二轮专题(三) 导数及其应用-【真题密卷】2026年高考数学二轮专题精准提升

密 2025一2026学年度二轮专题精准提升（三） 卺题 数学·导数及其应用 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 P 答案 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列数值的排序正确的是 0 123} A.0<f'(1)<f'(2)<f(2)-f(1) B.0<f(2)-f(1)<f'(1)<f'(2) C.0<f'(2)<f'(1)<f(2)-f(1) D.0<f'(2)<f(2)-f(1)<f'(1) 2.函数f(x)=x-2ln2x的单调递减区间为 () A.(-∞，1) B.(0,1) C.(0,2) D.(2,十∞) 3.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图象，则下列四个判断中正确的是 2: A.当x=1时，f(x)取得极大值 B.f(x)在[1,3]上单调递减 C.当x=4时，f(x)取得极小值 D.f(x)在[2,4]上不具备单调性 二轮专题精准提升（三）数学第1页（共8页） 真题密卷 用今天的勤奋作辅助线，画出明天的辉煌图景 。。。 ln(e2x+1)-x,x>0, 4.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 班级 x3+ax+a,x≤0 姓名 A.(-o∞，ln2) B.(-∞，ln2] 得分 C.(0,ln2) D.[0,ln2] 5.已知函数f(x)=(x+1)e2一x2与g(x)=(x一2)2一m(m∈R)的图象上存在关于 (1,0)对称的点，则实数m的取值范围是 () A.[1,+∞) C.1o) D.[-1,+∞) 6.设函数f(x)=(er一a)ln(x十b),若f(x)≥0恒成立，则a+b的最小值为() A.-1 B.1 C.2 D.3 7.若函数f(x)=-alnx+ x2-1」 2有两个零点，则实数a的取值范围为 () A.(-∞，1) B.(1,+∞) C.(0,1)U(1,+∞) D.(0,1) 8.已知函数f(x)=xlnx,若Hx>0,关于x的方程f(x)=lnx一x十2a均有两个不同的 实根，则当a取最小整数值时，cosaπ= () A.-1 1 凸2 C.0 D.1 二轮专题精准提升（三）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.已知函数fx)=豆+ln(-)gx)=eo,则 () A.g(x)的单调递增区间是（一2,0） B.g(x)在x=一4处切线的斜率为e2 C.g(x)的极大值为。 D.方程g(x)=1一定有两个实根 10.已知函数f(x)=x一xlnx,则 A.直线y=-xln2十2是f(x)的一条切线 B.f(x)≤0 Ci aa号 l1.已知函数g(x)=ex+1+ax+a,g(x)的零点n∈[-1,1]，则实数a的取值可能是 ( A.-e 、e B.一2 C.-3 D.-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.已知函数fx)=lhx+2ax2-22x有两个极值点，则实数a的取值范围是 13.已知曲线y一(m>0)与y=nx和y=心分别交于A,B两点，设曲线y=1nx在 10 A处的切线斜率为k1y=e在B处的切线斜率为k2,若k1十k2=3,则m= 14.若曲线y=x1(k<0)与曲线y=1nx有三条公切线，则k的取值范围是 二轮专题精准提升（三）数学第3页（共8页） 真题密卷 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)已知函数f(x)=e2x+e一ax,回答下列问题. (1)当a=2时，求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)极值点的个数. 二轮专题精准提升（三）数学第4页（共8页）】 16.(15分)设函数f(x)=x2一x+ln2x,且在点(1，f(1)处的切线方程为y=一2+ln2. (1)求k的值 (2)求f(x)的单调区间. (3)设y=g(t)为f(x)在点(t,f(t)处的切线方程，是否存在t使得函数h(x)=f(x)一 g(t)单调？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由. 二轮专题精准提升（三）数学第5页（共8页） 真题密卷 17.(15分)已知函数f(x)=alnx十x,g(x)=x2-x-b. (1)当a=1时，证明：f(x)有且仅有1个零点. (2)若存在实数a>0,使得f(x)与g(x)的图象有相同的切线，且切线斜率为2，求实 数b的最大值. 二轮专题精准提升（三）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知函数f(x)=kx-ln(x+1). (1)证明：当k=1时，f(x)≥0恒成立. (2)求f(x)的单调区间. 1 (3)设数列{an}满足am= nlnm+1)n∈N),记(a}的前n项和为S.,证明：S.> n∈N). n 二轮专题精准提升（三）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数f(x)=sin”x+cos"x(n=2k,k∈N*). (1)当n=4时，判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)利用三角恒等变换，分别求f(x)在n=2,4,6时的取值范围； (3)请结合(2)的结果猜想f(x)的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程f(x)= 2025有解时n的最小值. 真题密卷 二轮专题精准提升（三）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 所以f(-3)(0,1),即f(-3)=f(3)庄(0,1). (12分) 令y=f(x)一c=0,则y=f(x)=c, 当c=0时，若f(一3)=f(3)=f(-2)=f(2)= V=C f(0)=0,最多7个零点： 当0<c<1时，若f(-2)=f(2)=f(0)=c,此 时有3个零点，又f(-3)=f(3)(0,1), 则最多在（一3，-2），(-2，一1)，(-1,0)，(0， 1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点， 以及在x=一2,0,2处为零点，故至多不超过9 当c≥1时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3) 个零点. f(3)=c,最多5个零点； 综上，y=f(x)一c在[一3,3]上至多有9个零点. 当c<0时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3) (17分) f(3)=c,最多5个零点； (15分) 2025一2026学年度二轮专题精准提升（三） 数学·导数及其应用 一、选择题 当a≥0时，f(x)=x3十ax十a单调递增，而当a 1.D【解析】f'(1)和f'(2)分别表示函数f(x)在 <0时，必存在区间 x=1和x=2处切线的斜率，结合图象可得0<f'(2) 音0得)a <f'(1),而f(2)-f1)=f2）-f 区间上单调递减，故a≥0，又a≤ln2,故实数a的 2一1，表示过 取值范围是[0，ln2]. (1,f(1))和(2，f(2)两点的直线斜率，则0 5.C【解析】由题意得，f(x)=-g(2-x)有解，所 <f'(2)<f(2)-f(1)<f'(1). 以(x+1)e-x2=-x2+m有解，即m=(x+1)e 2.C【解析】函数f(x)=x一2ln2x的定义域为 在R上有解，令h(x)=(x+1)e,则令h'(x)= 0+f)=1-2…2=1-2-12 (x+2)e=0,得x=-2,所以h(x)在(-∞，-2) 上单调递减，在（一2，十∞）上单调递增，所以 由f'(x)<0,可得x∈(0,2)，故f(x)的单调递 减区间为(0,2). A)≥h(-2)= 所以ae+ 1 3.C【解析】由图可知，在区间(-2，一1)，（2,4) 6.C【解析】函数f(x)=(e-a)ln(x+b),x> 上，f'(x)<0,f(x)单调递减；在区间(-1,2)， 一b,因为f(x)≥0恒成立，所以在区间 (4,5)上，f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x (-b,+∞)上，函数y=e-a与y=ln(x十b)有 =1时，f(x)取不到极大值，当x=4时，f(x) 相同的零点，且符号相同.令ln(x十b)≥0，得x≥ 取得极小值. 1-b;令ln(x十b)<0,得-b<x<1-b.易知a 4.D【解析】当x>0时，f(x)=ln(e2x+1)-x, >0,令e-a≥0，得x≥lna,所以lna=1-b,所 gf)-故名≥0时，)- 以a+b=a+1-lna.令g(a)=a+1-lna, e2x+1 >0,f(x)=ln(e2x+1)-x单调递增；当x≤0 则g'a)=1-1=a二1(a>0),令g'a)<0,得 aa 时，f(x)=x3+ax+a,则f'(x)=3x2十a,显然0<a<1;令g'(a)>0,得a>l,所以g(a)在 。9· 真题密卷 二轮专题精准提升 (0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所 以g(a)min=g(1)=2,即(a十b)min=2. g,)∈（分小，所以2a≥1，又a为最小鉴数， 则a=1,则c0saπ=c0s元=-1. .C【解标】函数f()二anx十x2的定义 二、选择题 城为(0，十∞).当a=0时，令f(x)=x。1 20, 9.BC【解析】由题意得，g(x)=一xe(x<0), 1 可得在(0，十∞)上只有一个零，点，不符合题意；当 则g'(x)=-2(x+2)e,故g(x)在(-∞，-2) a≠0时，f'(x)=-+=0,当a<0 上单调递增，在（一2,0）上单调递减，故A错误；当 时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， x=-2时，g(x)取得极大值二，g'(一4)=e2,故 又f(1)=0,所以f(x)在(0，十∞)上只有一个零 B,C正确；方程g(x)=1无实根，故D错误. 点，不符合题意；当a>0时，令f'(x)=0,则x2- 10.ACD【解析】对于A,因为f(x)=x一xlnx, a=0,解得x=a,故当x∈(0，√a)时，f'(x)< 所以f'(x)=一lnx,设切点坐标为(xoyo), 则f'(xo)--lnxo--ln2,解得xo=2,又 0,f(x)单调递减；当x∈(Wa,十o∞)时，f'(x)> f(2)=2-2ln2,故f(x)在点(2，f(2))处的 0,f(x)单调递增，又当x>0时，f(x)→十∞，若 切线方程为y=2-2ln2-ln2·(x-2),即y= fx)有两个零点，则f(a)=-aln/a+a1< 一xln2十2，故A正确；对于B,f'(x)=-lnx, 2 则当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当 0,即a(1-lna)<1,设g(x)=x(1-lnx),x> x∈(1，十∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以 0,则令g)=1-nz-z·=-hx=0,解 f(x)≤f(1)=1,故B错误；对于C,由B可 知x一xlnx≤1，当且仅当x=1时，等号成 得x=1,所以当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单 立，令x=e.1,则e.1(1-lne1)<1,化简可 调递增；当x∈(1，十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调 递减，所以g(x)≤g(1)=1,所以实数a的取值范 得e<故C正确；对子D,令A(r)=-rhz 围为(0,1)U(1,+∞). -(-xln2+2),则h'(x)=-lnx+ln2,故 8.A【解析】f(x)-lnx-x十2a,即xlnx-lnx- 当x∈(0,2)时，h'(x)>0,h(x)单调递增；当 x十2a,整理得2a=(x-1)lnx+x,设g(x)= x∈(2，十∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以 （x-1)nx+x,则g'x)=inx- -十2，显 he)≤A2)-0,令2-e,则e-e 然g'()是0，十∞)上的增函数国为g(分) +e1n2-2<0,楚理得n2<2-1 e层一4故D -1n2×0,g1)=1>0,所以春在x,∈（份小 正确」 11.ABC【解析】因为g(-1)=1≠0，所以n≠-1， 使得后6)-10女2-0，印1h -2 所以e+1+ax十a=0在(-1,1]上有解，即-a= ez+1 当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当 z十1在x∈1上有解.设h(x)二十（二1之 x∈(x0,十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， te:+l 故g(x)mim=g(xo)=(x0-1)lnxo十x0=3-(xo ≤1D,则h'（)=x+（-1x≤1).由h'(x) 十)2a合Ax)=x+上则Aa)=1号 >0,得0<x≤1，由h'(x)<0,得-1<x< 0,则h(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,1]上 ,当zE(份时，M()<0,A)单调运 单调递增.又因为当x→一1时，h(x)→十∞，且 h(0)=e,AI)=号，所以f)的大数因象知图 成：用为x,∈（侵小所以x+∈么，》则 所示， 。10· ·数学· 参考答案及解析 y=h(x) 1Ψ=-d 14.(0【解析】设公切线为1，P(1)是1与 e2 2 f(x)=kx-1的切点，Q(x2,y2)是1与g(x)= lnx的切点，由f(x)=x,得f'(x)=- ℃2 由g(x)nx,得g'(@)三所以1的方程为 -101 k 所以h(x)≥e,即-a≥e,解得a≤-e y-y1= 一x),因为1=长，整理得y xi 三、填空题 k 2k 1 1 ,同理y一y=2 (x-x2),因为y2 12.(0,2)【解析】函数fx)=lnx+2ax2-22z 1 =lnx2,整理得y=一x十lnx2-l. 的定义城为(0，十∞)，且f'(x)=1十ax-22= x2 x 〔k=1 ①， a2一2x十1，所以可以转化为关于x的方程 依题意两条直线重合，可得 两式相 x 2=lnx2-1 ②， ax2-2√2x十1=0在x∈(0，十∞)上有两个不 1 a≠0， 除得 25n-D所以五=240m- 1 ,代 2 △=8-4a>0, 入①，得4k=-x2(1nx2-1)2,由题意得此方程 等的实根x1x2,所以 x1十x2= 22>0,解得0Ca 有三个不等实根，设h(x)=一x(Inx一1) (x>0),即直线y=4k与曲线y=h(x)有三个 不同的交点，因为h'(x)=(1-lnx)(1+lnx), <2,所以实数a的取值范围是(0,2) 令')=0，得工=e或，所以当0<x<日 13.6ln3【解析】因为y=lnx和y=e互为反函 数，其图象关于直线y=x对称，且反比例函数y 时，h'(c)<0,h()单调递减；当上<<e时， e 号m>0)的图象也关于直线y=x对称， h'(x)>0,h(x)单调递增；当x>e时，h'(x)<0, Ax)单羽通减，所以五✉)的极小位为A(日) v=e y=x 4 y=Inx h(x)的极大值为h(e)=0,且当x趋近于 0时，h(x)趋近于0；当x趋近于十∞时，h(x)趋 0 近于一∞， m y-2x 所以，点A,B关于直线y=x对称，设A(xo,lnxo), xo>1,则B(lnxo,xo),设f(x)=lnx,g(x)=e, 则f)-gx)=c,尚题毫可得1+：- 1 所以当一 4<4k<0,即- <k<0时，直线y= e 4k与曲线y=h(x)有三个交点. 十e-。十，名解得=3或=吉（合 1 四、解答题 15.解：(1)当a-2时，f(x)=e2x十e-2x,则其定 去)，所以A8.lh3,代入y-经m>0),可得 义域为R,f'(x)=2e2x+e-2, 2X3=n3,所以m=61m3. m 令f')=0,解得e=7-1或e=-7+1 4 4 ·11· 真题密卷 二轮专题精准提升 (舍去)，即x-n17-1 4 (2分) 所以f')=2-3+号，f)=1-32+ln2, 当x>h时，f)>0,当<n7 所以f(x)在点(t,f(t)处的切线方程为 4 4 y-2+3-n2z=(2-3+2）e -t)(t>0) 时，f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为 (aV己，+，单调递波区同为刈 -o,h7-1 整理得g)=(2-3+)k+ln2--1, 4 (10分) (5分) (2)由题意知，f(x)的定义域为R, 设h(x)=f(x)-g(t), f'(x)=2e2x+e-a, h(x)=f (x)-g (t)=x2-3x In 2x 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增， -[2-3+》+n24--1 即f(x)极值点的个数为0个； (7分) 当a>0时，令f'(x)=0,t=e>0,可得2t2+t =x2-(2+2+++1, -a=0,易知△=1十8a>0, (9分) 故解关于t的方程2t2十t一a=0,得t1= 所以'e)=是+2红-(：+》 -1-1件8a<0(舍去，4=-1+y1年8a> 4 4 2》x-w (12分) 0,则e=t2,x=lnt2, x 所以当x>lnt2时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x 若h(x)在(0，十∞)上单调，则h'(x)≥0恒 <lnt2时，f'(x)<0,f(x)单调递减，即f(x)极 成立， 值点的个数为1个. (12分) 所以2-4，即= 1 2或t 2(舍去)， 综上，当a≤0时，f(x)极值点的个数为0个；当 a>0时，f(x)极值点的个数为1个. (13分) 16,解：1)由题意得，f'(x)=2x一k十2·22 1 此时h'(x)= ≥0恒成立， x 2x-k+ √2 所以t=2· (15分) 则f'(1)=3-6=0, 17.(1)证明：当a=1时，f(x)=x十lnx,x∈(0，十∞)， f(1)=1-k+ln2=-2+ln2, 则f'(x)=1+1>0, (2分) 解得k=3. (4分) 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， (2)由1)得，f'(x)=2x-3+1=2x-1Dz-1) x 义rg)-安+名名-a2-1-2- 2 x∈(0，+∞)， 令fx)=0,得=或=1， 1-1n4<0,f(1)=1>0, 2 当x∈(0,2U1,+∞)时，f'x)>0: 故r(合)·f)<0, (4分) 由零点存在定理可知，f(x)有且仅有1个零点， 当x(21)时，f'x)<0, 且零点位于（分）肉. (5分) 所以f(x)的单调递增区间为(0，？)，1，十∞)， (2)解：设f(x)与切线的切点为(x1,y1),g(x) 单调递减区间为（号，） 与切线的切点为(x2y2), (8分) 又f'(x)=2+1,g'(x)=2x-1, (3)因为f'a)=2x-3+ 由相同切线的斜率为2，得g'(x2)=2x2一1=2， ·12· ·数学· 参考答案及解析 当k>0时，f(x)的单调递减区间为 9一b, 故切线方程为y=2x一 (-1,号-1，单调递增区间为（居-1，十∞人 (8分) (11分) 又f'(x1)=a+1=2,则a=x1,f(x1)= (3)证明：由(1)得x-ln(x+1)≥0在(-1，+o∞) xiIn zi+x1, 上恒成立，当且仅当x=0时，等号成立， 故f(x)的切点为(x1,x1lnx1十x1), 所以当n∈N*时，ln(n+1)<n, 把切点a函n+代入y=2?6中，得 1. 即am> 111 n>n(m+1)-nn+1' (14分) 9 n西+西=2a46则6=一xnx十x 所以5.=a:+a:ta,+…+ata>1-号 (11分) 11,11 9 士之3+34+…+1-21 n-1 n nn+l 令h(x)=-xlnx+x-4x>0, 1 =1- n h'(z)=-In x-1+1=-In x, n+1n+1' 故当x∈(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增； 当x∈(1，十∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 故S>” +n∈N*). (17分) (13分) 19.解：(1)当n=4时，f(x)=sinx十cosx,定义域 故A(x)Ch(1)=-,则6≤-， 为R, 则f(-x)=sin4(-x)十cos4(-x)=(-sinx) 故实数6的最大值为一？ (15分) 十cosx=f(x),所以f(x)为偶函数.(4分) 18.(1)证明：当k=1时，f(x)=x-ln(x+1),x>-1, (2)当n=2时，f(x)=sin2x+cos2x=1;(5分) 故f'x)=1一x+1x+' 1 x 当n=4时，f(x)-sinx+cosx=(sin2x+ 令f'(x)>0,解得x>0;令f'(x)<0,解得-1 cos'x)2-2sin'xcos'x=1-gsin'2x, <x<0,即f(x)在(-1,0)上单调递减，在 (0,十∞)上单调递增， 此时2<f()<1: (7分) 所以f(x)≥f(0)=0. (5分) 当n-6时，f(x)-sin°x+cos6x=(sin2x+ (2)解：由f(x)=kx-ln(x+1),x>-1, cos)3-3sin'xcos'x (sin'x +cos'x)-1 可得f')=红十1）- x+1 当≤0时，f'(x)<0恒成立，则f(x)在 sin2x,此时{<f)S. (9分) (一1，十∞)上单调递减； (7分) 当k>0时，令f(x)>0,解得z>日-1：令 (3)由2)猜想，当n=2k,k∈N时，1 f). (11分) fx)<0,解得-1<x<名-1， 下面证明该结论： 所以了)在(1，日-)上单调递减，在 因为为偶数，所以f(e+)=sin(e+)十 (侯-1，+∞)上单调递增。 (10分) cos+)-cos+(-sinz)-f(r), 综上，当k≤0时，f(x)的单调递减区间 为(-1，十∞)； 故f(x)=sinx十cos”x是周期为2的周期函 ·13· 真题密卷 二轮专题精准提升 数，不妨只讨论x∈0，哥时了z)的取值范周. 因为fo)=f()-1,()-(）+() 此范围即为f(x)在定义域上的取值范围. 1 (13分) 2登-11 因为n为偶数，所以0≤sin”x≤1,0≤cos"x≤1， 此时f'(x)=nsin"-Ixcos x-ncos”-xsin x= 21,即、1 所以fx)的最大值为1，最小值为 21 2sin 2x (sin--cos), ≤f(x)≤1， 1 令f'()=0,解得x=0,或经， 所以要使方程f(x)=2025有解，只需不等式 1 1 易知当x(,买)时，f'a)<0,fc)单调 2≤2025成立， 1 1 1 递减； 当n=22时，20=1024>2025：当n=24时， 当x∈(，)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 1 1 2一2048下2025：所以符合题意的n的最小值 1 (15分) 为24. (17分) 2025一2026学年度二轮专题精准提升（四） 数学·三角函数、平面向量及其应用 一、选择题 1.A【解析】由图2可得，视风风速=(-3，一1)， 4.B【解析】依题高，g(x)=cos2(+）+同 船行风速=-船速=-(1,3)=（一1，-3）.由于 =ms2z+）,故A错误将x=是代入表达式 视风风速=真风风速十船行风速，所以真风风速= （-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),则|真风风速 可得g(0)-1,故B正确，C错误；当x∈（合，） =2√2∈(1.1,3.3)，故真风为轻风. 2.D【解析】对于A,当a=年时，Lc0sa=Lsin a 时，2z十 ∈8，》）则g)在（后）上 6 调递减，故D错误. =1,则(Lcos a)2十(Lsin a)2=2,故A错误；对于 5.B【解析】以A为坐标原点，AB,AD分别为x B,当a三5时，Lcos&=Lsin a=-l,则Lcos a十 轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， Ls血8=一名，故B餐溪对于C.Ic-Lcs =一1，故C错误；对于D,正方形ABCD关于直线 y=z对称，世受-a的终边也关于直线y=x对 B 称，则a和-a的终边和正方形ABCD的交点也 则A(0,0),E(1,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1), F(1.5,0.5), 关于直线y=x对称，所以Lcos(经-a）=Lsin a, 故D正确. 谈P(cos0,sin9),0≤0≤ 3.A【解析】sin2200°=sin(6×360°+40)=sin40°= 则AP=(cos0,sin0),ED=(-1,1),AF=(1.5,0.5). c0s50°=cos325°-sin225°_1-tan25°1-p2 因为A户=λED+μA方， cos225°+sin225°1+tan225°1+p2 所以(cos0,sin0)=λ(-1,1)+μ(1.5,0.5). 。14·