旋转过程中的线段问题复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

旋转过程中的线段问题复习讲义 旋转过程中的线段问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣旋转的核心性质（旋转前后对应线段相等，对应点到旋转中心的距离相等），结合全等三角形、等腰/直角三角形、勾股定理、相似三角形等几何定理，通过线段的等量代换、和差拼接与勾股计算，推导线段的相等、和差倍分关系或求线段长度，本质是旋转造等线段，结合几何定理实现线段的转化与计算。 二、通用解题思路 1. 析旋转，标等线段：明确旋转中心、旋转角，标注旋转前后的对应线段（直接相等）、旋转中心与对应点的连线（相等，常为等腰三角形的腰），锁定旋转产生的所有等量线段； 1. 构几何模型，搭线段关联：利用旋转的等线段构造全等三角形（核心），或结合图形形成等腰/直角三角形、相似三角形，搭建待求线段与已知线段的联系桥梁； 1. 代换计算，推线段关系：通过全等实现线段等量替换，结合勾股定理、等腰三角形性质、线段和差进行计算，推导线段的相等关系、长度或和差倍分结论。 三、核心技巧与注意事项 1. 全等构造是关键：旋转天然形成全等三角形，直接利用其实现线段的等量转化，无需额外证明边/角相等； 1. 关注旋转形成的特殊三角形：旋转角为60°/90°时，旋转中心与对应点的连线会形成等边/等腰直角三角形，可直接用其性质求线段； 1. 线段和差沿旋转方向拼接：待求线段为和差形式时，沿旋转中心、对应点的连线方向拆分或拼接，结合等线段替换化简； 1. 勾股定理适配垂直旋转：旋转角为90°时，优先用勾股定理计算线段长度，简化推导。 例题分析 例1．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)当点在边上时，的度数为______； (2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； (3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； (4)连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时的长为； (3)或； (4) 【分析】（1）由旋转得，结合可知垂直平分，故；用证，结合矩形，得． （2）在以为圆心、为半径的圆上，矩形对角线，故最小值为；设，在中列方程求解得． （3）边扫过区域为扇形，分在矩形内、外两种情况：由到距离为得，在矩形内时旋转角，面积；在矩形外时，面积． （3），取中点，由斜边中线得；在中算得，故最小值为． 【详解】（1）解：∵边绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴． 在和中， ， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：∵绕点旋转， ∴点在以为圆心，为半径的圆上． ∵四边形是矩形，，， ∴． 根据两点之间线段最短，当在线段上时，取得最小值，最小值为． 由（1）， ∴，，， ∴，． 设，则． 在中，，解得， ∴． （3）解：如图，过点作于，由题意得． ∵，在中，， ∴． 当在矩形内时，， 此时． 当在矩形外时，， 此时． 综上，边扫过区域的面积或． （4）解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，． 在中，由勾股定理得． ∵，当且仅当、、三点共线时，取得最小值， ∴最小值为． 例2．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点，直线交射线于点，连接，请直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析； （2）四边形是平行四边形，证明见解析； （3）或 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，关键是利用旋转前后图形全等的性质，结合直角三角形的相关结论，通过角的等量代换、平行线的判定与性质、相似三角形的对应边成比例求解线段长度． （1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合旋转的全等性质，通过同角的余角相等得到角的等量关系，再利用等角对等边证明线段相等． （2）先利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到等腰三角形，推出角相等，再结合旋转与全等的性质，证明一组对边平行且相等，从而判定平行四边形． （3）分两种情况讨论，分别是和，先根据勾股定理求出斜边的长度，结合中点性质得到相关线段长，再利用平行线得到相似三角形，求出对应线段长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】（1）解：猜想，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： 由题意，得， 在中，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：在中，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 由全等及旋转的性质得，，分两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 由，得，即，解得， 在中，由勾股定理得； ②当时，设交于点，此时点与点重合， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为的中点，， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， 在中，由勾股定理得； 综上所述，的长为或． 例3．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 例4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）综合与探究： 如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G． 【问题探究】 （1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或 【分析】本题为旋转综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识﹒ （1）根据旋转性质得到，从而证明，，即可证明； （2）作，垂足为P﹒根据旋转性质得到，，，求出，证明，求出，得到，根据勾股定理即可求出； （3）分当点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况分别求出，即可求出的长为或﹒ 【详解】解：（1）证明：∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作，垂足为P﹒    ∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ∴在中，； （3）如图2，当点D在线段上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴； 如图3，当点D在线段延长线上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴﹒ ∴的长为或﹒ 变式训练 变式1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动，如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边上．容易发现． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与是否仍然相等？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （2）如图3，在旋转过程中，当三点在同一条直线上时，求线段的长； （3）如图4，连接，取中点，连接，请直接写出线段长度的最小值和最大值． 【答案】（1）成立，证明见解析；（2）或；（3）的最小值为，的最大值为． 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得； （2）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可； （3）延长到M，使，连接，则，根据题意得到G在以点B为圆心，为半径的圆上运动，进而分两种情况根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）仍成立．理由如下： ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图，延长到M，使，连接， ∵取中点，， ∴是中位线， 即， ∵将正方形绕点顺时针方向旋转， ∴G在以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当G到达时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时， 当G到达时，取得最大值， 同理可得 即的最小值为，的最大值为． 变式2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （1）小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证：，且； 【深入探究】 （2）若，点为的中点，旋转过程中，当点在一条直线上时，如图②，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【分析】（1）通过等腰直角三角形的边、角相等关系，利用“”证明三角形全等，再结合角度计算推出垂直关系； （2）通过作平行线构造全等三角形，利用“”证明全等得到边的等量关系，再结合（1）的全等结论及等腰直角三角形的性质，推导线段间的数量关系． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，且， ，，， ， ， ，， 如图①，延长交于点， ，， ， ． （2）证明：如图②，过点作， ， 为的中点， ， ， ， ，． 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 变式3．（25-26九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点B，O的对应点分别为C，D，旋转角记为． (1)如图1，当点C恰好落在x轴上时，点C的坐标为____（直接写出结果）； (2)如图2，当时（），设直线，分别与x轴交于点E，F，求点E的坐标和线段的长； (3)如图3，连接，取线段的中点M，连接，在旋转过程中（），直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形三线合一可得，即可求解； （2）由旋转的性质得，可得，由平行线的性质可得，从而可得，设，根据勾股定理求得的值，证明，可得，即可求解； （3）点C的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，取的中点N，连接，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图， ∵绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴点C的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，取的中点N，连接， ∵，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵， 即， 当点C与点B重合时，的最小值为，但， 综上可知，. 变式4．（25-26九年级上·吉林白山·期中）如图①，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【数学思考】 （1）在绕点D旋转的过程中，如图①，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （2）如图②，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，证即可得证； （2）先证，再设未知数，在中利用勾股定理建立方程即可； （3）分别求出和，利用三角形三边关系即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下：连接， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （3）解：如图，连接， 在中， ∵，， ∴， 由题意得 当点F在上时，最小，此时； 当点F在的延长线上时，最大，此时 ∴， 故答案为：． 实战演练 1．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）【问题提出】 已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用勾股定理求出的长； （2）连接，可证点、、三点共线，利用正方形的性质可求，再利用勾股定理求出的长度； （3）过点作垂足位于的延长线上，可证，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：正方形的边长为，正方形的边长为， ，，， ∴， ∴E、A、B在同一直线上， ， 在中，， ； （2）解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ， 由旋转可知，， 点、、三点共线， 正方形的边长为， ， 正方形的边长为， ，， 在中，； （3）解：延长，过点作于点M，如图所示： ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ，，， 由旋转可知，， 在中，， ， ，， 在中，． 2．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，四边形、均为正方形． (1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． (2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． (3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)； 【分析】（1）证明得出，且，可判定出其位置关系； （2）过作，，垂足分别为、，证明得，通过证明四边形为正方形可得出的度数； （3）由旋转性质可知：当点在线段上时的长度最短，当在初始位置时，最大，利用勾股定理求出其长度即可． 【详解】（1）解：，． 证明：延长交于点， ∵四边形、均为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，，垂足分别为、，设交于点， ∴， ∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴； （3）∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， 当正方形在初始位置时，最大，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， 此时； 当点在线段上时，DG最小，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， ∴ 此时； 综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转过程中的线段问题复习讲义 旋转过程中的线段问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣旋转的核心性质（旋转前后对应线段相等，对应点到旋转中心的距离相等），结合全等三角形、等腰/直角三角形、勾股定理、相似三角形等几何定理，通过线段的等量代换、和差拼接与勾股计算，推导线段的相等、和差倍分关系或求线段长度，本质是旋转造等线段，结合几何定理实现线段的转化与计算。 二、通用解题思路 1. 析旋转，标等线段：明确旋转中心、旋转角，标注旋转前后的对应线段（直接相等）、旋转中心与对应点的连线（相等，常为等腰三角形的腰），锁定旋转产生的所有等量线段； 1. 构几何模型，搭线段关联：利用旋转的等线段构造全等三角形（核心），或结合图形形成等腰/直角三角形、相似三角形，搭建待求线段与已知线段的联系桥梁； 1. 代换计算，推线段关系：通过全等实现线段等量替换，结合勾股定理、等腰三角形性质、线段和差进行计算，推导线段的相等关系、长度或和差倍分结论。 三、核心技巧与注意事项 1. 全等构造是关键：旋转天然形成全等三角形，直接利用其实现线段的等量转化，无需额外证明边/角相等； 1. 关注旋转形成的特殊三角形：旋转角为60°/90°时，旋转中心与对应点的连线会形成等边/等腰直角三角形，可直接用其性质求线段； 1. 线段和差沿旋转方向拼接：待求线段为和差形式时，沿旋转中心、对应点的连线方向拆分或拼接，结合等线段替换化简； 1. 勾股定理适配垂直旋转：旋转角为90°时，优先用勾股定理计算线段长度，简化推导。 例题分析 例1．（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)当点在边上时，的度数为______； (2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长； (3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积； (4)连接，直接写出的最小值． 例2．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践． 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到． 操作发现： （1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想； （2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点，直线交射线于点，连接，请直接写出的长． 例3．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 例4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）综合与探究： 如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G． 【问题探究】 （1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动，如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边上．容易发现． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与是否仍然相等？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （2）如图3，在旋转过程中，当三点在同一条直线上时，求线段的长； （3）如图4，连接，取中点，连接，请直接写出线段长度的最小值和最大值． 变式2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （1）小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证：，且； 【深入探究】 （2）若，点为的中点，旋转过程中，当点在一条直线上时，如图②，求证：． 变式3．（25-26九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，的顶点，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点B，O的对应点分别为C，D，旋转角记为． (1)如图1，当点C恰好落在x轴上时，点C的坐标为____（直接写出结果）； (2)如图2，当时（），设直线，分别与x轴交于点E，F，求点E的坐标和线段的长； (3)如图3，连接，取线段的中点M，连接，在旋转过程中（），直接写出线段的取值范围． 变式4．（25-26九年级上·吉林白山·期中）如图①，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 【数学思考】 （1）在绕点D旋转的过程中，如图①，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】 （2）如图②，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是________． 实战演练 1．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）【问题提出】 已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 2．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，四边形、均为正方形． (1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． (2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． (3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $