第八章一元二次方程本章巩固训练2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章一元二次方程本章巩固训练 一、单选题 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A．2 B． C．2 D． 2．一元二次方程的二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 4．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 5．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 7．已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 8．2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知方程，下列说法正确的是（   ） ①该方程没有实数根；②是该方程的一个根；③该方程的两个实数根的积为 A．只有① B．只有② C．只有③ D．②③ 10．如图，某校有一块靠墙（墙的长度不限）的空地．为加强劳动教育，增加学生实践机会，学校拟用总长为的篱笆，在空地内围出一块面积为的矩形菜地作为实践基地，设与墙平行的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若m是一元二次方程的一个解，则代数式________． 12．将方程配方成的形式，则______． 13．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 14．若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是________． 15．某小区规划在一块长为20米，宽为12米的矩形空地上修建两条宽度相同的互相垂直的道路，剩余部分种植花草，使种植花草的面积为216平方米．设道路的宽度为x米，则可列方程为_________． 三、解答题 16．解方程： (1) (2) 17．阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：① ③ 或④ ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 18．如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度． 19．已知方程的两个根分别为，， (1)求的值； (2)求的值． 20．暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 21．已知的一条边的长为3，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 22．实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． (1)探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第八章一元二次方程本章巩固训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B D A D A D C 1．D 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、方程 分母含有未知数，不是整式方程，因此不是一元二次方程； B、方程 未知数最高次数为1，是一元一次方程，因此不是一元二次方程； C、方程 含有两个未知数，因此不是一元二次方程； D、方程 只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程． 2．D 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式（），再根据定义确定一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为， 方程可整理为， 一次项系数、常数项分别是，， 故选：D． 3．A 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 4．B 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 5．D 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】选项A：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项C：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D：∵，，，， ∴， 方程有两个相等的实数根，符合题意． 6．A 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 7．D 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得或， ∵三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边满足， 即， ∴不符合三边关系，舍去； 符合要求， ∴三角形的周长为． 8．A 【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得，即. 9．D 【详解】解：原方程为 ，其中 ． 判断①：∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，①说法错误． 判断②：将 代入方程左边，得 方程右边， ∴ 是该方程的一个根，②说法正确． 判断③：将原方程因式分解得 ，解得方程两个根为 ，两根的积为 ， ∴ ③说法正确． 综上，②③正确． 10．C 【分析】设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米，根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设与墙平行的一边长为x米，则与墙垂直的一边长为米， 根据题意，得． 11．2028 【详解】解：m是一元二次方程的一个解， ， ， ． 12．30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 13．且 【分析】利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且． 14． 【分析】设方程两根为直角三角形的两条直角边长，根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合勾股定理即可求出斜边的长． 【详解】解：设的两条直角边长分别为，，斜边长为， 方程的两根是两条直角边的长， 由根与系数的关系可得：，， 由勾股定理得： ． 15． 【分析】将两条互相垂直的道路平移到矩形空地的边缘，剩余种植花草的部分可拼接为一个新的矩形，确定新矩形的长和宽后，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽度为x米，将道路平移后，剩余花草区域为矩形，该矩形的长为米，宽为米， 由矩形面积公式，结合种植花草的面积为平方米，可得方程：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的求解，解题的关键是熟练运用去括号、移项、合并同类项等基本运算步骤； （1）先去括号展开，再移项合并同类项，最后系数化为1求解； （2）先移项将方程化为，再两边同除以2开平方，最后分别求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项合并，得， ， ； （2）解：， 先移项，将方程化为， 再将方程两边同除以2，得， 开平方，得， ． 17．(1)② (2)见解析 【分析】（1）步骤②中，等式两边没有同时加1； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第二步出现错误，原因是右边没有加1， 故答案为：②； （2）解：， 配方得，即， 开方得或， ∴． 18．车道宽度为6米 【分析】设车道宽度为x米，依题意列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：如图 设车道宽度为x米，依题意，得 ， ， 解得（不符合题意，舍去）， 答：车道宽度为6米． 19．(1)5 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）将所求代数式转化为含两根和与两根积的形式，再代入计算求解； （2）先求出的值，再开方即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根分别为，， ∴, ∴； （2）解：由（1）知, ∴， ∴ 20．(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个 (2)这个增长率为 (3)还需3天就可交货完成此订单 【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可； （2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可； （3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个， 根据题意得：， 解得：， ∴（个）． 答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个． （2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得： ， 解得，（舍去）． 答：这个增长率为； （3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则： ， 解得：， 答：还需3天就可交货完成此订单． 21．(1)见解析 (2)，周长为7 ，周长为8 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质分两种情况讨论得出答案． 【详解】（1）解： ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解方程得：，； 是等腰三角形， 或 ①若；则； ，三边为2,2,3,满足三角形三边关系，此时周长为； ②若；则； ，三边为3,3,2，满足三角形三边关系，此时周长为． 22．(1) (2)每件应降价36元 【分析】（1）若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，据此列方程求解即可． （2）设每件应降价y元，则每天可售出件，根据销售额售价总数量列方程求解，由于要回馈顾客并减少库存，降价较多的解即为答案。 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价y元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得． 要尽快减少库存， ， 答：每件应降价36元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $