中点四边形问题复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点

中点四边形问题复习讲义 中点四边形问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 中点四边形的形状由原四边形的对角线特征（位置、数量关系）决定，依托三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半），将原四边形对角线的关系转化为中点四边形的边的平行/相等关系，进而判定中点四边形的特殊形状，本质是三角中位线定边的关系，原四边形对角线定中点四边形形状。 二、通用解题思路 1. 连对角线，用中位线定理：连接原四边形的两条对角线，取各边中点依次连接得中点四边形，利用三角形中位线定理，推导出中点四边形的对边平行且相等，先判定中点四边形必为平行四边形； 1. 依原对角线特征，判定特殊形状：根据原四边形对角线的垂直、相等关系，进一步判定中点四边形的特殊类型，核心对应关系： · 原对角线相等→中点四边形为菱形； · 原对角线垂直→中点四边形为矩形； · 原对角线相等且垂直→中点四边形为正方形； · 原对角线无特殊关系→中点四边形为一般平行四边形。 三、核心技巧与注意事项 1. 核心辅助线：必连原四边形的对角线，否则无法运用三角形中位线定理推导； 1. 判定仅看对角线：中点四边形形状与原四边形是否为特殊四边形无关，仅由其对角线的数量、位置关系决定； 1. 定理反向适用：也可由中点四边形的形状，反推原四边形对角线的特征（如中点四边形是菱形→原对角线相等）。 例题分析 例1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 例2．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 例3．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 例4．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 变式训练 变式1．（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 变式2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 变式3．（24-25九年级上·江西吉安·月考）已知四边形中，，，，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 变式4．（24-25九年级上·福建三明·月考）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 实战演练 1．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点D的坐标为，动点E沿边从A向O以每秒的速度运动，同时动点F沿边从O向C以同样的速度运动，连接、交于点G． (1)试探索线段、的关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接、，分别取、、、的中点H、I、J、K，则四边形是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由． (3)如图②当点E运动到中点时，点M是直线上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $中点四边形问题复习讲义 中点四边形问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 中点四边形的形状由原四边形的对角线特征（位置、数量关系）决定，依托三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半），将原四边形对角线的关系转化为中点四边形的边的平行/相等关系，进而判定中点四边形的特殊形状，本质是三角中位线定边的关系，原四边形对角线定中点四边形形状。 二、通用解题思路 1. 连对角线，用中位线定理：连接原四边形的两条对角线，取各边中点依次连接得中点四边形，利用三角形中位线定理，推导出中点四边形的对边平行且相等，先判定中点四边形必为平行四边形； 1. 依原对角线特征，判定特殊形状：根据原四边形对角线的垂直、相等关系，进一步判定中点四边形的特殊类型，核心对应关系： · 原对角线相等→中点四边形为菱形； · 原对角线垂直→中点四边形为矩形； · 原对角线相等且垂直→中点四边形为正方形； · 原对角线无特殊关系→中点四边形为一般平行四边形。 三、核心技巧与注意事项 1. 核心辅助线：必连原四边形的对角线，否则无法运用三角形中位线定理推导； 1. 判定仅看对角线：中点四边形形状与原四边形是否为特殊四边形无关，仅由其对角线的数量、位置关系决定； 1. 定理反向适用：也可由中点四边形的形状，反推原四边形对角线的特征（如中点四边形是菱形→原对角线相等）。 例题分析 例1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在正方形中，G、E、F是正方形边上的点，连接、，与交于点M，，． (1)求证：； (2)连接、、、的中点P、Q、R、S，试说明四边形是什么特殊的四边形． 【答案】(1)见解析 (2)正方形，说明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键． （1）过点作于点，根据正方形的性质得到，，再结合已知条件得到，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，从而得出，，再根据三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明正方形即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， ， ， 如图，连接、、、的中点P、Q、R、S， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是正方形． 例2．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 【答案】（1）D，（2）且，（3） 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 本题是四边形综合题，考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴ 例3．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先利用中位线定理证明，,，，从而可得，，于是得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得与互相平分； （2）先证明四边形为菱形，根据菱形的性质可得，从而可得． 【详解】（1）证明：如图，连接、、、， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴，； ，， ，． 四边形为平行四边形． 与互相平分； （2）解：，理由如下： 与互相平分，和垂直， 四边形为菱形， ∴， ， 即． 例4．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， ， 四边形的周长为：． 变式训练 变式1．（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形． （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 （5）见解析 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质求解； （2）取格点P、M、N，连接，使B、C、A分别是的中点即可； （3）连接，根据三角形中位线的性质得出，，，．则，．即可由平行四边形的判定定理得出结论； （4）方法一：连接，证明，得同理，，，则，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点．证明，四边形为平行四边形．则．所以．．则． （5）取格点P、Q、M、N，连接，使B、C、D、A分别是的中点即可． 【详解】解：（1）∵是三边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，即为所求； （3）如图，连接， 分别是的中点， ，． 同理：，． ，． 四边形是平行四边形． （4）方法一：连接， ， ． 又为中点， ． ，即． 同理，，， ，即． 方法二：连接分别交于点；过A作于点，交于点． ， ． 又为中点， ． ，． 又，， 四边形为平行四边形． ． ． 同理：． ． （5）如图所示，四边形即为所求．（画出一种即可） 变式2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 变式3．（24-25九年级上·江西吉安·月考）已知四边形中，，，，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形的中位线的性质，矩形的判定． （1）根据三角形的中位线的性质，矩形的判定方法即可求证； （2）由（1）可得四边形的对角线互相垂直，故，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接交于， ∵，， ∴是的中垂线，即于， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴ ， ∴平行四边形是矩形． （2）∵，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴． ∴×10×． 变式4．（24-25九年级上·福建三明·月考）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形． 利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)矩形 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接，根据中位线定理，得出进而得出，，即可求证； （2）根据三角形的中位线定理得出，结合推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 实战演练 1．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】 （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】 （2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】 （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质． （1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； （3）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故答案为：④； （2）解：； 理由如下：如图1， ∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴， 故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点D的坐标为，动点E沿边从A向O以每秒的速度运动，同时动点F沿边从O向C以同样的速度运动，连接、交于点G． (1)试探索线段、的关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接、，分别取、、、的中点H、I、J、K，则四边形是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由． (3)如图②当点E运动到中点时，点M是直线上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)四边形HIJK是正方形，补全图形见解析，理由见解析 (3)存，点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得出，，进而得出，即可得出结论； （2）根据中位线定理，推出，结合，，即可得出结论； （3）易得，，根据菱形的性质进行分类讨论： ①当是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，与互相垂直平分，则M为的中点，先求出点M的坐标，根据M和N关于对称，即可解答；②当是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，（Ⅰ）若M在y轴的左侧时，通过证明，得出，设，则，，在中，求出x的值，即可解答；（Ⅱ）若M在y轴的右侧时，推出，设，则，在中，由勾股定理求出y的值，即可解答． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 综上：，； （2）解：四边形是正方形．理由如下： 如图①所示： ∵H、I、J、K分别是、、、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （3）解：存在，理由如下： ∵四边形为正方形，点D的坐标为， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴，； 分情况讨论：如图②所示： ①当是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，与互相垂直平分，则M为的中点， ∴点M的坐标为， ∵点M和N关于对称， ∴； ②当是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时， （Ⅰ）若M在y轴的左侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ∴，，， ∴； （Ⅱ）若M在y轴的右侧时， 由①得：N的坐标为； 作于P， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴，， ∴， 综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $