圆：切线的判定与性质综合应用问题讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

圆：切线的判定与性质综合应用问题讲义 圆：切线的判定与性质综合应用问题讲义 知识点解析 核心原理 紧扣切线的判定定理（过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线）和性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），结合垂径定理、圆周角定理、全等/相似三角形、勾股定理等几何性质，通过“证垂直定切线”“由切线得垂直”实现线线垂直、线段相等、角度等量的相互推导，解决切线相关的证明、计算问题，本质是以垂直为核心，切线判定与性质互推，结合几何定理求解。 通用解题思路 一、切线的判定（证某直线是圆的切线） 1. 定切点：若直线与圆有明确公共点，定该点为切点，连接圆心与切点得半径；无明确公共点，过圆心作直线的垂线，证垂线段长度等于半径。 1. 证垂直：通过全等/相似三角形、勾股定理逆定理、圆周角定理（如直径所对圆周角为直角）等，证明半径⊥直线（有切点）或垂线为半径（无切点）。 1. 下结论：根据切线判定定理，判定直线为圆的切线。 二、切线的性质（已知切线，推相关结论） 1. 得垂直：连接圆心与切点，直接由切线性质定理得半径⊥切线（核心结论，必作辅助线）。 1. 联性质：结合垂径定理、勾股定理、全等/相似、角度等量代换等，将垂直关系转化为线段/角度的数量关系。 1. 算/证目标：根据题干要求，计算线段长度、角度大小，或证明其他线为切线、线段相等/平行等。 三、判定与性质综合应用 1. 辨条件：区分题干中“已知切线”（用性质）和“待证切线”（用判定），标注核心条件（如直径、中点、相等角）。 1. 作辅助线：核心辅助线为圆心与切点的连线，无切点则作圆心到直线的垂线，搭建垂直关系桥梁。 1. 互推转化：由切线得垂直，再由垂直证其他切线/推数量关系；或先证垂直定切线，再用切线性质求未知量，分步推导。 核心技巧与注意事项 1. 辅助线必作：切线问题核心辅助线为“连半径（切点点）”或“作垂线（无切点）”，无辅助线无法关联定理； 1. 判定分两类：严格区分“有公共点（连半径证垂直）”和“无公共点（作垂线证半径）”，避免方法错误； 1. 垂直是核心：所有推导均围绕“半径与切线的垂直关系”展开，找准垂直角，结合其他定理转化； 1. 结合几何模型：遇切线与直径、切线与弦的组合，优先联想“切线+直径=直角三角形”“切线长定理（从同一点引两切线，切线长相等）”，简化推导。 例题分析 例1．（2026·四川巴中·一模）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得直线垂直平分，进而得到，由等边对等角得到，再由切线的性质得到，即可证明结论； （2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答； （3）设交点为，由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵的直径垂直于弦， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，证明如下： 是的直径， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，设交点为， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 的半径的长为． 例2．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在中，以的边为直径作，交于点D，是的切线，且，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，求直径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，再结合已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据等角对等边即可解答； （2）连接，证明，再根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ， ， ， ， 又∵， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵为直径， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ． 直径长为． 例3．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，先由圆周角定理求解，即可求解，再由四边形内角和等于求解即可； （2）过点O作，垂足为D，先由等腰三角形得到，再解即可求解半径． 【详解】（1）解：证明：连接 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵与相切于点A ∴ 又∵，， ∴ 又∵点B是上的一点 ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为D ∵，， ∴ 在中，， ∵，， ∴ ∴的半径为2． 例4．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 【答案】(1) (2)时，与相切．理由见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出，根据，得到，利用圆内接四边形的性质，求出，即可解答； （2）当时，与相切，由，得到，根据等腰三角形的性质推出，易证，推出，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ． ， 为的直径， ． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ． 又， ， ． （2）解：当时，与相切． 理由：， ， 又， ， ， ． ， ． 又为的半径， 与相切． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，四边形中，，，以为直径作恰好经过点，与交于点． (1)求证：与相切； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，余弦的定义，圆周角定理，熟练掌握连接半径证垂直证切线，灵活运用垂径定理是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到结合已知可得，推出，进而求出，即可证明结论； （2）作交于，设，则，由垂径定理得到，证明四边形是矩形，求出，在中，由余弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 且经过半径的外端， 与相切； （2）解：作交于， 设，则， 在中， ， ． ， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）【课本再现】图1是某版本九年级上册课本102页的一题配图．一次数学探究活动上，小肖延长，交于点F，得到图2．之后对这道题进行再思考，设置了如下问题，请你帮忙解答． 【习题再探】如图2，是的直径，点C是弧的中点，于点D，延长，交于点F． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若已知，，求． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）连接，根据点是弧的中点，以及，得到，证明出，即可得到结论； （2）设，则，根据切线的性质得到，证明得到，求出，进而得到，，证明，得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 点是弧的中点， ， ， ， ， ， ， 直线与相切； （2）解：∵， ∴设，则， 设， 连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，．求证： (1)为等边三角形； (2)是的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由切线的性质得出，由直角三角形的性质及圆的基本性质可得出，即可得证； （2）由等边三角形的性质得出，证明得，由切线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵，即点为的中点， ∴， ∵点、在上， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：∵为等边三角形，， ∴， ∵点、在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 变式4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平分得到，根据等边对等角得到，即，得到，则，即可证明是的切线； （2）根据切线的性质定理得到，根据圆周角定理得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，求出，，即可求出阴影面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又点在圆上， 是的切线； （2）解：是直径，是圆的切线， ， ，平分， ∴， ∴，， ， ， ， ∴， ， ． 实战演练 1．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)求证：直线为的切线； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、三角形内心与外心的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握切线的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由三角形内心的性质可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解； （2）连接，由（1）可得，然后可得，则有，进而根据切线的判定定理可进行求证； （3）过点I作交于点H，连接，由题意易得，然后根据三角函数可得，进而通过证明进行求解即可． 【详解】（1）证明：点I为的内心， ， 又∵， ∴， ； ； （2）证明：连接，如图所示． 由（1）得：， 则， ， ， ∵为的直径， ∴， ∴， ，即， 又∵为的直径， 直线为的切线； （3）解：为的直径 为直角三角形 ∴ 过点I作交于点H，连接，如图所示． ∵点I为的内心， ∴点I到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ， 同理可得： ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：切线的判定与性质综合应用问题讲义 圆：切线的判定与性质综合应用问题讲义 知识点解析 核心原理 紧扣切线的判定定理（过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线）和性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），结合垂径定理、圆周角定理、全等/相似三角形、勾股定理等几何性质，通过“证垂直定切线”“由切线得垂直”实现线线垂直、线段相等、角度等量的相互推导，解决切线相关的证明、计算问题，本质是以垂直为核心，切线判定与性质互推，结合几何定理求解。 通用解题思路 一、切线的判定（证某直线是圆的切线） 1. 定切点：若直线与圆有明确公共点，定该点为切点，连接圆心与切点得半径；无明确公共点，过圆心作直线的垂线，证垂线段长度等于半径。 1. 证垂直：通过全等/相似三角形、勾股定理逆定理、圆周角定理（如直径所对圆周角为直角）等，证明半径⊥直线（有切点）或垂线为半径（无切点）。 1. 下结论：根据切线判定定理，判定直线为圆的切线。 二、切线的性质（已知切线，推相关结论） 1. 得垂直：连接圆心与切点，直接由切线性质定理得半径⊥切线（核心结论，必作辅助线）。 1. 联性质：结合垂径定理、勾股定理、全等/相似、角度等量代换等，将垂直关系转化为线段/角度的数量关系。 1. 算/证目标：根据题干要求，计算线段长度、角度大小，或证明其他线为切线、线段相等/平行等。 三、判定与性质综合应用 1. 辨条件：区分题干中“已知切线”（用性质）和“待证切线”（用判定），标注核心条件（如直径、中点、相等角）。 1. 作辅助线：核心辅助线为圆心与切点的连线，无切点则作圆心到直线的垂线，搭建垂直关系桥梁。 1. 互推转化：由切线得垂直，再由垂直证其他切线/推数量关系；或先证垂直定切线，再用切线性质求未知量，分步推导。 核心技巧与注意事项 1. 辅助线必作：切线问题核心辅助线为“连半径（切点点）”或“作垂线（无切点）”，无辅助线无法关联定理； 1. 判定分两类：严格区分“有公共点（连半径证垂直）”和“无公共点（作垂线证半径）”，避免方法错误； 1. 垂直是核心：所有推导均围绕“半径与切线的垂直关系”展开，找准垂直角，结合其他定理转化； 1. 结合几何模型：遇切线与直径、切线与弦的组合，优先联想“切线+直径=直角三角形”“切线长定理（从同一点引两切线，切线长相等）”，简化推导。 例题分析 例1．（2026·四川巴中·一模）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． (3)若，，求的半径的长． 例2．（2026·山东德州·模拟预测）如图，在中，以的边为直径作，交于点D，是的切线，且，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，求直径长． 例3．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 例4．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，四边形中，，，以为直径作恰好经过点，与交于点． (1)求证：与相切； (2)若，求． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）【课本再现】图1是某版本九年级上册课本102页的一题配图．一次数学探究活动上，小肖延长，交于点F，得到图2．之后对这道题进行再思考，设置了如下问题，请你帮忙解答． 【习题再探】如图2，是的直径，点C是弧的中点，于点D，延长，交于点F． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若已知，，求． 变式3．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是的切线，为切点，连接交于点，且，上有一点且，连接，．求证： (1)为等边三角形； (2)是的切线． 变式4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的直径，是的弦，是劣弧上一点，且平分，过点作的垂线，垂足为延长线上的点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，的半径为，求阴影部分的面积． 实战演练 1．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)求证：直线为的切线； (3)若，求的长． 2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $