精品解析：江西赣州市兴国中学等校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试卷

高三期中数学练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. ，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，若满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为 10. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，为棱上一动点，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 无论为何值，都有 B. 当时，平面平面 C. 当时，过点和的平面截四棱锥所得截面面积最小值为 D. 四棱锥的体积最大值为 11. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，且，，则________. 13. 某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 14. 已知函数，若对任意，且，都有恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某影视数据平台对最近上映的电影《飞驰人生3》进行票房调研，记录了其上映后的累计票房情况．累计票房（单位：千万元）与上映天数（单位：天）的数据如下表所示： 上映天数 4 7 9 10 15 累计票房 20 40 60 80 100 （1）利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度； （2）求关于的经验回归方程，并预测上映40天时的累计票房（结果精确到0.01）． 参考公式：经验回归方程，其中，，相关系数．参考数据：，，，． 16. 如图，在锐角中，，，. （1）求的长； （2）若点在边上，且，求. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角. 18. 如图，设是椭圆上一点，左、右焦点分别是，，当的重心为时，的垂心为.从原点向圆作的两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在使得为定值，若存在，求出和的值，并求出此时的最大值，若不存在，请说明理由. 19. 设定义在区间上的函数，其中，为正整数． （1）求函数的单调性及最小值： （2）求曲线上的点到点距离的最小值； （3）若，其中为正整数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三期中数学练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，所以， 又，则 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 3. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式及诱导公式计算即可． 【详解】 ． 4. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 5. 如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，， ， 设， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以． 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 7. 已知函数，若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得到关于点对称，结合平移关系有关于点对称，最后由奇偶性得，即可得. 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 所以. 8. 设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题变为在中，至少有个，至多有4个，使，然后由三角函数性质可得长度范围，据此可得答案. 【详解】因，则，问题变为在中，至少有个，至多有4个，使. 对于方程，结合正弦函数的周期性，属于内的根从小到大排列如下：， 由题设，区间的长度：不小于（保证有3个根的最大距离），小于（至多有4个根，否则存在5个根）， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，若满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆定义得到的轨迹方程，再根据椭圆性质、余弦定理以及三角形面积公式求解即可. 【详解】：已知，，因此的轨迹为焦点在轴上的椭圆， 其中，，椭圆方程为，. 选项A：，A错误. 选项B：，代入化简得， 由得，B正确. 选项C：设，则， 由余弦定理. 由均值不等式，得​. 又，余弦函数在递减，故​，最大值为​，C正确. 选项D：​，故面积最大值为​，D正确. 10. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，为棱上一动点，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 无论为何值，都有 B. 当时，平面平面 C. 当时，过点和的平面截四棱锥所得截面面积最小值为 D. 四棱锥的体积最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以，为中点，， 因为，，所以， 所以，又为中点，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以，A正确； 对于B， B. 因为，所以为等边三角形，所以， 由A选项可知，又， 所以，所以，所以， 由平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，B正确； 对于C，过点和的平面截四棱锥所得截面为， 由B 选项可知为等腰直角三角形，同A选项证明可得， 所以要使的面积最小，则需最小， 当时，取得最小值，为， 所以最小值为，C错误； 对于D，要使四棱锥的体积最大，则需到底面的距离最大， 又，所以当底面时，到底面的距离最大为， 此时四棱锥的体积为，D正确. 11. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，. 设，则，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 设，则，令，解得. 当时，，单调递减；当，，单调递增. 因为，所以. 构造函数，. ，当且仅当时等号成立，. 所以在上单调递增，. 所以，则. 由于，所以. 因为，，在上单调递减. 所以，即，A正确，B错误. 构造函数，. . 所以在上单调递减，. 所以，则. 由于，所以. 因为，，在上单调递增. 所以，即，C错误. 因为，且，所以. 由于，所以，则. 因为，且，所以. 又由于，所以，则. 因为，所以. 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，且，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由递推关系​，且，可知数列任意连续三项成等比数列， 根据等比数列的定义，可知是等比数列， 由等比数列的性质有：， 在等比数列中，根据同奇偶项符号一致，可知， 所以可得：. 13. 某体育俱乐部为了组织一次青少年篮球活动，从3名男教练和3名女教练中选调4人组成评委团，若评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为________. 【答案】## 【解析】 【详解】评委团中至少要有2名男教练，共有种， 其中评委团有2名女教练有种， 所以评委团中至少要有2名男教练的条件下，有2名女教练的概率为. 14. 已知函数，若对任意，且，都有恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由题意可得函数在上单调递增，即在上恒成立，令，可化为，根据的单调性得到，令，求出的最小值即可求出答案. 【详解】可化为， 令，则不等式可化为， 所以函数在上单调递增， ， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 易知在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以， 所以实数的取值范围是. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某影视数据平台对最近上映的电影《飞驰人生3》进行票房调研，记录了其上映后的累计票房情况．累计票房（单位：千万元）与上映天数（单位：天）的数据如下表所示： 上映天数 4 7 9 10 15 累计票房 20 40 60 80 100 （1）利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度； （2）求关于的经验回归方程，并预测上映40天时的累计票房（结果精确到0.01）． 参考公式：经验回归方程，其中，，相关系数．参考数据：，，，． 【答案】（1），两个变量具有很强的线性相关程度 （2），预测上映40天时的累计票房为千万元 【解析】 【分析】（1）先计算，代入相关系数公式计算即可； （2）先计算和，进而得经验回归方程，令，代入回归方程即可求解． 【小问1详解】 由题意得，，， ，，， 则 ， 所以两个变量具有很强的线性相关程度． 【小问2详解】 由题意得，， ， 所以经验回归方程为， 令，得（千万元）， 所以预测上映40天时的累计票房为千万元． 16. 如图，在锐角中，，，. （1）求的长； （2）若点在边上，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合角的范围，利用同角三角函数关系二倍角公式求出的正弦、余弦值，再由正弦定理即可求解； （2）利用（1）中结果及正弦的和角公式，求出，进而可得，再由余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，则①，又②，， 由①②可得，又，， 所以，所以， 又，由正弦定理，得到，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则，所以，则， 又，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理来证明线线垂直，再证明线面垂直，最终证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求点到面的距离和两平面所成角的大小. 【小问1详解】 由平面，平面，得， 在底面中，，，，， 故，过作，垂足为， 由得，， 又，故，可得， 因此， 由勾股定理逆定理得， 又因为，平面，故平面， 又平面，因此平面平面； 【小问2详解】 如图以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设，则各点坐标分别为：， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，所以， 所以点到平面的距离为， 解得：，即平面的法向量 设平面的法向量为，由， 则， 令，解得，所以，即平面的法向量为， 所以， 因为平面与平面所成的角为锐角，所以平面与平面所成的角的大小为. 18. 如图，设是椭圆上一点，左、右焦点分别是，，当的重心为时，的垂心为.从原点向圆作的两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在使得为定值，若存在，求出和的值，并求出此时的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，，的最大值 【解析】 【分析】（1）根据重心坐标公式可求出，再根据为垂心结合求出，将代入椭圆方程，结合，即可求出答案； （2）根据直线，与圆相切列式，进而得到为方程的两个解，根据韦达定理得到，根据椭圆方程可化为，列式即可求出，设，，根据求得，进而得到，从而证明，利用基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 设椭圆的两焦点坐标为，， 的重心为，即， 由题意知，解得，则， 又因为的垂心为，所以， ，， 所以，解得， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 直线，的方程分别为，， 因为直线，与圆相切， 所以，， 即，， 所以为方程的两个解， 所以， 又，所以， 若为定值，则，解得，此时， 设，， 所以，即， 因为均在椭圆上，所以，， 所以， 化简得， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以此时的最大值. 19. 设定义在区间上的函数，其中，为正整数． （1）求函数的单调性及最小值： （2）求曲线上的点到点距离的最小值； （3）若，其中为正整数，证明：． 【答案】（1）在单调递减，在单调递增，最小值为 （2） （3） 已知，则， 由（1）可知，， 所以， 因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）对求导，关键在于找到的零点，即可分析出单调区间及最小值； （2）结合（1）的结论直接求解即可； （3）根据裂项相消即可证明． 【小问1详解】 已知，则， 当时， ， 所以是的零点， 因为，且， 当时，， 所以当时，，单调递减， 当时，， 所以当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，， 所以在单调递减，在单调递增，最小值为． 【小问2详解】 设点到点距离为，则， 由（1）知，当时，函数在处取得最小值， 所以在处取得最小值， 所以的最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $