12.2.2 直方图 教学设计 2025--2026学年人教版七年级数学下册

第十二章 数据的收集、整理与描述 人教版(2024) 12.2.2 直方图 一、教学目标 1.理解直方图相关概念，能识别并区分直方图与其他统计图； 2.理解并掌握绘制直方图的步骤； 3.合理确定组距和组数，理解小长方形面积含义及应用； 4.能根据实际问题绘制出合理的直方图； 5.能从频数分布表和频数分布直方图中获取有关信息，作出合理的判断和预测，解决实际问题. 二、教学重点及难点 重点：理解小长方形面积含义及应用探究. 难点：从频数分布表和频数分布直方图中获取有关信息，作出合理的判断和预测. 三、教学过程 【复习引入】 我们学过哪些描述数据的统计图？它们各有什么优缺点？ 1．条形图． 图形实例： 优点：能够清楚地表示出每一项的具体数目． 缺点：不能表示出在不同时间内数目的变化情况和部分在总体中所占百分比的大小． 2．折线图． 图形实例： 优点：能够清楚地反映出事物的变化情况． 缺点：不能表示各部分在总体中所占的百分比． 3．扇形图． 图形实例： 优点：能够清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比． 缺点：不能清楚地表示每一项的具体数目． 【探究新知】 探究1：如何绘制直方图 问题：为了举办运动会，学校准备从七年级学生中挑选身高接近的40人组成入场式仪仗队．有63人报名参加选拔，他们的身高 (单位：cm) 数据如下表所示． 选择身高在哪个范围的学生参加呢？ 【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答问题. 教师鼓励学生将思考过程用语言进行描述. 为了使选取的仪仗队队员的身高看起来比较整齐，需要知道数据（身高）的分布情况，即在哪些身高范围的学生比较多，哪些身高范围的学生比较少. 为此，可以通过对这些数据适当分组来进行整理． 步骤1：计算最大值与最小值的差. 引导学生找出数据中的最小值149和最大值172，计算出差值23，说明身高的变化范围是23. 步骤2：决定组距和组数. 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离（组内数据的取值范围）称为组距． 提示：根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同．组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定. 本问题中我们作等距分组，即令各组的组距相同．如果从最小值起每隔3作为一组，那么由于(最大值－最小值)/组距. 所以要将数据分成8组：149≤x＜152，152≤x＜155，...，170≤x＜173，其中x表示身高值. 这里组数和组距分别是8和3. 追问：对于前面表格中的数据，你能举出其他分组的例子吗？ 【师生活动】学生先独立思考，小组讨论交流，然后教师指定学生回答，然后组织其他的学生进行点评. 答：①若组距为2，计算23÷2，则组数为12组； ②若组距为4，计算23÷4，则组数为6组； 以此类推...... 设计意图：鼓励思考不同分组，培养发散思维，通过讨论交流与教师点评强化概念. 步骤3：列频数分布表 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫作频数． 整理可得下面的频数分布表： 归纳：频数分布表制作步骤 1.算：计算最大值与最小值的差，得到数据的变化范围. 2.定：根据数据的个数与数据的变化范围，确定组距、组数. 3.划：利用划记的方法累计落在各组内的数据个数，得到各组的频数. 4.列：根据上述过程列频数分布表. 频数分布表一般由数据分组、划记、频数三部分组成. 步骤4：画频数分布直方图 为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据频数分布表，画出频数分布直方图： 问题：观察直方图我们可以发现： 横轴表示 ；纵轴表示 ；小长方形的面积= . 答：身高；频数与组距的比值；组距×频数/组距＝频数 总结：频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值. 设计意图：明确直方图各要素含义，建立数据与图形的联系. 追问：上述的频数直方图还可以怎样画呢？ 可以发现，等距分组时，各小长方形的面积 (频数) 与高的比是常数 (组距). 因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，还可直接用小长方形的高表示频数. 总结：等距分组的频数分布直方图的画法 1.画两条互相垂直的轴：横轴、纵轴； 2.在横轴上依次连续划分一些长度相等的线段，每条线段表示一组，线段的左端点标明这组的下限值，右端点标明其上限值； 3.在纵轴上划分刻度，并用自然数标记； 4.以横轴上的每条线段为底各作一个长方形立于横轴上，使各长方形的高等于相应的频数. 追问2：根据表和图，你知道该从身高在哪个范围的学生中挑选仪仗队队员吗？ 【师生活动】老师提出问题，学生思考并回答问题.教师鼓励学生将思考过程用语言进行描述. 答：从表和图中可以看出，身高在155≤x＜158，158≤x＜161，161≤x＜164三个组的人数最多，一共有12＋19＋10＝41(人). 因此可以从身高在155cm～164cm(不含164cm)范围的学生中挑选仪仗队队员. 追问3：前面对数据进行分组时，组距取3，把数据分成8组，如果组距取2或4，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的40名学生呢？ 【师生活动】学生先独立思考，小组讨论交流，然后教师指定学生回答，然后组织其他的学生进行点评. 当组距为2时，由于最大值与最小值的差为23，所以组数为23÷2，因此组数为12，再列出频数分布表. 根据表格，我们发现身高在155～163cm之间的人数最多，一共7+13+11+7=38（人），不足40人，于是我们可进一步扩大范围，在153～163cm或是155～165cm(不含)的学生中挑选仪仗队队员，一共38+6=44（人）. 当组距为4时，由于最大值与最小值的差为23，所以组数为23÷4，因此组数为6，再列出频数分布表. 根据表格，我们发现身高在157～161cm之间的人数最多，一共24人，不足40人，于是我们可进一步扩大范围，在153～165cm的学生中挑选，但此时人数为13+24+13共50人，比需要的40人多得多，因此不能挑选出. 追问4：组距不同对我们解决问题有什么影响呢？ 【师生活动】学生先独立思考，小组讨论交流，然后教师指定学生回答，然后组织其他的学生进行点评. 答：当组距小时，组数多，能够更细致地展示数据的分布情况，但会出现每组频数较少，直方图比较琐碎的情况. 当组距大时，组数少，直方图会更加简洁，但可能会掩盖数据内部的一些细节，丢失部分信息等. 总结：在解决问题时，应当根据最大值与最小值的差以及所求问题选取合适的组距. 设计意图：总结组距影响，提升数据统计认识，培养归纳与逻辑思维. 探究2：直方图的应用 【典型例题】例3 （教材P168） 【师生活动】学生分组在练习本上书写推理过程，师生共同修改或补充.给学生强调，频数分布直方图反映的是数据的分布状况，另外，若抽样合理，则可用样本的分析结果估计总体的情况. 追问：要列出频数分布表，首先需要确定什么? 答：组数、组距 追问2：依据频数分布表，怎样画出相应的频数直方图? 追问3：依据已经画出的频数分布表和频数直方图，你能估计这种大麦穗长的分布情况吗? 教师用课件展示例题答案. 设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间,引导学生在操作中思考、总结. 问题：比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？ 【师生活动】组织学生进行讨论，并选小组代表发言，其他小组补充.学生总结，老师补充. 答： 设计意图：让学生在探索规律的过程中学会交流与合作，通过自己亲自动手实践，发现规律，并准确的表述出自己的结论，培养了学生分析问题、解决问题以及归纳问题的能力. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带领学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.直方图的特点 2.频数 3.绘制步骤 4.直方图应用 学科网（北京）股份有限公司 $