6.4 平行线——平行线中的拐点模型 课件 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

平行线中的拐点模型 1 知识导学 2. 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。 1. 拐点模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 复习导入 如图，a∥b，说出各图中两角之间的关系. a b 2 1 c a b 1 c 3 a b 1 c 4 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 模型一 猪蹄模型 例题：如图，AB//DE，探索图中∠BCE与∠B，∠E之间的关系. 证明：过点C作CK∥AB ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B=∠1 ，∠E=∠2 ∠B+∠E=∠1+∠2， ∴∠B+∠E=∠BCE 拐点C在BE左侧，在AB、 DE内部 归纳：1.过拐点作平行线 2.最大角等于小角之和 针对训练 1.如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° B 针对训练 2.如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　） A．132° B．134° C．136° D．138° B 变式1:已知AB∥DE，∠B+∠M+∠E与∠C+∠N有何关系 结论：∠B+∠M+∠E=∠C+∠N 模型一 猪蹄模型 针对训练 1.如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______． x+y-z=90° 变式2:若a∥b，又得到什么结论？ 结论：所有朝左角之和等于所有朝右角的和。 总结归纳： 1.辅助线：过拐点作平行线，有多少个拐点就作多少条平行线 2.所有朝左角之和等于所有朝右角的和。 模型一 猪蹄模型 针对训练 1.如图， AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，则∠BMD与∠N之间的数量关系如何？请说明理由． 数量关系：∠BMD＝2∠N 模型二 铅笔模型 例题：已知AB∥DE，∠B、∠C、∠E有何关系？ 证明：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线） ∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK ∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° ∵∠C=∠1+∠2 ∴∠B+∠C+∠E = 360° 拐点C在BE右侧，在AB、 DE内部 针对训练 1.如图，直线AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° B 变式1:已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E=______． 540° 模型二 铅笔模型 结论：平行线中有2个拐点，3组同旁内角，4个角 变式2:若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An= 结论：=180°×(n-1) 总结归纳： 1.辅助线：过拐点作平行线，有多少个拐点就作多少条平行线 2.平行线中有(n-2)个拐点，(n-1)组同旁内角，n个角 所有角之和=(角的个数-1)×180° 或(拐点数+1)×180° 或同旁内角数×180° 模型二 铅笔模型 针对训练 1.如图，直线AB∥EF，那么∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．270° B．360° C．540° D．560° C 针对训练 2.如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D， 则β与α的数量关系是（ ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α B 针对训练 3.如图，直线AB∥EF，那么∠ABP= ∠ABC,∠EFP= ∠EFC，已知∠FCD=60°，则∠P的度数为_______ 60° 模型三 靴子模型 例题：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: 证明：过点E作EF∥AB （见拐点作平行线） ∵EF∥AB ∴∠BEF+∠1=180° ∵EF∥AB，AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠3+∠DEF=180°，即∠3+∠2+∠BEF=180° ∴∠1=∠2+∠3，即∠2=∠1-∠3 ∠2=∠1-∠3 拐点E在BD右侧，在AB、 CD外部 总结归纳：拐角=大角-小角 针对训练 1.如图，直线AB//EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是________． 120° 变式:已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180° 证明：过点E作EF∥AB （见拐点作平行线） ∵EF∥AB ∴∠BEF+∠1=180° ∵EF∥AB，AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠3=∠BEF+∠2，即∠BEF=∠3-∠2 ∴∠1+∠3-∠2=180° 模型三 靴子模型 针对训练 1.如图所示，已知AB//DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为（ ） A．20° B．30°C．40° D．70° B 针对训练 2.如图，已知直线AB//CD,∠C =125°，∠E=80°，那么∠A的大小为( ) A．40° B．45° C．50° D．80° B 针对训练 3.已知AB∥CD， （1）如图1，若∠ABE=160°，∠CDE=120°，求∠BED的度数． （2）如图2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，直接写出∠BFD与∠BED之间的数量关系． 模型四 骨折模型 例题：已知AB∥DE，则∠B，∠C，∠D之间的关系为: 拐点C在BD左侧，在AB、 DE外部 ∠C=∠D-∠B 证明：过点C作CF∥AB （见拐点作平行线） ∵CF∥AB ∴∠BCF+∠B=180°，即∠DCF+∠DCB+∠B=180° ∵CF∥AB，AB∥DE ∴CF∥DE ∴∠DCF+∠D=180° ∴∠D=∠DCB+∠B ，即∠C=∠D-∠B 总结归纳：拐角=大角-小角 针对训练 1.如图，已知AB//CD，∠A+∠E=75°则∠C的度数为( ) A．65° B．75° C．80° D．85° B 针对训练 2.如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=_______ 度． 30 变式:已知AB∥DE，则∠B，∠C，∠D之间的关系为: 模型四 骨折模型 证明：过点C作CF∥AB （见拐点作平行线） ∵CF∥AB ∴∠BCF=∠B ∵CF∥AB，AB∥DE ∴CF∥DE ∴∠DCF+∠D=180°，即∠DCB+∠BCF+∠D=180° ∴∠B+∠DCB+∠D =180° ，即∠B+∠C+∠D=180° ∠B+∠C+∠D=180° 针对训练 2.如图，AC//BD，PB交BD于点B，交AC于点E，PA交AD于点A．若过点B作BM//AP交AC于点M，求证：∠PBD-∠PAC=∠P． 模型五 蛇形模型 例题：已知AB∥DE，则∠B，∠C，∠D之间的关系为: ∵CF∥AB 则∠B=∠BCF ∵CF∥AB，AB∥DE ∴CF∥DE ∴∠D+∠DCF=180° ∴∠D+∠BCD-∠BCF=180° 即∠D+∠BCD-∠B=180° 即∠C+∠D=∠B+180° 证明：过点C作CF∥AB （见拐点作平行线） ∠C+∠D=∠B+180° 模型五 蛇形模型 变式：已知AB∥DE，则∠B，∠C，∠D之间的关系为: ∵CF∥AB 则∠B+∠BCF=180° ∵CF∥AB，AB∥DE ∴CF∥DE ∴∠D=∠DCF ∴∠B+∠BCD-∠DCF=180° 即∠B+∠BCD-∠D=180° 即∠B+∠C=∠D+180° 证明：过点点C作CF∥AB （见拐点作平行线） ∠B+∠C=∠D+180° 针对训练 1.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是———— 度 150 针对训练 2.如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂直，支架AB，BC为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时，∠BAO=138°，∠BCD=154°，则∠B的度数为_______ 度． 74 巩固新知 1.如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° B 巩固新知 2.如图，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B． (1)如图1，若∠C＝40°，则∠BAM＝______； (2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C； (3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数． 巩固新知 3.如图，已知AB//CD，∠B=40°，∠D=110° .写出∠BEF与∠EFD 之间满足的数量关系，并说明理由. 数量关系:∠EFD−∠BEF=30° 课堂小结 1.这节课你有什么收获？ 学会了几种平行线中的拐点模型？ 2.注意点： 运用模型一定要抓住模型特点，平行线中出现拐点，则过拐点作平行线。 $