专题 4.9 三角形全等经典模型——半角模型（模型梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.9 三角形全等经典模型——半角模型（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本半角模型1——等腰三角形 1 2、基本半角模型2——等边三角形 2 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 2 4、基本半角模型4——正方形 2 二.题型精析 3 【题型1】等腰三角形半角模型 3 【题型2】等边三角形半角模型 7 【题型3】等腰直角三角形半角模型 13 【题型4】正方形半角模型 16 三.同步检测 21 解答题（共7题） 21 一.模型梳理 （一）定义： 半角模型是指：在一个已知角内部，构造一个大小为其一半的角，然后研究由此产生的几何关系。半角模型是初中几何中常见的一类重要模型，主要涉及在一个角内构造一个大小为其一半的角所产生的一系列几何性质和结论。 （二）常见的模型及证法 1、基本半角模型1——等腰三角形 条件 中，AB=AC，D、E是BC上一点，。 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可得出结论。 2、基本半角模型2——等边三角形 条件 是等边三角形，D是外一点，，DB=DC，点E、F分别在AB、AC上， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC延长线上取一点G，使CG=BE，证明即可得出结论。 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 条件 在中，AB=AC，D、E是BC上一点， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可 4、基本半角模型4——正方形 条件 在正方形中，E、F分别是BC、CD上一点，且 基本图形 结论 EF=BE+DF 证明思路 延长CD至G，使DG=BE，证明即可 二.题型精析 【题型1】等腰三角形半角模型 【例题1】如图：已知AB=AC，D，E是BC边上的点，且△ABD△ACD'，连接D'E （1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证DE=D'E， （2）如图2，当DE=D'E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出，并说明理由． 【答案】（1）详见分析；（2）∠DAE=∠BAC，理由详见分析. 【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△DAE≌△D′AE，则由“全等三角形的对应边相等”的性质证得结论； （2）∠DAE=∠BAC．根据全等三角形的判定定理SSS证得△DAE≌△D′AE，则由“全等三角形的对应角相等”的性质推知∠DAE=∠BAC． 解：（1）证明:如图, ∵△ABD△ACD'， ∴∠DAD'=∠BAC=120°,AD=AD'. ∵∠DAE=60°, ∴∠EAD'=∠DAD'-∠DAE=120°-60°=60°. ∴∠DAE=∠D'AE, 又∵AE=AE,AD=AD', ∴△DAE≌△D'AE（SAS）. ∴DE=D'E. （2）解:∠DAE=∠BAC. 理由:如图, ∵△ABD旋转得到△ACD', ∴∠DAD'=∠BAC,AD=AD'. ∵DE=D'E,AE=AE, ∴△DAE≌△D'AE（SSS）. ∴∠DAE=D'AE=∠DAD'. ∴∠DAE=∠BAC. 【点拨】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及旋转的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质以及等腰三角形的性质. 【变式1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．  （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 解：（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见分析；（2）20° 解：（1）过点作，截取，得到，根据三角形全等的判定定理证出，进而得到EF=即可。 (1) 证明：过点作，截取， 在和中， ， ， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠ABC=∠CDF′， ∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角， ∴A，D，F′共线， ∵ ∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°， 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 【点拨】本题考查了全等三角形的半角模型，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【题型2】等边三角形半角模型 【例题2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见分析；（4） 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 解：特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点拨】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 【变式】（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 解：（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 【题型3】等腰直角三角形半角模型 【例题3】如图，，，，，． （1）求的度数； （2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）见详解 【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根据∠ECF＝45°，即可得出答案； （2）如图，连接DE，先证明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再证明△CAD≌△CBF（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS证明△EFG≌△EDA，即可得出答案． 解：（1）∵CA⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ACE＋∠BCF＝90°−∠ECF＝45°； （2）△EFG是直角三角形，理由如下： 如图，连接DE， 由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°， ∵∠ACD＝∠BCF， ∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ECF＝∠ECD， 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴DE＝EF， 在△CAD和△CBF中， ， ∴△CAD≌△CBF（SAS）， ∴AD＝BF，∠CAD＝∠B， ∵FG＝BF， ∴FG＝AD， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°， 在△EFG和△EDA中， ， ∴△EFG≌△EDA（SSS）， ∴∠EGF＝∠EAD＝90°， ∴△EFG是直角三角形． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三角形判定和性质解决问题． 【变式】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】过点作，使AF=AD，得到，根据三角形全等的判定定理证出，从而可得进而求出的面积，再根据，得出的面积。 解：如图，过点作，使AF=AD，得到， 在和中， ， ， ，即是直角三角形， ， 在和中， ， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点拨】本题考查等腰直角三角形全等的半角模型，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【题型4】正方形半角模型 【例题4】（24-25八年级下·北京平谷·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形见分析；（2）BE+DF=EF，证明见分析． 【分析】（1）根据题意补全图形即可． （2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明． 解：（1）补全图形 （2）BE+DF=EF． 证明：延长FE到H,使EH=EF ∵BE⊥AP， ∴AH=AF， ∴∠HAP=∠FAP=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD， ∠BAD=90° ∴∠BAP+∠2=45°， ∵∠1+∠BAP=45° ∴∠1=∠2， ∴△ABH≌△ADF， ∴DF=BH， ∵BE+BH=EH=EF， ∴BE+DF=EF． 【点拨】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线． 【变式】（24-25八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析；（3），证明见分析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 解：（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 三.同步检测 解答题（共7题） 1.（2024九年级·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 【答案】的周长为6． 【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° 延长AB至F，使BF=CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC ∴△BDF≌△CDN， ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN=MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6． 【点拨】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 2.（2025九年级·全国·专题练习）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见分析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 解：证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 3.在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 2.（1）如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； （2）如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，详见分析；（3），详见分析 【分析】对于（1），由，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得之间的数量关系，此时； 对于（2），在的延长线上截取，连接，可证，即可得，易证得，则可证得，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； 对于（3），首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得，则可得． 解：（1）解：如图1，之间的数量关系． 此时． 理由：∵， ∴是等边三角形. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∵， ∴， ∴； 故答案为：，． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：， ∴； （3）， 证明：在上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 【答案】见分析． 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，根据旋转的性质可得GD=BE，AG=AE，∠DAG=∠BAE，然后求出∠FAG=∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG，即可得出结论． 解：如解图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合． ∴，． ∵． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角形． 6．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解． 【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 解：（1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【点拨】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 【答案】（1）DF；（2）见分析 【分析】（1）由于△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法； （2）先证明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°， 在△AGE和△AFE中0 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴GE=EF， ∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.9 三角形全等经典模型——半角模型（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本半角模型1——等腰三角形 1 2、基本半角模型2——等边三角形 2 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 2 4、基本半角模型4——正方形 2 二.题型精析 3 【题型1】等腰三角形半角模型 3 【题型2】等边三角形半角模型 3 【题型3】等腰直角三角形半角模型 5 【题型4】正方形半角模型 5 三.同步检测 6 解答题（共7题） 6 一.模型梳理 （一）定义： 半角模型是指：在一个已知角内部，构造一个大小为其一半的角，然后研究由此产生的几何关系。半角模型是初中几何中常见的一类重要模型，主要涉及在一个角内构造一个大小为其一半的角所产生的一系列几何性质和结论。 （二）常见的模型及证法 1、基本半角模型1——等腰三角形 条件 中，AB=AC，D、E是BC上一点，。 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可得出结论。 2、基本半角模型2——等边三角形 条件 是等边三角形，D是外一点，，DB=DC，点E、F分别在AB、AC上， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC延长线上取一点G，使CG=BE，证明即可得出结论。 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 条件 在中，AB=AC，D、E是BC上一点， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可 4、基本半角模型4——正方形 条件 在正方形中，E、F分别是BC、CD上一点，且 基本图形 结论 EF=BE+DF 证明思路 延长CD至G，使DG=BE，证明即可 二.题型精析 【题型1】等腰三角形半角模型 【例题1】如图：已知AB=AC，D，E是BC边上的点，且△ABD△ACD'，连接D'E （1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证DE=D'E， （2）如图2，当DE=D'E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．  （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 【题型2】等边三角形半角模型 【例题2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【变式】（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【题型3】等腰直角三角形半角模型 【例题3】如图，，，，，． （1）求的度数； （2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由． 【变式】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【题型4】正方形半角模型 【例题4】（24-25八年级下·北京平谷·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明． 【变式】（24-25八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 三.同步检测 解答题（共7题） 1.（2024九年级·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 2.（2025九年级·全国·专题练习）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 3.在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 2.（1）如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； （2）如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 6．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $