精品解析：河南开封市新世纪高级中学等豫东名校联考2026届高三下学期二模数学试题卷

高三数学试题卷 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 则． 2. 已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ ） A. 667 B. 668 C. 669 D. 675 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出等差数列的通项公式，再解方程即可； 【详解】解：依题意 由，解得. 故选：D 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心，代入回归方程求解即可. 【详解】因为， 又因为所有回归方程都过样本中心， 所以将点代入回归方程， 得， 解得. 4. 已知，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 【答案】A 【解析】 【分析】先求，根据组合数的性质求，进而可得最值. 【详解】由题意可知：， 且， 可得，其中， 且，根据组合数的性质可知当，即时，取到最大值， 若，所以. 故选：A. 5. 如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选用为基底向量，即可根据向量的线性运算以及数量积的运算律求解. 【详解】设与方向相同的单位向量分别为，则，故，由于，故. 6. 已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的方程，再由直线与圆相切的判断方法列方程，即可求出参数的值. 【详解】由求导得：，则函数在点处的切线斜率为， 又，故切线方程为：， 由题意，圆心到直线的距离为， 解得：. 故选：C. 7. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】说明了的发生与否与的发生与否无关， 即与相互独立，其等价于与相互独立， 而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等差数列的前项和，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，因为是等差数列，且，，所以，，所以，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，，则，所以B选项错误； C选项，，所以，，则，所以C选项正确； D选项，因为，所以是以首项为，公比为4的等比数列，所以，所以D选项正确. 10. 已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. D. 若且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出即可判断A；，利用导数求出的最值即可判断B；令，根据单调性可得，进而推导判断C；作差证明即可判断D． 【详解】解：， 当且仅当即，时取等号，故A错误； 因为且，所以， 设，， 时，的解为，的解为， 则在单调递增，单调递减，故最大值为，则的最大值是，故B正确； 令，，则， ，，所以在区间上单调递增， 又，，即， 即，， 即，故C错误； 由， ，，，， ，即，故D正确． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式得，再解不等式即可；对B，根据基本不等式，易知等号不成立；对C，由代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对D，由，即可得解. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号， ，解得，即，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以，又恒成立， 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知数列中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出数列是等差数列，求出其首项和公差，再利用公式求和即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，首项为6，公差为3， 所以 13. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 14. 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离， 因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为的内角所对的边，且． （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理、辅助角公式进行求解即可； （2）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有， ． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当时，“”成立． 是的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． 16. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作． （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 【答案】（1）0.6827 （2）0.58 （3） 【解析】 【分析】（1）由时，泊松分布近似于正态分布求解； （2）设为配送延迟包裹数，由，根据，，得到，由求解； （3）由，得到，再根据泊松分布的概率公式求解． 【小问1详解】 当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若， 当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，， ． 【小问2详解】 当，时，可以用泊松分布近似二项分布， 即对于，， 设为配送延迟包裹数，则，， ，， ， ， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为： ． 【小问3详解】 由，得， 根据泊松分布的概率公式：，，得． 设（）， 由，知在上为减函数． ，， ，即， 的取值范围为． 17. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 【答案】（1）∵，∴，即， ∴数列是以为首项， 为公比的等比数列 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等式构造数列相邻两项，并求得其比值，即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，即可求得的通项公式； （3）由（2）中的通项公式，通过等比数列的前项和公式求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ∴ 【小问3详解】 . 18. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． （1）求的方程； （2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； （3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 【答案】（1） （2） （3） 设，点关于原点的对称点记为， 此时，， 因为，，所以， 因为，所以，即， 所以，，三点共线，且， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时且，，， 因为，所以， 且， 则，所以， 设直线的倾斜角为，此时，， 所以， 同理可得， 所以， 所以，，成等差数列. 【解析】 【分析】（1）由条件结合双曲线定义列关于的方程，解方程，可得到双曲线方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，消去得到关于的一元二次方程，所以需满足二次项系数不为0，且判别式，因为交点在右支，所以利用韦达定理得到两根之和大于0、两根之积大于0，联立不等式求解的取值范围； （3）设，点关于原点的对称点记为，此时，，由，可得，，三点共线，且可设直线的方程为， 将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得的关系式，设直线的倾斜角为，从而可得，的表达式，利用等差数列的性质可证明. 【小问1详解】 由题可得. 由双曲线定义知，则. 因为，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 联立，所以， 由题知：， 所以，解得或， 即. 【小问3详解】 略 19. 已知函数为无理数且 （1）求在区间的最值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）对于，证明：． 【答案】（1）． （2） （3）由（2）可知在恒成立， 则有在恒成立， 令，则有恒成立， 所以， 又， 则. 【解析】 【分析】（1）通过二次求导，确定在区间的单调性，即可求解； （2）通过讨论，说明使得 不符合题意，得到，再通过放缩，构造函数，通过二次求导确定单调性即可求解； （3）由（2）得到，推出，再结合，即可求证. 【小问1详解】 ，可知， 令，则， 易得当时， ，当时， ， 即在单调递减，在上单调递增， ，则在单调递增， 所以． 【小问2详解】 构造函数， ， 易知 ，若， 则使得在上单调递减，，与题意矛盾， 则， 此时， 令，只需证 在恒成立即可． ， 令，则， 恒成立，即在单调递增， 在单调递增，则恒成立， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题卷 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（ ） A. 667 B. 668 C. 669 D. 675 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 4. 已知，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 5. 如图，平行四边形中，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（    ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等差数列的前项和，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. D. 若且，则 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知数列中，，则___________． 13. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 14. 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为的内角所对的边，且． （1）求； （2）已知是边的中点，求的最大值． 16. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作． （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 17. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 18. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． （1）求的方程； （2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； （3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 19. 已知函数为无理数且 （1）求在区间的最值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）对于，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $