专题 4.11 三角形全等作辅助线常用方法（方法梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.11 三角形全等作辅助线常用方法（方法梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.题型精析 1 【题型1】连接两点 1 【题型2】作垂线 2 【题型3】延长相交 3 【题型4】作对称线或平行线 5 【题型5】作辅助线构造一线三直角 6 【题型6】倍长中线 8 【题型7】截长补短（1） 9 【题型8】截长补短（2） 10 二.同步检测 12 （一）选择题（共6题） 12 （二）填空题（共12题） 13 （三）解答题（共7题） 16 一.题型精析 【题型1】连接两点 方法：（1）题目中出现等腰三角形、线段相等、对顶三角形时，常用连接公共边或连接顶点与中点构造全等；（2）通过连接辅助线，构造出公共边、相等角或中线，直接利用 SAS、SSS、ASA 等判定全等；（3）借助全等实现线段转化、角转化、面积转化，用于证明相等、求长度或判断面积是否不变。 【例题1】（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，．求证： 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】53．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【变式3】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． （1）证明：； （2）四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【题型2】作垂线 方法（1）构造直角三角形，可用AAS、ASA 证明全等；（2）实现线段、角的等量转移，把分散条件集中；（3）创造公共直角，为全等提供角相等条件。 【例题2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，，D为的中点，交于E，若，的大小是______． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为________．（用含的代数式表示） 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，平分且．有下列结论： ①；②为的中点；③平分；④；⑤到的距离等于的一半．其中正确的结论有___________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． （1）求证：，．（2）试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【题型3】延长相交 方法：（1）构造 “8 字型全等”延长线段相交，形成对顶角，配合已知相等边或角，直接出全等；（2）补全三角形把折线、不规则图形补成完整三角形，方便用判定定理进行证明；（3）转移边与角让原本不在同一组三角形里的线段、角，通过全等 “搬” 到一起。 【例题3】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，，． （1）求证：； （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，平分，于D，连接．若的面积为8，则的面积为______． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【题型4】作对称线或平行线 方法：（1）看到角相等、垂直、要凑边相等，优先截取线段，构造全等（对称思想），把边和角 “搬” 到一起；（2）看到中点、要转移线段，优先作平行线，构造全等，实现线段等量代换； 【例题4】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则____． 【变式2】（2025八年级·福建泉州·竞赛）如图，中，，，，则______度． 【变式3】（25-26八年级上·四川自贡·期中）（1）如图①，在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：． （2）【探究】如图②，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【题型5】作辅助线构造一线三直角 方法：（1）遇到直角、垂直、90° 角条件时，过关键点向同一条直线作垂线，构造一线三直角模型；（2）利用同角的余角相等得出角相等，结合已知边相等证明三角形全等，实现线段与角的转移；（3）通过全等将未知线段转化为已知线段，再利用线段和差或面积公式完成计算与证明。 【例题5】（25-26八年级上·河南信阳·月考）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型； （2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是的中线，，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【变式2】（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，3，1，则四边形的面积为___________． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为_____． 【题型6】倍长中线 方法：（1）看到中点、中线，优先用倍长中线法，延长中线使两段相等，构造全等三角形； （2）通过全等将分散的边、角、线段转移集中，放到同一个三角形中利用三边关系或等腰三角形性质解题； （3）遇中点相关线段和差、角度证明、线段相等问题，均可用倍长造全等实现条件转化与代换。 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，在中，点D是的中点，点E在上，且，若，则的度数为_____． 【变式2】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则_______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的中点，点在线段上．如果，求证：． 【题型7】截长补短（1） 方法：（1）当题目出现线段和差关系，或角平分线条件时，采用截长或补短作辅助线；（2）在较长线段上截取一段等于已知短线段，连接相应线段，构造全等三角形，实现线段等量代换；（3）通过全等将分散的线段关系集中，把和差证明转化为线段相等证明，完成推导。 【例题7】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，，P为上任意一点（不与点A，D重合）．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为______． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在Rt中，，，D为AB右侧一点，且，，，则的面积为________． 【变式3】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，是角平分线，且，交于点． （1）求证：；（2）若，求证：． 【题型8】截长补短（2） 方法：（1）当题目出现线段和差关系、对角互补或等边 + 角平分线条件时，采用补短法作辅助线；（2）延长短线段，使延长部分等于另一短线段，构造全等三角形，实现线段与角的转移；（3）通过两次全等，将分散的线段整合，把证明线段和转化为证明线段相等，完成结论推导。 【例题8】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）（1）如图1，四边形中，，，若连接，则平分．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． （2）借助上一问的尝试，继续探究：如图2所示，在五边形中，，，，连接，平分吗？请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知在四边形中，，． （1）如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； （2）已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·全国·假期作业）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 二.同步检测 （一）选择题（共6题） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在的右侧以为边构造等腰，其中为，在的延长线上取一点E，使．若，且四边形的面积为8，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2.（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C．9 D． 3.（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，是的角平分线， ，则_______； __________ 5.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，四边形中，，，，则的面积为___________． 6.（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． （二）填空题（共12题） 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，点是的中点，点，分别为，边上的点，且，连接，则的度数为__． 8．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）如图，若，则______． 9．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，点C在线段上，，且，则______． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，是钝角，，对角线平分．求证：． 11.（25-26八年级上·北京·月考）如图，在中，，，．，，则的面积是___________． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为________． 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 14.（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 15．（25-26八年级上·北京·月考）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 16.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为______． 17.（2025八年级·福建泉州·竞赛）如图，四边形中，平分，若，，．则______． 18．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为______． （三）解答题（共7题） 19.（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 20．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，D为外一点，，．求证：． 21．（25-26八年级上·上海·月考）已知，如图：中为的中线，是的中线． （1）如果，求证．（2）如果，求证：． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，于点，为上一点，且满足，．试探究和的关系，并说明理由． 23.（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 24.（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是 ． （2）边上的中线的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 25．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角．如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，以下三个小组给出了解决方法： 第1小组 第2小组 第3小组 思路 与 辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形                               请你选择其中一个小组的思路与图形，完整写出证明． 【知识应用】 （2）在△中，已知：，用“”连接、、应为　　 ； 【问题拓展】 （3）第4小组提出想法：大角对大边，即在一个三角形中，如果角大，那么角所对的边大。你认为这个小组的想法正确吗？如果正确，请补充图形完成证明（包含已知和求证，并写出完整证明过程）。如果不正确，请举出反例。 25．（25-26八年级上·北京·期中）已知：在中，、是的两条角平分线，、交于点F． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.11 三角形全等作辅助线常用方法（方法梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.题型精析 1 【题型1】连接两点 1 【题型2】作垂线 6 【题型3】延长相交 11 【题型4】作对称线或平行线 17 【题型5】作辅助线构造一线三直角 22 【题型6】倍长中线 27 【题型7】截长补短（1） 33 【题型8】截长补短（2） 37 二.同步检测 45 （一）选择题（共6题） 45 （二）填空题（共12题） 53 （三）解答题（共7题） 65 一.题型精析 【题型1】连接两点 方法：（1）题目中出现等腰三角形、线段相等、对顶三角形时，常用连接公共边或连接顶点与中点构造全等；（2）通过连接辅助线，构造出公共边、相等角或中线，直接利用 SAS、SSS、ASA 等判定全等；（3）借助全等实现线段转化、角转化、面积转化，用于证明相等、求长度或判断面积是否不变。 【例题1】（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，．求证： 【答案】见分析 解：证明：法一： 连接 在和中 法二： 连接 在和中 ， 即. 法三： 连接，设交于点 在和中 在和中 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，与交于点，添加下列条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由已知可得是公共角，，结合各选项的条件即可作出判断． 解：∵， A. 添加条件，根据可以证明，该选项不符合题意 B. 添加条件    ，根据可以证明，该选项不符合题意， C. 添加条件，不可以证明，该选项符合题意， D. 添加条件，连接， ∵， ∴， ∴，再根据可以证明，该选项不符合题意， 故选：C． 【变式2】53．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【分析】连接，根据可证，利用全等三角形的性质可知，再根据的周长和的周长，可得，即可得到的长度． 解：如下图所示，连接， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． （1）证明：； （2）四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）解：连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 【题型2】作垂线 方法（1）构造直角三角形，可用AAS、ASA 证明全等；（2）实现线段、角的等量转移，把分散条件集中；（3）创造公共直角，为全等提供角相等条件。 【例题2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，，D为的中点，交于E，若，的大小是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形内角和定理，作于M，交于，证明与，进而通过角之间的转化，最终可得出结论． 解：如图，过点A作于M，交于， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，三线合一，画出辅助线以及熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解题关键．作于，先根据三角形内角和定理，得出，再得出，进而得出即可求解． 解：如图，作于， 在中， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，平分且．有下列结论： ①；②为的中点；③平分；④；⑤到的距离等于的一半．其中正确的结论有___________． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的性质和判定．作于，证明和，即可得到，判断①；然后根据判断②⑤；根据判断③，根据全等三角形得到判断④解答即可． 解：作于， 如图，则， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，， ，即， 故①正确； ∴， ∴为的中点 故②正确； ，故⑤正确； ∵， 平分，故③正确； ， ， ， 故④正确． 故答案为： ①②③④⑤． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． （1）求证：，． （2）试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 解：（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． （2）解：．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． 【题型3】延长相交 方法：（1）构造 “8 字型全等”延长线段相交，形成对顶角，配合已知相等边或角，直接出全等；（2）补全三角形把折线、不规则图形补成完整三角形，方便用判定定理进行证明；（3）转移边与角让原本不在同一组三角形里的线段、角，通过全等 “搬” 到一起。 【例题3】（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知，，． （1）求证：； （2）请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用证明，即可得到； （2）延长交于点M，交于点N，证明即可得到． 解：（1）证明：， ， 即， 在和中，， ， ； （2）解：．理由如下： 如图，延长交于点M，交于点N． ， ． 由（1）得． 又， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 解：如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，平分，于D，连接．若的面积为8，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长交于点，证明，得到，进而得到． 解：延长交于点， ∵平分，于D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），，；（2）的度数为；（3），证明过程见分析． 【分析】（1）由已知可得，证明，即可证得结论； （2）延长，交于点，由已知可得，可得，由三角形外角的性质，可得的度数； （3）延长、，交于点，证明，可得，证明，可得，即可得和的数量关系． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，． （2）解：延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）． 证明：延长、，交于点， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，对顶角相等，等角的余角相等． 【题型4】作对称线或平行线 方法：（1）看到角相等、垂直、要凑边相等，优先截取线段，构造全等（对称思想），把边和角 “搬” 到一起；（2）看到中点、要转移线段，优先作平行线，构造全等，实现线段等量代换； 【例题4】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】在上截取 ，连接 ，通过证明 得到，，再结合已知条件推出 ，利用等边对等角和外角性质即可求解 解：如图，在 上截取，连接 ， ∵， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴，， ∵，且 ， ∴， 又 ∵， ∴，即 ， ∴， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， ∴． 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．如图，过点作交的延长线于点，由“”可证，可得，可得，可得，即可求解． 解：如图，过点作交的延长线于点， ，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【变式2】（2025八年级·福建泉州·竞赛）如图，中，，，，则______度． 【答案】 【分析】在上截取，连接，证明，对应边相等，对应角相等，结合已知可得，从而可得，由三角形外角的性质可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 解：在上截取，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·四川自贡·期中）（1）如图①，在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：． （2）【探究】如图②，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定与性质、平行线的性质； （1）过点作交于点，得出，进而结合，得出再根据平行线的性质得出，，再根据判定得出，即可得证； （2）分别延长，，交于点，同理可得，由此得到，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，进而得出结论． 解：（1）证明：如图，过点作交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：， 证明如下： 如图所示，分别延长，，交于点， ， 与（1）同理可得，， ，， 又， ， ， ． 【题型5】作辅助线构造一线三直角 方法：（1）遇到直角、垂直、90° 角条件时，过关键点向同一条直线作垂线，构造一线三直角模型；（2）利用同角的余角相等得出角相等，结合已知边相等证明三角形全等，实现线段与角的转移；（3）通过全等将未知线段转化为已知线段，再利用线段和差或面积公式完成计算与证明。 【例题5】（25-26八年级上·河南信阳·月考）（1）发现：如图1，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到进而得到____________，_______________．我们把这个数学模型称为“字模型”或“一线三等角”模型； （2）应用：如图2，在中，是上一点，，，，请求出的面积． 【答案】（1）；；（2）9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）过点C作交延长线于E，过点D作于F，同理证明，得到；由三线合一定理可得，据此可得答案． 解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）如图所示，过点C作交延长线于E，过点D作于F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是的中线，，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作，交的延长线于点H，证明，得到，则；再证明，得到，则可证明． 解：如图所示，过点A作，交的延长线于点H， ∵，， ∴； ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏常州·月考）如图，且，且，点、、共线，并且点、、到直线的距离分别为5，3，1，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 分别过点作的垂线，分别交直线于点，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案． 解：分别过点作的垂线，分别交直线于点， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 同理可得， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为_____． 【答案】1 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解． 解：过点A作交的延长线于点F，      ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ∵，， ， ， 故答案为：1． 【题型6】倍长中线 方法：（1）看到中点、中线，优先用倍长中线法，延长中线使两段相等，构造全等三角形； （2）通过全等将分散的边、角、线段转移集中，放到同一个三角形中利用三边关系或等腰三角形性质解题； （3）遇中点相关线段和差、角度证明、线段相等问题，均可用倍长造全等实现条件转化与代换。 【例题6】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）根据，，推出和全等即可． （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． （3）延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 解：（1）是中线， ， 在和中， ； 故答案为：B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ； 故答案为：A； （3）证明：如图2，延长到M，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，在中，点D是的中点，点E在上，且，若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角等知识，熟练掌握倍长中线构造全等三角形是关键．延长到F，使得，连接，证明，则，，由得到，由等边对等角即可得到的度数． 解：延长到F，使得，连接，如图， ∵点D为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，在中，点D为的中点，的边过点C，且，，平分，，，则_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据，得出，再根据求出结果即可． 解：延长，，交于点G，如图所示： ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的中点，点在线段上．如果，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键； 通过做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边和对应角相等，再结合已知条件进行等量代换从而证明结论． 解：证明：如图，延长至点，使，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ，． ， ， ∴在中，， ． 【题型7】截长补短（1） 方法：（1）当题目出现线段和差关系，或角平分线条件时，采用截长或补短作辅助线；（2）在较长线段上截取一段等于已知短线段，连接相应线段，构造全等三角形，实现线段等量代换；（3）通过全等将分散的线段关系集中，把和差证明转化为线段相等证明，完成推导。 【例题7】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，，P为上任意一点（不与点A，D重合）．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查截长法、全等三角形的判定，准确构造辅助线是解题的关键． 首先在上构造，连接，进而即可证明得到，即可证明． 解：证明：如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，在上截取一点，使得，连接，证明，所以，故有， 然后通过等边对等角得， 最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，在上截取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在Rt中，，，D为AB右侧一点，且，，，则的面积为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键； 在上截取一点E，使得，连接，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：在上截取一点E，使得，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，是角平分线，且，交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了角平分线定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据角平分线的定义得 ，，再结合三角形内角和定理得，进而得出，最后根据可得答案； （2）在边上截取，连接，先根据“边角边”证明，即可得，再根据“角边角”证明，然后根据得出答案． 解：（1）解：证明：，是角平分线， ，， ， ， ； （2）解：在边上截取，连接， 当时，， ， 平分， ． ，， ， ， ． 平分， ， ，，， ， ， ． 【题型8】截长补短（2） 方法：（1）当题目出现线段和差关系、对角互补或等边 + 角平分线条件时，采用补短法作辅助线；（2）延长短线段，使延长部分等于另一短线段，构造全等三角形，实现线段与角的转移；（3）通过两次全等，将分散的线段整合，把证明线段和转化为证明线段相等，完成结论推导。 【例题8】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）根据，推出，证明即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； ∴； （2）解：∵， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）（1）如图1，四边形中，，，若连接，则平分．某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． （2）借助上一问的尝试，继续探究：如图2所示，在五边形中，，，，连接，平分吗？请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）平分，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）延长到点，使得，连接，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求证； （2）延长，使得，连接，由题意易得，则有，然后通过证明，进而问题可求解． 解：（1）证明：延长到点，使得，连接，如图1所示， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：平分，理由如下： 延长，使得，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知在四边形中，，． （1）如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； （2）已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）（ⅰ）证明见分析；（ⅱ）（ⅰ）中的结论不成立，，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）先证明，得到，，进而推出，即可证明； （2）（ⅰ）延长至，使，连接．类比（1）同理先证明，得到，，进而推出，再证明，最后结合全等三角形性质求解，即可解题； （ⅱ）延长至，使，连接，类比（ⅰ）的证明过程，先证明，再证明，并结合全等三角形性质进行分析，即可解题． 解：（1）证明：， ， ，， ， ，． ， ， ， . 又， ； （2）（ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接． ，， . ，， ， ，， ， ， ， . 又， ， ； （ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，， 理由：如图，延长至，使，连接． ，， ， ，， ， ，， ， ， . ， ， ， ， ． ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·假期作业）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 _____； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造辅助线． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，再判定，可得出． 解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴． 故答案为：； （2）成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二.同步检测 （一）选择题（共6题） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在的右侧以为边构造等腰，其中为，在的延长线上取一点E，使．若，且四边形的面积为8，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 连接，证明，得出相等的边和角，再利用三角形的面积公式列出方程即可求解． 解：如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，且为， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积与四边形的面积相等， ∴， 即， 解得，（负值已舍） 故选：B． 2.（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作交于点，根据“”证明，，得到，，计算即可求解． 解：如图，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ， 在和中， ， （） ， ． 故选：B． 3.（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质．先通过角平分线的定义及直角三角形两锐角互余得出的度数，再过点M作交于点E，证明得到，，由M是的中点得出，再证明，得出，，最终经过计算可求得结果． 解：∵平分，且， ∴， 又∵， ∴， 如图，过点M作交于点E， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4.（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，是的角平分线， ，则_______； __________ 【答案】 /度 4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，正确作出辅助线，证明是解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出的度数；在上找到F使得，则，证明，得到，再证明，即可得到． ，易证∠BOE=∠COD=60°，即可证明△BOE≌△BOF，可得∠BOF=∠BOE=60°，即可证明△OCF≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解决问题. 解：∵，是的角平分线， ∴ ∴， ∴， 在上找到F使得，则， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：， 5.（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，四边形中，，，，则的面积为___________． 【答案】18 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：过点D作，交的延长线于点H，再证明，根据全等三角形的性质得到，再运用三角形的面积公式求解即可． 解：如图：过点D作，交的延长线于点H， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：18． 6.（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，在边的上方取一点D，使，连接，在线段上取一点E，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，证明，延长至点，使，连接，在四边形中，，设，得到，即可得到答案． 解：如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， 延长至点，使，连接， ∵，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （二）填空题（共12题） 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，点是的中点，点，分别为，边上的点，且，连接，则的度数为__． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，连接，根据等腰三角形的性质，并结合“角边角”证明，可得，即可解答 解：如图，连接， 中，，，点是的中点， ，，， 而， ， 在和中， ， ， ， 而， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）如图，若，则______． 【答案】25 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，根据证，根据全等得出，根据三角形的外角性质得出，求出，代入求出即可． 解：过D作射线， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 9．（24-25七年级下·四川达州·月考）如图，点C在线段上，，且，则______． 【答案】/39度 【分析】题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的应用．连接，证明，，可得，从而得到，同理，从而得到，即可求解． 解：连接， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 同理，， 又∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，是钝角，，对角线平分．求证：． 【答案】见分析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，理解题意，作出辅助线是解题关键． 在上截取，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，，再结合各角之间的关系及等量代换即可证明． 解：证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ． 11.（25-26八年级上·北京·月考）如图，在中，，，．，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，得出，即可求解． 解：过点作于点E，如下图： 中，，，， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长交于点F，由且平分，证得，可得，再根据，，，证得，进一步证明，则可得，从而得到． 解：如图，延长交于点F， 且平分， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：3． 14.（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长交的延长线于．等角对等边可证明，进而证明 即可得到，设，进而列出方程，即可解决问题． 解：如图，延长交的延长线于， 平分， ， ， ， ， ，设，则， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·北京·月考）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为______°． 【答案】31 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：31． 16.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，连接，证明即可得到答案． 解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 17.（2025八年级·福建泉州·竞赛）如图，四边形中，平分，若，，．则______． 【答案】 【分析】在上截取，连接，由角平分线的定义，结合已知可证，对应边相等，对应角相等，由等角的补角相等可得，根据等角对等边，等量代换，即可得． 解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，等角的补角相等，等角对等边． 18．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 解：延长到点，使，连接， 在中，为边的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∵，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （三）解答题（共7题） 19.（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，． 求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，连接、，证明得出，进而证明，即可得证． 解：证明：如图，连接、． 在和中 在和中 20．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，D为外一点，，．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，过A作于点E，则，，，进而证得，得到，据此可证明结论． 解：证明：过A作于点E，如图所示， ∵， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21．（25-26八年级上·上海·月考）已知，如图：中为的中线，是的中线． （1）如果，求证． （2）如果，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形的等边对等角及全等三角形的对应边相等进行推导． （1）利用、得等腰三角形，结合三角形内角和证； （2）延长构造全等三角形，利用证全等得对应边相等． 解：（1）证明：， ； ， ； ， ， 即， . （2）证明：延长至，使，连接． 是的中线， ； 在和中， ， ， ，； 由，得；, ∴, ，， ； 在和中，， ， ． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，于点，为上一点，且满足，．试探究和的关系，并说明理由． 【答案】，，理由见分析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 解：，，理由如下： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵在和中， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23.（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见分析；（2）见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 24.（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是 ． （2）边上的中线的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【答案】【问题情境】（1）；（2）；【初步运用】：见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，等腰三角形的判定，倍长中线得到三角形全等是解题的关键． 【问题情境】（1）由作图及已知得，即可得到全等的依据； （2）由（1）及三角形三边关系即可求解； 【初步运用】延长到H，使，连接，证明，则有，结合已知得，即可证明结论成立． 解：（1）由作图知； ∵边上的中线为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：中，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， 即， ∴， ∴边上的中线的取值范围是：， 故答案为：； 【初步运用】证明：延长到H，使，连接，如图2所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 25．（25-26八年级上·福建福州·期中）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角．如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，以下三个小组给出了解决方法： 第1小组 第2小组 第3小组 思路 与 辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形                               请你选择其中一个小组的思路与图形，完整写出证明． 【知识应用】 （2）在△中，已知：，用“”连接、、应为　　 ； 【问题拓展】 （3）第4小组提出想法：大角对大边，即在一个三角形中，如果角大，那么角所对的边大。你认为这个小组的想法正确吗？如果正确，请补充图形完成证明（包含已知和求证，并写出完整证明过程）。如果不正确，请举出反例。 【答案】（1）见分析；（2） ；（3）见分析 【分析】此题考查了等角对等边，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 选择第1小组的思路：作的平分线，交于D，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择第2小组的思路：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择第3小组的思路：作于D，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据大边对大角求解即可； （3）在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D，首先由等角对等边得到，然后等量代换得到，然后根据三角形三边关系得到，进而得到． 解：（1）（方法一）我选择第 1 小组的思路 证明：作的平分线，交于，在上截取，连接 平分， ， 在△和△中， ， ， ， 是△的外角， ， ， （方法二）我选择第 2 小组的思路 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， 在△和△中， ， ， ， 是△的外角， ， ； （方法三）我选择第 3 小组的思路 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2） ∵在中，， ∴； （3）已知：如图，在中，， 求证：， 证明：在内部，以为顶点，以为一边作，另一边与交于点， ， ， ， ， 在△中，， . 25．（25-26八年级上·北京·期中）已知：在中，、是的两条角平分线，、交于点F． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），见详解 【分析】本题考查了三角形的角平分线定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．证三角形全等是解决本题的关键. （1）先根据三角形内角和求出，再根据三角形角平分线求出，最后根据三角形内角和求得即可； （2）在线段上取一点，使，先求出，再证，，得出，最后根据即可得证． 解：（1）解：， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． 在线段上取一点，使， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $