微专题04 二元一次方程组与新定义、规律探究、阅读理解类问题（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

微专题04 二元一次方程组与新定义、规律探究、阅读理解类问题 题型一 二元一次方程组与新定义问题 先认真读懂题目给出的新运算、新符号或新概念，严格按照定义把陌生的表达式转化成我们熟悉的等式。再根据题目条件，把对应的数值或代数式代入新定义中，列出二元一次方程组。接着用代入消元法或加减消元法解出未知数，最后把解代回原定义进行检验，确保结果符合新定义的要求。 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 2．（25-26八年级上·全国·周测）我们规定：关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福方程”．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福方程”．把两个“幸福方程”合在一起叫“幸福方程组”． (1)若关于的方程组是“幸福方程组”，求的值． (2)解“幸福方程组”． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 4．（23-24七年级下·吉林白城·月考）规定新运算：，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 6．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读材料，回答下列问题： 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与_______（填“有”或“没有”）“邻好关系”； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 8．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们把关于，的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于，的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则_______，_______； (2)若二元一次方程中，的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 _________； (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则，之间的数量关系是 _________． 11．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于，的方程组 (1)若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值； (2)当，都是实数，且满足2a+b=4，就称点为完美点．当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是完美点，请说明理由． 12．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． (3)若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 (1)已知二元一次方程组，则______； (2)若有理数a，b满足，求的值； (3)对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 14．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． ．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 16．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 题型二 二元一次方程组与规律探究问题 先观察给出的前几个方程组，分别找出x 的系数、y 的系数、常数项随序号变化的规律，一般是依次增加或成倍变化。再对应看每组解里 x、y 的值和序号之间的关系，分别用含序号 n 的式子表示出 x 和 y。接着按照找到的规律，写出第 n 个方程组的一般形式，最后把通项解代入第 n 个方程组进行验证，确保左右两边相等即可。 17.下面反映了按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系： 序号 1 2 3 …… n 方程组 方程组解 按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）． 18.．如图是按一定的规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图：将方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……、方程组n. ①                          ②                        ③                     ……                                   ……            （1）将方程组2、方程组3的解填入上图对应位置； （2）请根据方程组和与它对应的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入上图中； （3）若方程组的解是,求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 19．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 20．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 题型三 二元一次方程组与阅读理解类问题 先仔细阅读题目材料，理解例题中介绍的解题思路和方法，比如整体代入、换元、消常数等特殊解法。然后提取材料里的关键步骤和等量关系，模仿例题的解题格式，把要求解的方程组转化为符合该方法的形式。再按照同样的步骤列出方程或方程组，规范计算出结果，最后结合题意写出完整答案，注意步骤要和材料保持一致，不要随意改用常规解法。 21．仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步： 可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 23．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）【阅读材料】以下是小颖在求解方程组的解题过程： 解：，得，化简得③， ，得，化简得④， ，得，解得， ，得，解得， 所以原方程的解为． 如果一个方程组中，两个方程相加时两个未知数的系数相等，两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数；或者两个方程相加时两个未知数的系数互为相反数，两个方程相减时两个未知数的系数相等，那么我们称这样的二元一次方程组为“系数友好方程组”，称小颖的解法为“循环加减法”． 【解决问题】 (1)方程组 （填“是”或“不是”）“系数友好方程组”． (2)如果（1）中的方程组是“系数友好方程组”，请用“循环加减法”解该方程组．如果不是，请选择适当的方法解该方程组． 25．（23-24七年级下·河南南阳·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或． 问题：已知关于x，y的方程组 (1)请你直接写出方程的一组正整数解：______； (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（    ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)若方程组的解满足，求a的值． 26．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 27．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 28．（22-23七年级下·河南漯河·月考）阅读理解 （Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：    把它们写成我们现在的方程组是与． （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以方程组的解为，解答下列问题： (1)直接写出下面算筹图表示的关于x，y的二元一次方程组．    (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 29．（23-24七年级下·云南德宏·期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 30．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得，进一步可化为．根据x，y为正整数，可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你写出方程的一个正整数解：___________________； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买单价为5元/本的笔记本与单价为4元/支的中性笔两种奖品（两种都要购买），共花费76元．试问有几种购买方案，并写出购买方案． 32．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 二元一次方程组与新定义、规律探究、阅读理解类问题 题型一 二元一次方程组与新定义问题 先认真读懂题目给出的新运算、新符号或新概念，严格按照定义把陌生的表达式转化成我们熟悉的等式。再根据题目条件，把对应的数值或代数式代入新定义中，列出二元一次方程组。接着用代入消元法或加减消元法解出未知数，最后把解代回原定义进行检验，确保结果符合新定义的要求。 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程，解二元一次方程组，新定义． （1）根据“对称二元一次方程”的定义即可得解； （2）根据“对称二元一次方程”的定义可得关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：方程的“对称二元一次方程”是； （2）解：由题意得， 解得， 即． 2．（25-26八年级上·全国·周测）我们规定：关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福方程”．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福方程”．把两个“幸福方程”合在一起叫“幸福方程组”． (1)若关于的方程组是“幸福方程组”，求的值． (2)解“幸福方程组”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法． （1）根据“幸福”方程组的定义可得，解出和即可． （2）将（1）中求得的和代入方程组，求出方程组的解即可． 【详解】（1）由题意，得， 整理，得：， 解得：． （2）由（1），得原方程组为， 解得． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 4．（23-24七年级下·吉林白城·月考）规定新运算：，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据给出的新定义列出方程组准确计算是解答本题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再得出，求出b，再把代入①求出a即可； （2）根据新运算得出方程组，再得出，求出n，再把代入②求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ； （2），， ， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 6．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求，的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； （3）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据新运算法则及已知条件列出关于a、b的二元一次方程组即可得到解答； （2）由题意可得关于x、y、m的三元一次方程组，利用消元法消去x、y即可得到m的值； （3）令，则由题意可得 ，从而可以求得原方程组的解 ． 【详解】解：（1）由题意可得： 解得； （2）由题意可得： ①+②并整理得：x=m+1， ②-①并整理得：y=3m-2， 把x=m+1，y=3m-2代入③并整理得：4m=4， ∴m=1； （3）解为 对 令， ∴ ∴ ∴①，即 ②，即 【点睛】本题考查二元方程组的解，把二元高阶方程组转化为二元一次方程组求解是解题关键． 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）阅读材料，回答下列问题： 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与_______（填“有”或“没有”）“邻好关系”； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)有 (2)或 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是关键． （1）根据解二元一次方程组的方法得到，再根据“邻好关系”的计算方法判定即可； （2）根据解二元一次方程组的方法得到，再根据“邻好关系”的计算方法得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ①②得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为， ∴， ∴方程的解与有“邻好关系”， 故答案为：有； （2）解：， ①②，得， ∴， 把代入①，得， ∴原方程组的解为， ∴， ∵方程组的解具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 8．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)5 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出，的值，再根据方程组的解的定义，得到关于，的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：中，， 方程是最佳方程， 故答案为：是； （2）解：∵关于，的二元一次方程是“最佳”方程， ，解得； （3）解：方程组是“最佳”方程组， ，， ，， 原方程组为， 是方程组的解， ， 解得， ． 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)的值为； (2)的值为或． 【分析】（）先解方程与方程，然后根据“和方程”可得，进而问题可求解； （）设另一个方程的解为，由题意得，则或，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为； （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们把关于，的两个二元一次方程与叫做互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组． (1)若关于，的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则_______，_______； (2)若二元一次方程中，的值满足下列表格： 则这个方程的共轭二元一次方程是 _________； (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则，之间的数量关系是 _________． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）由定义直接可求； （）用加减消元法分别求解每一个二元一次方程组即可； （）由定义直接可求出，之间的数量关系； 本题考查了二元一次方程组的解法，理解定义，灵活应用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是， 故答案为：； （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于，的方程组 (1)若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值； (2)当，都是实数，且满足2a+b=4，就称点为完美点．当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是完美点，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件，把不含的两个二元一次方程联立成方程组，求出，的值，再把，的值代入方程，求出即可； （2）解方程组，求出，，根据点为完美点，列出含有，和的等式，把和用表示出来，最后根据，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）关于，的方程组的解也是二元一次方程的一个解， ， ②①得：， ， ， 解得：； （2）时，点为完美点，理由如下： ， ①得：③， ②③得：， ， 把代入②得：， 方程组解为：， 为完美点， 又，， ，， ， ， ， ， 时，点为完美点． 12．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． (3)若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3)52 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：的“镜像方程”为； 它们组成的方程组为， 解得：； 故答案为：；； （2）解：由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得 方程组的解为， 解得 ． （3）解：， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得． ． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·月考）【方法引入】 已知关于两个未知数组成的方程组，求关于这两个字母的代数式的值，常见有两种方法： 方法一（通法）：解方程组求出这两个未知数的值，再代入代数式求值； 方法二（整体思想）：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 【例】已知实数m、n满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出m，n的值，代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值． 解法如下：①－②，得；①+②，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【方法应用】 (1)已知二元一次方程组，则______； (2)若有理数a，b满足，求的值； (3)对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法、代数式求值、新运用法则、非负数的性质等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）根据材料提示运用整体思想求解即可； （2）根据非负数的性质可得，再运用整体思想求解即可； （3）根据新定义的计算方法可得，设可得，即，进而得到，解得：，最后运用整体思想求解即可． 【详解】（1）解：， 得：． 故答案为：1． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴①+②得， ∴，即． （3）解：根据题意得∶， 设， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 15．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“船山方程”． 则； 由得： 则：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：由题意可知，的“船山方程”为：， 联立方程组得， 得：，即， ∵， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，代入①得：， 解得：， ∴． （3）解：∵， ， ∵与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得， 即，， ∴ ． 16．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③/③② (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； 【详解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 综上所述，的值为或． 题型二 二元一次方程组与规律探究问题 先观察给出的前几个方程组，分别找出x 的系数、y 的系数、常数项随序号变化的规律，一般是依次增加或成倍变化。再对应看每组解里 x、y 的值和序号之间的关系，分别用含序号 n 的式子表示出 x 和 y。接着按照找到的规律，写出第 n 个方程组的一般形式，最后把通项解代入第 n 个方程组进行验证，确保左右两边相等即可。 17.．下面反映了按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系： 序号 1 2 3 …… n 方程组 方程组解 按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）． 【答案】 【分析】分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从开始的连续负奇数，再根据得到的规律求解即可；发现方程和解的规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：第n个方程组为，它的解为（n为正整数）． 故答案为：，． 18.．如图是按一定的规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图：将方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……、方程组n. ①                          ②                        ③                     ……                                   ……            （1）将方程组2、方程组3的解填入上图对应位置； （2）请根据方程组和与它对应的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入上图中； （3）若方程组的解是,求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？ 【答案】（1）-1,3，见解析；（2）x-ny=n2,n,1-n；（3）m=3，不符合. 【分析】（1）将方程组2、方程组3中已知未知数的值代入方程组中的任意一个方程即可求出另一未知数的值； （2）根据方程组和与它对应的解的变化找出规律即可； （3）把方程组的解代入方程x-my=25即可求的m的值，再根据规律进行判断． 【详解】解：（1）   把x=2代入①得  y=-1； ③     把y=-2代入①得  x=3； （2） 根据方程组和与它对应的解的变化规律，，得 方程组n为：                                   方程组的解为： ； （3）由题意，得7+6m=25， 解得m=3， 该方程组为 ，它不符合（2）中的规律． 故答案为（1）-1，3，见解析；（2）x-ny=n2，n，1-n；（3）m=3，不符合. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，找到方程组和与它对应的解的变化规律是解题的关键． 19．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 20．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 【答案】(1) (2) (3)，，方程组属于上述集合． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）由前面方程组的解发现未知数x的值为一列自然数，对应的未知数y的值为x的相反数与1的和，从而可总结出规律得答案； （3）将代入原方程组求解，的值，再观察方程组的结构从而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 把两个方程相加可得：， 解得：， 把代入上面一个方程可得：， 方程组1的解为； （2）根据方程组的解的变化规律可得： 方程组n为，解为； （3）∵， 将代入①得：， 解得， 把，代入②，得，解得， ∴该方程组及方程组的解属于上述集合． 【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解的含义，方程组的解的规律探究与运用，理解题意，正确的归纳与总结规律是解本题的关键． 题型三 二元一次方程组与阅读理解类问题 先仔细阅读题目材料，理解例题中介绍的解题思路和方法，比如整体代入、换元、消常数等特殊解法。然后提取材料里的关键步骤和等量关系，模仿例题的解题格式，把要求解的方程组转化为符合该方法的形式。再按照同样的步骤列出方程或方程组，规范计算出结果，最后结合题意写出完整答案，注意步骤要和材料保持一致，不要随意改用常规解法。 21．仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组有以下步骤： 第一步：由①，得③ 第二步：把③代入①，得 第三步：整理得 第四步： 可取一切数，原方程组有无数个解． (1)选择：以上解法中，造成错误的一步是（   ） A．第一步            B．第二步            C．第三步            D．第四步 (2)用加减法解这个方程组． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （）根据变形后的方程代入方程组的另一个方程，即可得出选项； （）得出，求出，再把 代入求出即可． 【详解】（1）解：∵③是由①变形得来， ∴不能将③代入①，应将③代入， ∴第二步出现错误． 故选：B． （2）解： ，得， 解得： ，代入， 解得： ， 所以方程组的解是． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 根据题干要求，采用“消常数项法”解答即可． 【详解】解：由②①，得，即．③ 将③代入①，得， 解得． 把代入③，得， 所以方程组的解为 23．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用整体求值法进行求解即可； （2）利用整体求值法求出的值，结合，列出关于的方程进行求解即可； （3）利用整体求值法化简方程组，再进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得； （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得； （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴． 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）【阅读材料】以下是小颖在求解方程组的解题过程： 解：，得，化简得③， ，得，化简得④， ，得，解得， ，得，解得， 所以原方程的解为． 如果一个方程组中，两个方程相加时两个未知数的系数相等，两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数；或者两个方程相加时两个未知数的系数互为相反数，两个方程相减时两个未知数的系数相等，那么我们称这样的二元一次方程组为“系数友好方程组”，称小颖的解法为“循环加减法”． 【解决问题】 (1)方程组 （填“是”或“不是”）“系数友好方程组”． (2)如果（1）中的方程组是“系数友好方程组”，请用“循环加减法”解该方程组．如果不是，请选择适当的方法解该方程组． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据“系数友好方程组”的定义判断即可； （2）根据“循环加减法”解方程组即可． 【详解】（1）解：∵，得，两个未知数的系数互为相反数， ，得，两个未知数的系数相等， ∴方程组是“系数友好方程组”． （2）解：，得，化简得③， ，得，化简得④， ，得，解得， ，得，解得， ∴原方程组的解为． 25．（23-24七年级下·河南南阳·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或． 问题：已知关于x，y的方程组 (1)请你直接写出方程的一组正整数解：______； (2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有（    ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 (3)若方程组的解满足，求a的值． 【答案】(1)或（任意一组）； (2)B (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，分式的值，解二元一次方程组； （1）根据题意写出二元一次方程的正整数解，即可求解； （2）根据题意得出，即可求解； （3）根据题意联立，加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或（任意一组）； （2）∵为自然数， ∴或或或， 解得：共4个， 故选：B． （3）解：由题意得， ∴， 把代入，得： ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)4，5，6，9 (3)；0；2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键． （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得： ， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； 故答案为：； （2）解：∵为自然数，x为正整数， ∴取6或3或2或1， ∴x可取4或5或6或9． 故答案为：4，5，6，9； （3）解：解方程组得：， ∵方程组的解是正整数， ∴8是的倍数， ∴或4或2或1， ∴k取或0或2或3， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，整数的值为；0；2． 27．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据材料提示方法，，即可求解； （2）根据新定义的计算方法得到，为，结合材料提示方法，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 得，， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，其中是常数，，， ∴， ∵为， ∴得，， 整理得，， ∴的值为． 28．（22-23七年级下·河南漯河·月考）阅读理解 （Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：    把它们写成我们现在的方程组是与． （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下： 所以方程组的解为，解答下列问题： (1)直接写出下面算筹图表示的关于x，y的二元一次方程组．    (2)依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，列出关于x、y的二元一次方程组即可； （2）仿照阅读材料中数表的解法格式解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解： ∴方程的解为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，观察图形，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 29．（23-24七年级下·云南德宏·期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出矩阵对应的方程组的解； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，得，． 【详解】（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得，， ∴矩阵对应的方程组的解为； （2）解：∵矩阵所对应的方程组的解为， ∴将代入，得， 得，． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 30．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得，进一步可化为．根据x，y为正整数，可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你写出方程的一个正整数解：___________________； (2)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买单价为5元/本的笔记本与单价为4元/支的中性笔两种奖品（两种都要购买），共花费76元．试问有几种购买方案，并写出购买方案． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)共有3种购买方案：①购买4本笔记本，14支中性笔；②购买8本笔记本，9支中性笔；③购买12本笔记本，4支中性笔 【分析】本题主要考查了解二元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据题意得出，即可求解； （2）设购买m本笔记本，n支中性笔，则 ，求出其正整数解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ，     当时，，当时，，当时，， ∴原方程的一组正整数解为 或或（答案不唯一）； （2）解：设购买m本笔记本，n支中性笔， 根据题意，得， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案：①购买4本笔记本，14支中性笔；②购买8本笔记本，9支中性笔；③购买12本笔记本，4支中性笔． 32．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $