专题 4.10 三角形全等经典模型——截长补短（模型梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.10 三角形全等经典模型——截长补短（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本模型示例——截长法 1 2、基本模型示例——补短法 2 二.基本模型题型精析 3 【题型1】角平分线截长补短模型 3 【题型2】直角三角形截长补短模型 7 【题型3】截长补短综合模型 13 三.同步检测 23 （一）选择题（3题） 23 （二）填空题（3题） 26 （三）解答题（5题） 30 一.模型梳理 （一）定义： “截长补短”实际上包括两层含义：“截长法”与“补短法”，所谓“截长法”就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短法”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系，有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 （二）常见的模型及证法 1、基本模型示例——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 证明 在△MBE中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 2、基本模型示例——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 证明 在△ABC中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMG和△AMB中， ∵ ∴△AMG≌△AMB（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 二.基本模型题型精析 【题型1】角平分线截长补短模型 【例题1】（24-25八年级上·湖北孝感·月考）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 解：证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案． 解：如图，在上截取 连接 平分 故选： 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【变式3】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）度；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 解：（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 【题型2】直角三角形截长补短模型 【例题2】（24-25八年级上·河南漯河·月考）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 解：（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：． 【答案】见分析 【分析】在线段上取点，使得，连接，通过证明可得，即，可推出，再根据，即可得证． 解：证明：如图，在线段上取点，使得，连接， ， ，，， 在中，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度． 解：在AB上取一点G，使AG＝AF． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝GE， ∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值， 故当C、E、G三点共线时，符合要求， 此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值， 此时，， ∴CH==， 即：CE+EF的最小值为， 故选：D． 【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 【变式3】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， （1）线段与有怎样的位置关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由见分析；（2）5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 解：（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型3】截长补短综合模型 【例题3】（24-25八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见分析；（2）①AC   ②DF，见分析；（3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 解：（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接． （1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 【答案】（1），证明见详解；（2）点F在线段的延长线上时：；点F在射线上：，图见详解 【分析】（1）由“”可证，可得，可得结论； （2），分类讨论：①点F在线段的延长线上时，由（1）可知，，，由“”可证，可得，即可求解；②点F在射线上，画出图形3，结论：． 解：（1）解：．理由如下： ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分类讨论： ①如图，点F在线段的延长线上时，补全图形如图2所示； 理由如下：延长到点G，使．    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ②如图3，若点F在射线上时，在取点，使得    由（1）可知：， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 【点拨】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． （1）（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （2）如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． （3）如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 解：（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． （1）如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； （2）如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】（1），见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 解：（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 三.同步检测 （一）选择题（3题） 1．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数． 解：如图，在AC上截取AE=AN， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， 在△AME与△AMN中， ， ∴△AME≌△AMN（SAS）， ∴ME=MN． ∴BM+MN=BM+ME， 当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小， ∴MN⊥AB ∵∠BAC=68° ∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°， ∴∠BMN=180°-112°=68°． 故选：B． 【点拨】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，利用垂线段最短解决问题． 3．（24-25八年级上·广东广州·月考）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可． 解：在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE， 又∠B=2∠ADB ∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB， ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB， ∴∠DEC =∠EDC， ∴CD=CE， ∵，， ∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11． 故选：C． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． （二）填空题（3题） 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 【答案】20° 【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果． 解：如图，延长至点E使，连接． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则．在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （三）解答题（5题） 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 【答案】（1）证明见分析；（2）2.5；（3）100°． 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数， （2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案； （3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得． 解：（1）、分别是与的角平分线， ， ， ， （2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD， 由（1）得， ， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴， ∴， ∴， ∴ 在与中， ， ， ， ， ； ∵，， ∴ （3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 【点拨】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 8．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见分析，（2），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 解：（1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 ［方法运用］ （2）解：，理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 9.（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． （1）如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； （2）如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】（1），见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 解：（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 10.（24-25八年级上·北京西城·期末）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】（1），证明见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 解：（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∵平分 ∴，   ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分． 【点拨】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 11．（25-26八年级上·广西钦州·月考）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． （1）如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. （2）如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 解：（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点拨】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.10 三角形全等经典模型——截长补短（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本模型示例——截长法 1 2、基本模型示例——补短法 2 二.基本模型题型精析 3 【题型1】角平分线截长补短模型 3 【题型2】直角三角形截长补短模型 4 【题型3】截长补短综合模型 5 三.同步检测 7 （一）选择题（3题） 7 （二）填空题（3题） 8 （三）解答题（5题） 8 一.模型梳理 （一）定义： “截长补短”实际上包括两层含义：“截长法”与“补短法”，所谓“截长法”就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短法”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系，有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 （二）常见的模型及证法 1、基本模型示例——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 证明 在△MBE中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 2、基本模型示例——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 证明 在△ABC中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMG和△AMB中， ∵ ∴△AMG≌△AMB（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 二.基本模型题型精析 【题型1】角平分线截长补短模型 【例题1】（24-25八年级上·湖北孝感·月考）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则____________°． 【变式3】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【题型2】直角三角形截长补短模型 【例题2】（24-25八年级上·河南漯河·月考）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且，证明：． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式3】（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， （1）线段与有怎样的位置关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【题型3】截长补短综合模型 【例题3】（24-25八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·北京海淀·期中）在等腰中，，点D是边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接，作等腰，使，，点D，E在直线两旁，连接． （1）如图1，当时，判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，不用证明． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． （1）（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （2）如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． （3）如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． （1）如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； （2）如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 三.同步检测 （一）选择题（3题） 1．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·月考）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ） A．3 B．9 C．11 D．15 （二）填空题（3题） 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为________． （三）解答题（5题） 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 8．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 9.（24-25八年级上·北京·期中）在四边形中，点C是边的中点． （1）如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； （2）如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 10.（24-25八年级上·北京西城·期末）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 11．（25-26八年级上·广西钦州·月考）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． （1）如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. （2）如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $