精品解析：海南省海口市龙华区华中学校2026年九年级数学模拟试卷（1）

海南省海口市2026届初三数学模拟试卷 一、单选题 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（　　） A. 长方体 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 球 3. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款AI控制的机器人完成一次精准的动作调整所需时间为0.0000005秒。将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 开州某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣480件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程：（ ） A. B. C. D. 6. 已知，那么代数式的值是（　　） A. 2 B. 0 C. 4 D. 6 7. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点，“炮”位于点，则“马”位于点（ ） A. B. C. D. 9. 小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A. 12 B. C. D. 二、填空题 13. 分解因式：在有理数范围内能够分解因式，则a的值可以是______．（任意写出一个即可） 14. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为______． 15. 如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则__________． 16. 如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 三、解答题 17. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 某书店计划同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需288元；购进6本类图书和2本类图书共需306元．，两类图书每本的进价各是多少元？ 19. 为了让学生体验诗词魅力，传承文化经典，历下区某学校组织“校园诗词大会”，全校学生参加初赛，为更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了50名学生的成绩（满分100分），并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：成绩在范围内的数据如下： 77，78，82，85，80，89，72，76，77，76，75，78，79，81，84，82，76，78，78，85，78，78 组别 成绩x分 频数（人数） A 6 B 12 C D E 10 整理得到如下不完整的统计图表： 请根据图表中所提供的信息回答下列问题： （1）统计表中_______，______； （2）统计图中E组对应扇形的圆心角为________度； （3）C组数据的众数是______；调查的50名学生成绩的中位数是_______； （4）根据调查结果，估计该校2000名学生中，成绩不低于80分的人数． 20. 淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求． 淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足． 人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 （1）当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． （2）父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 21. 如图，已知抛物线与轴交于点、与轴交于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求、、的值； （3）在（2）条件下，函数≥的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为、．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 22. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2026届初三数学模拟试卷 一、单选题 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出的值，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：， 故的相反数是． 2. 下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（　　） A. 长方体 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 球 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断． 【详解】解：A、长方体的俯视图为长方形，故A错误； B、圆柱的俯视图是圆，故B错误； C、三棱柱的俯视图是三角形，故C正确； D、球体的三视图均为圆，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是解题的关键． 3. 2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款AI控制的机器人完成一次精准的动作调整所需时间为0.0000005秒。将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，分式的乘除计算，异分母分式的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选D． 5. 开州某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣480件所用时间相同．若设甲型号每小时分拣数量为件，则可列方程：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程的实际应用，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键；由题意知，乙型号每小时分拣数量为件；根据等量关系：甲型号分拣600件的时间等于乙型号分拣480件的时间，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意知，乙型号每小时分拣数量为件， 则得：； 故选：D． 6. 已知，那么代数式的值是（　　） A. 2 B. 0 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ． 7. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数． 【详解】解：由题意可得， 20×0.3=6（个）， 即袋子中红球的个数最有可能是6个， 故选：C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数． 8. 如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点，“炮”位于点，则“马”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 直接利用已知点坐标得出原点位置，再建立平面直角坐标系得出答案． 【详解】解：如图所示： “马”位于点． 故选：B． 9. 小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，根据三角形外角性质可得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 又，， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 11. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中， ， ，   故选：A． 12. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 二、填空题 13. 分解因式：在有理数范围内能够分解因式，则a的值可以是______．（任意写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】观察可知多项式中两个单项式没有公因数，因此只需要满足能用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：由题意得当时，原多项式为，分解因式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 14. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程先确定的值，再解一元二次方程求出另一根解答即可． 本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得． ． 当时，方程不是一元二次方程，不合题意． ． 当时，． ， 或． 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则__________． 【答案】##22度 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．利用基本作图得到由垂直平分，所以，则利用互余可计算出，设与相交于点，如图，根据矩形的性质得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ∵， ， 设与相交于点，如图， 四边形为矩形， ， ∴， ． 故答案为：． 16. 如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 三、解答题 17. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质、二次根式的化简、负整数指数幂运算、特殊角的三角函数值先分别化简每一项，再进行加减运算得到结果； （2）分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：，  解不等式，，  ， 解得；  解不等式，，  ， 解得 原不等式组的解集为． 18. 某书店计划同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需288元；购进6本类图书和2本类图书共需306元．，两类图书每本的进价各是多少元？ 【答案】A类图书每本的进价是36元，B类图书每本的进价是45元． 【解析】 【分析】根据“购进3本A类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元”列出方程组进行计算即可． 【详解】解：设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元．根据题意得： ， 解得， 答：A类图书每本的进价是36元，B类图书每本的进价是45元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出二元一次方程． 19. 为了让学生体验诗词魅力，传承文化经典，历下区某学校组织“校园诗词大会”，全校学生参加初赛，为更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了50名学生的成绩（满分100分），并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：成绩在范围内的数据如下： 77，78，82，85，80，89，72，76，77，76，75，78，79，81，84，82，76，78，78，85，78，78 组别 成绩x分 频数（人数） A 6 B 12 C D E 10 整理得到如下不完整的统计图表： 请根据图表中所提供的信息回答下列问题： （1）统计表中_______，______； （2）统计图中E组对应扇形的圆心角为________度； （3）C组数据的众数是______；调查的50名学生成绩的中位数是_______； （4）根据调查结果，估计该校2000名学生中，成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）， （2）72 （3）78， （4）720人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表与扇形统计图，从统计图表获得信息是解题的关键． （1）根据成绩在范围内的数据，分别得到和范围内的样本数； （2）根据“圆心角度数该组频率”进行计算即可； （3）根据众数和中位数的定义进行解答即可； （4）计算样本中成绩不低于80分的频率，再乘以总体容量进行估算即可． 【小问1详解】 解：范围内的数据从小到大排列如下： 72，75，76，76，76，77，77，78，78，78，78，78，78，79， 共14名学生成绩，即， 范围内的数据如下： 80，81，82，82，84，85，85，89， 共8名学生成绩，即； 【小问2详解】 解： 因此，E组对应扇形的圆心角为72度； 【小问3详解】 解：由（1）可知：在范围内的数据78出现了6次， 则C组数据的众数是78， 根据表格可知，调查的50名学生成绩的中位数位于C组， 前两组共有人， 将C组数据从小到大排列如下： 72，75，76，76，76，77，77，78，78，78，78，78，78，79， 因此，中位数为：； 【小问4详解】 解：（人） 答：该校2000名学生中，成绩不低于80分的人数有720人． 20. 淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求． 淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足． 人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 （1）当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． （2）父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】（1）； （2） 解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∴水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处． 【解析】 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【小问1详解】 解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知抛物线与轴交于点、与轴交于点． （1）该抛物线的解析式为 ； （2）点的坐标为，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为，设四边形的面积为，若与之间的函数关系式为，求、、的值； （3）在（2）条件下，函数≥的图象记为，函数的图象记为，图象合起来得到的图象记为． ①当时，求图象所表示的函数的最大值； ②已知线段的两个端点坐标分别为、．若．当图象能够与线段有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）， ， （3）①当时，图象所表示的函数的最大值为；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，过点作轴于点，交于点，由点和点的坐标得出直线的解析式，用表示出点、点和点的坐标，再表示出，然后根据四边形的面积，写出关于的函数关系式，最后与比较系数即可得出答案； （3）①由（）条件下的、、的值，写出和的函数关系式，根据二次函数的性质分别得出相应的最大值和最小值，则可得图象所表示的函数的最大值； ②求得两个特殊点时，的值即可判断． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴于点，交于点， ∵抛物线与轴交于点， ∴点的坐标为，， 又∵点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交于点，点为第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为， ∴，，， ∴，， ， ∴， 又∵四边形的面积，， ∴， 又∵与之间的函数关系式为， ∴，，； 【小问3详解】 解：①由知，，， ∴的解析式为；的解析式为； ∴的对称轴为，的对称轴为， ∵，中，中， ∴当或3时，取最小值为，当时，取最大值为； 当时，取最大值为，当时，取最小值为； ∵图象、合起来得到的图象记为， ∴当时，图象所表示的函数的最大值为； ②∵线段的两个端点坐标分别为、， ∴且轴， ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； ∵的对称轴为， ∴由抛物线的对称性可知时，与恰好有两个交点，此时， ∴当时，与恰好有两个交点； 综上所述，当图象能够与线段有两个公共点时，的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质对称轴、最值等、图形面积计算以及函数图象交点问题．熟练掌握二次函数的相关性质和待定系数法，灵活运用图形面积的转化与函数交点的分析方法是解题的关键． 22. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图，设与，的交点分别为点，， 四边形为矩形， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用上述性质是解题的关键． （1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）同（2）原理可得，利用勾股定理列方程，即可解答． 【详解】解：（1）如图，四边形为正方形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，即， 在与中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图，当点，，在同一条直线上时，连接， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， 同（2）可得， ， ， 由（2）可知， ，即， 解得或（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $