专题 4.7 三角形全等经典模型——一线三等角（模型梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过表格系统梳理“一线三等角”模型知识体系，按同侧/异侧一线三直角、同侧/异侧一线三等角分类呈现基本图形、结论及证明思路，清晰构建全等判定与模型应用的内在联系。 讲义亮点是分层题型设计，如“异侧一线三直角”结合秋千高度测量情境，培养几何直观与应用意识。例题配变式题，基础题巩固判定方法，综合题提升推理能力，助力不同学生掌握模型应用，教师可实施分层教学，提升复习效率。

专题 4.7 三角形全等经典模型——一线三等角（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二） 一线三等角常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型1】同侧一线三直角模型 2 【题型2】异侧一线三直角模型 6 【题型3】同侧一线三等角模型 10 【题型4】异侧一线三等角模型 14 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 18 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 25 三.同步检测 32 （一）选择题（共五题，每小题5分，合计20分） 32 （二）填空题（共五题，每小题5分，合计20分） 37 （三）解答题（共五题，合计60分） 41 一.模型梳理 （一）定义： 三个相等的角的顶点在同一条直线上，角的两边分别与直线相交，构成两个三角形，若有一组对应边相等，则这两个三角形全等。这样的模型我们称为“一线三等角模型” （2） 一线三等角常见的模型及证法 类型 基本图形 结论 同侧一线三直角 结论： 证明思路： 异侧一线三直角 结论： 证明思路： 同侧一线三等角 结论： 证明思路; 异侧一线三等角 结论： 证明思路; 二.题型精析 【题型1】同侧一线三直角模型 【例题1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【答案】；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，找条件证明是解题的关键．证明。得到，即可得到结论． 解：， ， （直角三角形两锐角互余）， ， ， （同角的余角相等）， 在和中， ， ， ， （全等三角形对应边相等） ． 故答案为：；直角三角形两锐角互余；；同角的余角相等；；全等三角形对应边相等． 【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理构造全等三角形是解题的关键． 根据题意过点作延长线与点，则，可证，得到，由，即可求解． 解：如图所示，过点作延长线与点，则， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若要求的面积，则需要添加的条件是的长度， 故选： ． 【变式2】（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为__________． 【答案】48 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：48． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，等腰中，，，点A在线段上，． （1）求证； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据，，得出，再根据即可证明； （2）由（1）可知，，则，再根据的面积求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 【题型2】异侧一线三直角模型 【例题2】（24-25八年级上·广东广州·开学考试）完成下面的解答过程并在括号内填上推理的依据． 如图，在中，，交于点E，于点D，．若，求的长．    解：∵， ∴①_____________ ∵， ∴， ∴在中，， ∴②_____________， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（④_____________）， ∴， ∴， ∴． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 按照步骤作答即可． 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再结合已知条件，可证明，得到，，从而可求出，即得答案． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·北京·月考）如图，在中，，，．，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，得出，即可求解． 解：过点作于点E，如下图： 中，，，， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【答案】爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键. 解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴ ∵， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的. 【题型3】同侧一线三等角模型 【例题3】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【答案】9 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是证明三角形全等．证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：∵， ， ∵，， ， ∵， ∴， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为__________．      【答案】10 【分析】先证明，再证明，即可作答． 解：， 又， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知点是中点，，，若，，求的长． 【答案】7 【分析】先证明△ACH≌△BCH得到，再证明≌，得到AF=CE=4，CF=BE=3，由此求解即可． 解：∵CH⊥AB ∴， ∵H是AB的中点， ∴AH=BH 在△ACH和△BCH中 ， ∴△ACH≌△BCH（SAS） ∴， ∵，，∠F=∠ACB=∠E， ∴∠FAC=∠BCE， ∴≌， ∴AF=CE=4，CF=BE=3， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式3】（20-21八年级上·陕西商洛·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时， ； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，，见分析；（3）存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 【题型4】异侧一线三等角模型 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）如图1，若，问，成立吗？说明理由． （2）如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【答案】（1）成立，理由见分析；（2）成立，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质； （1）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 解：（1）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ， （）， ，， ． （2）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ． ， ， ， （）， ，， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【答案】9 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可； （3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案． 解：（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 【例题5】（24-25八年级上·广东江门·月考）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． （1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】（1），证明见分析；（2），，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 解：（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点拨】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 【变式1】（24-25八年级上·云南文山·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2），见分析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 解：（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3）21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 解：（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 【例题6】（24-25八年级上·贵州铜仁·月考）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 解：（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论成立，理由见分析；（3）证明见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 解：（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中） 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）见分析；（3），理由见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共五题，每小题5分，合计20分） 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，，，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由判定，再由全等三角形的性质，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 解：A.，，，，，在和中，（），结论正确，故不符合题意； B.，，结论正确，故不符合题意； C.由选项A得，结论错误，故符合题意； D.，，，结论正确，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，，于点，且，交的延长线于点，则的面积为（   ） A．18 B．9 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据垂直的定义得到，，进而得到，证明，得到，根据三角形面积公式计算即可． 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，垂直定义，同角的余角相等，由，，得，通过同角的余角相等得，证明，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．过点作于点，依次证明，，，据此计算即可得到结论． 解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（   ） A．8 B．7 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可解答，熟知一线三等角模型是解题的关键． 解：， ， ， ， ， ， 故选：D． （二）填空题（共五题，每小题5分，合计20分） 6．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝2，BF＝4，则EF＝___． 【答案】6 【分析】先证∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACE＝∠CBF，由AAS证得△AEC≌△CFB，得出EC＝BF＝4，即可得出结果.. 解：∵AE⊥EF、BF⊥EF， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°， ∴∠BCF+∠CBF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠ACE＝∠CBF， 在△AEC和△CFB中， ， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴EC＝BF＝4，AE=CF=2 ∴EF＝EC+CF＝4+2＝6， 故答案为：6． 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定. 7．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，于E，于D， ，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据垂线的性质证得，进而证得，由全等三角形的性质证得、，据此计算的长即可． 解：、，、 、 在和中 、 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，，，于D，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据证明，可得，再结合得出答案． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：6 （三）解答题（共五题，合计60分） 11．（25-26八年级上·重庆·期中）小明和爷爷、奶奶在公园里荡秋千，开始时小明坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．如图，小明从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，奶奶在距地面1米高（即）的处接住他后用力一推，爷爷在处接住他．已知奶奶与爷爷到的水平距离，，，，，，设的延长线与地面交于． （1）与全等吗？请说明理由． （2）当爷爷在处接住小明时，求小明距离地面的高． 【答案】（1）全等，理由见分析；（2）即小明距离地面有高 【分析】本题考查了全等三角形的应用，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． （1）利用，证得与全等即可； （2）根据全等三角形性质可求出和的值，最后根据，即可求出问题答案． 解：（1）解：与全等，理由如下： ，， ， ， 又， ， 在与中， ； （2）解：， ，， 即小明距离地面有高． 12．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，． （1）求证：； 证明过程： ，， ，， ______（______） 在和中， （______） （2）若，，求的长． 【答案】（1），等角的余角相等，，；（2）6 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后利用即可得出结论，据此补全证明过程即可； （2）由（1）可得，利用全等三角形的性质可得，然后根据即可求出的长． 解：（1）证明：∵， ， （等角的余角相等）， 在和中， ， ， 故答案为：，等角的余角相等，，； （2）解：由（1）可得：， ， ， ∴的长为6． 13．（25-26八年级上·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【答案】（1）；（2）见分析；（3），证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 解：（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）直线经过的顶点C，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】 若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 （3）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出和之间数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）证明，则； （2）当时，，证明，则； （3）证明，则． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下： 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． （1）如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； （2）如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由如下见分析；（3），理由如下见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.7 三角形全等经典模型——一线三等角（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二） 一线三等角常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型1】同侧一线三直角模型 2 【题型2】异侧一线三直角模型 3 【题型3】同侧一线三等角模型 5 【题型4】异侧一线三等角模型 6 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 7 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 10 三.同步检测 11 （一）选择题（共五题，每小题5分，合计20分） 11 （二）填空题（共五题，每小题5分，合计20分） 13 （三）解答题（共五题，合计60分） 14 一.模型梳理 （一）定义： 三个相等的角的顶点在同一条直线上，角的两边分别与直线相交，构成两个三角形，若有一组对应边相等，则这两个三角形全等。这样的模型我们称为“一线三等角模型” （2） 一线三等角常见的模型及证法 类型 基本图形 结论 同侧一线三直角 结论： 证明思路： 异侧一线三直角 结论： 证明思路： 同侧一线三等角 结论： 证明思路; 异侧一线三等角 结论： 证明思路; 二.题型精析 【题型1】同侧一线三直角模型 【例题1】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）请完成下述说理过程，已知：如图，在中，，直线m经过点A，，垂足分别为点D，E，试说明． 解：， ， _______（______________）， ， ， _______（______________）， 在和中， ， ， ， （______________） （______________） ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【变式2】（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为__________． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，等腰中，，，点A在线段上，． （1）求证； （2）若，求的面积． 【题型2】异侧一线三直角模型 【例题2】（24-25八年级上·广东广州·开学考试）完成下面的解答过程并在括号内填上推理的依据． 如图，在中，，交于点E，于点D，．若，求的长．    解：∵， ∴①_____________ ∵， ∴， ∴在中，， ∴②_____________， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（④_____________）， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·月考）如图，在中，，，．，，则的面积是___________． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【题型3】同侧一线三等角模型 【例题3】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，P为上一点，以点P为顶点作，交于D，交于E，若，，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为__________．      【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知点是中点，，，若，，求的长． 【变式3】（20-21八年级上·陕西商洛·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时， ； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【题型4】异侧一线三等角模型 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）如图1，若，问，成立吗？说明理由． （2）如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 【例题5】（24-25八年级上·广东江门·月考）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． （1）当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【变式1】（24-25八年级上·云南文山·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【变式2】（24-25八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 【例题6】（24-25八年级上·贵州铜仁·月考）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中） 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 三.同步检测 （一）选择题（共五题，每小题5分，合计20分） 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知，，，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，，于点，且，交的延长线于点，则的面积为（   ） A．18 B．9 C．6 D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（   ） A．8 B．7 C．3 D．4 （二）填空题（共五题，每小题5分，合计20分） 6．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝2，BF＝4，则EF＝___． 7．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，，于E，于D， ，，则的长为________． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，，，于D，，，则________． 9．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 10．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． （三）解答题（共五题，合计60分） 11．（25-26八年级上·重庆·期中）小明和爷爷、奶奶在公园里荡秋千，开始时小明坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．如图，小明从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，奶奶在距地面1米高（即）的处接住他后用力一推，爷爷在处接住他．已知奶奶与爷爷到的水平距离，，，，，，设的延长线与地面交于． （1）与全等吗？请说明理由． （2）当爷爷在处接住小明时，求小明距离地面的高． 12．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，． （1）求证：； 证明过程： ，， ，， ______（______） 在和中， （______） （2）若，，求的长． 13．（25-26八年级上·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）直线经过的顶点C，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】 若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，求证：； （2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】 （3）如图3，若直线经过的外部，，请直接写出和之间数量关系． 15．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． （1）如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； （2）如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $