10.1 二元一次方程组的概念 教学设计 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 人教版(2024) 10.1 二元一次方程组的概念 一、教学目标 1.了解二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解． 2.通过对实际问题的分析，能列出二元一次方程组，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型． 3.通过对实际问题的分析及解决，学会用多种方法解决问题，培养学生的创新意识. 二、教学重点及难点 重点：了解二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解. 难点：过对实际问题的分析，能列出二元一次方程组. 三、教学过程 【情境引入】 新疆是我国棉花的主要产地之一. 近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式. 某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm² 棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成2 hm² 棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm² 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 在这个问题中，要求的是两个未知数. 如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？ 在本章中，我们将从实际问题出发，认识二元一次方程组，学习解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题.在此基础上，学习三元一次方程组及其解法，通过本章的学习，你将对方程(组)有新的认识. 【探究新知】 探究1：二元一次方程（组）的定义 问题：（教材P88思考）列方程要先找到相等关系，本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系?若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗? 【师生活动】学生独立思考然后讨论列出方程，教师巡视，选两名学生作答. 答：相等关系：问题包含两个必须同时满足的相等关系 ①大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数 ②大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积 . 设计意图：用引言的问题引入本节课内容，列二元一次方程，为后面教学做好了铺垫. 观察思考：(1)上面的两个方程有什么特点? (2)它们与一元一次方程有什么不同? 【师生活动】学生自由发言，教师进行补充总结. 答：特点：①是整式方程，即等号的两边必须都是整式； ②含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数都是1. 不同：含未知数的个数不同. 概念：含有两个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. 上面的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程和．把这两个方程合在一起，写成就组成了一个方程组． 概念：含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 设计意图：让学生经历合作探究的过程，通过类比一元一次方程得出二元一次方程(组)的概念；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力. 探究2：二元一次方程（组）的解的定义 问题：满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中． x y 【师生活动】学生观察、计算，答出适合的x，y的值，完成表格： 答： x 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 教师总结：由上表可知，x＝1，y＝5；x＝2，y＝4；…；x＝5，y＝1使方程x＋y＝6两边的值相等，它们都是方程x＋y＝6的解． 设计意图：通过表格的形式呈现符合要求的x与y的值，帮助学生有效观察. 问题：如果不考虑方程表示的实际意义，方程x＋y＝6还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 答：x=－1，y=7；x=0.1，y=5.9；……也都是方程x＋y=6的解，能找到无数组x，y的值满足方程x＋y＝6. 概念：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 注意：一个二元一次方程有无数个解. 问题：上表中哪对x，y的值还满足方程？ 【师生活动】学生独立思考后小组讨论，选派代表作答，教师顺势总结. 答：x=2，y=4既满足方程①x＋y＝6，又满足方程②2x＋y＝8. 也就是说x=2，y=4是方程①与方程②的公共解. 我们把x=2，y=4叫作二元一次方程组的解，这个解通常记作. 联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机. 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 注意：一般，二元一次方程组有且只有一组解. 设计意图：发展抽象能力和推理能力，初步培养模型意识和观念. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带领学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.二元一次方程和二元一次方程的解的概念 2.二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念 学科网（北京）股份有限公司 $