积减去以OA为斜边的小三角形的面积，即可得． 【解答】解：如图， 由条件可知，， 又阴影部分的面积为2， ∴， 解得：k＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2026•六安一模）已知点A（a+2，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2+4ax（a≠0）上不重合的两点． （1）当a＝4时，y1＝y2，则b＝　﹣10　 ； （2）若对于0＜b＜2，都有y1＜y2，则a的取值范围为a≤﹣8　 ． 【答案】（1）﹣10； （2）0 a≤﹣8． 【分析】（1）先求抛物线对称轴，再利用函数值相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质求解b； （2）先将抛物线配方为顶点式，再作差得到y1﹣y2的表达式，通过分类讨论a的正负，结合不等式恒成立条件求解a的取值范围即可． 【解答】解：（1）已知点A（a+2，y1），B（b，y2）是抛物线y＝ax2+4ax（a≠0）上不重合的两点． 抛物线y＝ax2+4ax（a≠0）的对称轴为， 当a＝4时，点A的横坐标为a+2＝6， ∵y1＝y2， ∴点A和点B关于对称轴x＝﹣2对称， ∴， 解得b＝﹣10， 又∵点A，B不重合， ∴b＝﹣10符合题意； （2）将抛物线配方得： y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a， ∵点A横坐标为a+2，点B横坐标为b， ∴， 由题意y1＜y2，即a[（a+4）2﹣（b+2）2]＜0对任意0＜b＜2都成立， ∵0＜b＜2， ∴2＜b+2＜4， ∴4＜（b+2）2＜16， 分两种情况讨论： ①当a＞0时，不等式两边除以a，得： （a+4）2＜（b+2）2， 要使该不等式对满足4＜（b+2）2＜16的所有b恒成立， 则需（a+4）2≤4， 解得﹣6≤a≤﹣2， 与a＞0无交集，此时无解； ②当a＜0时，不等式两边除以a，得： （a+4）2＞（b+2）2， 要使该不等式对满足4＜（b+2）2＜16的所有b恒成立， 则需（a+4）2≥16， 解得a≥0或a≤﹣8， 结合a＜0，得a≤﹣8； 综上，a的取值范围为a≤﹣8． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 14．（2026•巢湖市一模）如图，点P的初始位置在原点上，每隔一秒P点随机向左或向右移动1个单位长度，则经过两秒后，P点回到原点的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】分别列举出p点运动的几种情况，再根据回到原点的情况，求出概率． 【解答】解：∵点P有四种运动方式：向右运动2次，P点在2； 向左运动2次，P点在﹣2； 向右运动1次，再向左运动1次，P点在原点； 向左运动1次，再向右运动1次，P点在原点． ∴P点回到原点的概率是：． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是根据概率公式来计算． 15．（2023•瑶海区三模）如图，已知反比例函数在第一象限内的图象与正方形AEOC的两边相交于B，D两点．若AB＝3，直线经过点B，则k的值是 　4　 ． 【答案】4． 【分析】设B（m，m），则OC＝m，BCm，根据正方形的性质得出m＝3m，解得m＝4，得到B（4，1），代入即可求得k的值． 【解答】解：∵直线经过点B， ∴设B（m，m），则OC＝m，BCm， ∵四边形AEOC是正方形， ∴AC＝OC＝m， ∵AB＝3， ∴m＝3m， ∴m＝4， ∴B（4，1）， ∵反比例函数过点B， ∴k＝4×1＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，求得点B的坐标是解题的关键． 16．（2026•瑶海区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，∠BAC＝90°，点B、C分别在坐标轴上，且AB＝AC，若OB＝3，OC＝4，则k的值为　　 ． 【答案】． 【分析】作AE⊥y轴，AD⊥x轴，根据题意证明△EAB≌△DAC（AAS），然后根据正方形的性质列方程求解即可． 【解答】解：如图所示，作AE⊥y轴，AD⊥x轴，垂足分别为E，D． 又∵∠EOD＝90°， ∴四边形ODAE是矩形． ∴∠EAD＝90°， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠DAC， ∵AB＝AC， ∴△EAB≌△DAC（AAS）， ∴BE＝CD，AE＝AD， ∴四边形ODAE是正方形． ∴设BE＝CD＝x，OD＝OC﹣CD＝4﹣x，OE＝OB+BE＝3+x， 由条件可知4﹣x＝3+x， 解得：． ∴， ∴A点坐标为， 将代入， 得． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2026•安徽模拟）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为　8　 ． 【答案】8． 【分析】过点A作AC⊥OB于点C，由圆内接正八边形的性质得出∠AOB＝45°，OA＝OB＝2，则△AOC是等腰直角三角形，再求出AC＝OC，然后由三角形面积公式得出S△AOB，即可得出结果． 【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C， ∵八边形是圆内接正八边形， ∴∠AOB45°，半径OA＝OB＝2， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴AC＝OCOA2， ∴S△AOBAC•OB2， ∴这个圆内接正八边形的面积为：8S△AOB＝88， 故答案为：8． 【点评】本题考查了圆内接正八边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握圆内接正八边形的性质是解题的关键． 18．（2026•固镇县一模）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则AD2＝AB•AC﹣BD•DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH＝HG，EF＝4，FG＝5，EM＝2，GM＝2.5，则FH的长为 　　 ． 【答案】． 【分析】先求解，再证明△EMF∽△HMG，利用相似三角形的性质可得，从而可得答案． 【解答】解：∵EH＝HG， ∴， ∴∠EFH＝∠GFH， ∴FM平分∠EFG， ∴由斯库顿定理可得：FM2＝FE•FG﹣EM•MG， ∵EF＝4，FG＝5，EM＝2，GM＝2.5， ∴FM2＝4×5﹣2×2.5＝15， ∴， ∵∠EFM＝∠HGM，∠EMF＝∠HMG， ∴△EMF∽△HMG， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是根据阅读部分的提示灵活运用新的知识点，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用， 19．（2025秋•亳州期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　25°　 ． 【答案】25°． 【分析】由等腰三角形的性质推出∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO，由三角形的外角性质得到∠AOB＝3∠P＝75°，即可求出∠P的度数． 【解答】解：∵CP＝OC＝OA， ∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO， ∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P， ∴∠CAO＝2∠P， ∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°， ∴∠P＝25°． 故答案为：25°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由以上知识点推出∠AOB＝3∠P． 20．（2024秋•杜集区校级月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是 　　 cm． 【答案】 【分析】由△ABO∽△CDO，得出，代入数据即可求解． 【解答】解：如图，由题意可知，OF＝10cm，OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD，OF⊥AB，OE⊥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴， 解得AB， 即蜡烛火焰的高度是cm， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（2026春•太湖县月考）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BC⊥y轴，垂足为C，BC交OA于点D，若D为AO的中点，△ABD的面积是6，则k的值为　16　 ． 【答案】16． 【分析】设，由已知条件得到，，再根据建立关于k的方程，解方程即可求得k值． 【解答】解：设，则， ∵BC⊥y轴，垂足为C，BC交OA于点D， ∴， ∵反比例函数（x＞0）的图象经过B点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴k＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了反比例函数图象性质及k值的计算，运用△ABD的面积是6，设点坐标建立相关方程是解题的关键． 22．（2026•合肥校级一模）如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S△AOC＝8，则k的值为　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】设，，C（c，0），过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，则BE∥AD，得到△CBE∽△CAD，，代入对应线段长度解得c＝4a，最后根据解方程即可． 【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，则BE∥AD， ∴△CBE∽△CAD， ∴， 由条件可知，， 设C（c，0）， ∴，，OE＝﹣3a，CE＝3a﹣c，CD＝a﹣c， ∴， 解得c＝4a， ∴OC＝﹣c＝﹣4a， ∵S△AOC＝8． ∴， 解得k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 23．（2026•裕安区校级模拟）已知两个整式M＝x+y，N＝x﹣y，将整式M与整式N求和后得到整式A1＝2x．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上M+2N的结果记为A2，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果A2加上2M+3N的结果记为A3，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果A3加上3M+4N的结果记为A4，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题： （1）计算：A2＝　5x﹣y （用含x，y的代数式表示）； （2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且m+k＞3），则m+k的值为　4　 ． 【答案】（1）5x﹣y； （2）4． 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵两个整式M＝x+y，N＝x﹣y，将整式M与整式N求和后得到整式A1＝2x，此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果A1加上M+2N的结果记为A2， ∴A2＝2x+（x+y）+2（x﹣y）＝5x﹣y． 故答案为：5x﹣y； （2）由题意知，原多项式＝[（n2﹣9）x﹣（n﹣3）y][（m﹣2）x2+|k﹣1|﹣（m﹣1）y]+xmy|k+1| ＝（n2﹣9）（m﹣2）x1+2+|k﹣1|﹣（n2﹣9）（m﹣1）xy﹣（n﹣3）（m﹣2）x2+|k﹣1|y+（n﹣3）（m﹣1）y2+xmy|k+1|， ∵n为大于3的正整数，该多项式是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且m+k＞3），原式展开后有5个潜在项， ∴要使其成为三项式，需有两个项的系数为0，故只有当m﹣2＝0或m﹣1＝0时，才能保证有两个项的系数恒为0， ∴m﹣1＝0或m﹣2＝0， 当m﹣2＝0，即m＝2时，要使原多项式＝﹣（n2﹣9）xy+（n﹣3）y2+x2y|k+1|为五次三项式， ∴2+|k+1|＝5，得k＝2或k＝﹣4， 当k＝2时，m+k＝2+2＝4＞3，符合题意， 当k＝﹣4时，m+k＝2+（﹣4）＝﹣2＜3，不符合题意， 当m﹣1＝0，即m＝1时，要使原多项式＝﹣（n2﹣9）x1+2+|k﹣1|+（n﹣3）x2+|k﹣1|y+xy|k+1|为五次三项式， ∴3+|k﹣1|＝5得k＝3或k＝﹣1， 或1+|k+1|＝5，得k＝3或k＝﹣5， 当k＝3时，m+k＝1+3＝4＞3，符合题意， 当k＝﹣1时，m+k＝1+（﹣1）＝0＜3，不符合题意， 当k＝﹣5时，m+k＝1+（﹣5）＝﹣4＜3，不符合题意， 综上，m+k＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 24．（2026•临泉县模拟）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，以BC为斜边在BC右侧作等腰直角三角形BDC，点E、F分别是AB、AC上一点，连接DE，EF，若∠BED＝∠AFE． （1）则∠DEF＝　45°　 ； （2）若点E为AB的中点，则　3　 ． 【答案】（1）45°； （2）3． 【分析】（1）根据△ABC是等腰直角三角形，得出∠A＝45°，结合∠BED+∠DEF＝∠A+∠AFE，∠BED＝∠AFE，即可得出∠DEF＝∠A＝45°． （2）过点E作EM⊥AB交AC于点M，根据△ABC是等腰直角三角形，得出∠ABC＝90°，即BC⊥AB，则EM∥BC，故，根据点E为AB的中点，得出AM＝CM，，再证明AE ＝ EM ＝ BE，，∠EMF＝135°，根据△BDC是等腰直角三角形，得出∠DBC＝45°，BD＝CD，，证明△EMF∽△DBE，得出，得出点F是MC的中点，即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， ∵∠BED+∠DEF＝∠A+∠AFE，∠BED＝∠AFE， ∴∠DEF＝∠A＝45°， 则∠DEF的度数为45°， 故答案为：45°； （2）过点E作EM⊥AB交AC于点M， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即BC⊥AB， ∴EM∥BC， ∴△AEM∽△ABC， ∴（相似三角形对应边成比例）， ∵点E为AB的中点，即AE＝BE， ∴AM＝CM，， ∵∠A＝45°，EM⊥AB， ∴∠EMA＝∠A＝45°， ∴AE ＝ EM ＝ BE，，∠EMF＝135°， ∴， ∵△BDC是等腰直角三角形， ∴∠DBC＝45°，BD＝CD，， ∴，， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBE＝135°， ∴∠DBE＝∠EMF， 又∠BED＝∠AFE， ∴△EMF∽△DBE， ∴（相似三角形对应边成比例），即， ∴， ∴，即点F是MC的中点， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，关键是相关知识的熟练掌握． 25．（2026•岳西县模拟）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH． （1）∠EDH的度数为　45°　 ； （2）若正方形ABCD的边长为4，则点H到DG的距离为　1　 ． 【答案】45°，1． 【分析】（1）结合正方形中∠ADC＝90°和角平分线的定义，通过角的和差关系推导，即可求出∠EDH的度数． （2）连接GE，根据条件先证得Rt△EFG≌Rt△EBG，在Rt△ADG中，利用勾股定理列出关系式，求出AG，BG，DG的长，利用角平分线的定义和性质和等面积法列出关系式，即可求出点H到DG的距离． 【解答】解：（1）由折叠知∠CDE＝∠GDE， ∵DH平分∠ADG， ∴∠ADH＝∠GDH， ∴∠EDH＝∠GDH+∠GDE∠ADC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∴∠EDH＝45°； （2）如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE＝2， 由折叠知CE＝FE＝BE＝2，DC＝DF＝4，∠EFD＝∠C＝90°， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝a，则DG＝4+a，AG＝4﹣a， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE＝2， 由折叠知CE＝FE＝BE＝2，DC＝DF＝4，∠EFD＝∠C＝90°， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝a，则AG＝4﹣a，DG＝4+a， ∴AG2+AD2＝DG2， 即（4﹣a）2+42＝（4+a）2， 解得a＝1， ∴DG＝5，AG＝3， ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， 设点H到DG的距离为x， 根据面积公式得， 解得x＝1， 即点H到DG的距离为1． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $