精品解析：江西丰城市第九中学2026届高三（复读班）日新班下学期期中检测数学试题

丰城九中2025－2026学年高四年级日新班下学期期中检测数学试卷 命题人：袁明玉 审题人：熊建美 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 4. 已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 在区间恰有2个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 8. 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 10. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递减 11. 某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（ ） A. B. 过山车启动时距地面13m C. D. 一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是____________. 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______． 14. 已知函数的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点，求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 设向量，，． （1）求，与夹角的余弦值； （2）若，，求的值． 17. 设函数，，，．已知当时，的最大值为2；若，为相邻的两个零点，且． （1）求的解析式； （2）若，求最大值和最小值； （3）将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移（）个单位，得到的新函数为偶函数，求的最小值． 18. 设（），图象的一条对称轴是直线. （1）写出函数的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数的图象； ______ 0 （2）已知，求函数的最小值，并写出取最小值时的取值. 19. 在梯形ABCD中，，，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025－2026学年高四年级日新班下学期期中检测数学试卷 命题人：袁明玉 审题人：熊建美 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 2. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由扇形的弧长为，圆心角为，得该扇形所在圆半径（cm） 所以该扇形的面积为（）. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 已知函数的最小正周期为，则的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正切函数的周期公式求出参数，再根据正切函数对称中心的性质列方程求解横坐标，得到的对称中心. 【详解】对于正切型函数，最小正周期公式为， 已知最小正周期，代入得，解得， 因此函数为.  正切函数的对称中心为， 令整体，解得，即，​ 因此的对称中心为. 5. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律和投影向量计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得，设两个向量的夹角为， 则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 6. 已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最小正周期求出，再根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数的最小正周期是， 则，则函数. 当，. 因为余弦函数在单调递减，因此函数在​时取最小值， 最小值为 ，即在区间的最小值为. 7. 函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 在区间恰有2个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】C 【解析】 【详解】对于A,因为， 由图可知，，所以 ，故A正确； 对于B，因为， 又，所以，故B正确； 对于C，所以，当时，， 所以方程在上只有 即一个解， 即函数在区间恰有一个零点，故C错误； 对于D，将图象向左移个单位后可得 ，为偶函数， 其图象关于轴对称，故D正确. 8. 如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， ， 当且仅当，结合，，即时取等号， 的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】AD 【解析】 【详解】根据向量共线定理，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得，所以选项A正确； 是方向相同，模长相等，不能得出，所以B错误； 由得， 当时，得，不能得出，所以C错误； 对于平面内任意四个点A、B、C、D，由，所以D正确； 10. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由正弦函数的周期公式可得最小正周期为，正确； 对于BC，， 故的图象不关于直线对称， 的图象关于点对称,所以B错误，C正确； 对于D，因为，错误. 11. 某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地面的高度（单位：m）满足．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面28m，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面8m，则（ ） A. B. 过山车启动时距地面13m C. D. 一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用最高点和最低点满足的方程可判断A；求出周期可判断C；利用最高点求出，然后把代入解析式可判断B；解三角函数不等式可判断D. 【详解】最高点满足 ，最低点满足 ，联立解得，故A错误； 第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期 ， 因此 ，故C正确； 将参数代入得，时为最高点，故 ， 即 ， 解得 ，结合​得 ， 因此解析式为， 启动时，代入得，故B正确； 要求，代入得不等式， 解得一个周期内（）满足条件的范围是 ，区间长度为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是____________. 【答案】 【解析】 【详解】令，解得， 故单调递增区间为. 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以． 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得，则的取值范围为． 14. 已知函数的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的最小正周期，进而可得到的解析式，从而可得到的图象，将方程有两个实根问题转化为函数图象的交点问题即可求解. 【详解】设的最小正周期为. 的最大值为1，最小值为， 由其图象上相邻的最高点和最低点之间的距离为得，解得， 又，所以，所以. 所以， 当时，，作出函数，即在上的图象，如图， 因为关于x的方程在上有两个不同的实根，即的图象与直线有两个交点， 所以，解得. 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的终边经过点，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用三角函数定义及诱导公式可得. 【小问1详解】 角的终边经过点，所以 ， 所以. 【小问2详解】 依题意， 16. 设向量，，． （1）求，与夹角的余弦值； （2）若，，求的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，，， 所以； 【小问2详解】 由，得， 所以，解得，， 所以． 17. 设函数，，，．已知当时，的最大值为2；若，为相邻的两个零点，且． （1）求的解析式； （2）若，求最大值和最小值； （3）将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移（）个单位，得到的新函数为偶函数，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值为；最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据最值可得，根据周期可得，代入点可得，即可得的解析式； （2）以为整体，结合正弦函数有界性求最值； （3）根据图象变换可得，结合偶函数性质可得，运算求解即可. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 由题意可知，，即， 且，则，解得，即， 又因为，即， 且，则，可得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，则， 当，即，取到最小值为； 当，即，取到最大值为. 【小问3详解】 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得， 再向左平移（）个单位，得到， 若函数为偶函数，且，则， 则，解得， 所以当时，取到最小值. 18. 设（），图象的一条对称轴是直线. （1）写出函数的解析式，填写下表并用“五点作图法”画出函数的图象； ______ 0 （2）已知，求函数的最小值，并写出取最小值时的取值. 【答案】（1），作图见解析 （2）的最小值为0，. 【解析】 【小问1详解】 因为直线是函数的一条对称轴， 所以， 则，，解得，， 又，所以，函数解析式为. 由可知，列表如下： 0 0 2 0 0 故函数的图象如下： 【小问2详解】 当时，，可得. 因此， 令，则原函数可化为， 对，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，此时满足， 所以，当且仅当时等号成立. 此时，即， 结合，则，解得. 所以的最小值为0，此时. 19. 在梯形ABCD中，，，，．，． （1）用，表示． （2）设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合图形可得； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系，根据已知表示出，再结合共线列方程求出的坐标，由向量的模的公式直接计算可得；（ⅰⅰ）利用坐标表示出目标式，结合二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 因为，，，所以 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点， 又，，，， 所以， 则， 因为，所以， 又三点共线，所以存在使得， 即，即， 解得，所以， 所以， （ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设， 则， 又 所以 ， 由二次函数性质可知，当时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $