第四单元 长方体（二）（易错笔记培优讲练）易错点拨+10个易错考点讲练+优选真题拔尖练 共49题-2025-2026学年北师大版数学五年级下册

2025-2026学年北师大版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第四单元 长方体（二）『易错笔记培优讲练』 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1. 混淆体积与容积概念：物体所占空间大小是体积，容器内部所能容纳物体大小是容积；体积一定大于容积，计算容积常用内部长宽高。 2. 单位混用易错：体积单位立方米、立方分米、立方厘米；容积单位升、毫升；牢记换算关系1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米，相邻体积单位进率均为1000，易与面积长度进率混淆。 3. 公式运用疏漏：长方体、正方体体积通用公式为底面积×高，不要只记长宽高相乘；横截面面积×长度也可求体积，审题易选错对应数据。 4. 棱长变化影响判断：棱长扩大几倍，体积扩大倍数为棱长倍数的立方，不是同等倍数或平方倍数。 5. 拼切形体体积表面积误区：多个正方体拼接，总体积不变，表面积减少接触面面积；长方体切开，总体积不变，表面积增加切面面积，极易增减判断颠倒。 6. 浸水问题理解偏差：物体完全浸没，上升水体积等于物体体积；未完全浸没不可直接套用公式；溢出水量等于浸入物体体积。 7. 统一单位忽略：计算前长宽高、底高单位不一致未换算统一，直接计算导致结果错误。 8. 正方体特殊易错：棱长相等才可套用正方体专属体积公式；表面积和体积单位不同、意义不同，无法比较大小。 高频易错考点一 长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）淘气用棱长为1cm的方块拼一个长方体，已拼了一部分（见图），此时，该立体图形的体积为( )，至少再摆( )个方块才能拼成一个长方体。淘气把长方体推倒，用这些方块拼了另一个长方体，从上面看到的图形是，此时这个长方体的高是( )cm。 【答案】 9 27 6 【易错思路引导】第1空，棱长是1cm的正方体体积是1cm3，数出该立体图形的正方体数量即可。第一层有7个，第二层有1个，第三层有1个。 第2空，根据每行个数×行数×层数＝长方体的个数，算出摆成长方体需要的总个数，再减去现在的个数即可。 第3空，从上面看，这个长方体的第一层是6个正方体，用总个数除以6算出它的层数即可。 【完整解答】第1空，7＋1＋1＝9（个） 9×1＝9（） 第2空，4×3×3－9 ＝36－9 ＝27（个） 第3空，36÷6＝6（层） 每层是1cm，6层是6cm。 【变式训练1】（24-25五年级下·福建泉州·期中）有10本同样的书，能够恰好叠成一个长为26cm，宽为18cm，高为7cm的长方体，每本书的体积是( )。 【答案】327.6 【易错思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值求出长方体的体积，再用长方体的体积除以10即可求出每本书的体积。 【完整解答】 （） （） 每本书的体积是327.6。 【变式训练2】素养提升：一个长10厘米、宽8厘米的长方体容器中的水深6厘米。现将一根底面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与容器底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【易错思路引导】长方体容器中放入长方体铁棒后，水的体积没有变化，由于放入的铁棒占据了部分底面积，所以底面积等于原来长方体容器的底面积－铁棒的底面积；这时，水的形状变成一个中间被抽去一个长方体的中空的长方体，求这样一个中空的长方体的体积，根据：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，即可求出现在水的高度。 【完整解答】10×8×6÷（10×8－20） ＝80×6÷（80－20） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：现在水深8厘米。 【考点剖析】明确水的体积不变以及熟练掌握和运用长方体体积公式是解答本题的关键。 高频易错考点二 正方体的体积 【典例精讲】（2025五年级·全国·专题练习）求出下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】219cm3 【易错思路引导】由图可知，该图形由一个棱长是3cm的正方体和一个长是8cm、宽是8cm、高是3cm的长方体组成，故该图形的体积等于正方体的体积加长方体的体积；根据正方体的体积公式和长方体的体积公式，分别求出正方体和长方体的体积，最后相加，即可求出该图形的体积，据此解答。 【完整解答】正方体的体积：（cm3） 长方体的体积：（cm3） 该图形的体积：（cm3） 答：这个图形的体积是219cm3。 【变式训练1】（24-25五年级·全国·随堂练习）一段方钢长10dm，宽5dm，高1dm，这段方钢的体积是多少立方分米？如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5dm的正方体钢块，可以熔铸成多少块？（不计损耗） 【答案】50立方分米；400块 【易错思路引导】方钢为长方体形状，长方体体积公式为：长方体体积＝长×宽×高。已知方钢的长为10分米，宽为5分米，高为1分米，将数值代入公式即可求出体积；再根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算出棱长为0.5分米的小正方体钢块的体积。然后用方钢的总体积除以一个小正方体钢块的体积，得到可熔铸的块数。 【完整解答】（立方分米） （块） 答：这段方钢的体积是50立方分米；如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5分米的正方体钢块，可以熔铸成400块。 【考点剖析】先根据长方体体积公式计算方钢的体积，再根据正方体体积公式计算小正方体钢块的体积，最后用方钢体积除以小正方体体积得到可熔铸的块数。 【变式训练2】一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     【答案】40升 【易错思路引导】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的容积（体积）公式：V＝abh，用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。 【完整解答】4×4×4＋6×5×3.2－6×5×4 ＝64＋96－120 ＝160－120 ＝40（立方分米） 40立方分米＝40升 答：缸里的水溢出40升。 【考点剖析】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 高频易错考点三 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）同学们在博物馆参加捏橡皮泥比赛，一位同学先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为8平方分米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】8分米 【易错思路引导】根据题意：橡皮泥在捏制过程中，形状发生了改变，但体积保持不变。先根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积；再根据长方体的体积公式：体积＝底面积×高，用体积除以底面积求出长方体的高。 【完整解答】4×4×4÷8 ＝16×4÷8 ＝64÷8 ＝8（分米） 答：这个长方体的高是8分米。 【变式训练1】（24-25五年级下·安徽淮北·期中）把一个棱长0.9米的正方体块锻造成一个长方体，这个长方体的底面长是4分米，宽是3分米，这个长方体的高是多少？ 【答案】60.75分米 【易错思路引导】正方体锻造成长方体，形状改变但体积不变。先统一长度单位，根据正方体体积公式算出正方体的体积，也就是长方体的体积；再计算长方体的底面积，根据长方体体积公式推导出高＝体积÷底面积，代入数据计算即可。 【完整解答】单位换算：0.9米＝9分米 计算正方体体积（即长方体体积）：9×9×9＝729（立方分米） 计算长方体底面积：4×3＝12（平方分米） 计算长方体的高：729÷12＝60.75（分米） 答：这个长方体的高是60.75分米。 【变式训练2】（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）在一个长30厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中，这时水深是多少厘米？ 【答案】11.25厘米 【易错思路引导】长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，已知长方体容器长30厘米、宽15厘米、高10厘米，且装满水，水的体积等于长方体容积，把数据代入公式得：30×15×10＝4500（立方厘米）。正方体底面积公式为：面积＝棱长×棱长，已知正方体容器棱长20厘米，则底面积为：20×20＝400（平方厘米）。水倒入正方体容器后，形状变为“以正方体底面积为底、水深为高的长方体”，根据“长方体的高＝体积÷底面积”，把体积4500立方厘米，底面积400立方厘米代入计算即可。 【完整解答】30×15×10＝4500（立方厘米） 20×20＝400（平方厘米） 4500÷400＝11.25（厘米） 答：这时水深是11.25厘米。 高频易错考点四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个长方体，长、宽、高分别是5cm、4cm和3cm，从中截去一个最大的正方体，截去的正方体体积是( )cm3，剩下的体积是( )cm3。 【答案】 27 33 【易错思路引导】截去的正方体的棱长取长方体高，因此正方体的棱长为3cm。根据求出正方体的体积，再用长方体的体积减去正方体的体积，得到剩下的体积。正方体体积V＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积V＝长×宽×高。 【完整解答】正方体体积：3×3×3 ＝9×3 ＝27（cm3） 长方体体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（cm3） 剩下的体积：60－27＝33（cm3） 【变式训练1】（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个长方体的底面积是20dm2，如果把高减少2dm，体积减少（    ）dm3。 A．40 B．400 C．4000 【答案】A 【易错思路引导】减少的体积就是底面积不变，高为2dm的长方体的体积，根据长方体的体积＝底面积×高代入计算，即可求出减少的体积。 【完整解答】20×2＝40（dm3） 【变式训练2】（23-24六年级下·四川成都·期末）如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】根据图形可知，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积减少4个小正方形面积，增加2个小正方形面积，所以长方体的表面积减少了，体积也减少了，据此判断即可。 【完整解答】如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了，说法正确。 故答案为：√ 高频易错考点五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中） ( )    2.4dm3＝( )L( )mL 1.08L＝( )mL    ( )( ) 【答案】 6200 2 400 1080 80 0.8 【易错思路引导】根据1m3＝1000dm3；1dm3＝1L＝1000mL；1m2＝100dm2，1dm2＝100cm2。 把高级单位换算成低级单位需乘进率，把低级单位换算成高级单位需除以进率。 【完整解答】因为6.2×1000＝6200（dm3），所以6.2m3＝6200dm3； 因为2.4dm3＝2.4L，0.4×1000＝400（mL），所以2.4dm3＝2L400mL； 因为1.08×1000＝1080（mL），所以1.08L＝1080mL； 因为8000÷100＝80（dm2），80÷100＝0.8（m2），所以8000cm2＝80dm2＝0.8m2。 【变式训练1】（24-25五年级下·广东湛江·期中）在括号里填上适当的数。 2.04m3＝( )dm3＝( )L    1050mL＝( )L( )mL 【答案】 2040 2040 1 50 【易错思路引导】根据1m3＝1000dm3，1dm3＝1L，1L＝1000mL，把高级单位化成低级单位乘进率，把低级单位化成高级单位除以进率。 【完整解答】2.04m3＝（2.04×1000）dm3＝2040dm3＝2040L 1050mL＝1000mL＋50mL＝（1000÷1000）L＋50mL＝1L50mL 【变式训练2】棱长为1dm的正方体盒子中，可以放多少个体积为1cm3的小正方体？ 分析与解答：求棱长是1dm的正方体盒子中可以放多少个体积为1cm3的小正方体，就是求相邻体积单位之间的进率；棱长为1dm的正方体，体积就是( )dm3，找一个1dm3的正方体盒子，用棱长是1cm的正方体往里摆。每行放( )个，摆( )行，这样一层就摆好了，然后这样一层一层地摆，正好摆10层就装满了这个盒子，一共摆了( )个小正方体，说明1dm3＝( )cm3。 【答案】 1 10 10 1000 1000 【易错思路引导】棱长为1dm的正方体，体积是：1×1×1＝1（dm³），因为1dm＝10cm，所以在棱长为1dm的正方体盒子中，放棱长为1cm的正方体，每行可以放10个，可以摆10行，一层就摆好了，一层一层地摆，可以摆10层，所以共可以放：10×10×10＝1000（个）。所以1dm³＝1000cm³ 【完整解答】由分析可知：求棱长是1dm的正方体盒子中可以放多少个体积为1cm3的小正方体，就是求相邻体积单位之间的进率；棱长为1dm的正方体，体积就是1dm3，找一个1dm3的正方体盒子，用棱长是1cm的正方体往里摆。每行放10个，摆10行，这样一层就摆好了，然后这样一层一层地摆，正好摆10层就装满了这个盒子，一共摆了1000个小正方体，说明1dm3＝1000cm3。 【考点剖析】本题考查相邻体积单位之间的进率的推导方法，学生需理解推导的过程，并牢记此结论。 高频易错考点六 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中） 450平方厘米＝( )平方分米        2300立方厘米＝( )立方分米 3.08立方米＝( )立方分米        60毫升＝( )升 【答案】 4.5 2.3 3080 0.06 【易错思路引导】根据1平方分米＝100平方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【完整解答】450÷100＝4.5（平方分米）；2300÷1000＝2.3（立方分米） 3.08×1000＝3080（立方分米）；60÷1000＝0.06（升） 450平方厘米＝4.5平方分米；2300立方厘米＝2.3立方分米 3.08立方米＝3080立方分米；60毫升＝0.06升 【变式训练1】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）在括号里填上合适的数。 ( )             ( )mL     ( )           ( )L 【答案】 150 20 2.1 1.55 【易错思路引导】1m3＝1000dm3；1L＝1000mL；1dm3＝1000cm3；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【完整解答】0.15m3＝（0.15×1000）dm3＝150dm3 0.02L＝（0.02×1000）mL＝20mL 2100cm3＝（2100÷1000）dm3＝2.1dm3 1550mL＝（1550÷1000）L＝1.55L 【变式训练2】（24-25五年级下·广东湛江·期中） ( )              0.802L＝( )mL＝( )cm3 时＝( )分               ( )mL＝( )L 【答案】 625 802 802 40 350 0.35 【易错思路引导】单位间的进率：1L＝1000mL，1mL＝1cm3，1时＝60分；高级单位转化成低级乘进率，低级单位转化成高级单位除以进率。 【完整解答】因为×1000＝625，所以L＝625mL； 因为0.802×1000＝802，所以0.802L＝802mL＝802cm3； 因为×60＝40，所以时＝40分； 因为350÷1000＝0.35，所以，350cm3＝350mL＝0.35L。 高频易错考点七 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期末）一个正方体容器，从里面量棱长为5dm，先注入60L的水，又投入6dm3的石块（完全浸没），这时水面距离容器口（    ）dm。 A．2.4 B．2.36 C．2.64 D．0.24 【答案】B 【易错思路引导】因为1L＝1dm3，所以60L＝60dm3。水的体积是60dm3，石块的体积是6dm3，则总体积为60＋6＝66dm3。此时水形成的是长方体，长方体的体积公式为：体积＝底面积×高，则高＝体积÷底面积，正方体容器的底面积为5×5＝25dm2。用66除以25计算后，再用5减去66除以25的结果。 【完整解答】1L＝1dm3 60L＝60dm3 60＋6＝66（dm3） 5×5＝25（dm2） 66÷25＝2.64（dm） 5－2.64＝2.36（dm） 所以水面距离容器口2.36dm。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级下·陕西汉中·期中）一个长方体蔬菜包装箱的容积是90升，底面的长是60厘米，宽是50厘米，这个包装箱的高是多少厘米？ 【答案】 30厘米 【易错思路引导】把90升转化为90000立方厘米，再根据的逆运算，用体积除以长再除以宽即可得解。 【完整解答】90升=90000立方厘米 90000÷60÷50 ＝1500÷50 ＝30（厘米） 答：这个包装箱的高是30厘米。 【变式训练2】（24-25五年级下·辽宁大连·期中）填上合适的数。 8500立方分米＝( )立方米      6780立方厘米＝( )立方分米( )立方厘米 1.2升＝( )立方厘米           2.7平方米＝( )平方厘米 【答案】 8.5 6 780 1200 27000 【易错思路引导】因为1立方米＝1000立方分米，立方分米换算为立方米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 6780立方厘米＝6000立方厘米＋780立方厘米，因为1立方分米＝1000立方厘米，立方厘米换算为立方分米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 因为1升＝1立方分米＝1000立方厘米，升换算为立方厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率1000； 因为1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米，平方米换算为平方厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率10000。 【完整解答】8500÷1000＝8.5，所以8500立方分米＝8.5立方米； 6780立方厘米＝6000立方厘米＋780立方厘米，6000÷1000＝6，所以6780立方厘米＝6立方分米780立方厘米； 1.2×1000＝1200，所以1.2升＝1200立方厘米； 2.7×10000＝27000，所以2.7平方米＝27000平方厘米。 高频易错考点八 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）奇思用一根100dm长的铁丝焊接一个长方体框架，已知框架的宽是8dm、高是5dm，这个框架的长是( )dm；如果在框架表面焊上铁皮，至少需要铁皮( )；用做成的铁皮箱子装水，最多能装( )L。 【答案】 12 392 480 【易错思路引导】（1）由“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”可知，长＝棱长总和÷4－宽－高。 （2）要求铁皮的面积，就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 （3）要求能装多少水，就是求长方体的容积，长方体的容积计算公式和长方体的体积计算公式相同，都是用长乘宽乘高。1＝1L。 【完整解答】（1）100÷4－8－5 ＝25－8－5 ＝17－5 ＝12（dm） （2）（12×8＋12×5＋8×5）×2 ＝（96＋60＋40）×2 ＝（156＋40）×2 ＝196×2 ＝392（） （3）12×8×5 ＝96×5 ＝480（） 480＝480L 【变式训练1】（24-25五年级下·吉林长春·期末）下面是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） （1）做这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个纸盒的容积是多少立方厘米？（纸板的厚度忽略不计） 【答案】（1）142平方厘米 （2）105立方厘米 【易错思路引导】（1）观察长方体纸盒的展开图，长7厘米，宽5厘米，高3厘米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答。 【完整解答】（1）（7×5＋7×3＋5×3）×2 ＝（35＋21＋15）×2 ＝71×2 ＝142（平方厘米） 答：做这个纸盒至少需要142平方厘米的纸板。 （2）7×5×3＝105（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是105立方厘米。 【变式训练2】（24-25五年级·全国·随堂练习）烘干好的竹纸每100张大约厚1cm，按“5.5dm×5dm”裁切后，平铺在尺寸刚好的木盒中。若木盒容积为16.5L，则它最多能装下多少张纸？ 【答案】600张 【易错思路引导】根据1升＝1立方分米，把木盒容积单位换算成立方分米作单位，用木盒容积除以竹纸裁切后的底面积（平方分米），得到竹纸的厚度，再根据1分米＝10厘米，把竹纸厚度的单位换算成厘米作单位，又已知每100张纸大约厚1厘米，用竹纸的厚度乘100，可得到能装纸的张数。 【完整解答】16.5升＝16.5立方分米 （分米） 0.6分米＝6厘米 （张） 答：则它最多能装下600张纸。 【考点剖析】先将木盒容积单位换算成立方分米，再计算竹纸裁切后的底面积，进而求出竹纸厚度，再根据每100张竹纸的厚度求出可装竹纸的张数。 高频易错考点九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）如图，一个长方体玻璃容器，从里面量，长和宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一块石头完全浸没在水里，这时量得容器内的水深是18厘米。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】1.2立方分米 【易错思路引导】根据题意，先求出水深18厘米水和石头的体积，再减去倒入容器中的水的容积，即可解答，根据长方体容积公式：长×宽×高，把数代入即可，注意单位的换算。 【完整解答】6升＝6立方分米；18厘米＝1.8分米 2×2×1.8－6 ＝4×1.8－6 ＝7.2－6 ＝1.2（立方分米） 答：这块石头的体积是1.2立方分米。 【变式训练1】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）如图，一个从里面量长为8厘米、宽为5厘米的长方体容器内装有6厘米深的水。放入10颗相同的玻璃珠后，水位上升至6.4厘米，平均每颗玻璃珠的体积是多少立方厘米？ 【答案】1.6立方厘米 【易错思路引导】根据题意，上升的水的体积就是10颗玻璃珠的体积，上升的水的体积＝容器的长×容器的宽×水上升的高度，再除以10，即可算出每颗玻璃珠的体积。 【完整解答】8×5×（6.4－6）÷10 ＝40×0.4÷10 ＝16÷10 ＝1.6（立方厘米） 答：平均每颗玻璃珠的体积是1.6立方厘米。 【变式训练2】（23-24五年级下·山西吕梁·期末）如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。 （1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？ （2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？ （3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）三种；216升；252升；252升 （2）198平方分米 （3）126立方分米 【易错思路引导】（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相对。由此可知，有三种不同的选法，①选5张A；②选1张A和4张B；③选2张A和3张B。根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据分别代入公式解答。 （2）根据（1）所得容积，选出容积最大且表面积小的选法，第②和③容积一样大，但A的面积小于B，所以③的表面积小，计算需要铁皮的面积即可。 （3）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铁块和水的体积和，然后减去水的体积就是铁块的体积。 【完整解答】（1）第一种：选5张A，即是一个棱长为6分米的正方体： 6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 第二种：1张A和4张B，即是一个长6分米，宽6分米，高7分米的长方体： 7×6×6＝252（立方分米） 252立方米＝252升 第三种：2张A和3张B，即是一个长7分米，宽6分米，高6分米的长方体： 6×6×7＝252（立方分米） 252立方分米＝252升 （2）6×6×2＋6×7×3 ＝72＋126 ＝198（平方分米） 答：需要198平方分米铁皮。 （3）6×7×（6－0.5） ＝42×5.5 ＝231（立方分米） 105升＝105立方分米 231－105＝126（立方分米） 答：铁块的体积是126立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式 高频易错考点十 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·单元测试）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：730平方厘米 体积：1000立方厘米 【易错思路引导】计算立体图形的表面积时，先按完整大长方体计算表面积，再减去凹槽处两个小正方形面积，加上凹槽处两个小长方形面积； 计算体积时，用大长方体的体积减去凹槽处小长方体的体积，据此解答。 【完整解答】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 【变式训练】（23-24六年级下·广东湛江·期末）将棱长为3厘米的小正方体按如图方式摆放在地上，露在外面的面积是________cm2，这个图的体积是________cm3。 【答案】 216 243 【易错思路引导】根据图示，露在外面的小正方体的面从上面看，有6个面；从前面和后面看，都有5个面；从左面和右面看，都有4个面；由此即可求得这个几何体的露在外面的面积；这个几何体中的小正方体一共有2层，第一层有3个，第二层有6个，这个几何体的体积就是这些小正方体的体积之和。 【完整解答】露在外面的小正方体的面有： 6＋5×2＋4×2 ＝6＋10＋8 ＝24（个） 所以露在外面的面积是： 3×3×24 ＝9×24 ＝216（cm2） （2）这个几何体一共有3＋6＝9（个）小正方体组成。 所以它的体积是： 3×3×3×9 ＝9×3×9 ＝27×9 ＝243（cm3） 答：露在外面的面积是216cm2，这个几何体的体积是243cm3。 1．（24-25五年级下·广东茂名·期中）将一个长4分米的大长方体切成两个长2分米的小长方体，它们的表面积之和比原来的增加了20平方厘米，这个大长方体原来的体积是（    ）立方厘米。 A．300 B．200 C．400 D．40 【答案】C 【易错思路引导】长方体切割成两段后，表面积增加的部分等于2个横截面的面积，同时需要注意长度单位的换算，将分米化为厘米，最后利用体积公式计算。 【完整解答】横截面面积＝20÷2＝10（平方厘米） 4分米＝40厘米 大长方体体积＝横截面面积×长 ＝10×40 ＝400（立方厘米） 这个大长方体原来的体积是400立方厘米。 2．（24-25五年级下·广东茂名·期中）正方体表面积扩大到原来的9倍，则棱长扩大到原来的（    ）倍，棱长总和扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．9；9；9 B．3；3；27 C．3；3；9 D．9；9；27 【答案】B 【易错思路引导】根据棱长扩大到原来的倍数×倍数是表面积扩大到原来的倍数，棱长扩大到原来的倍数×倍数×倍数是体积扩大到原来的倍数，棱长扩大到原来的倍数就是棱长总和扩大到原来的倍数，进行分析。 【完整解答】9＝3×3，所以棱长扩大到原来的3倍。 棱长总和扩大到原来的3倍。 3×3×3＝27，体积扩大到原来的27倍。 3．（24-25五年级下·广东清远·期末）以下说法正确的是（    ）。 A．表示2个相加的和是多少 B．“九折”是指原价是现价的 C．表示 D．和为1的两个数互为倒数。 【答案】A 【易错思路引导】（1）求几个相同加数的和可以用乘法简便计算，2个相加，即＋，可以表示为； （2）商店有时降价出售商品，叫做打折扣销售，俗称“打折”，几折就表示十分之几，如：“九折”表示现价是原价的； （3）表示3个相乘，表示3个相加，所以二者表示的意义不相同； （4）如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，据此解答。 【完整解答】A．分析可知，＝，表示2个相加的和是多少，题目说法正确； B．由折扣的意义可知，“九折”是指现价是原价的，而不是原价是现价的，题目说法不正确； C．分析可知，，，则不是表示，题目说法不正确； D．由倒数的意义可知，积为1的两个数互为倒数，题目说法不正确。 故答案为：A 4．一个长方体的长宽高都减少，它的体积减少（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【易错思路引导】一个长方体的长宽高都减少，也就是长、宽、高各缩小到原来的1－＝，则体积缩小到原来的××＝。将原体积看成单位“1”，用1减去缩小后的体积即可得解。 【完整解答】根据分析可知： 1－＝ 则体积缩小到原来的： ××＝ 缩小后的体积减少：1－＝ 故答案为：D 【考点剖析】根据长方体的体积公式v＝abh和积的变化规律，积缩小的倍数等于因数缩小倍数的乘积。 5．（24-25五年级下·陕西延安·期中）乐乐家的水龙头漏水，他每天早上用一个长12cm，宽10cm，高的长方体器皿接水，回家发现水深12cm，长方体器皿一共接了( )L水。 【答案】1.44 【易错思路引导】接水的体积相当于长12cm，宽10cm，高12cm的长方体，根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算再换算单位即可。 【完整解答】12×10×12 ＝120×12 ＝1440（立方厘米） ＝1.44L 长方体器皿一共接了1.44L水。 6．（24-25五年级下·四川成都·期中）博物馆的长方体展品，长6cm、宽4cm、高2cm，它的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 48 88 48 【易错思路引导】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积＝长×宽×高，把数据代入公式进行解答。 【完整解答】棱长总和：（6＋4＋2）×4 ＝12×4 ＝48（cm） 表面积：（6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝44×2 ＝88（cm2） 体积：6×4×2 ＝24×2 ＝48（cm3） 7．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体粮仓长是10米，宽8米，高6米。粮仓的体积是( )立方米。如果粮仓的顶部需要覆盖防雨布，那么需要的防雨布面积是( )平方米。 【答案】 480 80 【易错思路引导】长方体体积＝长×宽×高，长方体上表面面积＝长×宽。 【完整解答】长方体粮仓体积： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（立方米） 防雨布面积： 10×8＝80（平方米） 8．（19-20五年级下·福建泉州·期末）一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体盒子里，最多能放( )个棱长2厘米的小正方体。 【答案】12 【易错思路引导】长方体的长决定了一行可以放几个小正方体，宽度决定了可以放几列、高度决定了可以放几层。由此解答。 【完整解答】6÷2＝3（个） 4÷2＝2（个） 5÷2＝2（个）……1（厘米） 3×2×2 ＝6×2 ＝12（个） 【考点剖析】本题考查了长方体和正方体的体积，培养同学们的空间想象能力。 9．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）体积相等的两个长方体，它们的棱长和一定相等。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】长方体的体积由长、宽、高的乘积决定，而棱长总和由长、宽、高的和决定。体积相等的两个长方体，长、宽、高的组合可能不同，导致棱长和不一定相等。 【完整解答】假设一个长方体的长4厘米、宽3厘米、高2厘米。 体积：4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方厘米） 棱长和：（4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（厘米） 假设另一个长方体的长6厘米、宽4厘米、高1厘米。 体积：6×4×1 ＝24×1 ＝24（立方厘米） 棱长和：（6＋4＋1）×4 ＝11×4 ＝44（厘米） 两者体积相等，但棱长和不相等，因此原题说法错误。 故答案为：× 10．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）一块橡皮的体积大约有0.8m3。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】棱长是1m的正方体的体积是1m3，体积单位m3通常用于较大的物体。指尖的体积大约为1cm3，粉笔盒的体积大约为1dm3。据此解答。 【完整解答】根据生活经验、数据大小及对体积单位的认识可知：一块橡皮的体积大约有8cm3，远小于0.8m3，原说法错误。 故答案为：× 11．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）仔细观察，正确计算。（单位：cm） （1）组合体体积。             （2）组合体表面积。 【答案】（1）117cm3；（2）126cm2 【易错思路引导】（1）从图中可知，组合体的体积＝棱长为5cm的正方体的体积－棱长为2cm的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出组合体的体积。 （2）从图中可知，拼成的长方体的长是（3×3）cm、宽和高都是3cm；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出组合体的表面积。 【完整解答】（1）5×5×5－2×2×2 ＝125－8 ＝117（cm3） 组合体的体积是117cm3。 （2）长：3×3＝9（cm） （9×3＋9×3＋3×3）×2 ＝（27＋27＋9）×2 ＝63×2 ＝126（cm2） 组合体的表面积是126cm2。 12．（24-25五年级下·黑龙江大庆·期中）100个同样大小的玻璃球放进一个长2分米，宽5厘米，深40厘米的水杯里，水面上升了2.5厘米（水未溢出），每个玻璃球是多少立方厘米？ 【答案】2.5立方厘米 【易错思路引导】根据排水法原理，上升的水的体积等于100个玻璃球的体积，每个玻璃球的体积等于上升的水的体积除以100。上升的水的体积等于一个长2分米，宽5厘米，高2.5厘米的长方体的体积，长方体的体积＝长×宽×高。计算时单位要统一。 【完整解答】2分米＝20厘米 20×5×2.5 ＝100×2.5 ＝250（立方厘米） 250÷100＝2.5（立方厘米） 答：每个玻璃球是2.5立方厘米。 13．（24-25五年级下·陕西西安·期中）如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】2立方厘米 【易错思路引导】长方体体积＝长×宽×高，10颗弹珠放入后排开的水可看作长方体，长宽均为10厘米，高为5.2－5＝0.2（厘米）。代入数据先求得10颗弹珠的体积，再除以10即可得解。 【完整解答】10×10×（5.2－5）÷10 ＝100×0.2÷10 ＝2（立方厘米） 答：平均每颗玻璃弹珠的体积大约是2立方厘米。 14．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）一个长方体，如果宽和高不变，长增加3厘米，那么体积增加6立方厘米；如果长和高不变，宽增加4厘米，那么体积增加32立方厘米；如果长和宽不变，高增加5厘米，那么体积增加20立方厘米。这个长方体原来的表面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【易错思路引导】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，当宽和高不变、长增加3厘米时，用增加的体积除以增加的长，得到宽×高的面积；当长和高不变、宽增加4厘米时，用增加的体积除以增加的宽，得到长×高的面积；当长和宽不变、高增加5厘米时，用增加的体积除以增加的高，得到长×宽的面积；最后将这三组面的面积代入长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求出原长方体的表面积。 【完整解答】宽×高：6÷3＝2（平方厘米） 长×高：32÷4＝8（平方厘米） 长×宽：20÷5＝4（平方厘米） 表面积：（4＋8＋2）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 答：这个长方体原来的表面积是28平方厘米。 15．（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个长方体的水箱，从内部测量，长16分米，宽是长的，高5分米，水箱内有540升水，放入一块石头后，石头完全浸没在水中，发现水溢出了125.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】545.8立方分米 【易错思路引导】“宽是长的”，把长看作单位“1”，长×＝宽，根据长方体体积＝长×宽×高求得水箱容积，“排水法”测物体体积时，排开水的体积＝物体的体积，因为浸没石头后有水溢出，所以水箱的容积＋溢出水的体积－原来水的体积＝石头体积 【完整解答】16××16×5 ＝12×16×5 ＝192×5 ＝960（立方分米） 125.8升＝125.8立方分米 540升＝540立方分米 960＋125.8－540 ＝1085.8－540 ＝545.8（立方分米） 答：这块石头的体积是545.8立方分米。 16．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）苹苹买了一个永不翻船的轮船摆件作为生日礼物送给壮壮，这份礼物无论怎样翻转晃动，轮船都漂在蓝色水面上，象征他们的友谊将一起乘风破浪，勇往直前（如图）。如果以长14.5cm，宽5cm的面为底面，轮船的底面距离水箱底面2.6cm；如果以长5.2cm，宽5cm的面为底面，此时轮船底面距离水箱底面多少厘米？ 【答案】7.25厘米 【易错思路引导】先用长乘宽乘高算出原先的容积，再除以现在的底面积，求出现在的高。 【完整解答】 （厘米） 答：此时轮船底面距离水箱底面厘米。 17．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体容器，长是20厘米，宽是15厘米，容器中盛有一些水，水深4.5厘米，将一个长13厘米的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面完全接触），水面升高至5厘米。这个长方体铁块的体积是多少？ 【答案】390立方厘米 【易错思路引导】在铁块放入前后，水的体积没有变，水面升高是因为一部分铁块进入了水中。根据题中条件可求出水的体积，还可求出铁块放入后水中的铁块和水一共的体积。这样就可用减法求出水中这一部分铁块的体积，同时水中部分铁块的高度与升高后的水面相同，可通过“底面积＝体积÷高”求出铁块的底面积，最后用底面积乘铁块的实际长度即可得到长方体铁块的体积。 【完整解答】水的体积： 20×15×4.5 ＝300×4.5 ＝1350（立方厘米） 放入铁块后水中的铁块和水的总体积： 20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 水中铁块的体积：1500－1350＝150（立方厘米） 铁块的底面积：150÷5＝30（平方厘米） 铁块的体积：30×13＝390（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是390立方厘米。 18．（24-25五年级·全国·随堂练习）在一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30cm、体积为3000cm3的假山石。如果水管以每分9dm3的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？ 【答案】 3分 【易错思路引导】水的体积＝水和假山石的体积和-假山石的体积；由题可知，将假山石完全淹没时水的高度是30cm，水和假山石的体积和是一个长是50cm，高是30cm，宽是20cm的长方体，根据长方体的体积公式，先求出水和假山石的体积和；水和假山石的体积和减去假山石的体积，求出水的体积；最后用水的体积除以每分钟流入的水的体积，即可求出需要几分钟，据此解答。 【完整解答】水和假山石的体积和：（cm3） 水的体积：（cm3） 27000cm3＝27dm3 （分） 答：至少需要3分钟才能将假山石完全淹没。 【考点剖析】本题的关键在于求出假山石完全淹没时需要注入水的体积。 19．（24-25五年级下·山西吕梁·期中）下图的两个长方形是一个长方体相邻的两个面。（每个小方格的边长都是1分米） (1)已知①和②两个面是长方体中相邻的两个面，请画出与这两个面相邻的另一个面，标上序号③。 (2)如果用一块①号、两块②号、两块③号的玻璃做成一个鱼缸，那么做这个鱼缸要用（    ）平方分米的材料。 列式计算： 再求一求这个鱼缸的容积是（    ）立方分米。（玻璃厚度忽略不计） 列式计算： 【答案】(1)见详解； (2)94平方分米；84立方分米 【易错思路引导】（1）长方体有6个面，相对的2个面完全相同，根据给出的①和②两个相邻的面可知：需要画出的③应该是一个长是4分米宽是3分米的长方形，据此作图； （2）根据长方体的特征和做鱼缸的5块玻璃的大小可知：拼成的长方体鱼缸的长是7分米，宽是4分米，高是3分米，根据长方体的表面积公式可知：做鱼缸需要用到的材料的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；长方体的体积＝长×宽×高，据此列式计算即可。 【完整解答】（1）作图如下： （2）如果用一块①号、两块②号、两块③号的玻璃做成一个鱼缸，那么做这个鱼缸要用94平方分米的材料。 列式计算：7×4＋7×3×2＋4×3×2 ＝28＋21×2＋12×2 ＝28＋42＋24 ＝70＋24 ＝94（平方分米） 再求一求这个鱼缸的容积是84立方分米。（玻璃厚度忽略不计） 列式计算：7×4×3 ＝28×3 ＝84（立方分米） 20．（24-25五年级下·广东深圳·期末）下图是一个正方体盒子展开图的其中五个面。 （1）画一画，在图中添上一个6号面，使其可以折成一个完整的正方体。 （2）在这个正方体中，与1号面相对的是（    ）号面。 （3）这个正方体的表面积是（    ）dm2，体积是（    ）dm3。 【答案】（1）见详解； （2）3； （3）6；1。 【易错思路引导】（1）使正方体展开图还原成正方体需要展开图内不存在“田”字，即没有4个面连在一起的时候，根据题中展开图的类型为“1－4－1”的模型，可以补充6号面； （2）将展开图还原成正方体即可观察1号面相对的面是几号面； （3）正方体表面积＝边长×边长×6，正方体的体积＝边长×边长×边长，代入正方体边长为1dm即可求解。 【完整解答】 （1） （选一个6号面即可） （2）将展开图还原成正方体则1号面相对的是3号面； （3）正方体表面积＝1×1×6＝6（dm2） 正方体体积＝1×1×1＝1（dm3） 这个正方体的表面积是6dm2，体积是1dm3。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第四单元 长方体（二）『易错笔记培优讲练』 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1. 混淆体积与容积概念：物体所占空间大小是体积，容器内部所能容纳物体大小是容积；体积一定大于容积，计算容积常用内部长宽高。 2. 单位混用易错：体积单位立方米、立方分米、立方厘米；容积单位升、毫升；牢记换算关系1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米，相邻体积单位进率均为1000，易与面积长度进率混淆。 3. 公式运用疏漏：长方体、正方体体积通用公式为底面积×高，不要只记长宽高相乘；横截面面积×长度也可求体积，审题易选错对应数据。 4. 棱长变化影响判断：棱长扩大几倍，体积扩大倍数为棱长倍数的立方，不是同等倍数或平方倍数。 5. 拼切形体体积表面积误区：多个正方体拼接，总体积不变，表面积减少接触面面积；长方体切开，总体积不变，表面积增加切面面积，极易增减判断颠倒。 6. 浸水问题理解偏差：物体完全浸没，上升水体积等于物体体积；未完全浸没不可直接套用公式；溢出水量等于浸入物体体积。 7. 统一单位忽略：计算前长宽高、底高单位不一致未换算统一，直接计算导致结果错误。 8. 正方体特殊易错：棱长相等才可套用正方体专属体积公式；表面积和体积单位不同、意义不同，无法比较大小。 高频易错考点一 长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）淘气用棱长为1cm的方块拼一个长方体，已拼了一部分（见图），此时，该立体图形的体积为( )，至少再摆( )个方块才能拼成一个长方体。淘气把长方体推倒，用这些方块拼了另一个长方体，从上面看到的图形是，此时这个长方体的高是( )cm。 【变式训练1】（24-25五年级下·福建泉州·期中）有10本同样的书，能够恰好叠成一个长为26cm，宽为18cm，高为7cm的长方体，每本书的体积是( )。 【变式训练2】素养提升：一个长10厘米、宽8厘米的长方体容器中的水深6厘米。现将一根底面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与容器底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深多少厘米？ 高频易错考点二 正方体的体积 【典例精讲】（2025五年级·全国·专题练习）求出下面图形的体积。（单位：cm） 【变式训练1】（24-25五年级·全国·随堂练习）一段方钢长10dm，宽5dm，高1dm，这段方钢的体积是多少立方分米？如果把这段方钢熔铸成棱长为0.5dm的正方体钢块，可以熔铸成多少块？（不计损耗） 【变式训练2】一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     高频易错考点三 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中）同学们在博物馆参加捏橡皮泥比赛，一位同学先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为8平方分米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【变式训练1】（24-25五年级下·安徽淮北·期中）把一个棱长0.9米的正方体块锻造成一个长方体，这个长方体的底面长是4分米，宽是3分米，这个长方体的高是多少？ 【变式训练2】（24-25五年级下·辽宁辽阳·期末）在一个长30厘米，宽15厘米，高10厘米的长方体容器中装满水，然后把水倒入一个棱长为20厘米的正方体容器中，这时水深是多少厘米？ 高频易错考点四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个长方体，长、宽、高分别是5cm、4cm和3cm，从中截去一个最大的正方体，截去的正方体体积是( )cm3，剩下的体积是( )cm3。 【变式训练1】（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个长方体的底面积是20dm2，如果把高减少2dm，体积减少（    ）dm3。 A．40 B．400 C．4000 【变式训练2】（23-24六年级下·四川成都·期末）如图，淘气从一个长方体的顶点处切去一个小正方体后，表面积和体积都减少了。( )（判断对错） 高频易错考点五 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中） ( )    2.4dm3＝( )L( )mL 1.08L＝( )mL    ( )( ) 【变式训练1】（24-25五年级下·广东湛江·期中）在括号里填上适当的数。 2.04m3＝( )dm3＝( )L    1050mL＝( )L( )mL 【变式训练2】棱长为1dm的正方体盒子中，可以放多少个体积为1cm3的小正方体？ 分析与解答：求棱长是1dm的正方体盒子中可以放多少个体积为1cm3的小正方体，就是求相邻体积单位之间的进率；棱长为1dm的正方体，体积就是( )dm3，找一个1dm3的正方体盒子，用棱长是1cm的正方体往里摆。每行放( )个，摆( )行，这样一层就摆好了，然后这样一层一层地摆，正好摆10层就装满了这个盒子，一共摆了( )个小正方体，说明1dm3＝( )cm3。 高频易错考点六 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期中） 450平方厘米＝( )平方分米        2300立方厘米＝( )立方分米 3.08立方米＝( )立方分米        60毫升＝( )升 【变式训练1】（24-25五年级下·陕西榆林·期中）在括号里填上合适的数。 ( )             ( )mL     ( )           ( )L 【变式训练2】（24-25五年级下·广东湛江·期中） ( )              0.802L＝( )mL＝( )cm3 时＝( )分               ( )mL＝( )L 高频易错考点七 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期末）一个正方体容器，从里面量棱长为5dm，先注入60L的水，又投入6dm3的石块（完全浸没），这时水面距离容器口（    ）dm。 A．2.4 B．2.36 C．2.64 D．0.24 【变式训练1】（24-25五年级下·陕西汉中·期中）一个长方体蔬菜包装箱的容积是90升，底面的长是60厘米，宽是50厘米，这个包装箱的高是多少厘米？ 【变式训练2】（24-25五年级下·辽宁大连·期中）填上合适的数。 8500立方分米＝( )立方米      6780立方厘米＝( )立方分米( )立方厘米 1.2升＝( )立方厘米           2.7平方米＝( )平方厘米 高频易错考点八 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）奇思用一根100dm长的铁丝焊接一个长方体框架，已知框架的宽是8dm、高是5dm，这个框架的长是( )dm；如果在框架表面焊上铁皮，至少需要铁皮( )；用做成的铁皮箱子装水，最多能装( )L。 【变式训练1】（24-25五年级下·吉林长春·期末）下面是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） （1）做这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个纸盒的容积是多少立方厘米？（纸板的厚度忽略不计） 【变式训练2】（24-25五年级·全国·随堂练习）烘干好的竹纸每100张大约厚1cm，按“5.5dm×5dm”裁切后，平铺在尺寸刚好的木盒中。若木盒容积为16.5L，则它最多能装下多少张纸？ 高频易错考点九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）如图，一个长方体玻璃容器，从里面量，长和宽都是2分米，向容器中倒入6升水，再把一块石头完全浸没在水里，这时量得容器内的水深是18厘米。这块石头的体积是多少立方分米？ 【变式训练1】（24-25五年级下·陕西渭南·期末）如图，一个从里面量长为8厘米、宽为5厘米的长方体容器内装有6厘米深的水。放入10颗相同的玻璃珠后，水位上升至6.4厘米，平均每颗玻璃珠的体积是多少立方厘米？ 【变式训练2】（23-24五年级下·山西吕梁·期末）如图，仓库里有A、B两种规格的铁皮各若干张，从中选出5张铁皮焊成一个无盖水箱。 （1）你能想出几种不同的选法？并算出每种选法做成的水箱容积各是多少升？ （2）如果选定容积最大且节省材料的方法做成水箱，请你算出需要多少平方分米铁皮？ （3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸没一个铁块后，水面离箱口0.5分米，铁块的体积是多少立方分米？ 高频易错考点十 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·单元测试）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练】（23-24六年级下·广东湛江·期末）将棱长为3厘米的小正方体按如图方式摆放在地上，露在外面的面积是________cm2，这个图的体积是________cm3。 1．（24-25五年级下·广东茂名·期中）将一个长4分米的大长方体切成两个长2分米的小长方体，它们的表面积之和比原来的增加了20平方厘米，这个大长方体原来的体积是（    ）立方厘米。 A．300 B．200 C．400 D．40 2．（24-25五年级下·广东茂名·期中）正方体表面积扩大到原来的9倍，则棱长扩大到原来的（    ）倍，棱长总和扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．9；9；9 B．3；3；27 C．3；3；9 D．9；9；27 3．（24-25五年级下·广东清远·期末）以下说法正确的是（    ）。 A．表示2个相加的和是多少 B．“九折”是指原价是现价的 C．表示 D．和为1的两个数互为倒数。 4．一个长方体的长宽高都减少，它的体积减少（    ）。 A． B． C． D． 5．（24-25五年级下·陕西延安·期中）乐乐家的水龙头漏水，他每天早上用一个长12cm，宽10cm，高的长方体器皿接水，回家发现水深12cm，长方体器皿一共接了( )L水。 6．（24-25五年级下·四川成都·期中）博物馆的长方体展品，长6cm、宽4cm、高2cm，它的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 7．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体粮仓长是10米，宽8米，高6米。粮仓的体积是( )立方米。如果粮仓的顶部需要覆盖防雨布，那么需要的防雨布面积是( )平方米。 8．一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体盒子里，最多能放( )个棱长2厘米的小正方体。 9．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）体积相等的两个长方体，它们的棱长和一定相等。( )（判断对错） 10．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期末）一块橡皮的体积大约有0.8m3。( )（判断对错） 11．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）仔细观察，正确计算。（单位：cm） （1）组合体体积。             （2）组合体表面积。 12．（24-25五年级下·黑龙江大庆·期中）100个同样大小的玻璃球放进一个长2分米，宽5厘米，深40厘米的水杯里，水面上升了2.5厘米（水未溢出），每个玻璃球是多少立方厘米？ 13．（24-25五年级下·陕西西安·期中）如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 14．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）一个长方体，如果宽和高不变，长增加3厘米，那么体积增加6立方厘米；如果长和高不变，宽增加4厘米，那么体积增加32立方厘米；如果长和宽不变，高增加5厘米，那么体积增加20立方厘米。这个长方体原来的表面积是多少平方厘米？ 15．（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个长方体的水箱，从内部测量，长16分米，宽是长的，高5分米，水箱内有540升水，放入一块石头后，石头完全浸没在水中，发现水溢出了125.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 16．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）苹苹买了一个永不翻船的轮船摆件作为生日礼物送给壮壮，这份礼物无论怎样翻转晃动，轮船都漂在蓝色水面上，象征他们的友谊将一起乘风破浪，勇往直前（如图）。如果以长14.5cm，宽5cm的面为底面，轮船的底面距离水箱底面2.6cm；如果以长5.2cm，宽5cm的面为底面，此时轮船底面距离水箱底面多少厘米？ 17．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体容器，长是20厘米，宽是15厘米，容器中盛有一些水，水深4.5厘米，将一个长13厘米的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面完全接触），水面升高至5厘米。这个长方体铁块的体积是多少？ 18．（24-25五年级·全国·随堂练习）在一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30cm、体积为3000cm3的假山石。如果水管以每分9dm3的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？ 19．（24-25五年级下·山西吕梁·期中）下图的两个长方形是一个长方体相邻的两个面。（每个小方格的边长都是1分米） (1)已知①和②两个面是长方体中相邻的两个面，请画出与这两个面相邻的另一个面，标上序号③。 (2)如果用一块①号、两块②号、两块③号的玻璃做成一个鱼缸，那么做这个鱼缸要用（    ）平方分米的材料。 列式计算： 再求一求这个鱼缸的容积是（    ）立方分米。（玻璃厚度忽略不计） 列式计算： 20．（24-25五年级下·广东深圳·期末）下图是一个正方体盒子展开图的其中五个面。 （1）画一画，在图中添上一个6号面，使其可以折成一个完整的正方体。 （2）在这个正方体中，与1号面相对的是（    ）号面。 （3）这个正方体的表面积是（    ）dm2，体积是（    ）dm3。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $