第07讲 相似三角形在动点与最值问题中的应用（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“相似三角形在动点与最值问题中的应用”，覆盖单/双动点相似存在性、胡不归与阿氏圆模型、动态比例最值、相似与二次函数综合等中考核心考点，通过“目标导图-考点深解-命题突破-难点攻坚-练测提能”五阶教学流程，帮助学生构建知识脉络，突破分类讨论、相似转化等解题难点。 亮点在于“模型化+分层化”复习策略，如胡不归问题通过构造含定角正弦的直角三角形转化线段和，阿氏圆利用子母型相似实现比例线段转化，培养学生推理意识与模型观念。配套真题典例与分层练习，确保学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形 第07讲相似以三角形在动点与最值问题中的应用 目录 目标导图口口构建知识脉络 考点深解和口速通命题要点 考点1单动点相似存在性问题 考点2双动点相似问题（含比例最值） 考点3利用相似比转化线段和最值（胡不归、阿氏圆） 考点4相似三角形中的动态比例最值 考点5相似与二次函数结合（动点在抛物线上） 命题突破如口破解常考题型 题型1相似三角形中动点求线段长问题 题型2相似三角形中动点求线段最值问题 题型3相似三角形中动点求线段比问题 题型4相似三角形中单动点相似存在性问题 题型5相似三角形中双动点相似存在性问题 题型6相似三角形动点与函数综合问题 难点攻坚T口攻克易错难点 难点1利用胡不归模拟求解相似三角形中线段和问题 难点2利用阿氏圆模拟求解相似三角形中线段和问题 难点3相似三角形中动点与二次函数综合问题 练测提能D口效果及时检测 测能力/提能力 1/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 构建知识脉络 核心：动态几何中的三角形相似判定 单动点相似存在性问题 考法：给定一个动点和估定三角形（或两个动点在一定约束下），要求构成相似三角形 方法：分类讨论对应关系。通常按角相等（如∠A=∠D)分2-3类情况，利用对应边成比例速立方 程（常含绝对值或平方），求解动点坐标，并验证几何合理性 核心：两个相关动点构成的相似关系中，求线段比或乘积的最值 双动点相似问题( 含比例最值) 考法：两点分别在直线、线段或曲线上运动，保持两三角形相似 方法：先利用相似条件确定两动点的关联（化比例与夹角），将目标比例（如AP/BP)通过相似比转化为 另一个易于求最估的线段（如一条垂线段），再运用几何最估原理（两点之同间、垂线段最短等）求解 利用相似比转化线 阿氏圆：解决kPA+PB”(k)型问题。关键在于构造子母型相似：在已知定点与定园（阿氏回） 知识梳理 段和最值("胡不归 的背景下，通过相以比将kPA转化为另一线段PM,使问题化为P'M+PB的常规最值 阿氏圆) 胡不归：解决"PA+kPB”"(0<k<1)型问题。核心是构造含k的定角正弦的直角三角形.利用三角函 相似 数（本质是固定比例的相似）将kPB转化为垂线段PC,从而将何题化为"点到直线的垂线段最短 三角 相似三角形中的动态 核心：求面积比、线段比等动态比例的最大（小）值 形在 比例最值 方法：利用相似三角形面积比等于相似此的平方，将动态比例关系转化为某一线段的平方的函数（常为 二次函数)，通过求函数最值解决 动点 核心：坐标背景下相似条件的代数化 与最 相似与二次函数结合( 动点在抛物线上) 考法：动点在抛物线上，与定点构成三角形，和另一固定三角形相似 值问 方法：设出动点坐标，利用两点间距离公式表示边长，根据相似分类讨论的对应边成比例列方程求 解；或先发现固定夹角，利用夹角内边对应成比例例式。常涉及解二次方程，并需讨论解的合埋性 题中 转化：遇线段和/比问题，优先想相似，构造图形转化 的应 解题策略 分类：动点相似先分类讨论对应关系，再列方程 用 函敖化：动态比例设参，牢立一次函敖求最值 学法指导 模型：吃透”阿氏圆“胡不归"的构造原理 复习方向 关联：打通相似与勾股、二角函数的内在联系 直题：集中练习含动点、抛物线的相似综合题 速通命题要点 ◇考点1单动点相似存在性问题 核心：动态几何中的三角形相似判定。 考法：给定一个动点和固定三角形（或两个动点在一定约束下），要求构成相似三角形。 方法：分类讨论对应关系。通常按角相等（如∠A=∠D)分2-3类情况，利用对应边成比例建立方程（常 含绝对值或平方)，求解动点坐标，并验证几何合理性。 易混易错 1.动点位置需分类讨论：在线段上、延长线上或直线外，易遗漏情况 2.相似对应关系不确定，常有多解（如△ABC∽△APQ或△ABC∽△AQP) 3. 比例式列方程时，边对应关系易混淆，需先明确对应顶点顺序 2/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.解方程求得动点坐标后，需检验是否满足几何条件（如点在线段上） ◇考点2双动点相似问题（含比例最值） 核心：两个相关动点构成的相似关系中，求线段比或乘积的最值。 考法：两点分别在直线、线段或曲线上运动，保持两三角形相似。 方法：先利用相似条件确定两动点的关联（比例与夹角），将目标比例（如AP/BP)通过相似比转化为 另一个易于求最值的线段（如一条垂线段），再运用几何最值原理（两点之间、垂线段最短等）求解。 易混易错 1. 双动点需分主从，先定主动点再求从动点轨迹，易混淆主从关系 2.相似对应关系可能动态变化，需分情况讨论，易遗漏转换情形 3.比例最值问题常需转化为单动点或函数最值，直接比不易求极值 4.点是否在线段、延长线上影响解的存在性，易忽略边界检验 ◇考点3利用相似比转化线段和最值（“胡不归”“阿氏圆”) 这是相似转化的高阶应用，旨在解决“PA+k·PB”型最值。 1.阿氏圆：解决“k·PA+PB”(k≠1)型问题。关键在于构造子母型相似：在已知定点与定圆（阿氏圆） 的背景下，通过相似比将k·PA转化为另一线段PM,使问题化为PM+PB的常规最值。 2.胡不归：解决“PA+k·PB”(0<k<1)型问题。核心是构造含k的定角正弦的直角三角形，利用三角 函数（本质是固定比例的相似）将k·PB转化为垂线段PC,从而将问题化为“点到直线的垂线段最短”。 易混易错 1. “胡不归”构造含定角正弦的线段，需将系数转化为三角函数值，易错设角 2.“阿氏圆”利用到两定点距离比为定值的轨迹是圆，易混淆内分、外分点 3.转化后判断何时取最值，需确保点在轨迹（圆或线）上，易忽略存在条件 4.两种模型最终转化为“两点间线段最短”或“垂线段最短”，但转化步骤易错 ◇考点4相似三角形中的动态比例最值 核心：求面积比、线段比等动态比例的最大（小）值。 方法：利用相似三角形面积比等于相似比的平方，将动态比例关系转化为某一线段的平方的函数（常为 二次函数)，通过求函数最值解决。 3/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错 1.动态比例通常需先确定变量关系，设元建立函数，易忽略定义域 2.比例最值常需转化为二次函数或几何最值模型，转化过程易出错 3.动点位置影响相似对应关系，可能需分类讨论，易遗漏情形 4.求最值时需检验端点是否可取，比例分母不为零等隐含条件易忽略 ◇考点5相似与二次函数结合（动点在抛物线上） 核心：坐标背景下相似条件的代数化。 考法：动点在抛物线上，与定点构成三角形，和另一固定三角形相似。 方法：设出动点坐标，利用两点间距离公式表示边长，根据相似分类讨论的对应边成比例列方程求解； 或先发现固定夹角，利用夹角两边对应成比例列式。常涉及解二次方程，并需讨论解的合理性。 易混易错 1.抛物线上动点坐标需同时满足二次函数式和相似比例关系，易漏条件 2.相似对应关系需根据动点位置分类讨论（如点A对点P或对点Q),易混淆 3. 列方程时比例线段可能涉及水平竖直距离或斜边长，勾股使用易错 4. 解出参数后需检验动点是否在抛物线有效区间内，易忽略范围限制 →破解常考题型 ◇题型1 相似三角形中动点求线段长问题 典例1(2025四川宜宾中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=4,BC=5,过点A作直线 I∥BC,点E是直线I上一动点，连结EC,过点E作EF⊥CE,连结CF使 tan∠ECF-2.当F最短时， 则AE的长度为() E B A.5 B.4 C.25 D.213 典例2(2025广西一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边AB上一个动点，在AB延长线 4/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上找一点N,使点M和点N关于点B对称，连接CM,DN相交于点E.当动点M从点A运动到点B时， 点E的运动路径长为() D E N MB A. 25 B.25 D. 22 3 3 15 解题技巧 技巧：将动点位置设为参数t,用t表示关键线段长。分析动点在哪些位置会形成相似三角形，利用 对应边成比例建立关于t的方程求解。 变式1(2024辽宁鞍山模拟预测)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，BC=1,AB=2,点D为AB边上 CF 25 动点，点F为AC边上一动点，AD5,当△ADF是等腰三角形时，AD的长为一 F D 变武2(2025安微马鞍山一模)如图，在菱形48CD中，4B=6,cQ0sB-M是AB边上的动点，N是 BC边上的动点，将aBMN沿MN翻折得△B'MN,NB'的延长线与AD的延长线交于点E. D D(E) M B B ① ② (1)如图①，当点B落在CD上时，恰好有B'M⊥AB,此时AM=一 (2)如图②，当AM=2时，移动点N,使点E与点D重合，此时NC=_ ◇题型2相似三角形中动点求线段最值问题 典例1(2025陕西西安模拟预测)如图，有一个边长为4的正方形ABCD,E是射线BC上一动点，连接 AE,P是线段AE上一动点，连接PD,且满足AP·AE=I6,则PD的最小值是」 5/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 典例2(2025四川成都模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,动点E从A出发沿射线 AD以Icm/s的速度运动，同时动点F从C出发沿射线DC以4cm/s的速度运动，G为EF的中点，连接 3 CG,则CG的最小值为 cm. D B 解|题|技巧 技巧：动点问题中，先将所求线段用含动点参数的式子表示，再利用相似比转化为函数关系式，最 后通过函数性质或几何特征（如三点共线）求最值。 变式1(2025山东潍坊一模)如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=4,P是AB边上一个动点，连接 DP,E是DP上的一个动点，连接AE,CE,且∠DCE=∠ADP,则线段AE的最小值为 D B 变式2(2025黑龙江佳木斯·三模)如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB边上一个动点，F是CD边上 一个动点，且AE=CF,过点B作BG⊥EF于点G,连接AG,则AG长的最小值是 D G B ◇题型3相似三角形中动点求线段比问题 6/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 典例1(25-26九年级上广东深圳·月考)正方形纸片ABCD中，E,F分别是AB、CB上的点，且AE=CF ，CE交F于M.若LCMF=60,则C4 EM M 典例2(2026四川成都.一模)如图，在矩形ABCD中，点E是边AB延长线上一动点，连接BD,ED,EC, BC 4 DC3,则 E E 的最小值为一 B D 解|题|技|巧 技巧：动态中寻找不变量（如定角、定比）。在运动的不同阶段，确定固定的相似三角形，利用其 固定相似比来转化和求解所求线段之比。 变式1(25-26九年级上浙江台州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5,点D在 边HB上（不与点A,B重合），过点B作BE1CD,垂足为点E,则CD的最小值是 DE E B 变式2(25-26九年级上河南周口期末)如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，∠B=60°，E为射线BC 上的一动点，连接AE,作LAEF=60°，且EF与菱形外角∠DCG的平分线CM交于点F.当CF=2V5时， AE EF 的值是 M E G 7/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◇题型4相似三角形中单动点相似存在性问题 典例1如图，等边ABC的边长为7cm,BD=6cm,CE=2cm,P为BC边上动点，以0.25cm/s的速度 从B向C运动，假设P点运动时间为s,当t= S时，△BDP与△CPE相似， 典例2(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)已知ABC,点D在AB边上，过点D的直线与AC边相交 于点E,若AB=8,AC=6,AD=3,当ADE与ABC相似时，AE的长为 解|题|技|巧 技巧：动点使三角形相似，需分类讨论对应关系。按不同对应顶点分情况，每种情况利用对应边成 比例列方程求解，并验证点是否在图形上。 变式1(25-26九年级上江西抚州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,M为射线BD上的一动 点（不与B,D重合），过点M作MN⊥射线BC于点N,若以点M,N,C为顶点的三角形与△ABD相似， 则BM的长为 A M N 变式2(25-26九年级上江苏南京期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，,LA=90°，∠B=90°， AB=7,AD=2,BC=3,试在边AB上确定点P的位置，使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似，则AP=】 D B ◇题型5相似三角形中双动点相似存在性问题 典例1(2025山东青岛模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC=6cm, BD=8cm,动点P从点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s;动点Q从点D出发沿DB方向匀速运动， 8/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 速度为1cm/s.连接PQ交AC于点E,过点Q作OF‖AB,交AD于F,在运动过程中始终保持QF与AB 平行，若点P和点Q同时出发.设运动时间为1(s(0<t<4),解答下列问题： B (1)当t为何值时，四边形APQF是平行四边形. (②是否存在茱时刻4，使得四边形AQF的面积是菱形48CD面积的7，若存在，求出：的值，若不存在， 请说明理由 (3)是否存在某一时刻t,使得PQ⊥OF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 典例2(2025山东青岛模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=10cm, BD=4V5cm·动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为lcm/s;同时，动点Q从点A出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s,以AP,AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E.设运动时 间为t(s)0<t≤5)，解答下列问题： D D E →P A (I)当点D在QM的垂直平分线上时，求t的值： (2)连接BE,是否存在某一时刻1，使S△PE:S边形4cD=1:8?若存在，求出1的值：若不存在，请说明理由. (3)是否存在某一时刻，使点P在∠ACB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 解题技|巧 技巧：两个动点参数设为1,2。分析它们运动至满足相似条件时，对应顶点如何匹配。分情况列出 比例方程，联立解出参数值或关系。 变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3V5cm,BC=3cm·点P由点B出发沿线段BA向点A匀速 运动，速度为2cm/s,同时点Q由点A出发沿线段AC向点C匀速运动，速度为√3cm/s,设运动的时间为 ts(0<t<3). 9/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B B D G ■ O A Q 图① 图② 图③ (I)如图①，连接PC，,若△APC∽△ACB,，求t的值； (②)如图②，连接P9,在点P,Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点P在线段CQ的垂直平分线上？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. (3)如图③，在点P,Q运动的过程中，线段BC上是否存在一点G,使得四边形POGB是菱形？若存在，求 出BG的长；若不存在，请说明理由 变式2(2025山东青岛一模)如图①，在菱形ABCD中，AB=10cm,BD=16cm·动点P从点B出发， 沿BC方向匀速运动，速度为1cmIs;同时，线段MN(点M,N分别与点A,D重合)从点D出发，沿 DB方向匀速平移，速度为2cm/s;线段MN停止运动时，点P也随之停止运动，MN交AB于点E,连接 PN,MB,设运动时间为t(s)(0<1<8),解答下列问题： A D A D 图① 图①备用图 图② (I)是否存在某一时刻t,使PN∥EB?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由： (②)是否存在某一时刻t,使点E在∠ADB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由： (3)设四边形MBPN的面积为Scm2),求S与t的函数关系式： (4)如图②，点N'是点N关于直线BC的对称点，连接BN',，NN',当t为何值时，点M,B,N'在同一条 直线上？请说明理由， ◇题型6相似三角形中动点与函数综合问题 典例1(2025河南信阳·模拟预测)如图(1)，△ABC中，∠A=90°，AB<AC,G为BC边的中点， GH⊥BC交AC于点H,动点D从点B出发，沿折线BGH运动，当点D不与点B,H重合时，过点D分别 作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,设动点D运动的路程为x,四边形AEDF的周长为y,己知y与x之 间的函数关系图象如图(2)所示，则下列说法不正确的是() 10/23品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形 第07讲相似以三角形在动点与最值问题中的应用 目 录 目标导图口口构建知识脉络 考点深解和口速通命题要点 考点1单动点相似存在性问题 考点2双动点相似问题（含比例最值） 考点3利用相似比转化线段和最值（胡不归、阿氏圆） 考点4相似三角形中的动态比例最值 考点5相似与二次函数结合（动点在抛物线上） 命题突破如口破解常考题型 题型1相似三角形中动点求线段长问题 题型2相似三角形中动点求线段最值问题 题型3相似三角形中动点求线段比问题 题型4相似三角形中单动点相似存在性问题 题型5相似三角形中双动点相似存在性问题 题型6相似三角形动点与函数综合问题 难点攻坚T口攻克易错难点 难点1利用胡不归模拟求解相似三角形中线段和问题 难点2利用阿氏圆模拟求解相似三角形中线段和问题 难点3相似三角形中动点与二次函数综合问题 练测提能D口效果及时检测 测能力/提能力 1/106 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 构建知识脉络 核心：动态几何中的三角形相似判定 单动点相似存在性问题 考法：给定一个动点和估定三角形（或两个动点在一定约束下），要求构成相似三角形 方法：分类讨论对应关系。通常按角相等（如∠A=∠D)分2-3类情况，利用对应边成比例速立方 程（常含绝对值或平方），求解动点坐标，并验证几何合理性 核心：两个相关动点构成的相似关系中，求线段比或乘积的最值 双动点相似问题( 含比例最值) 考法：两点分别在直线、线段或曲线上运动，保持两三角形相似 方法：先利用相似条件确定两动点的关联（化比例与夹角），将目标比例（如AP/BP)通过相似比转化为 另一个易于求最估的线段（如一条垂线段），再运用几何最估原理（两点之同间、垂线段最短等）求解 利用相似比转化线 阿氏圆：解决kPA+PB”(k)型问题。关键在于构造子母型相似：在已知定点与定园（阿氏回） 知识梳理 段和最值("胡不归 的背景下，通过相以比将kPA转化为另一线段PM,使问题化为P'M+PB的常规最值 阿氏圆) 胡不归：解决"PA+kPB”"(0<k<1)型问题。核心是构造含k的定角正弦的直角三角形.利用三角函 相似 数（本质是固定比例的相似）将kPB转化为垂线段PC,从而将何题化为"点到直线的垂线段最短 三角 相似三角形中的动态 核心：求面积比、线段比等动态比例的最大（小）值 形在 比例最值 方法：利用相似三角形面积比等于相似此的平方，将动态比例关系转化为某一线段的平方的函数（常为 二次函数)，通过求函数最值解决 动点 核心：坐标背景下相似条件的代数化 与最 相似与二次函数结合( 动点在抛物线上) 考法：动点在抛物线上，与定点构成三角形，和另一固定三角形相似 值问 方法：设出动点坐标，利用两点间距离公式表示边长，根据相似分类讨论的对应边成比例列方程求 解；或先发现固定夹角，利用夹角内边对应成比例例式。常涉及解二次方程，并需讨论解的合埋性 题中 转化：遇线段和/比问题，优先想相似，构造图形转化 的应 解题策略 分类：动点相似先分类讨论对应关系，再列方程 用 函敖化：动态比例设参，牢立一次函敖求最值 学法指导 模型：吃透”阿氏圆“胡不归"的构造原理 复习方向 关联：打通相似与勾股、二角函数的内在联系 直题：集中练习含动点、抛物线的相似综合题 速通命题要点 ◇考点1单动点相似存在性问题 核心：动态几何中的三角形相似判定。 考法：给定一个动点和固定三角形（或两个动点在一定约束下），要求构成相似三角形。 方法：分类讨论对应关系。通常按角相等（如∠A=∠D)分2-3类情况，利用对应边成比例建立方程（常 含绝对值或平方)，求解动点坐标，并验证几何合理性。 易混易错 1.动点位置需分类讨论：在线段上、延长线上或直线外，易遗漏情况 2.相似对应关系不确定，常有多解（如△ABC∽△APQ或△ABC∽△AQP) 3. 比例式列方程时，边对应关系易混淆，需先明确对应顶点顺序 2/106 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.解方程求得动点坐标后，需检验是否满足几何条件（如点在线段上） ◇考点2双动点相似问题（含比例最值） 核心：两个相关动点构成的相似关系中，求线段比或乘积的最值。 考法：两点分别在直线、线段或曲线上运动，保持两三角形相似。 方法：先利用相似条件确定两动点的关联（比例与夹角），将目标比例（如AP/BP)通过相似比转化为 另一个易于求最值的线段（如一条垂线段），再运用几何最值原理（两点之间、垂线段最短等）求解。 易混易错 1. 双动点需分主从，先定主动点再求从动点轨迹，易混淆主从关系 2.相似对应关系可能动态变化，需分情况讨论，易遗漏转换情形 3.比例最值问题常需转化为单动点或函数最值，直接比不易求极值 4.点是否在线段、延长线上影响解的存在性，易忽略边界检验 ◇考点3利用相似比转化线段和最值（“胡不归”“阿氏圆”) 这是相似转化的高阶应用，旨在解决“PA+k·PB”型最值。 1.阿氏圆：解决“k·PA+PB”(k≠1)型问题。关键在于构造子母型相似：在已知定点与定圆（阿氏圆） 的背景下，通过相似比将k·PA转化为另一线段PM,使问题化为PM+PB的常规最值。 2.胡不归：解决“PA+k·PB”(0<k<1)型问题。核心是构造含k的定角正弦的直角三角形，利用三角 函数（本质是固定比例的相似）将k·PB转化为垂线段PC,从而将问题化为“点到直线的垂线段最短”。 易混易错 1. “胡不归”构造含定角正弦的线段，需将系数转化为三角函数值，易错设角 2.“阿氏圆”利用到两定点距离比为定值的轨迹是圆，易混淆内分、外分点 3.转化后判断何时取最值，需确保点在轨迹（圆或线）上，易忽略存在条件 4.两种模型最终转化为“两点间线段最短”或“垂线段最短”，但转化步骤易错 ◇考点4相似三角形中的动态比例最值 核心：求面积比、线段比等动态比例的最大（小）值。 方法：利用相似三角形面积比等于相似比的平方，将动态比例关系转化为某一线段的平方的函数（常为 二次函数)，通过求函数最值解决。 3/106 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易混易错 1.动态比例通常需先确定变量关系，设元建立函数，易忽略定义域 2.比例最值常需转化为二次函数或几何最值模型，转化过程易出错 3.动点位置影响相似对应关系，可能需分类讨论，易遗漏情形 4.求最值时需检验端点是否可取，比例分母不为零等隐含条件易忽略 ◇考点5相似与二次函数结合（动点在抛物线上） 核心：坐标背景下相似条件的代数化。 考法：动点在抛物线上，与定点构成三角形，和另一固定三角形相似。 方法：设出动点坐标，利用两点间距离公式表示边长，根据相似分类讨论的对应边成比例列方程求解； 或先发现固定夹角，利用夹角两边对应成比例列式。常涉及解二次方程，并需讨论解的合理性。 易混易错 1.抛物线上动点坐标需同时满足二次函数式和相似比例关系，易漏条件 2.相似对应关系需根据动点位置分类讨论（如点A对点P或对点Q),易混淆 3. 列方程时比例线段可能涉及水平竖直距离或斜边长，勾股使用易错 4. 解出参数后需检验动点是否在抛物线有效区间内，易忽略范围限制 →破解常考题型 ◇题型1 相似三角形中动点求线段长问题 典例1(2025四川宜宾中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=5,过点A作直线 I∥BC,点E是直线I上一动点，连结EC,过点E作EF⊥CE,连结CF an∠ECF=2.当BF最短时， 则AE的长度为() E B A.5 B.4 C.25 D.2√13 【答案】B 4/106 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4的右侧取一点G,使得AG)AC=2,连结CG,GF,过点F作EH上1于 相似三角形的判定与性质，推得∠HGF都是定值，点F在射线GF上运动，从而得到当BF⊥GF时，BF最 短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得GF和CG的长，最后根据相似三角形的性质，即可求 得答案。 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G,使得AG=AC=2,连结CG,GF,过点F作FH⊥1于 点H, ”直线l∥BC,∠ACB=90°， .∠CAG=90°， :EF⊥CE,tan∠ECF=2' 1 :tan∠ECF= EF 1 CE2' EFAG1 CE AC2' :∠CEF=∠CAG=90°， ∴△CEFn△CAG, CF CE CG CA ,∠ECF=∠ACG, CF CG CE-CA'ZGCF=ZACE, △GCF∽△ACE, ∠CGF=∠CAE=90°， :LACG+LAGC=90°，LAGC+∠HGF=90°， :∠HGF=LACG, tan ZACG=4G_1 AC2’ ∠ACG和∠HGF都是定值， ·点F在射线GF上运动， ·当BF⊥GF时，BF最短（如图2所示）， 延长HF,CB相交于点N, :∠ACB=∠CAH=LAHN=90°， ·四边形ACNH是矩形， .HN AC =4,AH =CN, :BF⊥GF,∠CGF=90°， 5/106 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BF∥CG, ∠FBN=∠GCN, :AH∥CN, ∠CGA=∠GCN, ∠FBN=LCGA, :∠FNB=∠CAG=90°， △FNB∽aCAG, FN BN CA GA' 1 :4G=21C, .FN =2BN 设BN=x,则FN=2x,CN=5+x, FH=4-2x, :.AH =CN=x+5, GH=(x+5)-2=x+3, :tan∠ACG=tan∠HGF, AG FH AC GH' 2_4-2x 4x+3, 解得x=1, BN=1,FN=2,FH=2,GH=4, .GF=FH2+GH2=22+42=25,CG=AG2+AC2=22+4=25, :△GCFn△ACE, GF GC AE AC' 25_25 AE=4, 解得AE=4, :当BF最短时，则AE的长度为4. 故选：B 6/106 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 GE H G H B B N 图1 图2 典例2(2025广西一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边AB上一个动点，在AB延长线 上找一点N,使点M和点N关于点B对称，连接CM,DN相交于点E,当动点M从点A运动到点B时， 点E的运动路径长为() M B A. 23 B. 25 c D. 22 3 15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形等知识点，能够正确做出辅助线是解题关键： 作点A关于点B的对称点N,连接DN和AC交于点E,过点E作PQ⊥AB于点Q,交CD于点P,连接BE 则EB为点E的运动轨迹，先根据正方形性质可知PQ=AD=2,设BQ=x,则AQ=2-x,进而得到 PE=x,AN=4,通过平行可知aCED∽△AEN,再通过相似三角形性质解出x,再通过勾股定理即可求解. 【详解】作点A关于点B的对称点N,连接DN和AC交于点E,过点E作PQ⊥AB于点Q,交CD于点P ,连接BE,则EB为点E的运动轨迹， D E为 :四边形ABCD是正方形， -----.W A(M) 0 B ∴.CDI‖AB,∠CAB=45°，AD=AB=CD=2 :PQ⊥AB, .PQ⊥CD, :PO=AD=2, 设BQ=x,则AQ0=2-x, :∠CAB=45°，PQ⊥AB, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..EO=AO=2-x, .PE=PQ-EQ=2-(2-x)=x, 又：点M,N关于点B对称， :BM =BN 当点M在起点A处时，BM=BN=2, AN=4, 又：CDI AB, .ACED∽aAEN, CD EP AN EO' 42-x 解得x=2 4 ∴.EQ=2-x= 3 在RaEB0中，由勾股定理得EB=√EQ+BQ2= 25 “点E的运动路径长为EB的长为2 3 故选：B 解|题|技|巧 技巧：将动点位置设为参数，用t表示关键线段长。分析动点在哪些位置会形成相似三角形，利用 对应边成比例建立关于t的方程求解。 变式1(2024辽宁鞍山模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=1,AB=2,点D为AB边上一 CF 25 动点，点F为AC边上一动点，AD5,当△ADF是等腰三角形时，AD的长为 ◇ B D A 【答案】 20 或55-10 613 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质.分AD=AF、 AD=AF和FD=AF三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质结合等腰三角形的性质求解即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，LB=90°，BC=1,AB=2, 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=12+22=5, 设AD=x, CF25 AD 5 则cF=2v5 ,4F=AC-CF=5-2 x 5 当AD=DF时，作DN⊥AC于点N, C 衣 B D ÷AW=AF=55 1 x, 2 25 :LAND=∠ABC=90°，∠NAD=∠BAC, .△NADn△BAC, AN AD 55 x X ABAC，即25-= √5 5 解得x= 6 :AD= 5 当AD=AF时， C F B D A “v525 =x, 解得x=5V5-10, AD=5V5-10: 当FD=AF时，作FN⊥AB于点N, 9/106 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N A 4AN=4D 1 :∠ANF=∠ABC=90°，∠NAF=∠BAC, ∴△NAF∽△BAC, BA0,即2x525、 AN AF 1 2一 5 解得x=20 3 20 .AD= 3 综，40的长为智55-10 13 故答案为： 6 20或55-10 13 变式2(2025安颜马鞍山，一模)如图，在菱形48CD中，4B=6,c0sB=,M是B边上的动点，N是 BC边上的动点，将aBMN沿MN翻折得△B'MN,NB'的延长线与AD的延长线交于点E. D D(E) M M B ① ② (1)如图①，当点B落在CD上时，恰好有B'M⊥AB,此时AM=一 (2)如图②，当AM=2时，移动点N,使点E与点D重合，此时NC=_ 【答案】 6-3√5 410-10 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、矩形的判定与性质、相似三角形的性质以及勾股定理的 综合运用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识是解题关键， (1)过点C作CK⊥AB于点K,根据矩形的判定和性质得出四边形KCB'M是矩形，再由三角函数的出 B'M=KC=3√3，利用折叠的性质确定BM=B'M=3√5，即可求解： (2)延长NM交DA的延长线于点P,过点D作DQ⊥BC交BC的延长线于点Q,根据折叠的性质及等腰 10/106