专题 4.6 三角形全等经典几何模型——倍长中线（模型梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.6 三角形全等经典几何模型——倍长中线（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型1】倍长中线——基本型 2 【题型2】倍长中线——中点型 3 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 5 【题型4】倍长中线——综合题型探究 6 三.同步检测 8 （一）选择题（共六题，每小题4分，合计24分） 8 （二）填空题（共四题，每小题4分，合计16分） 10 （三）解答题（共七题，合计60分） 11 一.模型梳理 （一）定义： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. （二）常见的模型及证法 类型 基本图示 证明思路 基本型 延长AD至点E，使得AD=DE，若连接 BE，则;若连结EC, 则; 中点型 若延长EC至点F，使得CF=CE，连结 AF，则若延长 EC点G,使得CG=CD，连结BG，则 中点+平行线型 延长CE交AB点F或交BA延长线于点F，则. 二.题型精析 【题型1】倍长中线——基本型 【例题1】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【变式1】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【题型2】倍长中线——中点型 【例题2】（24-25八年级上·山东日照·期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【变式3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 【例题3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，，E为的中点，． （1）求证：平分； （2）线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明． 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，平行四边形中，于点E，点F为边AB的中点，连接EF，CF，若，，则_____________． 【变式2】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图，ACBD，E为CD的中点，AE⊥BE （1）求证：AE平分∠BAC． （2）求证：BE平分∠ABD；说明线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？ 【题型4】倍长中线——综合题型探究 【例题4】（2025七年级下·全国·专题练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【变式1】（24-25八年级·全国·假期作业）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： （1）【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； （3）【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： （1）【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． （2）【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； （3）【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 三.同步检测 （一）选择题（共六题，每小题4分，合计24分） 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题（共四题，每小题4分，合计16分） 7．（2022八年级上·江苏·专题练习）在中，若，则中线的最大整数值是 ___． 8．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是______．（填序号） （三）解答题（共七题，合计60分） 11（8分）．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．    12（8分）．（24-25八年级上·江苏南京·月考）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 13（8分）．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，为的中点，E在线段上，过点G作交于点F．若，求的长． 14（8分）．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，中，D是的中点，M在边上，与交于点F． （1）若，，直接写出的取值范围是 ； （2）若，求证：． 15（8分）．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，已知在中，点E是的中点，，那么线段之间具有怎样的数量关系？并证明你得到的结论．    16（8分）．（2018·山东临沂·二模）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论． 17（12分）．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.6 三角形全等经典几何模型——倍长中线（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 二.题型精析 2 【题型1】倍长中线——基本型 2 【题型2】倍长中线——中点型 6 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 13 【题型4】倍长中线——综合题型探究 19 三.同步检测 30 （一）选择题（共六题，每小题4分，合计24分） 30 （二）填空题（共四题，每小题4分，合计16分） 36 （三）解答题（共七题，合计60分） 42 一.模型梳理 （一）定义： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. （二）常见的模型及证法 类型 基本图示 证明思路 基本型 延长AD至点E，使得AD=DE，若连接 BE，则;若连结EC, 则。 中点型 若延长EC至点F，使得CF=CE，连结 AF，则若延长 EC点G,使得CG=CD，连结BG，则 中点+平行线型 延长CE交AB点F或交BA延长线于点F，则. 二.题型精析 【题型1】倍长中线——基本型 【例题1】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【答案】；；；；；；三角形的两边之和大于第三边； 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握好全等三角形的判定定理和性质是解题关键． 将中线倍长后，用“”易证．根据全等三角形的性质，将转化为，此时．在中，运用三角形的基本性质来证明题干的不等式． 解：证明：延长至使得，连接，则， ∵为的中线已知， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，根据三角形的三边关系有： （三角形的两边之和大于第三边）， 而，， ， 故答案为：；；；；；；三角形的两边之和大于第三边；． 【变式1】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 解：（1）证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2）解：由（1）知： 所以，即． 【变式3】（25-26八年级上·江西宜春·期末）若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点拨】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 【题型2】倍长中线——中点型 【例题2】（24-25八年级上·山东日照·期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3），理由见分析 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为____________． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见分析；（2）见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 【题型3】倍长中线——中点+平行线型 【例题3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，，E为的中点，． （1）求证：平分； （2）线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明． 【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于点F，证明， 得出，，再证明，即可得证； （2）由（1）可得，，，再结合，即可得出结果． 解：（1）证明：如图所示，延长交的延长线于点F， ， ∵， ∴， ∵E 为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴平分； （2）解：线段 、、的数量关系为：． 证明：由（1）可得，，， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，平行四边形中，于点E，点F为边AB的中点，连接EF，CF，若，，则_____________． 【答案】24° 【分析】延长CF交DA延长线于点G，证△BCF≌△AGF，得GF=FC，由垂直得△FEC是等腰三角形，，可知△BFC是等腰三角形，求出∠GFE和∠GFA即可． 解：延长CF交DA延长线于点G， ∵AG∥BC， ∴∠G=∠BCF，∠GAF=∠B， ∵AF=FB， ∴△AGF≌△BCF ， ∴GF=CF，AG=BC， ∵， ∴EF=FG=FC，∠GEC=90°， ∵， ∴∠FEG=∠FGE=52°， ∠GFE=76°， ∵， ∴BC=BF=AF， ∵AG=BC， ∴AG=AF， ∠G=∠AFG=52°， 76°-52°=24°． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是作出适当的辅助线，构造等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 解：如图，过点作，交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图，ACBD，E为CD的中点，AE⊥BE （1）求证：AE平分∠BAC． （2）求证：BE平分∠ABD；说明线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？ 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析，AB＝BD+AC 【分析】（1）延长AE交BD的延长线于F，证明△CAE≌△DFE（AAS），得到AE＝FE，又因为AE⊥BE，得到△AEB≌△FEB（SAS），即可证明AE平分； （2）①由（1）可知△AEB≌△FEB（SAS），得到∠ABE＝∠FBE，即可证明BE平分∠ABD； ②由（1）可知△AEB≌△FEB（SAS），得到AB＝BF，又因为DF＝AC，即可得到AB、AC、BD的数量关系：AB= AC+BD． 解：（1）解：如图所示，延长AE交BD的延长线于F， ∵ACBD， ∴∠CAE＝∠DFE， ∵E为CD的中点， ∴CE＝DE， 在△CAE和△DFE中， , ∴△CAE≌△DFE（AAS）， ∴AC＝DF，AE＝FE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴∠BAE＝∠F， ∴∠CAE＝∠BAE， ∴AE平分∠BAC； （2）证明：①由（1）可得，△AEB≌△FEB ∴∠ABE＝∠FBE， ∴BE平分∠ABD； ②线段AB、AC、BD的数量关系为：AB＝BD+AC． 由（1）可得，△AEB≌△FEB ∴AB＝BF， 即AB＝BD+DF， 由（1）可得，DF＝AC， ∴AB= BD + AC． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【题型4】倍长中线——综合题型探究 【例题4】（2025七年级下·全国·专题练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【答案】（1）（2）②④（3）见分析 【分析】（1）通过倍长中线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和三角形三边关系定理求解； （2）通过倍长中线构造全等三角形，根据中线的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质进行判断； （3）通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明. 解：（1）如图延长到点，使得，连接. 是的中线， ， 在和中， ， ． ， ， （2）如图②，延长至点H，使，连接DH． 是中线， ． 又， ， ，． ， ． ，， ． AD为中线， ， ． 又， ， ，， ， 故正确选项的序号是②④． （3）如图①，延长OE至点H，使，连接CH．                 E是AC的中点， ． 又，， ， ，， ， ． 与互补， ， ． 又，， ， ， ． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段和角集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解 【变式1】（24-25八年级·全国·假期作业）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： （1）【问题背景】 如图1，中，是中线，则的取值范围是______； （2）【变式思考】 如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：； （3）【探究延伸】 如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到进而即可求解． 解：（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点是中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： （1）【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． （2）【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； （3）【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见分析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 解：（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共六题，每小题4分，合计24分） 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 5．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 解：如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】作，证、即可求解． 解：作，如图：    ∵ ∵， ①无法推出，故①错误； ②正确； ③∵ 且 ∴ 故③正确； ④∵为中线 ∴ 故④正确； ⑤ 故⑤正确； 故选：D 【点拨】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键． （二）填空题（共四题，每小题4分，合计16分） 7．（2022八年级上·江苏·专题练习）在中，若，则中线的最大整数值是 ___． 【答案】5 【分析】延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 解：如图，延长到E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ∴中线的最大整数值是5． 故答案为：5． 【点拨】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键． 8．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【答案】 / 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知找到全等的三角形及掌握倍长中线辅助线做法是解题的关键． ①由和都是等腰直角三角形得，，，进而得，可证，即可得，故结论①正确； ②题目中没有给出证的条件，故结论②错误； ③点的位置不一定使得，故结论③错误； ④延长到，使，连接，可证，可得，，，进而得，，，得，由得，可证，得，等量代换即可得，故结论④正确； ⑤由，得，而，由，得，可得，即，故结论⑤正确． 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴结论①正确； ∵题目中没有给出的条件，只有和是等腰直角三角形，即 ，， ∴和不一定相等， ∴不一定是等腰直角三角形， ∴结论②错误； ∵点的位置不一定使得， ∴结论③错误； 如图，延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴结论⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 故答案为：①④⑤． （三）解答题（共七题，合计60分） 11（8分）．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：．    【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， 延长至F使，连接，利用证明，得出，，结合角平分线定义可得出，利用证明，即可得证． 解：证明∶延长至F使，连接，如图所示：    ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 12（8分）．（24-25八年级上·江苏南京·月考）（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）可延长到，使，连接，则得，进而在中利用三角形三边关系证明即可； （2）根据全等三角形的性质及三角形三边关系求解即可． 解：证明：延长到，使，连接， 是边上的中线， 在和中， （） 在中，则， 即， （2）解：在中，， 由（1）知，，， ，， ， 13（8分）．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，为的中点，E在线段上，过点G作交于点F．若，求的长． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点K，证明，则，过点G作交于点F．证明，则．求得，则，即可得到的长． 解：延长交于点K．如图， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵过点G作交于点F． ∴， 又∵ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 14（8分）．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，中，D是的中点，M在边上，与交于点F． （1）若，，直接写出的取值范围是 ； （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）延长至E，使， 根据中点的定义和对顶角相等，利用判定 ，将转化为，再根据三角形三边关系即可解答； （2）利用全等三角形的性质得，，在根据已知条件得，利用等量替换得，根据，即可得证。 解：（1）解：延长至E，使，   ． ∵D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴，， ，， ， 故答案为：． （2）由（1）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15（8分）．（24-25八年级上·上海普陀·期中）如图，已知在中，点E是的中点，，那么线段之间具有怎样的数量关系？并证明你得到的结论．    【答案】，证明见分析． 【分析】延长，构造，则，，结合点E是的中点，可证，则，于是，得证． 解：延长，交于点F（如图）．    ∵由得，， ∴ ∴，， 点E是的中点，则 在与中， ∴ ∴ ∴ 即． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 16（8分）．（2018·山东临沂·二模）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论． 【答案】（1）AD= DC+AB，证明见分析；（2）AB= AF+CF，证明见分析． 【分析】（1）AD=AB+DC，理由：延长AE交DC的延长线于点F，利用AAS证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，据此即可证得结论； （2）AB=AF+CF，理由：延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明． 解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F， ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠F， 在△AEB和△FEC中，， ∴△AEB≌△FEC， ∴AB=FC， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE=∠EAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠F， ∴∠EAD=∠F， ∴AD=DF， ∴AD=DF=DC+CF=DC+AB， （2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠G， 在△AEB和△GEC中， ∴△AEB≌△GEC， ∴AB=GC， ∵AE是∠BAF的平分线， ∴∠BAG=∠FAG， ∵AB∥CD， ∴∠BAG=∠G， ∴∠FAG=∠G， ∴FA=FG， ∴AB=CG=AF+CF， 【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 17（12分）．（25-26八年级上·广东云浮·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）见分析（3）结论：．理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）解：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）解：结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，        ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $