专题03 规律探究题10大类型专练（举一反三综合训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题03 规律探究题10大类型专练（举一反三综合训练） 【全国通用】 【类型1 数式规律——探究符号与系数类10题】 1 【类型2 数式规律——探究运算周期类10题】 6 【类型3 数式规律——探究数阵类10题】 13 【类型4 数式规律——探究等式类10题】 22 【类型5 图形规律——探究等差类10题】 34 【类型6 图形规律——探究递增类10题】 40 【类型7 图形规律——探究几何类10题】 47 【类型8 函数规律——探究点的坐标规律10题】 57 【类型9 函数规律——探究图形的变换规律10题】 65 【类型10 函数规律——函数与几何综合10题】 77 【类型1 数式规律——探究符号与系数类10题】 1．（2026•盘龙区校级一模）按一定规律排列的代数式：﹣2m，3m2，﹣4m3，5m4，﹣6m5，7m6，…，第2026个代数式是（　　） A．2026m2025 B．﹣2026m2025 C．2027m2026 D．﹣2027m2026 【答案】C 【分析】分别从符号、系数绝对值、m的指数三个部分，找出第n个代数式的变化规律，再代入n＝2026即可得到结果． 【解答】解：按一定规律排列的代数式：﹣2m，3m2，﹣4m3，5m4，﹣6m5，7m6，…， 设项数为n，根据给出的代数式找规律： 符号规律：∵当n为奇数时符号为负，当n为偶数时符号为正， 又∵2026是偶数， ∴第2026个代数式的符号为正； 系数绝对值规律：∵第n个代数式的系数绝对值为n+1， ∴当n＝2026时，系数绝对值为2026+1＝2027； m的指数规律：∵第n个代数式中m的指数为n， ∴当n＝2026时，m的指数为2026； 综上，第2026个代数式为2027m2026． 故选：C． 2．（2026•威信县一模）观察一组按规律排列的式子：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…，则第n（n为正整数）个式子是（　　） A．±（2n+1）an B．±（2n﹣1）an C．（﹣1）n+1（2n+1）an D．（﹣1）n+1（2n﹣1）an 【答案】D 【分析】观察式子的系数和指数，系数是正负交替的奇数，指数是从1开始的连续整数，据此即可得出答案． 【解答】解：观察一组按规律排列的式子：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…，则： 第一个式子的系数为1＝（﹣1）2×（2×1﹣1），指数为1； 第二个式子的系数为﹣3＝（﹣1）3×（2×2﹣1），指数为2； 第三个式子的系数为5＝（﹣1）4×（2×3﹣1），指数为3； 第四个式子的系数为﹣7＝（﹣1）5×（2×4﹣1），指数为4； ．．．．．． 因此，第n个式子的系数为（﹣1）n+1（2n﹣1），指数为n， 故第n个式子为（﹣1）n+1（2n﹣1）an． 故选：D． 3．（2026•云南模拟）按一定规律排列的单项式：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，…，第n个单项式是（　　） A．（﹣1）n（2n﹣1）xn B．（﹣1）n（2n+1）xn C．（﹣1）n+1（2n+1）xn D．（﹣1）n+1（2n﹣1）xn 【答案】D 【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数奇数项都正的、偶数项都是负的，数字因数的绝对值是一些连续的奇数，字母的指数依次变大，从1开始，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决． 【解答】解：∵x＝（﹣1）2（2×1﹣1）x1， ﹣3x2＝（﹣1）3（2×2﹣1）x2， 5x3＝（﹣1）4（2×3﹣1）x3， ﹣7x4＝（﹣1）5（2×4﹣1）x4， 9x5＝（﹣1）6（2×5﹣1）x5，…， ∴可推导一般性规律：第n个单项式为（﹣1）n+1（2n﹣1）xn， 故选：D． 4．（2026•昆明模拟）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别拆分分子、分母找对应规律即可求解． 【解答】解：分别拆分分子、分母找对应规律如下： 第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 依此类推，第n个代数式为：． 故选：A． 5．（2026•云南模拟）按一定规律排列的代数式．，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的代数式排列列举出来，再进行推论，推出第n个代数式即可． 【解答】解：根据所给的代数式排列列举如下： 第1个代数式为； 第2个代数式为； 第3个代数式为； 第4个代数式为； 第5个代数式为； ……， ∴第n个代数式为． 故选：C． 6．（2026•大理州模拟）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察单项式的规律：符号交替变化，系数分子为从3开始的奇数序列，分母为项数，x的幂次与项数相同． 【解答】解：观察单项式的规律：符号交替变化，系数分子为从3开始的奇数序列，分母为项数，x的幂次与项数相同可知： 第n个单项式为 ， 当n＝2026时， 符号：（﹣1）2026﹣1＝（﹣1）2025＝﹣1（负数）， 系数分子：2×2026+1＝4053， 分母：2026， x的幂：x2026， ∴第2026个单项式为 ． 故选：B． 7．（2026•昭阳区校级模拟）按一定规律排列的代数式：2026a，2027a2，2028a3，2029a4，…，则第n个代数式是（　　） A．2026an﹣1 B．2026an C．（2026+n）an D．（2025+n）an 【答案】D 【分析】观察可知第n个代数式（单项式）的系数为2025+n，次数为n，据此可得答案． 【解答】解：按一定规律排列的代数式：2026a，2027a2，2028a3，2029a4，…， 第1个代数式为2026a＝（2025+1）a， 第2个代数式为2027a2＝（2025+2）a2， 第3个代数式为2028a3＝（2025+3）a3， 第4个代数式为2029a4＝（2025+4）a4， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是（2025+n）an． 故选：D． 8．（2026•沈丘县一模）观察xy2，﹣x2y3，x3y4，﹣x4y5，⋯，根据这些代数式的变化规律，可得第2026个代数式是　 ． 【答案】﹣x2026y2027． 【分析】分析已知式子，得到第n个式子为（﹣1）n+1xnyn+1，即可得到答案． 【解答】解：罗列前3个等式如下： 第1个式子：xy2＝（﹣1）1+1xy1+1， 第2个式子：﹣x2y3＝（﹣1）2+1x2y2+1， 第3个式子：x3y4＝（﹣1）3+1x3y3+1， ⋯⋯ 发现规律为：第n个等式为：（﹣1）n+1xnyn+1， ∴第2026个代数式为（﹣1）2026+1x2026y2026+1＝﹣x2026y2027． 故答案为：﹣x2026y2027． 9．（2026•雁塔区校级模拟）一组数，，，按一定的规律排列，请你根据排列规律，推测这组数的第50个数应为 　　 ． 【答案】． 【分析】分子是从2开始连续的偶数，分母是分子加1，奇数位置为正，偶数位置为负，由此得出第n个数，利用规律得出答案即可． 【解答】解：观察数字可得，分子是从2开始连续的偶数，分母是分子加1，奇数位置为正，偶数位置为负， ∴这组数的第50个数是． 故答案为：． 10．（2026•建湖县一模）按一定规律排列的代数式：5x，﹣10x2，15x3，﹣20x4，25x5，…，则第2026个代数式是　 ． 【答案】﹣10130x2026． 【分析】分别找出代数式的符号、系数绝对值、x的次数对应的规律，再将n＝2026代入规律计算即可． 【解答】解：分别找出代数式的符号、系数绝对值、x的次数对应的规律如下： 第1个代数式为 5x＝（﹣1）1+1•5×1•x1， 第2个代数式为﹣10x2＝（﹣1）2+1•5×2•x2， 第3个代数式为 15x3＝（﹣1）3+1•5×3•x3， 第4个代数式为﹣20x4＝（﹣1）4+1•5×4•x4， ……， ∴第n个代数式为 （﹣1）n+1•5nxn， 将n＝2026代入得： （﹣1）2026+1•5×2026x2026＝﹣10130x2026， 故答案为：﹣10130x2026． 【类型2 数式规律——探究运算周期类10题】 1．（2026•福州模拟）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2025的值为（　　） A．﹣1012 B．﹣1013 C．﹣2024 D．﹣2025 【答案】A 【分析】根据题意，依次求出a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a1＝0， 所以a2＝﹣|0+1|＝﹣1； a3＝﹣|﹣1+2|＝﹣1， a4＝﹣|﹣1+3|＝﹣2， a5＝﹣|﹣2+4|＝﹣2， a6＝﹣|﹣2+5|＝﹣3， …， 依此类推，a2n＝﹣n，a2n﹣1＝﹣n+1（n为正整数）， 令2n﹣1＝2025， 解得n＝1013， 所以a2025＝﹣1013+1＝﹣1012． 故选：A． 2．（2025•济宁二模）已知a1为实数，规定运算：，．按上述规定，当a1＝2时，的值等于（　　） A． B． C．﹣1 D．0 【答案】C 【分析】根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【解答】解：当a1＝2时， a2＝1， a3＝11， a4＝12， a5＝1， a6＝11， ……， ∵2025÷3＝675， ∴a2025＝﹣1， ∴1， 故选：C． 3．（2025•东平县二模）已知一列数a1，a2，a3…中，a1＝2，a2＝6且（n为正整数，且n≥2），则a2025＝（　　） A． B． C．2×32025 D．2×32024 【答案】D 【分析】根据题意得到规律，继而即可求解． 【解答】解：由题意得，则36＝2a3， 解得：， ，则182＝6a4， 解得：， ……， ∴可得， ∴， 故选：D． 4．（2025•益阳模拟）阅读：已知对于任意正整数n，都有an＝n（n+1），求的值．小郭通过思考发现可以这样解答；．若对于任意正整数n，都有a1+a2．则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，求得当n≥2时，an＝（a1+a2+…+an）﹣（a1+a2+…+an﹣1）＝n3﹣（n﹣1）3，将其整理后可得an＝3n2﹣3n+1，则an﹣1＝3n（n﹣1），然后将原式变形后利用裂项法计算即可． 【解答】解：∵对于任意正整数n，都有a1+a2， ∴当n≥2时， an＝（a1+a2+…+an）﹣（a1+a2+…+an﹣1） ＝n3﹣（n﹣1）3 ＝[n﹣（n﹣1）][n2+n（n﹣1）+（n﹣1）2] ＝（n﹣n+1）（n2+n2﹣n+n2﹣2n+1） ＝3n2﹣3n+1， ∴an﹣1＝3n（n﹣1）， 原式 （） （1） ， 故选：D． 5．（2026•泰和县校级模拟）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，…．则大衍数列的第9个数是　 　 ． 【答案】40． 【分析】观察已知等式，总结大衍数列第n个数的通项规律，判断9为奇数，代入对应公式计算即可得到结果． 【解答】解：观察已知等式，总结大衍数列第n个数的通项规律为： 当n为奇数时，大衍数列的第n个数为， 当n为偶数时，大衍数列的第n个数为， 因为所求为第9个数，9是奇数，将n＝9代入，得． 故答案为：40． 6．（2026•郑州校级模拟）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．已知a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数…，则a2026的值为　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据题意，依次求出a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a1＝﹣1， 所以，，，…， 由此可知，这列数从a1开始按循环． 因为2026÷3＝675余1， 所以a2026＝﹣1． 故答案为：﹣1． 7．（2026•东昌府区一模）已知a1＝2，，，…，，则a2026的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，计算前面几个式子的化简结果，得到规律即可求a2026． 【解答】解：根据题意，计算前面几个式子的化简结果如下： ， ， ， ， ……， 又∵2026＝506×4+2， ∴． 故答案为：． 8．（2026•镜湖区校级一模）已知一个由非负整数组成的数列{an}，从a3开始满足a3＝|a1﹣2a2|，a4＝|a2﹣2a3|，a5＝|a3﹣2a4|，…，a2026＝|a2024﹣2a2025|． （1）当a1＝2，a2＝4时，a4＝　 　 ； （2）当a1＝m，a2＝1（m≥3，m为整数）时，a2026＝　 　 ． 【答案】（1）8； （2）2024m﹣6071． 【分析】（1）根据题意，先求a3，再求a4即可； （2）根据a1＝m，a2＝1，（m≥3，m为整数），求a3，a4，a5，a6的值，再对所求代数式分析数字规律，根据规律即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意，先求a3，再求a4如下： 当a1＝2，a2＝4时， a3＝|a1﹣2a2|＝|2﹣2×4|＝6， ∴a4＝|a2﹣2a3|＝|4﹣2×6|＝8； 故答案为：8； （2）当a1＝m，a2＝1（m≥3，m为整数）时， a3＝|a1﹣2a2|＝|m﹣2|＝m﹣2＝（3﹣2）m﹣（3×3﹣7）； a4＝|a2﹣2a3|＝|1﹣2（m﹣2）|＝2m﹣5＝（4﹣2）m﹣（4×3﹣7）； a5＝|a3﹣2a4|＝|m﹣2﹣2（2m﹣5）|＝3m﹣8＝（5﹣2）m﹣（5×3﹣7）； a6＝|a4﹣2a5|＝|2m﹣5﹣2（3m﹣8）|＝4m﹣11＝（6﹣2）m﹣（6×3﹣7）； ∴a2026＝（2026﹣2）m﹣（2026×3﹣7）＝2024m﹣6071． 故答案为：2024m﹣6071． 9．（2026•临泉县一模）对于实数a，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当a＝﹣1时，a2＝　 　 ； （2）当a＝﹣2时，a+a1+a2+a3+⋯+a2026＝　 　 ． 【答案】（1）2； （2）． 【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算a1＝2再计算a2即可； （2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，， ； （2）当a＝﹣2时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， （2026+1）÷3＝675⋯⋯2， ∴原式 ． 10．（2026•水磨沟区模拟）已知a≠0且a≠1，我们定义，记为，记为a2；…；，记为an．若将数组中的各数分别作f1的变换，得到的数组记为（a1，b1，c1）；将（a1，b1，c1）作f2的变换，得到的数组记为（a2，b2，c2）；…．则a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a2026+b2026+c2026的值为　 　 ． 【答案】4164.5 【分析】根据所给变换方式，依次求出a1+b1+c1，a2+b2+c2，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， ； ； ； ； …， 由此可见，从第一组数开始，所得数组按（），（），（）循环出现． 因为﹣1且2026÷3＝675余1， 所以a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a2026+b2026+c2026＝6754164.5． 故答案为：4164.5． 【类型3 数式规律——探究数阵类10题】 1．（2026•宜宾校级模拟）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（　　） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【分析】根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6，…， 所以第n行的最后一个数可表示为n（n+1）， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：n（n﹣1）+6（n为大于等于2的整数）． 因为5×6+6＝36， 故A选项不符合题意． 因为9×10+6＝96， 故B选项不符合题意． 因为14×15+6＝216，15×16+6＝246，且216＜226＜246， 故C选项符合题意． 因为20×21+6＝426， 故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025•射洪市校级二模）将一组数，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【解答】解：将一组数，按图分布．则： 由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7＝28个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 3．（2025•澄迈县一模）我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律：（　　） （a+b）0＝1（a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 展开式系数和为1 展开式系数和为1+1 展开式系数和为1+2+1 展开式系数和为1+3+3+1 展开式系数和为1+4+6+4+1 以上系数表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是（　　） A．64 B．128 C．256 D．612 【答案】C 【分析】由“杨辉三角”得到：应该是（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n． 【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， …， 当n＝8时，展开式的项系数和为＝28＝256， 故选：C． 4．（2026•宝鸡一模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，⋯，我们把第一个数记为a1＝2，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a7＝　 　 ． 【答案】28． 【分析】根据题意，依次得出a1＝2，a2，a3，⋯，发现规律即可解决问题． 【解答】解：从第三行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，⋯，由题意知， a1＝1， a2＝3＝1+2， a3＝6＝1+2+3， a4＝10＝1+2+3+4， ⋯， 所以． 当n＝7时，． 故答案为：28． 5．（2026•平房区一模）如图，将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照排列的规律，第7行第4个数是　 　 ． 【答案】50． 【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解． 【解答】解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数， 因为第1行的第1个数是：2＝1×0+2； 第2行的第1个数是：4＝2×1+2； 第3行的第1个数是：8＝3×2+2； ……， 所以第n行的第1个数是：n（n﹣1）+2， 所以第7行第1个数是：7×（7﹣1）+2＝44． 所以7行第4个个数是：44+3×2＝50． 故答案为：50． 6．（2026•合肥模拟）观察下面一列数： 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 　 　 ． 【答案】90 【分析】由题意得每一行最末的数字的绝对值是行数的平方，且奇数前带有负号，偶数前是正号；由此规律求得答案即可． 【解答】解：∵第9行最后的数字是﹣81， ∴第10行从左边数第9个数是81+9＝90． 故答案为：90． 7．（2026•鲁山县一模）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　 　 ． 【答案】8． 【分析】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可． 【解答】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16， ∴mx3＝4x3×2， ∴m＝8， 故答案为：8． 8．（2025•崂山区二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是　 　 ． ①（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； ②当a＝﹣2，b＝1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是﹣1； ③当a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的值是0时，一定是a＝﹣1，b＝1； ④（a+1）n的展开式中的各项系数之和为2n． 【答案】①②． 【分析】观察三角形中第四行的五个数，结合题意可判断①； 由题意得，a3+3a2b+3ab2+b3＝（a+b）3代入a，b的值可判断②； 观察三角形中第五行的六个数，结合题意得到（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，可判断③； 列举n＝1，2，3，4……时（a+1）n的展开式中的各项系数之和，找出规律可判断④，即可得出答案． 【解答】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ∴（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，故①正确； 由题意得，a3+3a2b+3ab2+b3＝（a+b）3， 当a＝﹣2，b＝1时，a3+3a2b+3ab2+b3＝（﹣2+1）3＝﹣1，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ∴（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 当a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的值是0时，则（a+b）5＝0， ∴a+b＝0， ∴a和b互为相反数，不一定是a＝﹣1，b＝1，故③错误； （a+1）的展开式中的各项系数之和为1+1＝2， （a+1）2的展开式中的各项系数之和为1+2+1＝4＝22， （a+1）3的展开式中的各项系数之和为1+3+3+1＝8＝23， （a+1）4的展开式中的各项系数之和为1+4+6+4+1＝16＝24， ……， ∴依此类推，（a+1）n的展开式中的各项系数之和为2n，故④错误； ∴综上所述，正确的序号是①②． 故答案为：①②． 9．（2026•南陵县一模）下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： （1）1×4，2×5，3×6，4×7，5×8，　 　 ； （2）2，5，9，14，20，　 　 ； （3）小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第n行最后一个数是　　 （用含n的式子表示），并求出2026是第几行从左到右数的第几个数． 【答案】（1）6×9； （2）27； （3），2026为第64行从左到右数的第11个数． 【分析】根据题意找数字变化规律即可． 【解答】解：（1）1×4，2×5，3×6，4×7，5×8..． 根据题意观察得：6×9； （2）小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序， 根据题意观察得： 2﹣5＝﹣3 5﹣9＝﹣4 9﹣14＝﹣5 14﹣20＝﹣6 则20﹣27＝﹣7 则为：27； （3）由题可知， 第一行第一个数为：0， 第二行第一个数为：1， 第三行第一个数为：3＝1+2， 第四行第一个数为：6＝1+2+3， 第五行第一个数为：10＝1+2+3+4， ⋯⋯ 第n行第一个数为：， 第n行最后一个数为：， 当n＝64时，第一个数为：， 则2016到2026共11个数， 故2026为第64行从左到右数的第11个数． 10．（2026•丹江口市一模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释 二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，n﹣1，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，n﹣1，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题： （1）写出（a+b）6的展开式的第四项为　 ； （2）在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是2n，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算（a+b）n的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则n＝　 　 ； （3）小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作m＝1的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有一次函数关系m＝n；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证，当n＝5时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致； ②若展开式第三项的系数为190，则n＝　 　 ； （4）小慧所在的“发现者”小组则发现（a+b）n展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答： ①写出（2x﹣1）5展开式第一项为　 ，第二项为　 ； ②请写出的展开式第三项：　 ； ③计算29+9×28×81+36×27×82+84×26×83+…+36×22×87+9×21×88+89＝　 　 ． 【答案】（1）20a3b3； （2）6； （3）①一致；验证见解析；②20； （4）①32x5；﹣80x4；②190x16；③109或1000000000． 【分析】（1）根据题意可得（a+b）6的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，即可求解； （2）根据题意得（a+b）n的展开式各项系数和2n，再结合25＝32＜44＜64＝26，即可求解； （3）①根据题意得：m是第五行第三个数，即10，再把n＝5代入计算即可；②根据题意，列出方程，即可求解； （4）①根据题中规律解答即可；②根据题意可得第n行第3个数为，即可求解；③根据题意可把原式变形为（2+8）9即可求解． 【解答】解：（1）（a+b）6的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，为：1，6，15，20，15，6，1， ∴第四项为20a3b3； 故答案为：20a3b3； （2）根据题意得（a+b）n的展开式各项系数和2n， ∵少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，且25＝32＜44＜64＝26， ∴n＝6； 故答案为：6； （3）①一致，验证如下： 根据题意得：m是第五行第三个数，即10， 当n＝5时，， ∴函数m的值与“杨辉三角形”中的值一致； ②∵展开式第三项的系数为190， ∴，即n2﹣n﹣380＝0， 解得：n1＝20，n2＝﹣19（舍去）， 即n＝20； （4）①（2x﹣1）5展开式第一项为（2x）5＝32x5，第二项为5×（2x）4×（﹣1）＝﹣80x4； ②根据题意得：每一行的第3个数依次为1，3，6，10，15，……， 由此发现，第n行第3个数为， ∴的展开式第三项的系数为：， ∴的展开式第三项为； ③29+9×28×81+36×27×82+84×26×83+……+36×22×87+9×21×88+89＝（2+8）9＝109． 故答案为：①32x5；﹣80x4；②190x16；③109或1000000000． 【类型4 数式规律——探究等式类10题】 1．（2026•蚌埠一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）； （2））第n个等式为，理由如下： ∵左边， 又∵右边＝n+2． ∴左边＝右边， ∴原等式成立． 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【解答】解：（1）第5个等式为． 故答案为：． （2）第n个等式为，理由如下： ∵左边， 又∵右边＝n+2． ∴左边＝右边， ∴原等式成立． 2．（2026•无为市一模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数除外）．例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． 任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是　 　 ； 任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：∵，，∴； 方法二； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为　 　 ； 任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ① ② ③ … 则根据上述规律，写出第⑥个等式为　　 ，猜想第n个等式为　　 ，并证明你的猜想； 任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将（其中k＞2且k为奇数）写出成个分母不同的“埃及分数”的和的形式为　 　 ． 【答案】任务一：（答案不唯一）； 任务二：； 任务三：，， 右边 左边． 任务四：． 【分析】任务一：根据即可求解； 任务二：方法一：先找出小于的“埃及分数”，再用减去这个“埃及分数”，看结果是否为“埃及分数”即可；方法二：先将的分子分母扩大相同倍数，再将分子拆成两个数的和，然后分别化简即可； 任务三：观察已知等式，找出等式中分子与分母变化 规律，进而根据规律写出第⑥和第n个等式，并进行证明即可； 任务四：根据第（3）问的猜想结果，将写成两个“埃及分数”的和的形式即可． 【解答】解：任务一∵， ∴将用三个“埃及分数”表示为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）； 任务二：方法一：∵，， ∴； 方法二：∵ ∴将用两个“埃及分数”表示为； 故答案为：； 任务三：观察已知的等式，发现等式左边的分子都要是2，依次为3，5，7，…，是连续的奇数，第n个等式左边的分母为2n+1；等式右边第一个分数的分母依次为2，3，4，…，第n个等式右边第一个分数的分母为n+1，第二个分数的分母为等式左边的分母与右边第一个分数分母的乘积，即（2n+1）（n+1）， 所以第⑥个等式中，n＝6，左边分母为2×6+1＝13，右边第一个分数的分母为6+1＝7，第二个分数的分母为13×7＝91， 所以第⑥个等式为； 根据上述规律，猜想第n个等式为， 证明：右边 左边． 故答案为：任务三：，， 任务四：由（3）可知： 当k＞2且k为奇数时，k＝2n+1， ∴． 故答案为：． 3．（2026•宁国市一模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … 按照以上规律，解答下列问题． （1）写出第5个等式：　 　 ． （2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明你的猜想． 【答案】（1）； （2）第n个等式：， 右边， ∴左边＝右边， ∴． 【分析】（1）根据前四个等式的规律即可求解； （2）根据前几个等式的规律可猜想结论，利用分式的运算法则证明即可． 【解答】解：（1）第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … 由题意，； 故答案为：； （2）第n个等式：． 证明：右边， ∴左边＝右边， ∴． 4．（2026•全椒县校级模拟）观察以下等式： 第1个等式：（4×1+1）2＝（4×3+1）2﹣（4×3）2； 第2个等式：（4×2+1）2＝（8×5+1）2﹣（8×5）2； 第3个等式：（4×3+1）2＝（12×7+1）2﹣（12×7）2； 第4个等式：（4×4+1）2＝（16×9+1）2﹣（16×9）2； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）（4×5+1）2＝（20×11+1）2﹣（20×11）2 （2）第n个等式：（4n+1）2＝[4n×（2n+1）+1]2﹣[4n×（2n+1）]2，证明如下： 证明：左边＝16n2+8n+1， 右边＝（8n2+4n+1）2﹣（8n2+4n）2＝（8n2+4n+1+8n2+4n）（8n2+4n+1﹣8n2﹣4n）＝16n2+8n+1， ∴左边＝右边， ∴等式成立． 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为（4n+1）2＝[4n×（2n+1）+1]2﹣[4n×（2n+1）]2，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【解答】解：（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律可知： 第5个等式：（4×5+1）2＝（20×11+1）2﹣（20×11）2； 故答案为：（4×5+1）2＝（20×11+1）2﹣（20×11）2； （2）第n个等式：（4n+1）2＝[4n×（2n+1）+1]2﹣[4n×（2n+1）]2， 证明：左边＝16n2+8n+1， 右边＝（8n2+4n+1）2﹣（8n2+4n）2＝（8n2+4n+1+8n2+4n）（8n2+4n+1﹣8n2﹣4n）＝16n2+8n+1， ∴左边＝右边， ∴等式成立． 5．（2026•阜南县校级一模）新考法项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： 12×231＝132×21， 16×671＝176×61， 25×572＝275×52， 54×495＝594×45， 63×396＝693×36， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： （1）填空： （i）27×　 　 ＝　 　 ×72； （ii）　 　 ×352＝253×　 　 ； （2）有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9， 则等式左边的式子可表示为（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，等式右边的式子可表示为[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， 左边＝（10a+b）（110b+11a）， 右边＝（110a+11b）（10b+a）， ∴左边＝右边＝11[　 　 ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】（1）（i）792，297； （ii）23，32； （2）（10a+b）（10b+a）． 【分析】（1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【解答】解：（1）根据题中等式的规律可得，（i）27×792＝297×72； （ii）23×352＝253×32； 故答案为： （2）对左边式子提取公因式11：＝（10a+b）（110b+11a） ＝（10a+b）×11×（10b+a） ＝11（10a+b）（10b+a）， 对右边式子提取公因式11：＝（10b+a）（110a+11b） ＝11×（10a+b）×（10b+a） ＝11（10a+b）（10b+a）， ∴横线上填：（10a+b）（10b+a）． 故答案为：（10a+b）（10b+a）． 6．（2026•蜀山区校级一模）观察以下等式： 第1个等式：32﹣1×4＝22+1； 第2个等式：52﹣2×7＝32+2； 第3个等式：72﹣3×10＝42+3； 第4个等式：92﹣4×13＝52+4．… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）132﹣6×19＝72+6； （2）第n个等式为（2n+1）2﹣n（3n+1）＝（n+1）2+n． 证明如下： 左边＝4n2+4n+1﹣3n2﹣n ＝n2+3n+1 ＝n2+2n+1+n ＝（n+1）2+n ＝右边， 所以此等式成立． 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律并进行证明即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为32﹣1×4＝22+1；52﹣2×7＝32+2；72﹣3×10＝42+3；92﹣4×13＝52+4．…， 所以第n个等式可表示为：（2n+1）2﹣n（3n+1）＝（n+1）2+n． 当n＝6时， 第6个等式为：132﹣6×19＝72+6． 故答案为：132﹣6×19＝72+6； （2）由（1）知， 第n个等式为（2n+1）2﹣n（3n+1）＝（n+1）2+n． 证明如下： 左边＝4n2+4n+1﹣3n2﹣n ＝n2+3n+1 ＝n2+2n+1+n ＝（n+1）2+n ＝右边， 所以此等式成立． 7．（2026•蜀山区一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）； （2）， 证明如下： 左边 ， 右边 ， 左边＝右边， 所以此等式成立． 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为；；；；…， 所以第n个等式可表示为：（n为正整数）． 当n＝5时， 第5个等式为：． 故答案为：； （2）由（1）知， 第n个等式可表示为：（n为正整数）． 证明如下： 左边 ， 右边 ， 左边＝右边， 所以此等式成立． 故答案为：． 8．（2026•合肥一模）观察以下等式： 第1个等式：152＝100×2+25，第2个等式：252＝100×6+25， 第3个等式：352＝100×12+25，第4个等式：452＝100×20+25，… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）652＝100×42+25； （2）（10n+5）2＝100×n（n+1）+25， ∵左边＝100n2+100n+25，右边＝100n2+100n+25， ∴左边＝右边， ∴（10n+5）2＝100×n（n+1）+25． 故答案为（10n+5）2＝100×n（n+1）+25． 【分析】（1）观察各个等式可知：每个等式左边幂的底数等于序号的10倍加5，等式右边第一个加数乘数左边数字都是100，乘数右边的数字等于n（n+1），另一个加数都是25，由此解答即可； （2）写出（1）得出结论，然后进行证明． 【解答】解：（1）第1个等式：152＝100×2+25，第2个等式：252＝100×6+25， 第3个等式：352＝100×12+25，第4个等式：452＝100×20+25，… ∵第1个等式：152＝100×2+25，即（10×1+5）2＝100×（1×2）+25， 第2个等式：252＝100×6+25，即（10×2+5）2＝100×（2×3）+25， 第3个等式：352＝100×12+25，即（10×3+5）2＝100×（3×4）+25， 第4个等式：452＝100×20+25，即（10×4+5）2＝100×（4×5）+25， ..． ∴第n个等式为：（10n+5）2＝100×n（n+1）+25， ∴第6个等式为：652＝100×42+25； 故答案为652＝100×42+25 （2）第n个等式为：（10n+5）2＝100×n（n+1）+25， 证明：∵左边＝100n2+100n+25，右边＝100n2+100n+25， ∴左边＝右边， ∴（10n+5）2＝100×n（n+1）+25． 故答案为：（10n+5）2＝100×n（n+1）+25． 9．（2026•桐城市校级一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）； （2），见解析． 【分析】（1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式； （2）根据（1）中的等式猜想第n个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证． 【解答】解：（1）由前4个等式可得规律可知：第5个等式为：； （2）第n个等式为，证明如下： 等式左边：， 等式右边：， ∴左边＝右边， ∴原等式成立． 10．（2025•合肥校级三模）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 【规律发现】 （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式　 　 ； 【规律应用】（3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析． 【分析】（1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【解答】解：（1）仿照题干可知第5个等式：； 故答案为：； （2）根据规律可得：； 故答案为：； （3）由（2）规律可知： ． 【类型5 图形规律——探究等差类10题】 1．（2026•九龙坡区校级模拟）如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（　　） A．22 B．25 C．28 D．31 【答案】B 【分析】根据前三个图形中基本图形的个数得出第n个图案中基本图形的个数即可解答． 【解答】解：根据前三个图形中基本图形的个数可得： 第n个图案由（3n+1）个基本图形组成， ∴第8个图案中基本图形的个数为3×8+1＝25． 故选：B． 2．（2026•香坊区一模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了8根木棍，第②个图案用了11根木棍，第③个图案用了14根木棍，第④个图案用了17根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（　　） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出所需木棍的数量，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第①个图案用的木棍数量为：8＝1×3+5； 第②个图案用的木棍数量为：11＝2×3+5； 第③个图案用的木棍数量为：14＝3×3+5； …， 所以第n个图案用的木棍数量为3n+5． 当n＝8时， 第⑧个图案用的木棍数量为：3×8+5＝29． 故选：B． 3．（2026•郸城县校级一模）用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个五角星，第2个图案中有6个五角星，第3个图案中有8个五角星，第4个图案中有10个五角星，…，按此规律排列下去，则第9个图案中五角星的个数为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】通过观察前几个图案中五角星的数量，归纳出第n个图案中五角星数量的代数式，将n＝9代入计算即可求解． 【解答】解：观察图形可知：第1个图案中五角星的个数为4； 第2个图案中五角星的个数为6； 第3个图案中五角星的个数为8； 第4个图案中五角星的个数为10； ……， ∴第n个图案中五角星的个数为2n+2； 当n＝9时，2×9+2＝20； ∴第9个图案中五角星的个数为20． 故选：C． 4．（2026•北碚区校级模拟）按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★…按照这一规律，第⑨个图中★的个数是（　　） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】C 【分析】先根据前面几个图形中★的个数，找到规律，然后求解即可． 【解答】解：图①中有5个★， 图②中有9个★， 图③中有13个★， 第n个图形中有4n+1， 以此类推，第⑨个图中★的个数是9×4+1＝37 （个）， 故选：C． 5．（2026•铜梁区校级一模）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（　　） A．59 B．76 C．67 D．96 【答案】C 【分析】观察可知，后面一个图形比前面一个图形多8根小棒，据此规律求解即可． 【解答】解：第①个图案用了11根小棒， 第②个图案用了19根小棒， 第③个图案用了27根小棒， 第④个图案用了35根小棒， ……， ∴第⑧个图案用的小棒根数是3+8×8＝67． 故选：C． 6．（2026•万州区一模）将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形…按照这样的规律，图6中共有正方形（　　） A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 【答案】B 【分析】根据图形的变化发现规律即可求解． 【解答】解：第1个图中正方形有3×1﹣2＝1个， 第2个图中正方形有3×2﹣2＝4个， 第3个图中正方形有3×3﹣2＝7个， 第4个图中正方形有3×4﹣2＝10个， …… ∴第n个图中正方形有（3n﹣2）个， 当n＝6时，3n﹣2＝3×6﹣2＝16个． ∴…按照这样的规律，图6中共有正方形16个． 故选：B． 7．（2026•丰都县校级模拟）小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，...，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（　　） A．29 B．31 C．33 D．35 【答案】C 【分析】根据所给图形，依次求出图形中围棋的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图案中围棋的个数为：5＝1×4+1； 第②个图案中围棋的个数为：9＝2×4+1； 第③个图案中围棋的个数为：13＝3×4+1； …， 所以第n个图案中围棋的个数为4n+1． 当n＝8时， 4n+1＝4×8+1＝33， 即第⑧个图案中围棋的个数为33． 故选：C． 8．（2026•平陆县一模）将形状、大小完全相同的小圆点“•”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为　 　 ． 【答案】36． 【分析】观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为（5n+1），再将n＝7代入求解即可． 【解答】解：通过观察图案，第①个图案中“•”的个数为6， 第②个图案中“•”的个数为11， 第③个图案中“•”的个数为16， ……， 所以第n（n为正整数）个图案中“•”的个数为（5n+1）， 因此第⑦个图案中“•”的个数为5×7+1＝36． 故答案为：36． 9．（2026•城固县模拟）晋商大院的窗格是刻在木上的算盘．横格如商路纵横，竖棂似银两码齐，连雕花都藏着“诚信通四海”的暗语．下列图案是曹家大院窗格的一部分，其中“”代表窗格上所贴的剪纸，则第10幅图中所贴剪纸“”的个数为　 　 个． 【答案】32． 【分析】由图形可知从第二个图案开始，每加一扇窗户，就增加3个剪纸，据此规律便可计算出第n幅图形中剪纸的个数，进而即可求出第10幅图中剪纸的个数． 【解答】解：由图形可知从第二个图案开始，每加一扇窗户，就增加3个剪纸，据此规律便可计算出第n幅图形中剪纸的个数为： 5+3（n﹣1）＝（3n+2）个剪纸； ∴第10幅图中所贴剪纸的个数为3×10+2＝32（个）． 故答案为：32． 10．（2026•西安一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图①由6架无人机组成，图②由10架无人机组成，图③由14架无人机组成，…，按照这种规律继续摆下去，图⑦由　 　 架无人机组成． 【答案】30． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中无人机的数量，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 图①中无人机的数量为：6＝1×4+2； 图②中无人机的数量为：10＝2×4+2； 图③中无人机的数量为：14＝3×4+2； …， 所以图n中无人机的数量为4n+2． 当n＝7时， 4n+2＝4×7+2＝30， 即图⑦中无人机的数量为30． 故答案为：30． 【类型6 图形规律——探究递增类10题】 1．（2026•苍溪县模拟）如图图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，…，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（　　） A．81 B．77 C．75 D．70 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑点的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图案中黑点的个数为：2＝12+1； 第②个图案中黑点的个数为：7＝22+1+2； 第③个图案中黑点的个数为：15＝32+1+2+3； …， 所以第n个图案中黑点的个数为：n2+1+2+3+…+n＝n2． 当n＝7时， n24977（个）， 即第⑦个图案中黑点的个数为77个． 故选：B． 2．（2026•南岗区校级一模）观察下列图形规律，当图形中的“〇”的个数为28时，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据所给图形，求出第n个“〇”的个数是，即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中“〇”的个数为：， n＝2时，“〇”的个数是3， n＝3时，“〇”的个数是6， n＝4时，“〇”的个数是10， …， ∴第n个“〇”的个数是， ∴当图形中的“〇”的个数为28时，28， 解得n＝7． 故选：C． 3．（2026•重庆模拟）如图图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，则图⑦的棋子颗数为（　　） A．40 B．53 C．68 D．85 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中棋子的颗数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 图①中棋子的颗数为：5＝12+4， 图②中棋子的颗数为：8＝22+4， 图③中棋子的颗数为：13＝32+4， …， 所以图n中棋子的颗数为n2+4． 当n＝7时， n2+4＝72+4＝53， 所以图⑦中棋子的颗数为53． 故选：B． 4．（2026•海门区模拟）如图，下列图形都是由同样大小的圆点按照一定规律组成的，其中第①个图形中有3个圆点，第②个图形中有7个圆点，第③个图形中有13个圆点，按此规律排列下去，第10个图形中圆点的个数为（　　） A．90个 B．110个 C．111个 D．133个 【答案】C 【分析】由已知图形可得第n个图形中有（n2+n+1）个圆点，据此解答即可求解． 【解答】解：第①个图形中有3个圆点， 第②个图形中有7个圆点， 第③个图形中有13个圆点， ……， ∴第n个图形中有（n2+n+1）个圆点， 当n＝10时，n2+n+1＝102+10+1＝111， ∴第10个图形中圆点的个数为111个， 故选：C． 5．（2026•威海模拟）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（　　） A．69 B．73 C．77 D．83 【答案】B 【分析】本题的图形规律可以两部分来看， （1）观察最下面一行变化规律列出代数式； （2）观察剩余上面部分的规律并列出代数式； 综上将两部分的代数式加在一起就能得出最终结果． 【解答】解：图①中三角形的个数为5＝2×1+1+2； 图②中三角形的个数为10＝2×2+1+2+3； 图③中三角形的个数为16＝2×3+1+2+3+4； .....． 图⑨中三角形的个数为： 2×9+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝73． 故选：B． 6．（2026•让胡路区校级模拟）观察下列图形，其中第①个图形由5个“△”组成，第②个图形由8个“△”组成，第③个图形由13个“△”组成、…，照此规律下去，则第⑧个图形“△”的个数一共有　 个． 【答案】68． 【分析】观察图形，找出前三个图形的规律，从而可求出最后结果． 【解答】解：根据题意可知：第①个图形中“△”的个数为5， 第②个图形中“△”的个数为8， 第③个图形中“△”的个数为13＝1+2+32+1， ……， ∴第⑧个图形中“△”的个数为1+2+82+1＝68． 故答案为：68． 7．（2026•崆峒区模拟）以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放．第1幅图中“●”的个数为3，第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15……以此类推，则第7幅图中“●”的个数为　 　 ． 【答案】63． 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【解答】解：∵第1幅图中“●”的个数为3， 第2幅图中“●”的个数为8， 第3幅图中“●”的个数为15， ……， ∴第n幅图形中“●”的个数为：n（n+2）， ∴第7幅图中“●”的个数为7×（7+2）＝63． 故答案为：63． 8．（2026•南岗区一模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．…按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n＝　 　 ． 【答案】11． 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数n（n+1）+2，然后列出方程，解方程即可． 【解答】解：因为第1个图形中一共有4个圆， 第2个图形中一共有8个圆， 第3个图形中一共有14个圆， 第4个图形中一共有22个圆； 可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2； n（n+1）+2＝134， 解得n＝﹣12（舍），n＝11， 故答案为：11． 9．（2025•哈尔滨模拟）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第1个图需要黑色棋子3个，第2个图需要黑色棋子8个……按照这样的规律摆下去，则第10个图需要黑色棋子的个数为　 　 ． 【答案】120． 【分析】根据所给图形，依次求出所需黑色棋子的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图案需要的黑色棋子的个数为：3＝22﹣1； 第2个图案需要的黑色棋子的个数为：8＝32﹣1； 第3个图案需要的黑色棋子的个数为：15＝42﹣1； …， 所以第n个图案需要的黑色棋子的个数为[（n+1）2﹣1]个． 当n＝10时， （n+1）2﹣1＝112﹣1＝120（个）， 即第10个图案需要的黑色棋子的个数为120个． 故答案为：120． 10．（2026•六安一模）“”与“☆”按如图所示的规律进行排列： （1）第6个图案中“☆”的个数是　 ；第n个图案中“☆”的个数为　 　 ； （2）若第（n+1）个图案与第（n﹣3）个图案中“☆”的个数之差比第n个图案中“”的个数多70，求正整数n． 【答案】（1）21；； （2）72． 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，得出第n个图案中“”的个数是3n，再列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）根据前几个图案的规律可知： 第6个图案中“☆”的个数可表示为； 第n个图案中“☆”的个数可表示为； 故答案为：21；； （2）第1个图案中有3个“”， 第2个图案中有6个“”， 第3个图案中有9个“”， 第4个图案中有12个“”， ∴第n个图案中“”的个数是3n， 由题意可得，， 整理得，2n﹣4＝140， 解得：n＝72． 【类型7 图形规律——探究几何类10题】 1．（2026•长沙校级一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积为 　 ． 【答案】22024． 【分析】根据所给变换方式，依次求出正方形的面积，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1个正方形的面积为1， 第2个正方形的面积为2， 第3个正方形的面积为4， …， 所以第n个正方形的面积为2n﹣1． 当n＝2025时， 第2025个正方形的面积为22024． 故答案为：22024． 2．（2026•让胡路区校级模拟）“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的．如图是彤彤尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第二步中弧所在扇形的半径是1厘米，第三步中弧所在扇形的半径是2厘米，按照这样的方法继续画下去，第八步中的弧所在扇形的半径是　 　 厘米． 【答案】21． 【分析】根据图形找出规律，进而得出答案， 【解答】解：第1步：1（厘米），第2步：1（厘米），第3步：1+1＝2（厘米），第4步：1+2＝3（厘米），第5步：2+3＝5（厘米），可以发现：从第3步开始，每一步的半径 ＝ 前两步半径之和， 第6步：3+5＝8（厘米）， 第7步：5+8＝13 （厘米），第8步：8+13＝21（厘米）． 故答案为：21． 3．（2026•沛县一模）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2025B2025A2026的边长为　 ． 【答案】22024． 【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，则可计算出∠A1B1O＝30°，所以A1B1＝A1A2＝OA1，利用同样的方法得到A2B2＝A2A3＝OA2，，，利用此规律得到，即可求解． 【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∵∠MON＝30°， ∴∠A1B1O＝30°， ∴A1B1＝OA1， ∴， 同理可得， ∴，， …， ∴． ∵OA1＝1， ∴当n＝2025时，， 故答案为：22024． 4．（2026•让胡路区校级模拟）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第8个图形中共有　 　 个正方形． 【答案】255． 【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21＝3个正方形，第3个图形有1+21+22＝7个正方形，依次类推求出第8个图形中小正方形的个数即可． 【解答】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有3个正方形， 第3个图形有7个正方形， ……， ∴1+21+22+23+24+25+26+27＝255个正方形， 故答案为：255． 5．（2025•黑龙江三模）如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交OP于点B1，在ON上截取A1A2，使A1A2＝A1B1，过点A2作A2B2⊥ON交OP于点B2，过点B1作B1C1⊥A2B2，垂足为C1，得正方形A1B1C1A2；在ON上继续截取A2A3，使A2A3＝A2B2，过点A3作A3B3⊥ON交OP于点B3，过点B2作B2C2⊥A3B3，垂足为C2，得正方形A2B2C2A3；……以此类推，在ON上继续截取AnAn+1，使AnAn+1＝AnBn，过点An+1作An+1Bn+1⊥ON交OP于点Bn+1，过点Bn作Bn∁n⊥An+1Bn+1，垂足为∁n，得正方形AnBn∁nAn+1．则正方形AnBn∁nAn+1的面积为 　 ． 【答案】2n﹣1． 【分析】如图，延长A1B1交OM于F，过点B1作B1E⊥OM于E，由角平分线性质可得A1B1＝B1E，再由等腰直角三角形性质可得B1FB1E，再利用等腰直角三角形性质求得A1B1＝1，即可得出正方形A1B1C1A2的面积；同理可得正方形A2B2C2A3的面积，根据规律即可得出正方形AnBn∁nAn+1的面积． 【解答】解：如图，延长A1B1交OM于F，过点B1作B1E⊥OM于E， ∵OP平分∠MON，A1B1⊥ON，B1E⊥OM， ∴A1B1＝B1E， 在Rt△B1EF中，∠B1FE＝45°， ∴B1FB1E， ∴A1B1A1B1＝OA1＝1， ∴A1B1＝1， ∴S正方形A1B1C1A2＝（A1B1）2＝1， 又∵OA2＝OA1+A1A2＝11＝2， 同理可得：A2B2， ∴S正方形A2B2C2A3＝（A2B2）2＝（）2＝2， 同理：A3B3＝2， S正方形A3B3C3A4＝（A3B3）2＝22＝4， ……， ∴S正方形AnBnCnAn+1＝（AnBn）2＝2n﹣1， 故答案为：2n﹣1． 6．（2025•祁阳市校级模拟）如图，△ABC中，AD1AB，D1D2D1B，D2D3D2B，…，照这样继续下去，D2021D2022D2021B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D3E3∥BC，…，D2025E2025∥BC，则　 ． 【答案】1． 【分析】本题涉及相似三角形的性质．因为平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，通过相似三角形的对应边成比例来求解． 【解答】解（1）在△ABC中， 若DE∥BC，则△ADE∽△ABC． ∴， ∵AD1AB， ∴， ∵D1B ＝AB﹣AD1 ＝ ABABAB． D1D2D1B， ∴D1D2＝ ABAB， ∴AD2 ＝AD1+D1D2ABABABABAB． 1， ∴1， ∵D2025E2025∥BC， ∴△AD2025E2025∽△ABC， ， 代入n＝2025， 1， 故答案为：1． 7．（2025•富锦市校级四模）如图，△OAA1是直角边长为2的等腰直角三角形，以等腰直角三角形OAA1的斜边OA1为直角边作第二个等腰直角三角形OA1A2，连接AA2，得到△AA1A2；再以等腰直角三角形OA1A2的斜边OA2为直角边作第三个等腰直角三角形OA2A3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以等腰直角△OA2A3的斜边OA3为直角边作第四个等腰直角三角形OA3A4，连接A2A4，得到△A2A3A4，．记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3，如此下去，则S2025＝　 ． 【答案】22025． 【分析】首先求出S1、S2、S3，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【解答】解：∵△OAA是直角边长为2的等腰直角三角形， ∴OA＝AA1＝2，∠AOA1＝45°，∠OAA1＝90°，， ∵△OA1A2是等腰直角三角形， ∴∠A1OA2＝45°，∠OA1A2＝90°， ∴∠AOA2＝45°+45°＝90°， ∴∠OAA1+∠AOA2＝180°， ∴AA1∥OA2， ∴， ∵△OA2A3是等腰直角三角形， ∴∠A2OA3＝45°，∠OA2A3＝90°，， ∴∠A1OA3＝45°+45°＝90°， ∴∠OA1A2+∠A1OA3＝180°， ∴A1A2∥OA3， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故． 故答案为：22025． 8．（2025•潍坊二模）如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线m的夹角为30°，延长CB1交直线m于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线m于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线m于点A3，作正方形A3B3C3B4，⋯，依此规律，则A2024A2025等于 　 ． 【答案】2×31012． 【分析】由四边形ABCB1是正方形，得到AB＝AB1＝1，AB∥CB1，于是得到AB∥A1C，根据平行线的性质得到∠CA1A＝30°，解直角三角形得到，AA1＝2，同理：，，找出规律，答案即可求出． 【解答】解：由题意可得：AB＝AB1＝1，AB∥CB1， ∴AB∥A1C， ∴∠CA1A＝30°， ∴，AA1＝2AB1＝2， ∴， ∴， 同理：， ， ⋯ ∵， ∴． 故答案为：2×31012． 9．（2025•新蔡县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，⋯，按照此规律继续下去，则S9的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，得出一般规律，根据规律解答S9即可． 【解答】解：如图所示， 由条件可得DE＝CE，∠CED＝90°， ∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2， ∴， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴， ∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为， 则， 面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为， 则S3＝1×1＝1， 面积标记为S4的等腰直角三角形的直角边长为， 则， ∴， ， ， ， ……， ， ∴． 故答案为：． 10．（2025•中牟县模拟）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn，四边形A5B5C5D5的周长是 　　 ，四边形AnBn∁nDn的面积是 　　 ． 【答案】，． 【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；根据四边形AnBn∁nDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积． 【解答】解：①连接A1C1，B1D1， ∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1， ∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC，A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形A1B1C1D1是矩形， ∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）， ∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理）， ∴四边形A2B2C2D2是菱形； …， 根据中位线的性质易知，， ， ∴四边形A5B5C5D5的周长是， ∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD， ∴S四边形； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形AnBnCnDn的面积是， 故答案为：，． 【类型8 函数规律——探究点的坐标规律10题】 1．如图所示，在台球桌面ABCD上建立平面直角坐标系，点P从（0，1）出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（2，3） D．（3，2） 【答案】C 【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，再根据规律得出第2026秒的小球所在位置． 【解答】解：若点P的运动速度为每秒个单位长度，如图， 根据题意得： 小球运动一周所走的路程， ∵小球以每秒个单位长度的速度运动， ∴小球运动一周所用的时间为：（秒）， ∴2026÷16＝126⋯10， ∴第2026秒的小球所在位置为点P′， ∴第2026秒时点P的坐标为（﹣2，3）． 故选：C． 2．如图，点P1的坐标为（1，0），P2为y轴正半轴上一点，且∠OP2P1＝30°，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从P1跳到P2处，第二步从P2跳到P3处，且P1P2＝P1P3，第三步从P3跳到P4处，且P2P3＝P2P4，第四步从P4跳到P5处，且P3P4＝P3P5，…，按此规律一直跳下去，则P10的坐标为（　　） A． B． C．（27，0） D．（0，81） 【答案】B 【分析】由P1（2，0），得到OP1＝2，根据直角三角形的性质得到P1P2＝2P1O＝4，∠P2P1O＝60°，根据勾股定理得到OP2，根据三角形的外角的性质得到∠P1P2P3＝∠P1P3P2P2P1O＝30°，求得OP3OP2＝22×（）2，同理OP4＝2×（）3，OP5＝2×（）4，于是得到结论． 【解答】解：∵P1（2，0）， ∴OP1＝2， ∵∠P1OP2＝90°，∠OP2P1＝30°， ∴P1P2＝2P1O＝4，∠P2P1O＝60°， ∴OP2， ∵P1P2＝P1P3， ∴∠P1P2P3＝∠P1P3P2P2P1O＝30°， ∴OP3＝OP3OP2＝22×（）2，， 同理OP4＝2×（）3，OP5＝2×（）4， ......， ∴P10＝2×（）9＝81， ∴P10的坐标为（0，81）， 故选：B． 3．光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从A0（﹣2，﹣1）出发，经过A1（2，1）第1次全反射到达A2（6，﹣1），在A2经过第2次全反射到达A3（10，1），在A3经过第3次全反射到达A4（14，﹣1），依此类推，经过第2025次全反射到达A2026，则A2026的坐标为（　　） A．（8098，﹣1） B．（8098，1） C．（8102，﹣1） D．（8102，1） 【答案】C 【分析】先根据点的下标的情况判断偶数点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【解答】解：2026＝2×1013， 由题意得下标为奇数的点的纵坐标为1，下标为偶数的点的纵坐标为﹣1， ∴A2026的纵坐标为﹣1， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为8， ∴A2026的横坐标为：1013×8﹣2＝8102， ∴A2026的坐标为（8102，﹣1）． 故选：C． 4．如图，A1（1，1），A2（2，1），A3（3，2），A4（4，2），A5（5，3），A6（6，3），…，按此规律，点A20的坐标为（　　） A．（19，12） B．（20，12） C．（20，11） D．（20，10） 【答案】D 【分析】通过观察点的坐标规律，先找出横坐标与点的序号的关系，再找出纵坐标的变化规律，进而确定点A20的坐标． 【解答】解：观察发现，点的横坐标与点的序号相同，所以点A20的横坐标为20． 观察可得，当序号为偶数时，纵坐标依次为1，2，3，…， 20是偶数，20÷2＝10， 所以点A20的纵坐标为10． 20÷2＝10， 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），A1（3，0），A2（5，3），A3（8，1），A4（10，4），A5（13，2），⋯，按照此规律，点A2025的坐标为（　　） A．（1013，1012） B．（5063，1012） C．（5065，1012） D．（5065，2025） 【答案】B 【分析】由图象与点坐标可知，每两个坐标一个周期，每个周期横坐标+5，纵坐标+1，找到规律求解即可． 【解答】解：已知A（0，2），A1（3，0），A2（5，3），A3（8，1），A4（10，4），A5（13，2），⋯，按照此规律， 可得每两个坐标一个周期，每个周期横坐标+5，纵坐标+1， 即A2n（5n，n+2），A2n+1（5n+3，n）， ∴A2025（5×1012+3，1012）， 即A2025（5063，1012）， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），…，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（　　） A．（43，45） B．（44，45） C．（﹣43，45） D．（﹣44，45） 【答案】D 【分析】按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，…，一般地，纵坐标为n的点有（2n﹣1）个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，…，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，…，点是从左往右排列的方向；而452＝2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2025个点的坐标． 【解答】解：纵坐标是1的点有1个， 纵坐标是2的点有3个， 纵坐标是3的点有5个， ……， 一般地，纵坐标为n的点有（2n﹣1）个，且这n个点的横坐标从左往右依次是﹣n+1，﹣n+2，…，﹣1，0，1，…，n﹣1； 考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，…，点是从右往左的方向， 纵坐标是2、4、6，…，点是从左往右排列的方向； ∵452＝2025，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， ∴最左边的点坐标为（﹣44，45）， ∴根据这个规律探索可得第2025个点的坐标为（﹣44，45）． 故选：D． 7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律经过第2025次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2024，1） B．（2024，0） C．（2025，1） D．（2025，2） 【答案】C 【分析】根据动点P的运动规律，求出其坐标． 【解答】解：根据题意有， 第1次点P的坐标为（1，1）， 第2次点P的坐标为（2，0）， 第3次点P的坐标为（3，2）， 第4次点P的坐标为（4，0）， 第5次点P的坐标为（5，1）， 第6次点P的坐标为（6，0）， 第7次点P的坐标为（7，2）， 第8次点P的坐标为（8，0）， ……， 易知第n次，点P的横坐标即为n，纵坐标的值以1，0，2，0为一个周期， 2025÷4＝506……1， ∴第2025次运动后，动点P的坐标是（2025，1）． 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到A1（0，﹣2）、A2（1，﹣2）、A3（1，0）、A4（1，2）、A5（2，2）、A6（2，0）⋯⋯，那么A2025的坐标为（　　） A．（674，0） B．（674，2） C．（675，2） D．（675，0） 【答案】D 【分析】根据图象可得移动6次图象完成一个循环，从而可得出点A2025的坐标． 【解答】解：动点从原点O出发，按向下→向右→向上→向上→向右→向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6， ∵2025÷6＝337……3， ∴考虑A2（1，﹣2），A8（3，﹣2），A14（5，﹣2）……， ∴A6n+3（2n+1，﹣2）， 6n+3＝2025， 得n＝337， ∴A2024的坐标为（675，﹣2）， ∴2025的坐标为（675，0）， 故选：D． 9．如图，在单位长为1的正方形网格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3三个顶点的坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示的规律，A2025的坐标是 　 　 ． 【答案】1014． 【分析】当n为奇数时，点的坐标在x轴上，再根据从原点开始，每隔4个的点在x轴负半轴上，即可求解． 【解答】解：∵A1（2，0），A3（0，0），A5（4，0），A7（﹣2，0），A9（6，0），A11（﹣4，0）， 当n＝2a+1时：其位于x轴的正半轴上，且横坐标为：a+2， 当n＝2a﹣1，其位于x轴的负半轴上，且横坐标为a﹣2， 又A2025中n＝2025是奇数，且n＝2×1012+1， 故横坐标为1012+2＝1014， 故答案为：1014． 10．如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示方向运动，第一次运动到（1，3），第二次运动到（2，0），第三次运动到（2，﹣1），第四次运动到（3，﹣1），第五次运动到（3，0），按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 　 　 ． 【答案】（1214，﹣1）． 【分析】根据题中所给的点P的运动方式，发现纵坐标为3的这些点与运动次数之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点P第一次运动到（1，3）， 点P第六次运动到（4，3）， 点P第十一次运动到（7，3）， …， 由此可见，点P第（5n﹣4）次运动到的点的坐标为（3n﹣2，3）（n为正整数）． 当n＝405时， 5n﹣4＝2021，3n﹣2＝1213， 即点P第2021次运动后的坐标为（1213，3）． 所以P第2023次运动后的坐标为（1214，﹣1）． 故答案为：（1214，﹣1）． 【类型9 函数规律——探究图形的变换规律10题】 1．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2026次旋转后，点D的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣3，﹣1） D．（1，3） 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到D（1，3），结合图形找出旋转规律即可求解． 【解答】解：∵风车图案的中心为正方形， ∴OA＝OB＝1，∠AOB＝90°， 如图所示，作DE⊥BC于点E， ∴∠DEC＝∠AOB＝90°， ∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴DE＝OA＝1， ∴△AOB≌△DEC（HL）， ∴OB＝EC＝1， ∴OE＝OC﹣CE＝4﹣1＝3， ∵OA∥DE，∠AOB＝90°，OE∥AD， ∴四边形AOED是矩形，则AD＝OE＝3， ∴D（1，3）， ∵每次旋转90°， ∴旋转第一次时，点A对应点为F，点D对应点为D1，则D1（﹣1，3）， 旋转第二次时，点F对应点为G，点D1对应点为D2，则D2（﹣1，﹣3）， 旋转第三次时，点G对应点为B，点D2对应点为D3，则D3（﹣3，1）， 旋转第四次时，点B对应点为A，点D3对应点为D，则D（1，3）， ∵2026÷4＝506⋯⋯2， ∴将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2026次旋转后，点D的坐标为（﹣1，﹣3）． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，顶点A（0，2）在y轴上，点C在x轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由题意得点D每旋转4次回到原位置，根据2025＝506×4+1，可得第2025次旋转结束时点D的位置与第1次旋转结束时点D的位置相同．由题意可得AD＝BD＝AB＝2，则△ABD为等边三角形，可得∠BAD＝60°，则∠OAD＝30°，可得DE1，AE，则可得点D的坐标为（1，），结合旋转的性质可得第1次旋转结束时点D的对应点D'的坐标为（），进而可得答案． 【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E， ∵点D绕点O逆时针每次旋转90°， ∴点D每旋转4次回到原位置． ∵2025＝506×4+1， ∴第2025次旋转结束时点D的位置与第1次旋转结束时点D的位置相同． ∵A（0，2）， ∴OA＝2． ∵四边形OABC是正方形， ∴∠OAB＝90°，OA＝AB＝2． 由作图可得AD＝BD＝AB＝2， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠BAD＝60°． ∵∠OAB＝90°， ∴∠OAD＝30°， ∴DE1， ∴AE， ∴OE＝OA﹣AE， ∴点D的坐标为（1，）． 由旋转可得，第1次旋转结束时点D的对应点D'的坐标为（）， ∴第2025次旋转结束时，点D对应点的坐标是（）． 故选：A． 3．如图，正方形OABC的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为（1，1），以对角线OB为边作第二个正方形OBDE，与点O相对的顶点D的坐标为（0，2），再以对角线OD为边作第三个正方形ODFG，与点O相对的顶点F的坐标为（﹣2，2），如此下去，则第2026个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（　　） A．（22026，22026） B．（0，22026） C．（21013，21013） D．（0，21013） 【答案】D 【分析】根据题意得出每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，再根据每次变换后对角线的长是上一次的倍即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为360°÷45°＝8， 所以每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复． 又因为2026÷8＝253余2， 所以第2026个正方形中与点O相对的顶点在OD上，即在y轴上． 又因为每次变换后，对角线的长变为上一次的倍， 所以第2026个正方形中含点O的对角线长为， 所以第2026个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（0，21013）． 故选：D． 4．如图，将折线O﹣A1﹣A2﹣A3﹣A4绕点A4顺时针旋转180°得到一段新的折线A4﹣A5﹣A6﹣A7﹣A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转180°…以此类推，得到一段连续的折线．则点A2025的坐标为（　　） A．（1265，0） B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图象可知，A8k（5k，0），An的纵坐标以，为一组进行循环，进而求出A2025的坐标即可． 【解答】解：由题意，如图， 可知：A4，A8，A12…在x轴上，且，An的纵坐标以，0，为一组进行循环， ∴OA8＝5，即一个循环，横坐标增加5，且在一个循环内横坐标的变化为， ∴A8（5，0），A16（10，0），A24（15，0）…， ∴A8k（5k，0）， ∵2025÷8＝253…1， ∴A2025的纵坐标为，横坐标为：5×253+1＝1266， ∴， 故选：C． 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，边AB＝1，现将Rt△ABC以点A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则经过2030次旋转后，点C的坐标为（　　） A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，0） 【答案】A 【分析】先求出BC＝2AB＝2，，由题意可知，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则每6次旋转1周，得到经过2030次旋转后，点C落在的位置，画出图形进行解答即可． 【解答】解：在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1， ∴BC＝2AB＝2， ∴， 由题意可知，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则每6次旋转1周．2030÷6＝338…2， 如图，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，经过2030次旋转后，点C转到点D的位置，则，∠CAD＝120°，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H， ∵∠DAH＝∠CAD﹣∠CAH＝30°， ∴， ∴， ∵A（1，1）， ∴点D的坐标是， 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AB在x轴上．已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∠BAD＝45°，AD⊥BD．若将▱ABCD绕点A顺时针旋转，每次旋转45°，则第2025次旋转结束时，点C的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得▱ABCD绕点A顺时针旋转8次，回到起始位置，第2025次旋转结束时点C的坐标与第一次旋转结束时点C的坐标相同，如图所示即为点C′的坐标，求出AB＝4，得到，根据旋转的性质得到，AB′＝AB＝4，，∠C′B′D′＝∠CBD＝90°，得出C′的横坐标为，纵坐标为，即可得到第2025次旋转结束时，点C的对应点的坐标为． 【解答】解：∵360°÷45°＝8， ∴▱ABCD绕点A顺时针旋转8次，回到起始位置， ∵2025÷8＝253⋯1， ∴与第一次旋转结束时点C的坐标相同， 如图所示即为点C′的坐标， 由题意可得：AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ABD＝∠BAD＝45°， ∴AD＝BD， ∴， ∵▱ABCD， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴，∠CBD＝∠ADB＝90°， ∵，AB′＝AB＝4，，∠C′B′D′＝∠CBD＝90°， ∴C′的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点C的对应点的坐标为， 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线C2，再将抛物线C2沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线C3…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线C1，C2，C3，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣1，抛物线C3的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+1，抛物线C4的解析式为：y＝（x﹣7）2﹣1，然后根据直线平移速度，得出第1秒结束时，，第2秒结束时，，第3秒结束时，，第4秒结束时，，第5秒结束时，，第6秒结束时，，第7秒结束时，，第8秒结束时，，第9秒结束时，，总结得出一般规律，得出答案即可． 【解答】解：的顶点坐标为：（1，1）， 抛物线顶点坐标为（3，﹣1）， 则抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣1， 则抛物线C3的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+1， 则抛物线C4的解析式为：y＝（x﹣7）2﹣1， 第1秒结束时，， 第2秒结束时，， 第3秒结束时，， 第4秒结束时，， 第5秒结束时，， 第6秒结束时，， 第7秒结束时，， 第8秒结束时，， 第9秒结束时，， …… ∴根据上述数据得到点P的纵坐标的规律为：点P的纵坐标每8秒循环一次， ∵205÷8＝25••••••5， ∴第205秒结束时，点P的纵坐标与第5秒结束时相同，即第205秒结束时，点P的纵坐标为． 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O逆时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…依此规律，得到等腰直角三角形A2026OB2026，则点B2026的坐标是　 　 ． 【答案】（﹣22026，﹣22026）． 【分析】根据题意得出点Bn坐标的变化规律，进而得出点Bn的坐标，进而得出答案． 【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，AO＝1， ∴AO＝AB＝1， ∴B（1，1）， 将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO， ∴A1O＝A1B1＝2， ∴B1（﹣2，2）， 依此规律， ∴每4次循环一周，B2（﹣4，﹣4），B3（8，﹣8），B4（16，16）， …， 总结规律得：Bn横纵坐标的绝对值是2n， ∵2026÷4＝506……2， ∴B2026与B2在同一象限，即第三象限， ∴点， 故答案为：（﹣22026，﹣22026）． 9．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是　 　 ． 【答案】． 【分析】过点C作CD⊥x轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，…，进而得到，，，…，推出，根据2025＝2×1013﹣1，求出点C2025的坐标即可． 【解答】解：过点C作CD⊥x轴， ∵△ABC为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴C1是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转180°，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，⋯， ∴，，，…， ∴， ∵2025＝2×1013﹣1， ∴， 即， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是；如此下去，…，则A2025的坐标是 　 　 ． 【答案】（，）． 【分析】根据所给滚动方式，依次求出点An（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点A1的坐标为（2，0）， 点A2的坐标为（2，0）， 点A3的坐标为（3，）， 点A4的坐标为（3，2）， 点A5的坐标为（3，2）， 点A6的坐标为（，3）， 点A7的坐标为（1，3）， 点A8的坐标为（1，3）， 点A9的坐标为（，）， 点A10的坐标为（0，1）， 点A11的坐标为（0，1）， 点A12的坐标为（，）， 点A13的坐标为（2，0）， …， 由此可见，点An的坐标每12个循环一次， 因为2025÷12＝168余9， 所以点A2025的坐标为（，）， 故答案为：（，）． 【类型10 函数规律——函数与几何综合10题】 1．（2025•端州区校级二模）如图，观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令x＝n，可得：An纵坐标为an2，Bn 纵坐标为﹣an，利用阅读学习的知识迁移计算解答即可． 【解答】解：∵过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn， ∴令x＝n，可得：An纵坐标为an2，Bn 纵坐标为﹣an， ∴，BnPn＝an， ∴， ∴， ∴ ， 当n＝2024时，原式， 故选：D． 2．（2025•衡阳模拟）如图是反比例函数的图象，点A（2，6），过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝CA，过点A1，A2，A3，A4分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点B1，B2，B3，B4.按照上述方法则线段A11B11的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝CA和A（2，6）求出点A1，A2，A3，A4，An的坐标，再结合反比例函数的性质求出点B1，B2，B3，B4，Bn的坐标即可求解． 【解答】解：∵点A（2，6），AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝CA， ∴A1（4，6），A2（6，6），A3（8，6），A4（10，6），An（2n+2，6）． ∵点B1，B2，B3，B4，Bn在反比例函数的图象上， ∴，，，，， ∴，，， ∴当n＝11时，． 故选：A． 3．（2026•龙凤区校级一模）如图，直线与x轴交于点A1，与直线交于点B1，过点B1作l1的垂线交x轴于点A2，过点A2作l1的平行线交l2于点B2，过点B2作l1的垂线交x轴于点A3，过点A3作l1的平行线交l2于点B3，…按此方法作下去，则点B2025的坐标是　 ． 【答案】． 【分析】分别过点B1，B2，B3作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，依题意得OA1＝1，∠B1A1A2＝60°，∠B1OA1＝30°，进而得∠OB1A1＝30°，则OA1＝A1B1＝1，由此可求出A2B1＝√3，再由△的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据A2B1⊥直线l1，A2B2∥直线l1，得A2B1⊥A2B2，∠A2B2B1＝∠OB1A1＝30°，∠B2A2A3＝∠B1A1A2＝60°，则，A2B2＝3，再由A3B2⊥直线l1得∠B2A2A3＝60°，则∠A2A3B2＝30°，A2A3＝2A2B2＝6，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，…，以此类推，点Bn的坐标为，据此规律即可得出点B2025的坐标． 【解答】解：直线与x轴交于点A1，如图，分别过点B1，B2，B3作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3， ∴直线与x轴的夹角为60°，点A1的坐标为（1，0）， ∴OA1＝1，∠B1A1A2＝60°， ∵直线经过坐标原点， ∴直线与x轴的夹角为30°， ∴∠B1OA1＝30°， ∵∠B1A1A2＝∠B1OA1+∠OB1A1， ∴60°＝30°+∠OB1A1， ∴∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∵A2B1⊥直线l1， ∴∠A2B1A1＝90°， ∴∠A1A2B1＝30°， ∴A1A2＝2A1B1＝2， 在Rt△A1A2B1中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：△A1A2B1的面积， ∴， 在Rt△A1B1C1中，由勾股定理得：， ∴， ∴点B1的坐标为， ∵A2B1⊥直线l1，A2B2∥直线l1， ∴A2B1⊥A2B2，∠A2B2B1＝∠OB1A1＝30°，∠B2A2A3＝∠B1A1A2＝60°， ∴， 由勾股定理得：， ∵A3B2⊥直线l1， ∴在Rt△A2A3B2中，∠B2A2A3＝60°，则∠A2A3B2＝30°， ∴A2A3＝2A2B2＝6， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：△A2A3B2的面积， ∴， 在Rt△A2C2B2中，由勾股定理得：， ∴， ∴点B2的坐标为，同理可得：点，点，…，以此类推，点Bn的坐标为， ∴当n＝2025时，，， ∴点B2025的坐标为， 故答案为：． 4．（2026•昌吉州二模）对于正整数x，规定函数，在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数），例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，6），经过第2次运算得到点（2，3），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（4，2）经过第2026次运算后得到点是　 　 ． 【答案】（1，2）． 【分析】先计算点（4，2）每次运算后的结果，找出循环周期，再根据总次数确定最终结果 【解答】解：初始点为（4，2）， 第1次运算：横坐标4为偶数，，纵坐标2为偶数，，得到点（2，1）； 第2次运算：横坐标2为偶数，，纵坐标1为奇数，f（1）＝1+1＝2，得到点（1，2）； 第3次运算：横坐标1为奇数，f（1）＝1+1＝2，纵坐标2为偶数，，得到点（2，1）； 可得规律：从第1次运算开始，每2次运算为一个循环，运算次数为奇数时结果为（2，1），运算次数为偶数时结果为（1，2）， ∵2026是偶数， ∴经过第2026次运算后得到的点是（1，2）， 故答案为：（1，2）． 5．（2026•南京模拟）如图，小明同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）⋯，A19（1.9，y19）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+⋯+y19的值是　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据题意得出y1+y19＝0，y2+y18＝0，…得出y1+y2+y3+⋯⋯+y19＝y10+0×9＝0，根据题意可得y0＝﹣1，即可求解． 【解答】解：∵函数图象关于点（1，0）中心对称，这20个点的横坐标从0开始依次增加0.1， ∴， ∴y1+y19＝0，y2+y18＝0，…， ∵A10（1，0）即y10＝0， ∴y1+y2+y3+⋯⋯+y19＝y10+0×9＝0， ∵y＝x3﹣3x2+3x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1，即（0，﹣1），即y0＝﹣1， ∴y0+y1+y2+y3+⋯⋯+y19＝﹣1+0＝﹣1， 故答案为：﹣1． 6．（2026•于都县模拟）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数y＝x3+3x2﹣2的图象，发现该图象关于点（﹣1，0）成中心对称．若点A0（0，y0），A1（﹣0.1，y1），A2（﹣0.2，y2），A3（﹣0.3，y3），…，A19（﹣1.9，y19）都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小0.1，则y0+y1+y2+y3+⋯+y19的值是　 　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据题意得出y1+y2+y3+⋯y9+y11⋯+y19＝0，进而转化为求y0+y1+y2+y3+⋯⋯+y19＝y0，根据题意可得y0＝﹣2，即可求解． 【解答】解：由题意可得： ⋯1， ∴y1+y2+y3+⋯y9+y11⋯+y19＝0， ∴y0+y1+y2+y3+⋯⋯+y19＝y0， ∵y＝x3+3x2﹣2， 当x＝0时，y＝﹣2，即y0＝﹣2， ∴y0+y1+y2+y3+⋯⋯+y19＝y0＝﹣2， 故答案为：﹣2． 7．（2025•山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…，都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5，…，都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…，都在正比例函数的图象上，且B2C1＝2A2C1，B3C2＝2A3C2，B4C3＝2A4C3，…，连接A1B2，A1B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到△O1A2B2，△O2A3B3，△O3A4B4，…，若B1（2，0），B2（3，0），A1（3，1），则△O2024A2025B2025的面积为　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意和图形可先求得∠B2B3A2＝∠B1B2A1＝90°，∠B3B4A3＝∠B2B3A2＝90°，∠B4B5A4＝∠B3B4A3＝90°，⋯⋯，∠BnBn+1An＝∠Bn﹣1BnAn﹣1＝90°，，，，⋯⋯，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解． 【解答】解：∵B1（2，0），B2（3，0），A1（3，1）， ∴点A1（3，1）与点B2（3，0）的横坐标相同，OB1＝2，B1B2＝3﹣2＝1，A1B2＝1，OB2＝3， ∴A1B2⊥x轴， ∴∠A1B2O＝90°， ∵B2C1＝2A2C1， ∴， ∵四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…都是平行四边形， ∴A1B1∥A2B2，A2C2∥OB2，A2B3∥OB3，A2C2＝B2B3，A1B1＝B2C1 ∴∠A1B1B2＝∠A2B2B3，∠C1A2C2＝∠C1B2O，∠C1C2A2＝∠C1OB2，， ∴△C1C2A2∽△C1OB2， ∴， ∴， ∴，， ∴△B2B3A2∽△B1B2A1， ∴∠B2B3A2＝∠B1B2A1＝90°， ∴， 同理可得∠B3B4A3＝∠B2B3A2＝90°，∠B4B5A4＝∠B3B4A3＝90°，⋯∠BnBn+1An＝∠Bn﹣1BnAn﹣1＝90°，，，⋯，， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025•岳池县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的函数解析式为y＝x，点A1的坐标为，以点O为圆心，OA1的长为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以点O为圆心，OA2的长为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以点O为圆心，OA3的长为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4，…，按照这样的规律进行下去，点A100的横坐标是　 ． 【答案】250． 【分析】作B1H⊥x轴于点H，依次求出OA2，OA3，OA4，找出规律即可解决． 【解答】解：已知直线l的函数解析式为y＝x，点A1的坐标为，如图，作B1H⊥x轴于点H， ∴OH＝B1H， ∴∠B1OH＝45°， ∵OA1＝OB1， ∴， 由条件可知， 由勾股定理得：， ∴A2（2，0）， 同理，OA2＝OB2＝B2A3＝2， ∴， 同理，， ， ⋯⋯， ∴， 即点A100的横坐标是250， 故答案为：250． 9．（2025•龙江县二模）如图，把Rt△OA1B1置于平面直角坐标系中，点A1的坐标为（3，4），点B1的坐标为（3，0），∠OA1B1与∠OB1A1的平分线交于点P1，过点A1作OA1的垂线，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线，交直线OA1于点A2，∠OA2B2与∠OB2A2的平分线交于点P2，…，按此规律，则点P2025的坐标是 　 　 ． 【答案】． 【分析】作P1C⊥A1B1于C，P1D⊥OB1于D，P1E⊥OA1于E，连接OP1，证明四边形P1CB1D是正方形，得B1C＝B1D，证明Rt△A1P1C≌Rt△A1P1E（HL），得A1E＝A1C，同理可得OE＝OD，设P1C＝P1D＝x，求得，进而得P1（2，1），同法求得，即，，即可得出变化规律，从而得解． 【解答】解：作P1C⊥A1B1于C，P1D⊥OB1于D，P1E⊥OA1于E，连接OP1， ∴∠P1CB1＝∠P1DB1＝90°， ∵A1B1⊥OB1， ∴∠A1B1O＝90°， ∴四边形P1CB1D是正方形， ∴B1C＝B1D， ∵∠OA1B1与∠OB1A1的平分线交于点P1， ∴P1C＝P1D＝P1E， ∵A1P1＝A1P1， ∴Rt△A1P1C≌Rt△A1P1E（HL）， ∴A1E＝A1C， 同理OE＝OD， ∵点A1的坐标为（3，4）， ∴OB1＝3，A1B1＝4， ∴， 设P1C＝P1D＝x， ∴B1C＝B1D＝x， ∴OE＝OD＝3﹣x，A1E＝A1C＝4﹣x， ∴3﹣x+4﹣x＝5， ∴， ∴OD＝2， ∴P1（2，1）， ∵B2A1⊥OA1， ∴∠A1OB1+∠OA1B1＝∠A1OB1+∠A1B2O＝90°， ∴∠OA1B1＝∠A1B2O， ∴， ∴， ∵A2B2⊥OB2， ∴A1B1∥A2B2， ∴△OA1B1∽△OA2B2， ∴，即， ∴， ∴， 作P2C1⊥A2B2于C1，P2D1⊥OB2于D1，P2E1⊥OA2于E1， 同理可求， ∴， ∴，即； 作P3C2⊥A3B3于C2，P3D2⊥OB3于D2，P3E2⊥OA3于E2， 同理可求，，， ， ∴， ∴， ⋯⋯， 依此类推，可得P2025的坐标是， 故答案为：． 10．（2025•齐齐哈尔一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线l：上，过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线l上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线l上，…，按此规律，若点B的坐标为（0，1），则点B45的坐标为 　 　 ． 【答案】 【分析】先求出点A的坐标，进而得出△OAB的周长，根据所给旋转方式发现点B2n﹣1（n为正整数）都在直线上，依次求出OB2n﹣1的长度，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知，将y＝1代入， 得， ∴点A的坐标为， ∴OB＝1，， 在Rt△ABO中，， ∴， 由所给旋转方式可知，点B2n﹣1（n为正整数）在直线上，且在第二象限， ∴， ， ， ...， ∴， ∴， 设点B45的坐标为， 在Rt△AOB中，， ∴∠AOB＝60°， ∴，﹣m＝OB45•sin∠AOB， ∴， ∴点B45的坐标为， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 规律探究题10大类型专练（举一反三综合训练） 【全国通用】 【类型1 数式规律——探究符号与系数类10题】 1 【类型2 数式规律——探究运算周期类10题】 2 【类型3 数式规律——探究数阵类10题】 4 【类型4 数式规律——探究等式类10题】 8 【类型5 图形规律——探究等差类10题】 12 【类型6 图形规律——探究递增类10题】 14 【类型7 图形规律——探究几何类10题】 17 【类型8 函数规律——探究点的坐标规律10题】 20 【类型9 函数规律——探究图形的变换规律10题】 24 【类型10 函数规律——函数与几何综合10题】 28 【类型1 数式规律——探究符号与系数类10题】 1．（2026•盘龙区校级一模）按一定规律排列的代数式：﹣2m，3m2，﹣4m3，5m4，﹣6m5，7m6，…，第2026个代数式是（　　） A．2026m2025 B．﹣2026m2025 C．2027m2026 D．﹣2027m2026 2．（2026•威信县一模）观察一组按规律排列的式子：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…，则第n（n为正整数）个式子是（　　） A．±（2n+1）an B．±（2n﹣1）an C．（﹣1）n+1（2n+1）an D．（﹣1）n+1（2n﹣1）an 3．（2026•云南模拟）按一定规律排列的单项式：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，…，第n个单项式是（　　） A．（﹣1）n（2n﹣1）xn B．（﹣1）n（2n+1）xn C．（﹣1）n+1（2n+1）xn D．（﹣1）n+1（2n﹣1）xn 4．（2026•昆明模拟）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•云南模拟）按一定规律排列的代数式．，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 6．（2026•大理州模拟）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（　　） A． B． C． D． 7．（2026•昭阳区校级模拟）按一定规律排列的代数式：2026a，2027a2，2028a3，2029a4，…，则第n个代数式是（　　） A．2026an﹣1 B．2026an C．（2026+n）an D．（2025+n）an 8．（2026•沈丘县一模）观察xy2，﹣x2y3，x3y4，﹣x4y5，⋯，根据这些代数式的变化规律，可得第2026个代数式是　 ． 9．（2026•雁塔区校级模拟）一组数，，，按一定的规律排列，请你根据排列规律，推测这组数的第50个数应为 　　 ． 10．（2026•建湖县一模）按一定规律排列的代数式：5x，﹣10x2，15x3，﹣20x4，25x5，…，则第2026个代数式是　 ． 【类型2 数式规律——探究运算周期类10题】 1．（2026•福州模拟）已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2025的值为（　　） A．﹣1012 B．﹣1013 C．﹣2024 D．﹣2025 2．（2025•济宁二模）已知a1为实数，规定运算：，．按上述规定，当a1＝2时，的值等于（　　） A． B． C．﹣1 D．0 3．（2025•东平县二模）已知一列数a1，a2，a3…中，a1＝2，a2＝6且（n为正整数，且n≥2），则a2025＝（　　） A． B． C．2×32025 D．2×32024 4．（2025•益阳模拟）阅读：已知对于任意正整数n，都有an＝n（n+1），求的值．小郭通过思考发现可以这样解答；．若对于任意正整数n，都有a1+a2．则（　　） A． B． C． D． 5．（2026•泰和县校级模拟）大衍数列：0，2，4，8，…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，已知大衍数列可按如下方式排列：，，，，…．则大衍数列的第9个数是　 　 ． 6．（2026•郑州校级模拟）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．已知a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数…，则a2026的值为　 　 ． 7．（2026•东昌府区一模）已知a1＝2，，，…，，则a2026的值为　　 ． 8．（2026•镜湖区校级一模）已知一个由非负整数组成的数列{an}，从a3开始满足a3＝|a1﹣2a2|，a4＝|a2﹣2a3|，a5＝|a3﹣2a4|，…，a2026＝|a2024﹣2a2025|． （1）当a1＝2，a2＝4时，a4＝　 　 ； （2）当a1＝m，a2＝1（m≥3，m为整数）时，a2026＝　 　 ． 9．（2026•临泉县一模）对于实数a，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当a＝﹣1时，a2＝　 　 ； （2）当a＝﹣2时，a+a1+a2+a3+⋯+a2026＝　 　 ． 10．（2026•水磨沟区模拟）已知a≠0且a≠1，我们定义，记为，记为a2；…；，记为an．若将数组中的各数分别作f1的变换，得到的数组记为（a1，b1，c1）；将（a1，b1，c1）作f2的变换，得到的数组记为（a2，b2，c2）；…．则a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a2026+b2026+c2026的值为　 　 ． 【类型3 数式规律——探究数阵类10题】 1．（2026•宜宾校级模拟）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（　　） A．36 B．96 C．226 D．426 2．（2025•射洪市校级二模）将一组数，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•澄迈县一模）我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律：（　　） （a+b）0＝1（a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 展开式系数和为1 展开式系数和为1+1 展开式系数和为1+2+1 展开式系数和为1+3+3+1 展开式系数和为1+4+6+4+1 以上系数表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是（　　） A．64 B．128 C．256 D．612 4．（2026•宝鸡一模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，⋯，我们把第一个数记为a1＝2，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a7＝　 　 ． 5．（2026•平房区一模）如图，将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照排列的规律，第7行第4个数是　 　 ． 6．（2026•合肥模拟）观察下面一列数： 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 　 　 ． 7．（2026•鲁山县一模）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】 已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 　 　 ． 8．（2025•崂山区二模）如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是　 　 ． ①（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； ②当a＝﹣2，b＝1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是﹣1； ③当a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5的值是0时，一定是a＝﹣1，b＝1； ④（a+1）n的展开式中的各项系数之和为2n． 9．（2026•南陵县一模）下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： （1）1×4，2×5，3×6，4×7，5×8，　 　 ； （2）2，5，9，14，20，　 　 ； （3）小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第n行最后一个数是　　 （用含n的式子表示），并求出2026是第几行从左到右数的第几个数． 10．（2026•丹江口市一模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释 二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，n﹣1，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，n﹣1，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题： （1）写出（a+b）6的展开式的第四项为　 ； （2）在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是2n，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算（a+b）n的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则n＝　 　 ； （3）小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作m＝1的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有一次函数关系m＝n；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（n＝1，2，3，4，5，6）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证，当n＝5时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致； ②若展开式第三项的系数为190，则n＝　 　 ； （4）小慧所在的“发现者”小组则发现（a+b）n展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答： ①写出（2x﹣1）5展开式第一项为　 ，第二项为　 ； ②请写出的展开式第三项：　 ； ③计算29+9×28×81+36×27×82+84×26×83+…+36×22×87+9×21×88+89＝　 　 ． 【类型4 数式规律——探究等式类10题】 1．（2026•蚌埠一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 2．（2026•无为市一模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数除外）．例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． 任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是　 　 ； 任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：∵，，∴； 方法二； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为　 　 ； 任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ① ② ③ … 则根据上述规律，写出第⑥个等式为　　 ，猜想第n个等式为　　 ，并证明你的猜想； 任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将（其中k＞2且k为奇数）写出成个分母不同的“埃及分数”的和的形式为　 　 ． 3．（2026•宁国市一模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … 按照以上规律，解答下列问题． （1）写出第5个等式：　 　 ． （2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明你的猜想． 4．（2026•全椒县校级模拟）观察以下等式： 第1个等式：（4×1+1）2＝（4×3+1）2﹣（4×3）2； 第2个等式：（4×2+1）2＝（8×5+1）2﹣（8×5）2； 第3个等式：（4×3+1）2＝（12×7+1）2﹣（12×7）2； 第4个等式：（4×4+1）2＝（16×9+1）2﹣（16×9）2； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 5．（2026•阜南县校级一模）新考法项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： 12×231＝132×21， 16×671＝176×61， 25×572＝275×52， 54×495＝594×45， 63×396＝693×36， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： （1）填空： （i）27×　 　 ＝　 　 ×72； （ii）　 　 ×352＝253×　 　 ； （2）有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9， 则等式左边的式子可表示为（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，等式右边的式子可表示为[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）， 左边＝（10a+b）（110b+11a）， 右边＝（110a+11b）（10b+a）， ∴左边＝右边＝11[　 　 ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 6．（2026•蜀山区校级一模）观察以下等式： 第1个等式：32﹣1×4＝22+1； 第2个等式：52﹣2×7＝32+2； 第3个等式：72﹣3×10＝42+3； 第4个等式：92﹣4×13＝52+4．… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 7．（2026•蜀山区一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　 （用含n的等式表示），并证明． 8．（2026•合肥一模）观察以下等式： 第1个等式：152＝100×2+25，第2个等式：252＝100×6+25， 第3个等式：352＝100×12+25，第4个等式：452＝100×20+25，… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　 （用含n的等式表示），并证明． 9．（2026•桐城市校级一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 10．（2025•合肥校级三模）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： 【规律发现】 （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式　 　 ； 【规律应用】（3）应用规律计算：（需写出过程）． 【类型5 图形规律——探究等差类10题】 1．（2026•九龙坡区校级模拟）如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（　　） A．22 B．25 C．28 D．31 2．（2026•香坊区一模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了8根木棍，第②个图案用了11根木棍，第③个图案用了14根木棍，第④个图案用了17根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（　　） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 3．（2026•郸城县校级一模）用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个五角星，第2个图案中有6个五角星，第3个图案中有8个五角星，第4个图案中有10个五角星，…，按此规律排列下去，则第9个图案中五角星的个数为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 4．（2026•北碚区校级模拟）按如图所示的规律拼图案，第①个图中有5个★，第②个图中有9个★，第③个图中有13个★…按照这一规律，第⑨个图中★的个数是（　　） A．33 B．35 C．37 D．39 5．（2026•铜梁区校级一模）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（　　） A．59 B．76 C．67 D．96 6．（2026•万州区一模）将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中的一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形…按照这样的规律，图6中共有正方形（　　） A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 7．（2026•丰都县校级模拟）小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，...，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（　　） A．29 B．31 C．33 D．35 8．（2026•平陆县一模）将形状、大小完全相同的小圆点“•”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为　 　 ． 9．（2026•城固县模拟）晋商大院的窗格是刻在木上的算盘．横格如商路纵横，竖棂似银两码齐，连雕花都藏着“诚信通四海”的暗语．下列图案是曹家大院窗格的一部分，其中“”代表窗格上所贴的剪纸，则第10幅图中所贴剪纸“”的个数为　 　 个． 10．（2026•西安一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图①由6架无人机组成，图②由10架无人机组成，图③由14架无人机组成，…，按照这种规律继续摆下去，图⑦由　 　 架无人机组成． 【类型6 图形规律——探究递增类10题】 1．（2026•苍溪县模拟）如图图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，…，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（　　） A．81 B．77 C．75 D．70 2．（2026•南岗区校级一模）观察下列图形规律，当图形中的“〇”的个数为28时，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2026•重庆模拟）如图图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，则图⑦的棋子颗数为（　　） A．40 B．53 C．68 D．85 4．（2026•海门区模拟）如图，下列图形都是由同样大小的圆点按照一定规律组成的，其中第①个图形中有3个圆点，第②个图形中有7个圆点，第③个图形中有13个圆点，按此规律排列下去，第10个图形中圆点的个数为（　　） A．90个 B．110个 C．111个 D．133个 5．（2026•威海模拟）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（　　） A．69 B．73 C．77 D．83 6．（2026•让胡路区校级模拟）观察下列图形，其中第①个图形由5个“△”组成，第②个图形由8个“△”组成，第③个图形由13个“△”组成、…，照此规律下去，则第⑧个图形“△”的个数一共有　 个． 7．（2026•崆峒区模拟）以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放．第1幅图中“●”的个数为3，第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15……以此类推，则第7幅图中“●”的个数为　 　 ． 8．（2026•南岗区一模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．…按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n＝　 　 ． 9．（2025•哈尔滨模拟）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第1个图需要黑色棋子3个，第2个图需要黑色棋子8个……按照这样的规律摆下去，则第10个图需要黑色棋子的个数为　 　 ． 10．（2026•六安一模）“”与“☆”按如图所示的规律进行排列： （1）第6个图案中“☆”的个数是　 ；第n个图案中“☆”的个数为　 　 ； （2）若第（n+1）个图案与第（n﹣3）个图案中“☆”的个数之差比第n个图案中“”的个数多70，求正整数n． 【类型7 图形规律——探究几何类10题】 1．（2026•长沙校级一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积为 　 ． 2．（2026•让胡路区校级模拟）“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的．如图是彤彤尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第二步中弧所在扇形的半径是1厘米，第三步中弧所在扇形的半径是2厘米，按照这样的方法继续画下去，第八步中的弧所在扇形的半径是　 　 厘米． 3．（2026•沛县一模）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2025B2025A2026的边长为　 ． 4．（2026•让胡路区校级模拟）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第8个图形中共有　 　 个正方形． 5．（2025•黑龙江三模）如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交OP于点B1，在ON上截取A1A2，使A1A2＝A1B1，过点A2作A2B2⊥ON交OP于点B2，过点B1作B1C1⊥A2B2，垂足为C1，得正方形A1B1C1A2；在ON上继续截取A2A3，使A2A3＝A2B2，过点A3作A3B3⊥ON交OP于点B3，过点B2作B2C2⊥A3B3，垂足为C2，得正方形A2B2C2A3；……以此类推，在ON上继续截取AnAn+1，使AnAn+1＝AnBn，过点An+1作An+1Bn+1⊥ON交OP于点Bn+1，过点Bn作Bn∁n⊥An+1Bn+1，垂足为∁n，得正方形AnBn∁nAn+1．则正方形AnBn∁nAn+1的面积为 　 ． 6．（2025•祁阳市校级模拟）如图，△ABC中，AD1AB，D1D2D1B，D2D3D2B，…，照这样继续下去，D2021D2022D2021B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D3E3∥BC，…，D2025E2025∥BC，则　 ． 7．（2025•富锦市校级四模）如图，△OAA1是直角边长为2的等腰直角三角形，以等腰直角三角形OAA1的斜边OA1为直角边作第二个等腰直角三角形OA1A2，连接AA2，得到△AA1A2；再以等腰直角三角形OA1A2的斜边OA2为直角边作第三个等腰直角三角形OA2A3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以等腰直角△OA2A3的斜边OA3为直角边作第四个等腰直角三角形OA3A4，连接A2A4，得到△A2A3A4，．记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3，如此下去，则S2025＝　 ． 8．（2025•潍坊二模）如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线m的夹角为30°，延长CB1交直线m于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线m于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线m于点A3，作正方形A3B3C3B4，⋯，依此规律，则A2024A2025等于 　 ． 9．（2025•新蔡县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，⋯，按照此规律继续下去，则S9的值为 　　 ． 10．（2025•中牟县模拟）如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn，四边形A5B5C5D5的周长是 　　 ，四边形AnBn∁nDn的面积是 　　 ． 【类型8 函数规律——探究点的坐标规律10题】 1．如图所示，在台球桌面ABCD上建立平面直角坐标系，点P从（0，1）出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（2，3） D．（3，2） 2．如图，点P1的坐标为（1，0），P2为y轴正半轴上一点，且∠OP2P1＝30°，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从P1跳到P2处，第二步从P2跳到P3处，且P1P2＝P1P3，第三步从P3跳到P4处，且P2P3＝P2P4，第四步从P4跳到P5处，且P3P4＝P3P5，…，按此规律一直跳下去，则P10的坐标为（　　） A． B． C．（27，0） D．（0，81） 3．光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从A0（﹣2，﹣1）出发，经过A1（2，1）第1次全反射到达A2（6，﹣1），在A2经过第2次全反射到达A3（10，1），在A3经过第3次全反射到达A4（14，﹣1），依此类推，经过第2025次全反射到达A2026，则A2026的坐标为（　　） A．（8098，﹣1） B．（8098，1） C．（8102，﹣1） D．（8102，1） 4．如图，A1（1，1），A2（2，1），A3（3，2），A4（4，2），A5（5，3），A6（6，3），…，按此规律，点A20的坐标为（　　） A．（19，12） B．（20，12） C．（20，11） D．（20，10） 5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），A1（3，0），A2（5，3），A3（8，1），A4（10，4），A5（13，2），⋯，按照此规律，点A2025的坐标为（　　） A．（1013，1012） B．（5063，1012） C．（5065，1012） D．（5065，2025） 6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），（2，3），（1，3），（0，3），…，根据这个规律探索可得第2025个点的坐标是（　　） A．（43，45） B．（44，45） C．（﹣43，45） D．（﹣44，45） 7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律经过第2025次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2024，1） B．（2024，0） C．（2025，1） D．（2025，2） 8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到A1（0，﹣2）、A2（1，﹣2）、A3（1，0）、A4（1，2）、A5（2，2）、A6（2，0）⋯⋯，那么A2025的坐标为（　　） A．（674，0） B．（674，2） C．（675，2） D．（675，0） 9．如图，在单位长为1的正方形网格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3三个顶点的坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示的规律，A2025的坐标是 　 　 ． 10．如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示方向运动，第一次运动到（1，3），第二次运动到（2，0），第三次运动到（2，﹣1），第四次运动到（3，﹣1），第五次运动到（3，0），按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 　 　 ． 【类型9 函数规律——探究图形的变换规律10题】 1．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为（1，0），（0，4），将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则经过第2026次旋转后，点D的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣3，﹣1） D．（1，3） 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，顶点A（0，2）在y轴上，点C在x轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．如图，正方形OABC的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为（1，1），以对角线OB为边作第二个正方形OBDE，与点O相对的顶点D的坐标为（0，2），再以对角线OD为边作第三个正方形ODFG，与点O相对的顶点F的坐标为（﹣2，2），如此下去，则第2026个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（　　） A．（22026，22026） B．（0，22026） C．（21013，21013） D．（0，21013） 4．如图，将折线O﹣A1﹣A2﹣A3﹣A4绕点A4顺时针旋转180°得到一段新的折线A4﹣A5﹣A6﹣A7﹣A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转180°…以此类推，得到一段连续的折线．则点A2025的坐标为（　　） A．（1265，0） B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，边AB＝1，现将Rt△ABC以点A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则经过2030次旋转后，点C的坐标为（　　） A．（，1） B．（1，） C．（，1） D．（1，0） 6．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AB在x轴上．已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∠BAD＝45°，AD⊥BD．若将▱ABCD绕点A顺时针旋转，每次旋转45°，则第2025次旋转结束时，点C的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线C2，再将抛物线C2沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线C3…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线C1，C2，C3，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O逆时针旋转90°并放大得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…依此规律，得到等腰直角三角形A2026OB2026，则点B2026的坐标是　 　 ． 9．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换．现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n，180°）变换得△AnBn∁n，则点C2025的坐标是　 　 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是；如此下去，…，则A2025的坐标是 　 　 ． 【类型10 函数规律——函数与几何综合10题】 1．（2025•端州区校级二模）如图，观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•衡阳模拟）如图是反比例函数的图象，点A（2，6），过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝CA，过点A1，A2，A3，A4分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点B1，B2，B3，B4.按照上述方法则线段A11B11的长度为（　　） A． B． C． D． 3．（2026•龙凤区校级一模）如图，直线与x轴交于点A1，与直线交于点B1，过点B1作l1的垂线交x轴于点A2，过点A2作l1的平行线交l2于点B2，过点B2作l1的垂线交x轴于点A3，过点A3作l1的平行线交l2于点B3，…按此方法作下去，则点B2025的坐标是　 ． 4．（2026•昌吉州二模）对于正整数x，规定函数，在平面直角坐标系中，将点（m，n）中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数），例如，点（8，5）经过第1次运算得到点（4，6），经过第2次运算得到点（2，3），经过第3次运算得到点（1，4），经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点（4，2）经过第2026次运算后得到点是　 　 ． 5．（2026•南京模拟）如图，小明同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A0（0，y0），A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3）⋯，A19（1.9，y19）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则y0+y1+y2+⋯+y19的值是　 　 ． 6．（2026•于都县模拟）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数y＝x3+3x2﹣2的图象，发现该图象关于点（﹣1，0）成中心对称．若点A0（0，y0），A1（﹣0.1，y1），A2（﹣0.2，y2），A3（﹣0.3，y3），…，A19（﹣1.9，y19）都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小0.1，则y0+y1+y2+y3+⋯+y19的值是　 　 ． 7．（2025•山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，A4B4B5C4，…，都是平行四边形，顶点B1，B2，B3，B4，B5，…，都在x轴上，顶点C1，C2，C3，C4，…，都在正比例函数的图象上，且B2C1＝2A2C1，B3C2＝2A3C2，B4C3＝2A4C3，…，连接A1B2，A1B3，A3B4，A4B5，…，分别交射线OC1于点O1，O2，O3，O4，…，连接O1A2，O2A3，O3A4，…，得到△O1A2B2，△O2A3B3，△O3A4B4，…，若B1（2，0），B2（3，0），A1（3，1），则△O2024A2025B2025的面积为　　 ． 8．（2025•岳池县模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的函数解析式为y＝x，点A1的坐标为，以点O为圆心，OA1的长为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以点O为圆心，OA2的长为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以点O为圆心，OA3的长为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4，…，按照这样的规律进行下去，点A100的横坐标是　 ． 9．（2025•龙江县二模）如图，把Rt△OA1B1置于平面直角坐标系中，点A1的坐标为（3，4），点B1的坐标为（3，0），∠OA1B1与∠OB1A1的平分线交于点P1，过点A1作OA1的垂线，交x轴于点B2，过点B2作x轴的垂线，交直线OA1于点A2，∠OA2B2与∠OB2A2的平分线交于点P2，…，按此规律，则点P2025的坐标是 　 　 ． 10．（2025•齐齐哈尔一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线l：上，过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线l上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线l上，…，按此规律，若点B的坐标为（0，1），则点B45的坐标为 　 　 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $