专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形模型与378、578模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦垂美四边形模型与378、578模型，覆盖勾股定理应用及特殊三角形边角关系等中考核心考点。通过“模型来源-真题解析-性质提炼-应用训练”架构，结合考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生系统突破几何综合难点。 亮点在于融合数学思维与几何直观，如垂美四边形对角线垂直性质证明培养推理能力，378、578模型边长关系分析发展空间观念。设计“真题现模型-模型提炼-分层应用”教学活动，配合限时训练与即时反馈，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形模型与378、578模型 垂美四边形模型和378、578模型是勾股定理中重要的几何模型。学生可以通过研究垂美四边形的性质和定理，更好地理解勾股定理的应用；通过研究378、578模型可以更好理解等边三角形的边角关系。本专题就垂美四边形模型和378、578模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。‌ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 6 模型运用 7 模型1.垂美四边形模型 7 模型2.378和578模型 15 18 垂美四边形模型源于对特殊四边形的结构研究，通过‌对角线垂直‌这一条件触发对称性规律，从而简化几何证明。垂美四边形‌指对角线互相垂直的四边形，其名称源于“垂直”与“优美”的结合‌。‌ 378、578模型源于对‌等边三角形‌结构的变形研究。通过将等边三角形分割或拼接，发现特定边长组合（如3、7、8；5、7、8）会形成隐藏的60°角关系，从而简化计算‌。 两类模型均通过‌结构特征识别隐藏规律‌：垂美四边形利用对角线垂直的对称性，378、578模型则依赖边长组合触发快速判定。掌握它们可显著提升几何问题的解题效率。‌ （2025·河南商丘·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形        菱形        矩形        正方形 (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． （2025·江苏淮安·一模）【探索发现】数学兴趣小组成员在学习矩形的性质这节课时探究发现：如图1，四边形为矩形，为平面内任意一点，． 兴趣小组给出了证明，理由如下： 如图2，过点作交于点，垂足为，则， 四边形为矩形，∴，， 在中，， 同理可得：，，，…， （1）请你补全余下的证明过程． 【初步应用】（2）如图3，在矩形中，点在对角线所在直线上，且，连接、，则______． 【迁移应用】（3）如图4，在四边形中，，，，是的中点，则的面积的最大值为_______． 【操作思考】（4）如图5，已知点为内定点，，分别为圆上动点，，记的最大值为，在直线上作一点使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 图1 图2 图3 图4 模型1）条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 模型2）条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，，∴，∴。 模型3）条件：如图3或4，在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 模型4）条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 模型1.垂美四边形模型 例1（2024·四川广元·二模）如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是 例2（2025·江苏盐城·校考一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为 ．    例3（24-25九年级上·浙江金华·期中）为矩形内一点，，则的长为（   ） A． B．20 C． D．30 例4（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 例5（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式：（2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是_____． 例6（2025·河南·模拟预测）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）；(2)如图1，以的边作等边三角形，点E为下方一点，，且，连接，，，求证：； (3)两个均含角且大小不一的直角三角形板如图2所示摆放，其中，，将绕点A按顺时针方向旋转，直线和直线交于点H，连接若，，则当四边形为勾股四边形，且，为勾股边，时，请直接写出的长度． 例7（2025·山西·校考二模）请阅读列材料，并完成相应的任务：三角形中线定理 三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系． 阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家． 中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）： 证明：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 证明的方便，不妨设，，… 任务：(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______； (3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值； (4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长． 模型2.378和578模型 例1（24-25·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 例2（24-25·江苏苏州·九年级考开学考试）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________． 例3（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 1．（2025·天津·校考二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 3.已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 4.已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．10 C．10 D．28 5．（2025·湖北武汉·中考模拟预测）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（  ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）在中，，将它折叠使点与点重合，折痕交于点，则线段的长为 ． 7.（2025·陕西·校考一模）已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ ． 8．（24-25·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大． 9．（2025·广东茂名·校考二模）如图，在矩形中，，，P是矩形内一点，沿、、、把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积数值为a；这个四边形周长的最小值为b，则 ． 10．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系．(3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 11．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号）    （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 12．（2025·河南安阳·模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 【操作探究】（1）下列四边形是勾股四边形的有___（填序号）①长方形；②平行四边形；③正方形 （2）下面图1，图2均为的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接、，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是中心对称图形． 【理解应用】（3）如图3，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、，，求证：四边形是勾股四边形； 【拓展应用】（4）如图4，在四边形中，为等边三角形，，，，直接写出的长． 13．（2025·河南漯河·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对“勾股四边形”进行研究． 定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“勾股四边形”的是___________． 性质探究（2）如图1，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”． ②若四边形也为“勾股四边形”，且为勾股边，求的值． 拓展应用（3）如图2，在中，，，是边的三等分点（），是边的中点，在边上取一点，使得四边形是“勾股四边形”，当和是勾股边时，请直接写出的长． 14．（2024·江西南昌·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 15．（2025·山西晋城·校考一模）请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍．下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线，求证： 证明：过点作于点．设，，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 16．（2025·安徽·模拟预测）数学课堂探究性活动蔚然成风．张老师在课堂上设置一道习题： (1)已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之间的关系？直接写出结论，不必证明； 当P点在其它位置时，请同学们分组探究：(2)当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明．(3)当点P在矩形外部，如图3时，继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论直接写出来，不必证明． 17．（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，四边形的对角线互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E．则四边形的面积为_________． （2）如图2，矩形中，，点G，H分别是上任一点，求四边形的面积． （3）如图3，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米． 18．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形模型与378、578模型 垂美四边形模型和378、578模型是勾股定理中重要的几何模型。学生可以通过研究垂美四边形的性质和定理，更好地理解勾股定理的应用；通过研究378、578模型可以更好理解等边三角形的边角关系。本专题就垂美四边形模型和378、578模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。‌ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 6 模型运用 7 模型1.垂美四边形模型 7 模型2.378和578模型 15 18 垂美四边形模型源于对特殊四边形的结构研究，通过‌对角线垂直‌这一条件触发对称性规律，从而简化几何证明。垂美四边形‌指对角线互相垂直的四边形，其名称源于“垂直”与“优美”的结合‌。‌ 378、578模型源于对‌等边三角形‌结构的变形研究。通过将等边三角形分割或拼接，发现特定边长组合（如3、7、8；5、7、8）会形成隐藏的60°角关系，从而简化计算‌。 两类模型均通过‌结构特征识别隐藏规律‌：垂美四边形利用对角线垂直的对称性，378、578模型则依赖边长组合触发快速判定。掌握它们可显著提升几何问题的解题效率。‌ （2025·河南商丘·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形        菱形        矩形        正方形 (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 【答案】(1)；(2)，理由见解析； (3)四边形是矩形，理由见解析；(4)的长为或． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直，不符合垂美四边形定义， 菱形的对角线互相垂直平分符合垂美四边形定义， 矩形的对角线互相平分且相等，不符合垂美四边形定义， 正方形对角线互相垂直平分且相等符合垂美四边形定义，故选：； （2）解：，理由如下， ∵四边形是垂美四边形，∴，∴， ∴，，，，∴； （3）解：四边形是矩形，理由，∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴，∴四边形是矩形； （4）解：如图，设与交于点，与交于点，连接，， ∵四边形和四边形是正方形，∴，，， ∴.，即， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴四边形是垂美四边形， 如图，当时，∴，∴，∴， ∵四边形和四边形是正方形，∴，，， ∴，， 由（）得，∴，∴； 如图，当时，∴，∴，∴， ∵四边形和四边形是正方形，∴，，， ∴，，由（）得， ∴，∴；综上可知：的长为或． （2025·江苏淮安·一模）【探索发现】数学兴趣小组成员在学习矩形的性质这节课时探究发现：如图1，四边形为矩形，为平面内任意一点，． 兴趣小组给出了证明，理由如下： 如图2，过点作交于点，垂足为，则， 四边形为矩形，∴，， 在中，， 同理可得：，，，…， （1）请你补全余下的证明过程． 【初步应用】（2）如图3，在矩形中，点在对角线所在直线上，且，连接、，则______． 【迁移应用】（3）如图4，在四边形中，，，，是的中点，则的面积的最大值为_______． 【操作思考】（4）如图5，已知点为内定点，，分别为圆上动点，，记的最大值为，在直线上作一点使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）或；（3）；（4）见解析 【详解】（1）证明：如图2，过点作交于点，垂足为，则， 四边形为矩形，∴，， ， 在中，，同理可得：，，， ∴，， ∵， ∴四边形、为矩形，∴，，∴； （2）如图，作于，延长交于， ∵四边形为矩形，∴， ∵，∴，∴四边形、为矩形， ∴，，， ∴，，，， ∴，∴， ∵点在对角线所在直线上，且，∴当点在线段上时，， ∴； 当点在的延长线上时，，∴； 综上所述，或； ， （3）如图，延长至，使得，连接、、，， ∵是的中点，∴，∵，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为矩形，由（1）可得， ∵，，∴，∴（负值不符合题意，舍去）， ∵，∴，∴当最大时，最大， 当时，最大，为，∴的面积的最大值为； （4）如图，作的垂线、的垂线，交于点，连接， ， ∵，∴四边形为矩形，∴，连接，，由（1）可得：， ∵、、的长为定值，∴的长为定值， ∵，∴当、、在同一直线上时，的值最大，为，此时的值也最大， 以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，∴， 以点为圆心，为半径画弧交直线于，故综上所述，点或即为所作． 图1 图2 图3 图4 模型1）条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 模型2）条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，， ∴，∴。 模型3）条件：如图3或4，在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 模型4）条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 模型1.垂美四边形模型 例1（2024·四川广元·二模）如图，在四边形中，，对角线 AC，BD互相垂直，，，则 的值是 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于，作于， ，，，四边形是平行四边形，， ，，在中，， ，∴，故答案为：． 例2（2025·江苏盐城·校考一模）如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为 ．    【答案】 【详解】解：设，四边形的面积为S，∵，∴， ∵四边形的对角线和互相垂直，∴， ∴当时，S取得最大值，最大值为，即四边形面积最大值为．故答案为：． 例3（24-25九年级上·浙江金华·期中）为矩形内一点，，则的长为（   ） A． B．20 C． D．30 【答案】A 【详解】解：如下图，过点作，垂足分别为， 设，∵四边形为矩形，∴， ∴四边形为矩形，同理可得四边形，，均为矩形， ∴，，∴，， ，， ∵，， ∴，∴，∴，∴．故选：A． 例4（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下：如图，连接、交于点， 在和中，，，， ，，即，∴四边形是垂美四边形； 性质探究：；证明如下：记和交于点， 由题可知，， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ，，； 问题解决：如图，连接，过作于点，，， 在中，，∴， ，，． 例5（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式：（2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是_____． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①10；② 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形，， ，，． （2）证明：如图：过于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即：， 又 ， ，即． （3）解：①设，则，由（2）可得， ，； ②如图：以、为边作矩形，连接、，则， 由题意得：，即，解得：， 当、、三点共线时，最小，的最小值的最小值． 例6（2025·河南·模拟预测）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． (1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）；(2)如图1，以的边作等边三角形，点E为下方一点，，且，连接，，，求证：； (3)两个均含角且大小不一的直角三角形板如图2所示摆放，其中，，将绕点A按顺时针方向旋转，直线和直线交于点H，连接若，，则当四边形为勾股四边形，且，为勾股边，时，请直接写出的长度． 【答案】(1)是(2)见解析(3)的长度为或 【详解】（1）解：矩形是勾股四边形，理由如下：如图所示： 四边形是矩形，对角线为， ，和都是直角三角形， 在和中，，， 矩形的对角线将该矩形分成两个全等的直角三角形，矩形是勾股四边形，故答案为：是； （2）证明：连接，如图1所示：是等边三角形，， ，，，即， 在和中，，，， ，且，是等边三角形， ，在中，由勾股定理得：， 又，； （3）解：连接，相交于点H，设交于点P，如图2所示： 在中，，， 由勾股定理得：，， 在中，，， 由勾股定理得：，，， 又，，， ，，在中，， 在中，， 又，，即， ，∴， 当四边形为勾股四边形，且，为勾股边时，有以下两种情况： ①当点H在上时，如图2①所示： ，和都是直角三角形， 四边形为勾股四边形，且为勾股边，≌， ，四边形是矩形，， 在中，由勾股定理得：，； ②当点H在的延长线上时，如图2②所示： 同①证明：四边形是矩形，， 在中，由勾股定理得：， ，综上所述：的长度为或． 例7（2025·山西·校考二模）请阅读列材料，并完成相应的任务：三角形中线定理 三角形中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是一种平面几何的定理之一，指三角形三边和中线长度关系． 阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家． 中线定理：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在中，点D为BC的中点，根据“阿波罗尼奥斯”，可得．下面是该定理的证明过程（部分）： 证明：过点A作于点E，如图2，在中，， 同理可得：，， 证明的方便，不妨设，，… 任务：(1)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分； (2)如图3，在中，点为的中点，，，，则的长为______； (3)如图4，已知平行四边形中，和相交于点，设，，请直接用含，的代数式表示的值； (4)如图5，已知平行四边形内接于，点为内一点，若，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ． （2）解：∵在中，点为的中点，，，，∴， 根据“阿波罗尼奥斯”，可得∴解得：； （3）∵四边形是平行四边形，∴ ∵，，∴在中，是中线， 根据“阿波罗尼奥斯”，可得 ∴ ∴； （4）∵平行四边形内接于，是直径，∴ ∴四边形是矩形，， ∴∴ 在中，根据“阿波罗尼奥斯”，可得∴, 解得：． 模型2.378和578模型 例1（24-25·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【详解】法1：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：则得方程：解得： 即 ∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D． 法2：∵△ABC的边长为5，7，8，∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°. ∵BA>AC>CB∴∠ACB>∠ABC>∠CAB，故最大角与最小角的和=180-60=120゜故选：D． 例2（24-25·江苏苏州·九年级考开学考试）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________． 【答案】 【详解】解：法1：如图，过点B作BD⊥AC， ∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，∴设AD＝x，则CD＝8−x， 在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2−AD2＝BC2−CD2，∴32−x2＝72−（8−x）2， 解得：x＝，∴AD＝，∴BD＝ 过点I作IE垂直BC于E，∵I为△ABC的内心，∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE， ∵S△ABC＝AC•BD＝ (AC＋BC＋AB)•IE，∴， ∴IE＝，∴△ABC的内切圆I的半径为．故答案为：． 法2：∵△ABC的边长为3，7，8，∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知∠A为等边三角形的一个内角，所以∠A=60°. 过点B作BD⊥AC，∵AB=3，∴AD＝，∴BD＝， 过点I作IE垂直BC于E，∵I为△ABC的内心，∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE， ∵S△ABC＝AC•BD＝ (AC＋BC＋AB)•IE，∴， ∴IE＝，∴△ABC的内切圆I的半径为．故答案为：． 例3（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 【答案】5或3 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴；       如图所示，当是钝角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； 综上所述，的长为5或3，故答案为：5或3． 法2：∵△ABC的边长为3，7，8和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知的长为5或3，故答案为：5或3． 1．（2025·天津·校考二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】∵ 在中，，∴，∴， 当时，，此时是直角三角形且点C在线段上，不符合题目是四边形，∴或，故①错误，不符合题意； ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴当时，四边形面积有最大值为，故③正确，符合题意； 当时，解方程得：或， ∵当时，不符合题目是四边形， ∴的长有1个值满足四边形的面积为12，故②错误，不符合题意；故选：B． 2.（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD ∵，，， ∴故：选C． 3.已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8， ∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选 C. 法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D， ∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x， 在 中， ，在中， ， ∴，解得： ，∴BC=3+x=4， ∴在中， ，∴ ，∴ ．故选 C． 4.已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．10 C．10 D．28 【答案】C 【详解】如图，∵AB=5，AC=7，BC=8，过A作AD⊥BC于D， ∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2， 解得：BD=，∴AD=，∴△ABC的面积=10，故选C． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 5．（2025·湖北武汉·中考模拟预测）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法1：如图，AB=7，BC=5，AC=8；过A作AD⊥BC于D， 设BD=x，则CD＝5-x，由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2；解得：x=1；∴AD=4 设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：（5r+7r+8r）= ×5×4；解得：r=，故选C. 法2：∵△ABC的边长为5，7，8，∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知∠D为等边三角形的一个内角，所以∠D=60°,再利用等面积法求得内切圆半径为。 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）在中，，将它折叠使点与点重合，折痕交于点，则线段的长为 ． 【答案】3/5 【详解】解：当是锐角三角形时，连接，过点作于点，如图1所示， 是折痕，，，， 为等边三角形，，. ，，在中， ，， ，. 在中， ，，， ，，. 当是钝角三角形时，连接，过点作延长线于点，如图2所示， 是折痕，，， ，为等边三角形，，. ，，在中， ，， ，. 在中 ，，， ，，. 综上所述，的长为3或5.故答案为：3或5. 7.（2025·陕西·校考一模）已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝ ． 【答案】 【详解】解：过点P作GHBC交AB、CD于点G、H，过点P作EFAB交AD、BC于点E、F， 设AE=BF=c，AG=DH=a，GB=HC=b，ED=FC=d ，，， PA＝1，PB＝2，PC＝3， 即（负值已舍去）故答案为：． 8．（24-25·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大． 【答案】6 【详解】解：设，则 ∵四边形ABCD的对角线互相垂直，∴， 则： ．∴AC=6时，面积有最大值；故答案是6． 9．（2025·广东茂名·校考二模）如图，在矩形中，，，P是矩形内一点，沿、、、把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积数值为a；这个四边形周长的最小值为b，则 ． 【答案】56 【详解】解：如解图①，过点P作于点E，延长交于点F， ∵四边形是矩形，∴，．∴四边形是矩形．∴． 又∵，∴； 如解图②，连接，交于点，∵，，∴， ∵∴， ∴当点P是对角线、的交点时，四边形的周长有最小值． ∴四边形周长的最小值为，∴．故答案为：56．      10．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． (1)如图1，，点P、A、C三点共线，，求． (2)如图2，求、、、四者关系．(3)应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 【答案】(1)16(2)(3) 【详解】（1）解：连结，交于点O， 四边形是矩形，，矩形是正方形， ，，，， ， ，点P与点O重合， ，； （2）解：过点P作于点F，交于点E， 四边形是矩形，，， 四边形是矩形，， ， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， 即； （3）解：以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F， 四边形是矩形，，，， 四边形是矩形，， ， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ，，，， 当点C、D、E三点共线时，取最小值，即的最小值为． 11．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号）    （2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明： （3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）②④（2）见解析（3） 【详解】（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，而矩形和平行四边形的对角线不一定垂直， ∴只有正方形和菱形是垂美四边形，故选②④. （2）∵，∴,,,, ∴，,∴. （3）如图所示，连接,.    在中，，， 由正方形可知，，∴，同理可得：， 由正方形和正方形可知，, ∴,即,∴,∴, 又∴, ∴；∴四边形是垂美四边形. 由（2）的结论可得： 解得： 12．（2025·河南安阳·模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 【操作探究】（1）下列四边形是勾股四边形的有___（填序号）①长方形；②平行四边形；③正方形 （2）下面图1，图2均为的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接、，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是中心对称图形． 【理解应用】（3）如图3，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、，，求证：四边形是勾股四边形； 【拓展应用】（4）如图4，在四边形中，为等边三角形，，，，直接写出的长． 【答案】（1）①③；（2）见解析；（3）见解析；（4）的长为10 【详解】解：（1）勾股四边形是①长方形；③正方形；故答案为：①③； （2）如图1中，四边形即为所求．如图2中，四边形即为所求． （3）连接，如图3，绕顶点B按顺时针方向旋转，得到， ，，，是等边三角形，，， ，，， ，四边形是勾股四边形； （4）的长为10． 如图4，将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到，连接． ，，，是等边三角形， ，为直角三角形， ，即，，即． 13．（2025·河南漯河·一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对“勾股四边形”进行研究． 定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“勾股四边形”的是___________． 性质探究（2）如图1，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”． ②若四边形也为“勾股四边形”，且为勾股边，求的值． 拓展应用（3）如图2，在中，，，是边的三等分点（），是边的中点，在边上取一点，使得四边形是“勾股四边形”，当和是勾股边时，请直接写出的长． 【答案】（1）矩形、正方形；（2）①见解析；②；（3）或或 【详解】解：（1）因为矩形、正方形是存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形，所以是“勾股四边形”，平行四边形、菱形不一定存在，故答案为：矩形、正方形． （2）①证明：，． 又，． 在中，，即四边形一定为“勾股四边形”． ②，． 在与中，，． 又，． 四边形为“勾股四边形”，且，． 又，是等边三角形，，． （3）或或 是边的三等分点，． 是边的中点，，． 分两种情况：①当，即． 如图1，过点作于点．，， ，， ，，． ，，，； ②，即，解得． 如图2、图3，分别过点作于点． 同理可证：，，． ，，． 综上所述，的长为或或． 14．（2024·江西南昌·一模）【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 【答案】（1）①；②；（2）成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）①如图1，四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ，四边形和四边形都是矩形， ，，，， ，，， ，，， 故答案为：5，，，． ②，， ，故答案为：． （2）成立，理由：如图2，四边形是矩形， ，， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ，四边形和四边形都是矩形，，， ，，； ，，， ，． （3）如图3，作交的延长线于点，则，，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ，，， 四边形和四边形都是矩形，，， ，， ，，， ，，，， ，，， ，，四边形是矩形，， ，的最小值为，故答案为：． 15．（2025·山西晋城·校考一模）请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍．下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线，求证： 证明：过点作于点．设，，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，即可得结论； （2）连接，交于点，连接，由阿波罗尼奥斯定理和矩形的性质，可得结论． 【详解】（1）证明：是中线，， ，， ； （2）证明：如图，连接，交于点，连接， 四边形是矩形，， 根据阿波罗尼奥斯定理得：，． 16．（2025·安徽·模拟预测）数学课堂探究性活动蔚然成风．张老师在课堂上设置一道习题： (1)已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之间的关系？直接写出结论，不必证明； 当P点在其它位置时，请同学们分组探究：(2)当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明．(3)当点P在矩形外部，如图3时，继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论直接写出来，不必证明． 【答案】（1）（2）（3）结论PA2+PC2=PB2+PD2，证明见解析 【详解】试题分析：（1）直接根据勾股定理即可得出结论； （2）过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证． 试题解析：证明：（1）如图1中．在Rt△ABP中，AB2=AP2﹣BP2，Rt△PDC中，CD2=PD2﹣PC2．∵AB=CD，∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2，∴PA2+PC2=PB2+PD2； （2）猜想：PA2+PC2=PB2+PD2．如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N． 在矩形ABCD中，∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC．在Rt△AMP中， PA2=PM2+MA2．在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2．在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2．在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2．∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，同理AM=BN，∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2，即PA2+PC2=PB2+PD2． （3）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q． ∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，∴PQ⊥AD．∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2．在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2．在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2．在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2．∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，∴四边形OQCD是矩形，∴OD=QC，同理AO=BQ，∴PA2+PC2=PB2+PD2． 17．（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，四边形的对角线互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E．则四边形的面积为_________． （2）如图2，矩形中，，点G，H分别是上任一点，求四边形的面积． （3）如图3，四边形放在了一组平行线中，已知，四边形的面积为，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米． 【答案】（1）；（2）；（3）厘米． 【详解】解：（1）四边形的对角线互相垂直，对角线长为，长为， ∴,故答案为： （2）如图，分别作高， （3）如图，作,垂足分别为， ∵，∴，故相邻两条平行线间的距离为厘米． 18．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． (3)如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见详解(2)(3)或 【详解】（1）解：数量关系为：记交于点O， ∵，∴在中，由勾股定理得：， ∴， 同理可得：，∴； （2）解：如图，∵四边形是正方形，为直角三角形， ∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴四边形为“垂美四边形”，∴， 在中，由勾股定理得：，∴， 同理可求,∴，解得：； （3）解：①当时，则， 在中，，∴由勾股定理得， ∴，解得：（舍负），∴，过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，，∴，∴， 而，∴，∴，∴， ∴在中，由勾股定理得， ②当时，同上可求此时，过点P作于点D， 同上可证：，∴，∴， ∴在中，由勾股定理求得，综上：或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $