2026年中考数学一轮复习 讲义 四边形中的线段最值问题

四边形中的线段最值问题复习讲义 四边形中的线段最值问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托四边形（含特殊四边形）的边、角、对角线性质，结合垂线段最短、将军饮马、辅助圆（定角定弦）等经典最值模型，通过对称、平移、构造辅助线/圆将动线段最值转化为可直接求解的定几何量最值，核心是化动为静，几何转化搭桥梁，最值模型定结果。 二、通用解题思路 1. 定要素：明确四边形类型，标注定点、定线段，锁定动线段的端点特征（一定一动/两动）和动点运动轨迹（沿边/对角线/曲线）； 1. 选模型做转化：根据轨迹匹配最值模型，实现线段等效转化： · 动点沿直线运动：垂线段最短（单动点）、将军饮马（对称法，两定点+线动点）； · 动点轨迹为曲线（定角对定弦）：构造辅助圆，转化为圆上点到定点的线段最值（直径端点为临界）； · 特殊四边形内：巧用性质（平行平移、矩形直角、菱形垂直）简化线段转化； 1. 算最值验范围：找到转化后线段取最值的临界位置（垂足、对称点连线交点、圆的直径端点），结合勾股、相似、中位线等计算长度；验证临界位置在四边形内，超出则取四边形顶点为临界。 三、核心技巧与注意事项 1. 轨迹判断是前提，直线/曲线轨迹对应不同模型，切勿混用； 1. 特殊四边形优先用自身性质（如平行四边形平移线段）减少转化步骤； 1. 所有最值需验证几何存在性，确保临界位置在四边形边界/内部。 例题分析 例1．（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】 （）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________； （）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：； 【问题解决】 （）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计） 例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）①求证：； ②_____度． （2）如图②，取的中点，连结，线段长度为_____，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持，连接，过点作交直线于点．线段的最小值为_____． 例3．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            例4．（2026·湖北十堰·模拟预测）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 变式训练 变式1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）【初识图形】 （1）如图1，E、F分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，，求的值． 【类比探究】 （3）如图3，中，分别为、边上的点，，，为中点，连接，作交于点，交于．直接写出的长为________． 【拓展迁移】 （4）在矩形中，，，点分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点和点，且，． ①请直接写出线段的长 ． ②若点分别为线段和线段边上的动点，满足．且直线始终经过一个定点，求的最大值______． 变式2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题背景】 （1）如图1，四边形是平行四边形，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，是等腰直角三角形，，，连接，延长至点E，使得，连接，那么与相等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某公园的一片空地，在上的点D处有一凉亭，公园规划人员计划铺设四条小路（小路宽度忽略不计），将这块空地分割成四部分，分别种植不同的鲜花供游客欣赏，已知，，，，其中四边形区域是平行四边形，求小路的长．    变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接． (1)若， ①如图1，若，直接写出点的坐标 ； ②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分； (2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到． ①连接，判断的形状，并证明． ②连接，当 ，线段最短． 实战演练 1．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．        (1)求证：； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $四边形中的线段最值问题复习讲义 四边形中的线段最值问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托四边形（含特殊四边形）的边、角、对角线性质，结合垂线段最短、将军饮马、辅助圆（定角定弦）等经典最值模型，通过对称、平移、构造辅助线/圆将动线段最值转化为可直接求解的定几何量最值，核心是化动为静，几何转化搭桥梁，最值模型定结果。 二、通用解题思路 1. 定要素：明确四边形类型，标注定点、定线段，锁定动线段的端点特征（一定一动/两动）和动点运动轨迹（沿边/对角线/曲线）； 1. 选模型做转化：根据轨迹匹配最值模型，实现线段等效转化： · 动点沿直线运动：垂线段最短（单动点）、将军饮马（对称法，两定点+线动点）； · 动点轨迹为曲线（定角对定弦）：构造辅助圆，转化为圆上点到定点的线段最值（直径端点为临界）； · 特殊四边形内：巧用性质（平行平移、矩形直角、菱形垂直）简化线段转化； 1. 算最值验范围：找到转化后线段取最值的临界位置（垂足、对称点连线交点、圆的直径端点），结合勾股、相似、中位线等计算长度；验证临界位置在四边形内，超出则取四边形顶点为临界。 三、核心技巧与注意事项 1. 轨迹判断是前提，直线/曲线轨迹对应不同模型，切勿混用； 1. 特殊四边形优先用自身性质（如平行四边形平移线段）减少转化步骤； 1. 所有最值需验证几何存在性，确保临界位置在四边形边界/内部。 例题分析 例1．（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】 （）如图，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若，，则的值为___________； （）如图，在正方形中，、分别是边、上的点，连接，过点作交边于点，求证：； 【问题解决】 （）如图，矩形是某植物园规划的一个花圃，点处有一个凉亭，现要在、边上分别设立游客服务中心、，沿、修建两条互相垂直的普通小路，再沿和铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求与的长度之和尽可能的小，已知，米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（）的最小值．（凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计） 【答案】（）； （）证明见解析； （）两条石板小路长度之和的最小值为米． 【分析】（）结合矩形性质证明，再由相似三角形的性质即可得解； （）将线段沿平移至，交于点，则，结合正方形性质证明，再由全等三角形性质证得； （）将线段沿平移至，则且，结合矩形性质证明，再由相似三角形的性质求出的长；将线段沿平移至，连接，结合平行四边形的判定与性质、勾股定理求出，再由即可得解． 【详解】解：（）四边形为矩形，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （）证明：如图，四边形是正方形，将线段沿平移至，交于点，则， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （）如图，将线段沿平移至，则且， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 米， 将线段沿平移至，连接，则四边形为平行四边形， ，， ， ， 米， 米， 两条石板小路长度之和的最小值为米． 例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）①求证：； ②_____度． （2）如图②，取的中点，连结，线段长度为_____，线段长度的最小值为_____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持，连接，过点作交直线于点．线段的最小值为_____． 【答案】（1）证明见解析；90；（2）2；；（3） 【分析】（1）证明即可；根据可得，即可得； （2）由是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，利用勾股定理求出的长，根据即可求解的最小值； （3）设，交于点，取的中点，连接，，过点作于点，证明，得到，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，利用勾股定理求出的长，根据，即可求出的最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 由可知， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∴， 当，，共线时，取等号，即线段长度的最小值为． （3）如图，设，交于点，取的中点，连接，，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，，共线时，取等号，即线段长度的最小值为． 例3．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【答案】（）详见解析；（）． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 例4．（2026·湖北十堰·模拟预测）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿平移至，交于点K，证明，即可解答； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至，证明，可得，从而得到．在上截取，连接，可证明，，，再结合，可得到，即可求解； （3）将线段沿平移至，可证得，可得到，从而得到，将线段沿平移至MN，连接，，则，根据勾股定理可得，从而得到的最小值为．再结合四边形为平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）将线段沿平移至，交于点K． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段沿平移至． ∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 将线段沿平移至MN，连接，，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴的最小值为． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 变式训练 变式1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）【初识图形】 （1）如图1，E、F分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则______． （2）如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，，求的值． 【类比探究】 （3）如图3，中，分别为、边上的点，，，为中点，连接，作交于点，交于．直接写出的长为________． 【拓展迁移】 （4）在矩形中，，，点分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点和点，且，． ①请直接写出线段的长 ． ②若点分别为线段和线段边上的动点，满足．且直线始终经过一个定点，求的最大值______． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）①或；② 【分析】[初识图形]（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）如图，过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； [类比探究]（3）如图所示，过点作于点，运用勾股定理可得，，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； [拓展迁移]（4）①根据四边形是矩形，翻折的性质可得，分类讨论：第一种情况，如图所示，过点作于点，得到四边形是矩形，求出，可证，得到，由可解；第二种情况，如图所示，设与交于点，可证，得到，，再证，得到，由可解； ②根据，确定定点，由相似三角形可得，如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系，设，则，由点在线段上运动可得，即，根据两点之间的距离公式可得，令，可得随的增大而增大，当时，有最大值，且最大值为，由此即可求解． 【详解】解：[初识图形]（1）∵四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图，过点作于点， ∵四边形是矩形，，, ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵于点， ， ， ， ，即， ∴， ， 故答案为：； [类比探究]（3）如图所示，过点作于点， ∵是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展迁移]（4）①∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形翻折，得到四边形， ∴，，，， 第一种情况，如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴； 第二种情况，如图所示，设与交于点， 同理，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或； ②如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，直线始终经过一个定点， ∴延长交于点， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， 如图所示，以点为坐标原点，为正方向作横轴，方向为纵轴作平面直角坐标系， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即， ∴， 令， ∵， ∴函数图象开口向上， 随的增大而增大， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 变式2．（25-26九年级上·吉林长春·月考）【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题背景】 （1）如图1，四边形是平行四边形，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，是等腰直角三角形，，，连接，延长至点E，使得，连接，那么与相等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某公园的一片空地，在上的点D处有一凉亭，公园规划人员计划铺设四条小路（小路宽度忽略不计），将这块空地分割成四部分，分别种植不同的鲜花供游客欣赏，已知，，，，其中四边形区域是平行四边形，求小路的长．    【答案】（1）50；（2）；（3） 【分析】（1）根据平行四边形邻角互补的性质即可求得答案； （2）由等腰直角三角形性质可得，，可证得，利用证得，即可得出； （3）连接、，延长交于，可证得，得出，，，进而证得四边形是圆内接四边形，得出，推出是等腰直角三角形，可得，运用勾股定理可得， 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：50； （2），理由如下： 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图，连接、，延长交于，   四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 故小路的长为． 变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接． (1)若， ①如图1，若，直接写出点的坐标 ； ②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分； (2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到． ①连接，判断的形状，并证明． ②连接，当 ，线段最短． 【答案】(1)①②见解析 (2)①等腰三角形② 【分析】（1）①如图1中，过点作轴于点．证明，可得结论； ②如图2中，过点作于点，于点．利用全等三角形的性质证明，可得结论； （2）作交于点，连接，，，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，推出，推出点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，由此即可解决问题． 【详解】（1）解；①解：如图1中，过点作轴于点． ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，，， ； 故答案为： ②证明：如图2中，过点作于点，于点． ，，， ，，， ， ， ∴， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）①为等腰三角形 证明：作交于点，连接，，过点作交的延长线于点． ，， ， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故为等腰三角形． ②， ，， ， ， ， ， ， 点在直线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，此时． 故答案为： 实战演练 1．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，．    (1)探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； (2)将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； (3)已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质推出条件判定，根据全等三角形的性质即可推出线段与的数量关系； （2）连接，判定，根据全等三角形的性质即可推出（1）中的结论仍然成立； （3）当旋转角是时，、、三点共线，取得最大值，根据的最大值，用勾股定理即可求出的值． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，， 是等腰直角三角形，， ， 四边形是正方形， ， ， ． 故答案为：； （2）如图2，连接，    由（1）得：， 根据旋转可得：， ， 又，， ， ． 即（1）中的结论仍然成立； （3）如图3，    当、、三点共线，，取得最大值， ， ， 又， ， 在中，，， ， 当为最大值时，的值为5． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．        (1)求证：； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形性质可得：，，由平行线性质可得，再由线段垂直平分线性质和等腰三角形性质可推出，即可证明结论； （2）如图1，延长交的延长线于点，可证得，得出：，，设，则，利用勾股定理可得，再由，可得出，，再利用，即可求得答案； （3）由于直线是的对称轴，作点关于的对称点，点在上，且，连接、、，当、、三点在同一条直线上，且时，最小，由，可求得，再由，可得，利用相似三角形性质即可求得的值． 【详解】（1）解：证明：四边形是矩形， ，， ， ，点为的中点， ，， ， ，， ； （2）如图1，延长交的延长线于点，      四边形是矩形， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，设，则，， ， ，   ， ，即， ，， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ； （3）是线段的垂直平分线， 直线是的对称轴， 作点关于的对称点，点在上，且，连接、、，    当、、三点在同一条直线上，且时，最小， 由（2）知：， ， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ， ， ，   ， ，即， ， 的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $