10.1二元一次方程组的概念（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

10.1 二元一次方程组的概念（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教新版七年级下册第十章《二元一次方程组》10.1二元一次方程组的概念，主要内容包括：通过实际问题抽象出二元一次方程和二元一次方程组；理解二元一次方程（组）及其解的概念；会检验一对数值是否是某个二元一次方程（组）的解；尝试根据具体问题列出二元一次方程组. 2. 内容解析 本节课是第十章“二元一次方程组”的起始课，是在学生已经学习了一元一次方程的基础上进行的。从知识体系看，本节课是方程知识体系的拓展与深化，它丰富了方程的类型，让学生接触到更具一般性和实际应用价值的方程模型，进一步深化对方程概念的理解.二元一次方程组是进一步学习多元方程组、一次函数等知识的基础，同时也是解决实际问题的有力工具. 从思想方法层面看，本节课渗透了"建模思想"（将实际问题抽象为数学问题）和"类比思想"（类比一元一次方程学习二元一次方程），帮助学生用数学的眼光观察现实世界，提升分析和解决问题的能力. 基于以上分析，本节课的教学重点为：理解二元一次方程（组）及其解的概念. 1. 教学目标 （1）理解二元一次方程（组）及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程（组）的解；能针对具体问题列出二元一次方程（组）. （2）经历从实际问题抽象出二元一次方程（组）的过程，体会建模思想；通过类比一元一次方程探究二元一次方程（组）的概念，体会类比思想. （3）在分析实际问题、列出方程（组）的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力；感受数学来源于生活又服务于生活，增强学习数学的兴趣. 2.目标解析 （1）强调概念的准确理解和基本技能的掌握。理解二元一次方程（组）及其解的概念是本节课的基础，检验解是对概念的具体应用，能让学生直观感受方程（组）解的意义；根据具体问题列出方程（组）则是将所学知识用于解决实际问题，是知识的深化与拓展. （2）侧重于思维方法的培养.建模思想帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，将实际问题转化为数学模型求解；类比思想通过对比一元一次方程，引导学生自主发现二元一次方程（组）的特点和规律，有助于学生构建完整的知识体系. （3）通过解决实际问题让学生体会数学的应用价值，增强学习的内驱力. 学生在七年级上册已经学习了一元一次方程的有关知识，知道方程是描述现实世界中相等关系的数学模型，掌握了列方程解应用题的基本步骤，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.同时，七年级学生思维活跃，好奇心强，具有一定的探究能力。但是，学生在本节课学习中可能遇到以下困难：①概念理解偏差——容易混淆项的次数与未知数的次数，例如将xy=3误判为二元一次方程，对“含有未知数的项的次数都是1”这一关键特征把握不准；②模型建立困难——面对实际问题时难以准确提取两个独立等量关系；③解的判断错误——对公共解概念理解不透彻，忽略代入两个方程验证的必要性；④感知二元一次方程解的不确定性和二元一次方程组解的确定性存在认知困难. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：能针对具体问题列出二元一次方程（组）. 创设情景，引入新课 问题呈现： 新疆是我国棉花的主要产地之一。某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8棉田的采摘。如果大型采棉机1h完成2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 追问1：这个问题中包含哪些相等关系？ 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数；大型采棉机采摘面积+小型采棉机采摘面积=总面积. 追问2：如果只设一个未知数（如大型机x台），如何列方程？ 2x+(6-x)=8. 追问3：若直接设两个未知数（大型机x台，小型机y台），如何列方程？ x+y=6，2x+y=8 （设计意图：从学生熟悉的生活情境入手，通过对比设一个未知数和设两个未知数的方法，引发认知冲突，直观体会引入两个未知数的必要性，渗透建模思想。） 探究点1 二元一次方程的特征 观察思考：呈现方程①x+y=6，②2x+y=8， 追问1：这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？ 小组讨论：组织学生分组讨论，每个方程中未知数的个数、未知数的次数、式子是否为整式等方面的特征. 归纳总结：二元一次方程的定义——每个方程都含有两个未知数（x和y），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程. 追问2：判断方程等，是否为二元一次方程？并说明理由。 ，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程. （设计意图：引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构同化新知识；通过练习加深对概念的理解。） 探究点2 二元一次方程组的特征 情境回顾：回到采棉机问题列出的两个方程x+y=6与2x+y=8，将它们组合在一起。 观察分析：引导学生观察这两个方程组合后的特点，思考它与单个二元一次方程的不同之处。 归纳定义：二元一次方程组的定义——这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。 追问：判断方程等，是否为二元一次方程组？并说明理由。 符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组. （设计意图：从实际问题中自然引出方程组的概念，让学生理解方程组产生的必要性。） 探究点3 二元一次方程（组）的解 探究活动1： 二元一次方程的解：以方程x+y=6为例，探究满足方程且符合实际意义的x，y的值（如x=1,y=5；x=2,y=4等），将这些值填入表格。 追问1：如果不考虑方程与实际问题联系，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ x,y还可取小数，有无数组这样的值. 归纳：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解；二元一次方程有无数个解。 追问2：判断下列各组值是否是二元一次方程的解？为什么？ 满足使二元一次方程两边相等，是此二元一次方程的解，其余不是。 探究活动2 二元一次方程组的解： 对于方程组，尝试找出既满足第一个方程，又满足第二个方程的x，y的值。 通过计算或尝试，学生发现是该方程组的解. 归纳总结：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。 追问：上面的实际问题中，这个种棉大户租用了多少台大、小型采棉机？ 大型2台，小型4台 （设计意图：结合问题中未知数的实际意义，列举出所有满足方程的未知数的值，引入二元一次方程（组）的解的概念；通过对比，让学生感知二元一次方程解的不确定性和二元一次方程组解的确定性。） 典型例题 例１.已知是关于的二元一次方程，则m+n=______。 【分析】：由方程是二元一次方程可知：①未知数的系数不为0；②未知数的次数都是1。 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，|m|=1且|m-1|≠0，2n-1=1，解得m=-1，n=1，所以m+n=0。 例2.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件。现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组。 【分析】：问题中包含哪些相等关系？（总人数为7人；两道工序完成件数相等） 设第一道工序x人，第二道工序y人，列得两个方程x+y=7, 900x=1200y。 【详解】解：设第一道工序x人，第二道工序y人，根据题意，列得方程组。 小组讨论：如何找出方程组的解？（结合实际意义，x、y为正整数，尝试代入验证可得x=4,y=3） 例3：已知，是二元一次方程组的解，求m+3n的算术平方根. 【分析】：检验一对数值是否为二元一次方程组的解，必须代入两个方程进行验证，两个方程同时满足才是方程组的解。 【详解】解：把，是二元一次方程组，得 将方程组两边相加是，得m+3n=9， m+3n的算术平方根是. （设计意图：强化对二元一次方程（组）及解的概念的理解，培养学生严谨的解题习惯。） 课本课堂练习. 答案：1.设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天.根据题意，列得方程组 ，问题的解为. 2.设这个队胜的场数是工，负的场数是y.根据题意，列得方程组,问题的解为. ∫x=6, 1、A(－2、－2)、B(－5、 4)、C(5、－4)、D(O、－3)，E(2、5)、F(－3、0)、2. 略. 3.四个象限的点的横坐标、纵坐标符号分别是+，+；－，+； － ，－; － ，+. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.已知关于的二元一次方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解． 【详解】（1）由可得：， 为偶数， 为偶数， 为偶数， ， ， ∴ 或； （2）， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （3）， 当时，， 固定解为：． （设计意图：强化对二元一次方程组概念的认识） 1．（2025•南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（　　） A．3x+2＝5y+3 B．5x+2＝3y+3 C．3x﹣2＝5y﹣3 D．5x﹣2＝3y﹣3 【解答】解：根据题意得：3x+2＝5y+3． 故选：A． 2．（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（　　） A．6 B．7 C．4 D．5 【解答】解：设购买x个足球，y个篮球， 根据题意得：80x+120y＝1200， ∴y＝10x， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 故选：C． 3．（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解答】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：45x+60y＝900， 整理得：x＝20y， ∵x、y均为正整数， ∴或或或， ∴租车方案有4种， 故选：B． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结： （1）二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1.（2）二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程.（3）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（无数个解）.（4 ）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解（一般有唯一解）。 方法总结 ：（1）建模思想：从实际问题中抽象出二元一次方程（组）模型。（2）类比思想：类比一元一次方程学习二元一次方程（组）.（3）检验方法：代入验证法——将数值代入方程（组）检验是否满足. 易错提醒 ：（1）概念理解偏差：容易混淆项的次数与未知数的次数，例如xy=3中项的次数是2，不是二元一次方程.（2）检验不完整：判断某组数值是否为二元一次方程组的解时，仅代入一个方程检验，忽略另一个方程.（3）列方程遗漏等量关系：解决实际问题时，未能准确提取两个独立等量关系.（4）解的含义混淆：混淆二元一次方程的解（无数个）与二元一次方程组的解（一般唯一）. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题10.1第1、2、3题. 探究性作业：课本习题10.1第4、5题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 10.1 二元一次方程组的概念 探究点1 二元一次方程的特征 探究点2 二元一次方程组的特征 探究点3 二元一次方程（组）的解 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $