专题07 三角形(四边形)与相似有关压轴问题（复习讲义）(四川成都专用)2026年中考数学二轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07 三角形（四边形与相似有关压轴问题 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一相似三角形的判定与性质综合应用 题型二三角形与特殊四边形结合的相似证明 真题动向 题型三相似与几何变换综合 题型四相似与动点、存在性问题结合 题型五相似与解直角三角形、勾股定理融合 知识1相似三角形判定定理(AA、SAS、SSS)与核心性质 知识2相似三角形对应边成比例、对应角相等，面积比=相似比平方 知识3A字型、8字型、母子型、射影定理等高频相似模型 知识4平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与相似结合点 必备知识 知识5几何变换（折叠、旋转、平移）中的角度与线段不变性 知识6勾股定理、特殊角三角函数与相似的综合计算 知识7动点问题中的分类讨论（按角/边对应关系分类） 知识8线段比值、面积比值、等积变换与相似的转化 知识9坐标系中相似三角形的坐标法判定与计算 预测1相似三角形判定与性质应用【每年必考，压轴核心】 预测2特殊四边形与相似综合证明与计算【高频考点，解答题】 预测3相似与折叠/旋转结合的线段求解【B卷填空/解答常考】 命题预测 预测4相似背景下的面积比、线段比计算【两年必考】 预测5动点中的相似【压轴必考】 预测7相似与解直角三角形结合计算【高频考点，解答题】 01 析·考情目标 命题形式： 命题 B卷解答题压轴、A卷几何综合解答题 透视 考察能力： 逻辑推理能力、图形转化能力、相似模型应用能力、运算求解能力、分类讨论思想 1/139 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点 2025年 2024年 T17:圆背景下三角形相似证明与T17:圆背景下三角形相似证明与边 三角形相似的判定与性 线段计算 长计算 质 T25:平行四边形+折叠，三角形 T26:三角形旋转全等，相似三角形 相似推理与计算 判定与性质应用 T8:平行四边形+角平分线，相似三 T25:平行四边形为载体，结合折角形性质应用 四边形与相似综合 叠对称，相似三角形综合探究 T26:旋转背景下三角形与四边形关 热考 联，相似模型应用 图形变换（折叠/旋转） T25:点关于直线折叠，利用对称T26:三角形绕顶点旅转，结合旋转 角度 与相似 性质构造相似三角形 不变性构造相似三角形 T25:利用相似三角形对应边成比 T26:旋转探究线段比值，相似结合 相似与线段比值/长度计 例，求线段长度与比值 算 勾股定理计算边长 T17:相似结合勾股定理求直径、 T17:相似对应边成比例求线段长 线段长 T25：分层探究，相似结合平行四 T26:旋转过程中直角三角形存在性， 相似与存在性/定值探究 边形性质求定值 相似分类讨论 T17:以圆为背景，直径、圆周角、T17:圆中直径所对圆周角，构造相 圆与三角形相似综合 切线构造相似三角形 似三角形综合计算 1.考情预测 根据2024-2025年成都中考命题趋势，2026年该专题为几何压轴核心考点，以B卷解答题 压轴考查为主，常以三角形四边形+旋转/折叠+圆为载体，核心考查相似三角形的判定与 性质；命题结构延续“证明相似一利用相似求线段长/比值一存在性/定值探究”的分层设 问，图形变换（折叠、旋转）是构造相似的核心手段，圆与特殊四边形为高频背景，侧重 命题 考查模型识别与几何转化能力。 预测 2.备考建议 。熟练掌握三角形相似的判定定理(AA、SAS、SSS),牢记相似三角形对应边成比例、对应 角相等的性质；识别并运用A字、8字、母子型、旋转型等常见相似模型；掌握折叠、旋 转的图形不变性，能快速构造相似三角形；规范书写相似证明的推理步骤，结合勾股定理 方程思想求解线段长度；强化分类讨论思想，应对存在性探究类压轴设问，提升复杂图形 中拆解相似模型的能力。 02 筑·专题框架 2/139 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 相似三角形判定。 AA、SAS、SSS 一、 核心基础O 对应边成比例、对应角相等 相似三角形性质。 周长、面积比规律 A字型、8字型 二、 常见图形模型O 母子相似、射影定理 线三等角模型 三角形中动点相似 三、结合图形O 平行四边形/矩形菱形中相似 梯形中的比例与相似 动点存在性问题 线段比例与求值 四、压轴考点○ 面积比值计算 最值与范围问题 分类讨论 构造平行线 五、 解题方法○ 设未知数列比例方程 数形结合转化 03 攻·重难考点 题 动 ◆题型一相似三角形的判定与性质综合应用 皮方法 1.优先找等角：公共角、对顶角、平行线同位角/内错角，用两角相等判定相似。 2.利用对应边成比例求线段长，面积比等于相似比的平方。 3. 无明确对应关系时，分类讨论不同边角对应情况。 1.(2024四川成都.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是ABC的一条角平分线，E为AD 中点，连接BE,若BE=BC,CD=2,则BD= E 【答案】7+1 2 3/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】连接CE,过E作EF⊥CD于F,设BD=x,EF=m,根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰 角形的性质证得CF=DF=CD=1,∠EAC=∠ECA,∠ECD=∠EDC=∠BEC,进而利用三角形的外角性 质和三角形的中位线性质得到∠CED=2∠CAE,AC=2EF=2m,证明△CBE∽aCED,利用相似三角形的 性质和勾股定理得到m2=3+2x;根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明△CAB∽aFBE得到 2m2=x+1)(x+2),进而得到关于×的一元二次方程，进而求解即可 【详解】解：连接CE,过E作EF⊥CD于F,设BD=x,EF=m, B :∠ACB=90°，E为AD中点， .CE=AE=DE,又CD=2, .CF=DF-CD=1,ZEAC ZECA,ZECD ZEDC. .∠CED=2∠CAE,AC=2EF=2m, BE=BC, .LBEC=∠ECB,则∠BEC=LEDC,又LBCE=LECD, △CBEn△CED, CE CB CD=CE'ZCBE ZCED=2LCAE. CE2=CD.CB=2(2+x)=4+2x, m2=EF2=CE2-CF2=3+2x: :AD是ABC的一条角平分线， ∠CAB=2∠CAE=∠CBE,又∠ACB=∠BFE=90°， ∴△CABn△FBE, 片AC、BC BFEF 2m=+2,则2m2=(x+1(x+2列， x+1 m .2(3+2x)=(x+1)(x+2),即x2-x-4=0, 解得x=7+1（负值已舍去. 2 故答案为： V17+1 2 4/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线 性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度， 熟练掌握三角形相关知识是解答的关键， 2.(2024四川成都中考真题)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶 点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中， AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°. 【初步感知】 (1)如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究D 的值 Ce 【深入探究】 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交 AC于点F,求CF的长， 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有 直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由， D B 图1 图2 图3 【答案】(1) BD CE 的值为：(2)cF=0 39(3)直角三角形CDE的面积为4或16或12或4 3 【分析】(1)根据AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=LADE=90°.证明△ADE≌△ABC, AC=AE=√AB2+BC2=√AD2+DE?=5,继而得到LDAE=∠BAC,∠DAE-LDAC=∠BAC-∠DAC即 ∠CAE=∠B1D,再证明C4Bn△B4D,得到BD=4B=3 CE AC 5 (2)连接CE,延长BM交CE于点Q,根据(1)得△CAEn△BAD,得到LABD=∠ACE,根据中线BM得到 BM=AW=CM-4C-,继面得到∠MBC=∠MCB,结合∠ABD+∠MBC=90,得到 21 ∠ACE+∠MCB=90°即∠BCE=90°，得到AB‖CQ,再证明△ABM≌aCQM,得证矩形ABCQ,再利用勾 股定理，三角形相似的判定和性质计算即可， (3)运用分类思想解答即可. 【详解】(1)AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°， 5/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·△ADE≌△ABC(SAS), AC=AE=AB'+BC2=AD?+DE?=5,ZDAE=ZBAC, ∠DAE-∠DAC=LBAC-∠DAC即∠CAE=∠BAD, AB AC =1 AD AE △CAE∽△BAD, BD AB 3 CE AC 5 (2)连接CE,延长BM交CE于点Q,根据(1)得ACAE△BAD, ∠ABD=∠ACE, :BM是中线 BM=AM CM=1 .∠MBC=∠MCB, :∠ABD+∠MBC=90°， .∠ACE+∠MCB=90°即∠BCE=90°， :ABlICO, ∴.∠BAM=∠QCM,∠ABM=∠CQM, I∠BAM=∠QCM :∠ABM=∠CQM, AM=CM :.△BAM≌△DCM(AAS), .BM=OM, “四边形ABCQ是平行四边形， :∠ABC=90° 四边形ABCQ矩形， ∴AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90°， POll CN,EO=AE2-A02=3, 6/139 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EP EO3 2=1, PN OC 3 P0=N. 设PQ=x,CN=2x,则AP=4-x, I∠EPQ=∠APD {∠EQP=∠ADP=90°， EO=AD=3 ·△EQP≌△ADP(AAS, :AP=EP =4-x, :EP2=PO2+EO2, (4-x)2=x2+32, 解得名 25 、AP=4-x=g,CN=2x=1 :PQ‖CN,AC=5, .△APF∽aCNF, AP AF CN CF AP+CNAF+CF CN CF 25,7 84=5 7 CF 4 解得CF=70 39 (3)如图，当AD与AC重合时，此时DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形， E D 放Scm-号cDDE=4C-A0x0E-2x4=4 如图，当AD在CA的延长线上时，此时DE⊥AC,此时aCDE是直角三角形， 7/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D Bh 故S.E=)CDDE=)×4C+AD)xDE=×8x4=16: 21 2 如图，当DE⊥EC时，此时ACDE是直角三角形， D B n E 过点A作AQ⊥EC于点Q, AE=AC=5, ÷E0=QC=EC, 2 :AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD, :四边形ADEQ是矩形， 4D=0=0c-8c=. ∴EC=6, S.cm=EC.DE-x6x4-12: 如图，当DC⊥EC时，此时△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N, E D :EQ=OC=1EC=x,NQ//CD. EN_E2=1, DN OC :DN=EN=IDE=2,ON=IDC, :∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°， 8/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠DAN=∠QEN, .tan∠DAN=tan∠QEN, ON DN 2 EO-AD-3 2 0N=3x, DC-.CE=2x ED2=DC2+EC2, 4=(2x刘2+ 2=36 31 解得x=v3 13: xx=4x=4x36_48 故S.CDE-EC-DC=2xX3=3x 2 31313 综上，直角三角形CDE的面积为4或16或12或48 31 【点晴】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全 等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩 形的判定和性质，中位线定理是解题的关键 ◆题型二三角形与特殊四边形结合的相似证明 皮方法 1.借助平行四边形、梯形的对边平行，快速得到等角，构造相似三角形。 2.用矩形、菱形的直角、等边特性，结合垂直、相等关系推导比例。 3.利用四边形对角线转化线段比例，完成相似证明。 3.(2025四川成都中考真题)如图，在ABC中，AB=AC,点D在AC边上，AD=3,CD=2, ∠CBD=45°，则tan∠ACB的值为 ;点E在BC的延长线上，连接DE,若LCED=∠ABD,则CE的 长为 9/139 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】 4 2W17/217 3 3 【分析】作AH⊥BC,DG⊥BC,DF⊥AH,垂足分别为H,G,F,易得四边形DFHG为矩形，得到 DG=FH,DF=HG,证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG=DG,三线合一得到BH=CH, ∠ABC=∠ACB,证明△ADF∽△ACH,得 CH-AC-AD+CD,设DF=3x,CH=5x,求出 DF AD AD 3 DG,CG的长，正切的定义求出tan∠ACB,勾股定理求出x的值，进而求出BD的值，证明△DEC∽△BED, 列出比例式进行求解即可. 【详解】解：作AH⊥BC,DG⊥BC,DF⊥AH,垂足分别为H,G,F,则四边形DFHG为矩形， A F士 D B HGC DG=FH,DF=HG,DF∥HG,DG∥AH, :∠DBC=45°， △BDG为等腰直角三角形， .BG=DG, AB=AC, BH=CH,∠ABC=LACB, :DF∥BC, ·△ADF∽△ACH, DF AD AD 3 CH AC AD+CD5' 设DF=3x,CH=5x,则：HG=DF=3x,BH=CH=5x, .DG=BG=BH+HG=8x,CG=CH-HG=2x, BD=82x, 10/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷在R1△CGD中，an∠ACB=DC=8x=4,由勾股定理，得：(2+8x'=2, CG 2x x= (负值舍去)， 17 8D=8V万x=8Y8,aC=2CH=10r-107 17 17 :∠CED=∠ABD,∠ACB=∠E+∠CDE,∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ABC=∠ACB, ∴.∠CDE=∠CBD=45°， 又：∠E=∠E, .△DEC∽△BED, DE CE CD 2 34 BE DE DB 834 8, 17 .:DE=- CE.DE=BE-CE=(BC+CE)-CE, P 8 √3 _CE 17 解得：CE=0(舍去)或cE=2 3 故答案为：4,217 3 【点晴】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理， 解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似 三角形，是解题的关键， 4.(2025·四川广元中考真题)综合与实践 (1)【初步感知】如图①，ABC和ADE中，∠C=90°，AE·AB=AD·AC,∠CAD=∠EAB,求∠E的 度数； 图① (2)【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是线段BC上一点，连接AE,过点A 1 在AE上方作FA1EA,使S6=2SECD,连接DF,请证明△ABE∽△AFD,并直接写出点F到BC的 11/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 距离的最大值： D E 图② (3)【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=AB=8,BC=I6,点E是线段AB 的中点，点F是线段BC上一点，连接EF,过点E在EF上方作GE上FE,使S,m日S,当 △ADG的面积最小时，求EG的长. D 图③ 【答案】(1)∠E=90°；(2)证明见解析；F到BC的距离的最大值为5；(3)EG=32 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题， 解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解 (1)初步感知：由∠CAD=∠EAB推出∠CAB=LDAE,结合AE·AB=AD·AC得比例式，证明 △ABC∽△ADE,利用∠C=90°得出∠E的度数， (2)深入探究：由矩形面积和△AEF面积关系得AEAF的定值，结合FA⊥EA和矩形中LABE=90°，证明 △ABE∽△AFD;得出LAFD=90°，即可得出F在以AD为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解. (3)学以致用：先计算梯形面积和△EFG面积，结合GE⊥FE得FEGE的定值；根据(2)构造矩形 OPEB,证明△PEG∽△FEB,得出∠PGE=∠FBE=90°，得出G在PE为直径的圆上，进而求得出当 △ADG的面积最小时，得出aPGE是等腰直角三角形，勾股定理即可得出EG长 【详解】(1)解：：∠CAD=∠EAB ∴∠CAD+LDAB=∠EAB+∠DAB,即∠CAB=∠DAE. .·AE.AB=AD·AC, AE AD AC AB △ABC∽△ADE(两边对应成比例且夹角相等). ∠C=90°， 12/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠E=∠C=90°. (2)证明：：FA1EA,S△AEr= SE形ABCD 4FE=4BAD,即FB=BAD AF_AD AB AE :四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, ∠BAD=∠B=90°，BC=AD=4, :FA⊥EA, .∠FAE=90° ∴∠FAD=LBAE=90°-LDAE △ABE∽△AFD .ZAFD=ZB=90 ∴.F在以AD为直径的圆上运动， :F到BC的最大距离为4D+4B=方×4+3=5： (3)解：：梯形ABCD中，AD∥BC,LB=90°，AD=AB=8,BC=16, 11 3Ac=3影m8×24D+BC×AB=8+16)x82 16 GE⊥FE, 1 二GEEF=12,即GEEF=24, :点E是线段AB的中点， 6g04. 如图，取BQ=6,作矩形OPEB,则PE=QB=6,∠PEB=∠B=90°，连接PG, D OF B 图③ .EB×PE=4x6=24, ∴.EB·PE=GE·EF, ÷EC-PE EB EF' 又∠GEF=LPEB=90°， 13/139 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠GEP=∠FEB=90°-∠PEF, △PEGAFEB, ∠PGE=∠FBE=90°， ·G在PE为直径的圆上， :.当△ADG的面积最小时，G在过O点且垂直于PE的直线上，则此时aPGE是等腰直角三角形， GP=GE= 2PE=32 5.(2025四川资阳中考真题)在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE,作OF⊥OE交CD于点F,求证：OE=OF; 2如图2，四边形18GD是平行西边形，B⊥4C4B-35,am∠4C885:BC=1:2,连接4E,作 EF⊥AE交CD于点F,连接OF,求OF的值： CF (3)如图3，四边形ABCD是菱形，LB=60°，BC=6,连接DE交AC于点G,F是边AB上的一点， ∠EDF=30°，若AF=AB,求0G的长. 3 【答案】(1)见解析 2)3 2 e 【分析】(1)连接OD,根据正方形的性质，利用AAS得到△OCE≌△ODE，,即可证明结论： (2)过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥BC于点H,根据勾股定理求出BC长，然后根据平行四 边形的面积公式求出AG长，根据正切得到CG长，然后设CH=a,则FH=2a,求出CF长，再根据正切 得到an∠FEH二作=求出a的值，解答即可 (3)过点D作DP⊥BA于点P,作DQ⊥BC于点Q,设CE=x,求出AP=CQ=3,DP=DQ=3V3,然 后表示DF2,DE2,在射线CA上截取AM=AF=2,在射线AC上截取CN=CE=x,根据全等得到 DM=DF,DN=DE,∠MDN=90°，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解 答即可。 【详解】(1)证明：连接0D, 14/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E C 图1 :ABCD是正方形，OF⊥OE, OD=0C,∠C0D=∠E0F=90°，LACD=∠ACB=45°， ∠D0F=LC0E, .△0CE≌△ODE, :.OE=OF (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥BC于点H, B GE H 图2 AC-2 AB=35 :AC⊥AB,an∠ACB=AB-L, 5 、4=24B=25> ·BC=VAB2+AC2=3, BE EC=1:2, CE=2, 又：S学后E边形4BCD=AB·AC=BC,AG, AG=AB.AC=5 5x5 5 6 BC 又：tan∠ACB=AB=1 AC2’ CG=24G=12 5 ∴EG=CG-CE= 12-2 2 5 5 GE 1 .tan∠GAE= :ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ∠ACD=∠BAC=90°， 15/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ACB+LFCH=∠FCH+∠CFH=90°， :ZACB=ZFCH, an∠CFH tanZACB=,即C以1 设CH=a,则FH=2a, ·CF=VCH+HF2=5a, h3即，20-1 同理可得tan∠FEH=HF-1, 2+a3 解得a= 5' Cf=25 又O是AC的中点， 0c=35 2 2 OF=OC2+CF2 35 25-6 5 V65 OF 5 3 CF= 2V5 2: (3)解：过点D作DP⊥BA于点P,作DQ⊥BC于点Q,设CE=x, M F B :ABCD是菱形， AD∥BC,DC∥AB, ∠PAD=∠DCQ=∠B=60°， .∠ADP=∠CDQ=30°， AP=CO=3,DP=DO=AD2-AP2 =33, AF=AB, 3 AF=2, 16/139 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PF=PA+AF=5, DF2=DP2+PF2=27+25=52,DE2=DQ2+QE2=27+(3+x)2, 在射线CA上截取AM=AF=2,在射线AC上截取CN=CE=x, :ABCD是菱形， BA=BC,∠BAC=LDAC=∠D=60°， ∴∠MAD=∠FAD=120°，AC=AB=6, 又：DA=DA, ∴△ADM≌△ADF, .DM=DF,∠MDA=∠FDA, 同理：DN=DE,∠NDC=∠EDC, .∠MAF+∠EDN=2(∠ADF+∠EDC)=2(∠ADC-∠EDF)=2×60°-30)=60°， .∠MDN=90°， ∴DM2+DN2=MN2,即DF2+DE2=MW2, :52+27+(3+x)2=(2+6+x)2, 解得CE=2.4, 又：CE∥AD, .∠BCA=∠CAD,∠CEG=LADG, .△CEG∽△ADG, CG_CE 即 CG2.4 AG AD -CG6 解得：CG=12 又O是AC的中点， 0C=3, 0G=0C-CG=3-12_9 77 【点晴】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判 定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键， ◆题型三相似与几何变换综合 点方法 1.平移、旋转、折叠前后图形全等，可得到相等边角，为相似创造条件。 2.旋转常出现共角三角形，易构成“子母型”相似。 17/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.轴对称（折叠）带来垂直与相等线段，结合比例证相似。 6.(2024四川德阳中考真题)一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm)的正方形 纸片ABCD,他在边AB和AD上分别取点E和点M,使AE=BE,AM=I,又在线段MD上任取一点N(点 N可与端点重合)，再将aEAN沿NE所在直线折叠得到△EA,N，随后连接DA,.小王同学通过多次实践得 到以下结论： ①当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动： ②当DA达到最大值时，A到直线AD的距离达到最大； ③DA的最小值为2V5-2: ④DA,达到最小值时，MN=5-V5. 你认为小王同学得到的结论正确的个数是() N Mt E A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】由折叠可得AE=AE=BE=2,可得点A到点E的距离恒为2，即可判断①；连接DE,由勾股定 理得到在RIAADE中，DE=√AD2+AE2=2√5，由DA+AE≥DE,即可判断③；DA达到最小值时，点 4在线段DE上，证列6A0N:DE,得到88，从而求得DN=5-5,适过 MN=AD-DN-AM即可判断④.，在△A,DE中，A,D随着∠DEA,的增大而增大，而当∠NEA最大时， ∠DEA有最大值，A,G有最大值，此时点N与点D重合.过点A作A,G⊥AD于点G,作A,P⊥AB于点P, 可得四边形AGA,P是矩形，因此A,G=AP=AE+EP,当AD取得最大值时，∠A,EP有最小值，在 RtaA,EP中，EP=A,E·cos∠A,EP有最大值，A,G=AP=AE+EP有最大值，即可判断②. 【详解】解：：正方形纸片ABCD的边长为4dm,AE=BE 4E=8E=号48=2 由折叠的性质可知，A,E=AE=2, :当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动.故①正确 连接DE, 18/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A B :在正方形ABCD中，∠A=90°，AD=4,AE=2, .在RtAADE中，DE=VAD'+AE2=V42+22=2√5 :DA+AE≥DE, DA≥DE-AE=2W5-2, “DA的最小值为2√5-2.故③正确： 如图， DA达到最小值时，点A在线段DE上， A-- B E 由折叠可得∠NA,E=∠A=90°， ∠DAN=90°， ∠DA,N=∠A, :∠ADN=∠ADE, .△ADN∽△ADE, .AD DN AD DE' 25-2 DN 4 2W5 DN=5-V5, ÷MN=AD-DN-AM=4-(5-V5-1=V5-2.故④错误 D N G中 Mi EP B 在△A,DE中，DE=25,A,E=AE=2, 19/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴AD随着∠DEA的增大而增大， :∠DEA=∠NEA-∠NED=∠NEA-∠NED=∠NEA-(∠AED-∠NEA=2∠NEA-∠AED, :当∠NEA最大时，∠DEA有最大值，AG有最大值，此时，点N与点D重合， 过点A作AG⊥AD于点G,作A,P⊥AB于点P, ∠A=90°， :四边形AGA,P是矩形， .AG=AP=AE +EP, 当AD取得最大值时，∠AEN=∠A,EN也是最大值， :∠AEP=180°-∠AEN-∠A,EN=180°-2∠AEN, .∠AEP有最小值， ·在Rt△A,EP中，EP=A,E·coS∠A,EP有最大值， 即AG=AP=AE+EP有最大值， :点A到AD的距离最大.故②正确 综上所述，正确的共有3个. 故选：C 【点晴】本题考查轴对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数的性质，综 合运用相关知识是解题的关键】 7.(2023四川成都.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,过D作 DE∥BC交AC于点E,将△DEC沿DE折登得到△DEF,DF交AC于点G,若6-{，则anA上 G B 【答案】3 7 【分析】过点G作GM⊥DE于M,证明aDGE∽aCGD,得出DG=GE×GC,根据AD∥GM,得 AG 7 DM ,设GE=3,AG=7,EM=3n,则DM=7m,则EC=DE=10m,在Rt△DGM中， GM2=DG2-DM2,在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2,则DG2-DM2=GE2-EM,解方程求得n= 4 ,则EM-,GE=3,勾股定理求得GM,根据正切的定义，即可求解 20/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21/139 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EM=GE=3 则6w6E---图9 tanA=tan∠EGM=ME=4-3V万 MG 37 7 4 故答案为： 3W万 【点晴】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定， 熟练掌握以上知识是解题的关键. 8.(2025四川绵阳中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，BC=4,AD=2,点E在四 边形内，DE⊥CE,EF⊥CD于点F,将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的 延长线于点H,∠DCG=45°，则点B到直线FH的距离为 D A E H G 【答案】 【分析】过点C作CK⊥AD,交AD的延长线于K,过点B作BQ⊥CD于Q,可证得△CDE≌aCDK(AAS 进而证得四边形ABCK是正方形，再证得aCEF∽aCDE,求得CF,利用三角函数求得CQ,即可求得答 案 【详解】解：过点C作CK⊥AD,交AD的延长线于K,过点B作BQ⊥CD于Q,如图， D T G B :将aBCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合， ∴∠GCE=∠GCB,∠CEG=∠CBA=90°，CE=CB=4,BG=GE, '∠K=∠A=LABC=90°， .四边形ABCK是矩形， 22/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BCK=90°， ∠DCG=45°， 即∠GCE+∠DCE=45°， :∠DCK+∠GCB=45°， ∠DCK=LDCE, :∠CED=∠CKD=90,CD=CD, ∴△CDE≌△CDK(AAS), :CK =CE=4=BC, :四边形ABCK是正方形， .AK =BC=4, AD DK DE =2, 在RtACDK中，CD=VDK2+CK2=2V5, '∠ECF=∠DCE,∠CFE=∠CED, .ACEF∽aCDE, CF CE CE CD 即CF、4 425, CF=85 :∠DCK+∠BCQ=∠CBQ+∠BCQ=90°， ∴.∠CBQ=∠DCK, sin∠CB0=sin∠DCK=DK-2=V5 CD2√55 CO BC =sin∠C80= 5 C0- BC=45 5 5 ..FO=CF-CO= 854V54V5 55 则点B到直线FH的距离为4N5 5 故答案为： 45 【点晴】本题考查了正方形的判定和性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角 函数等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键， 23/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆题型四相似与动点、存在性问题结合 点方法 1.设动点坐标或运动时间，用含参式子表示线段长度。 2.根据平行、垂直、角相等等条件列比例式，建立方程求解。 3.结合动点范围检验解的合理性，分类讨论防漏解。 9.(2025四川成都中考真题)如图，在。ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q. 图1 图2 【特例感知】 (1)如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长： 【拓展延伸】 )如图2，当CF=2BE时，点P在BC边上，若D0m’求G的值.（用含的代数式表 DXG 【答案】(1)见解析：(2)4：(3)2m+」 6n+6 【分析】(1)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE,再结合平行四边形的性质可得∠PCG=∠QFG,然 后根据三角形内角和定理可得∠CQE=∠P,即可求证： (2)根据全等三角形的性质可得EQ=EP,从而得到FQ=CP,可证明△FQG≌aCPG,从而得到 FG=CG=3,GQ=GP=5,再由折叠的性质得：AF=AB,再根据aCGP∽aBAP,可得AB=12,即可求解： (3)延长AD,EQ交于点M,设CQ=a,BE=b,证明△DOM∽aCQE得出DM=2bn,证明△FEP△CEQ 得出PF=a,证明A4 MFPEF得出EP=+2b,进而求得CP-2n+),根据PC∥AD得出 2 2n+2 2n+2 △GPC∽△GAD,根据相似三角形的性质，即可求解。 【详解】解：(1)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, 24/139 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠PCG, :ZAFE ZPCG, :∠AFE=∠QFG, .∠PCG=∠QFG, :∠FGQ=∠CGP, .∠CQE=∠P, :CE BE,BE=EF :EF EC, 又：∠CEQ=∠FEP, ·.△EFP≌△ECQ(AAS); (2):△EFP≌△ECQ, .EO=EP, EF EC, ..FO=CP, :∠FGQ=∠CGP,∠CQE=∠P, .△FQG≌△CPG, ..FG=CG=3,GO=GP=5, 由折叠的性质得：AF=AB, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, △CGP∽aBAP, CG PG AB AP' ABAB+3+5'解得：AB=12, 35 CD=12, ∴.DQ=CD-CG-QG=4; (3)解：如图，延长AD,EQ交于点M, M 图2 设CQ=a,BE=b 25/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :c2-1 CE=2BE DO n ∴DQ=an,EC=2b, .AB=CD=(n+1)a,AD =3b “折叠， .AF=AB=(n+1 a :AD∥BC,即DM∥EC ∴.△DOMACOE DM_D即 M=an=n EC CO 2b a .DM=2bn :四边形ABCD是平行四边形， :∠B=∠ADQ 又：折叠， ∠AFE=∠B :∠AFQ+∠AFE=180° ·.∠AFQ+∠ADQ=180° :.∠DAF+∠DQF=180 :∠EQC+∠DQF=180° ∴.∠EQC=∠DAF :AD∥BC .∠DAF=∠FPE .∠EQC=∠FPE 又：∠FEP=∠CEQ :.△FEPOACEO EF FPb FP 4.Ecc0即2ba PF= 1 :AB∥CD △AMF∽APEF :EP、PF AM AF EP (3+2n)b(n+1)a 26/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：EP=3+20b 2n+2 .CP=EC-EP=2b 3+2nb=2m+1b 2n+2 2n+2 又：PC∥AD ∴.△GPC∽AGAD (2n+1)b .CG CP 2n+2 2n+1: DG AD 3b 6n+6 【点晴】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质， 熟练掌握以上知识是解题的关键 10.（2024四川广元中考真题)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培 养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如 图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决. B B D D 图1 图2 C E B D 图3 图4 在ABC中，点D为边AB上一点，连接CD. (1)初步探究 如图2，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB: (2)尝试应用 如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4,求CD的长； (3)创新提升 如图4，点E为CD中点，连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°，LACD=∠EBD,AC=2√7，求BE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)CD=2√2 (3)√21 【分析】(1)根据题意，由∠ACD=∠B,∠A=∠A,利用两个三角形相似的判定定理即可得到 27/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ACD∽△ABC,再由相似性质即可得证： (2)设AD=BD=m,由(1)中相似，代值求解得到AC=√2m,从而根据△ACD与ABC的相似比为 ACV2求解即可得到答案， AD 1 (3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H,如图1所示，设CE=DE=a,过点B作BF⊥EC于点 F,如图2所示，利用含30°的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的 为定与性须有气是行-治品。方·代位来解理可得省米 【详解】(1)证明：：∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACD∽△ABC, AC AD AB AC .AC2=AD.AB (2)解：：点D为AB中点， 设AD=BD=m, 由(1)知△ACDn△ABC, :AC2 AD.AB=m.2m=2m2, :AC=2m, AD 1 :△ACD与ABC的相似比为 CD 1 :BC=4 :CD=22; (3)解：过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H,过C作CY⊥AB,如图1所示： ==--H 图1 :点E为CD中点， 设CE=DE=a, :∠CDB=∠CBD=30°， .CB=CD=2a,∠DCB=120°， 28/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△BCY中，CY=二CD=a,则由勾股定理可得BD=2√5a, 2 过点B作BF⊥EC于点F,如图2所示： B 图2 ∠FCB=60°， ∠CBF=30°， :.CF=IBC, 2 .CF=a,BF=3a, .EF =2a, :BE=7a, :CH∥BE,点E为CD中点， .CH=2BE=2N7a,DH=2DB=4V3a,∠EBD=∠H, 又：∠ACD=LEBD, ∴∠ACD=∠H,△ACD∽△AHC, AD AC CD=2a=1 AC AH CH2V7a万' 又：AC=2√7， .AD=2,AH=14, DH=12,即43a=12, a=5, :BE =7a=21. 【点晴】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30°的直角三角形性质、勾股定理等知识， 熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键 11.(2024四川乐山中考真题)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3,CE=4, 求DE的长. 29/139 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'· B 图1 由旋转的特征得LBAD=LCAD'，LB=LACD'，AD=AD',BD=CD'. :∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∠BAD+∠EAC=45°. ∠BAD=∠CAD', ∴∠CAD'+∠EAC=45°，即LEAD'=45°. .∠DAE=∠D'AE. 在△DAE和△D'AE中， AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, “①- DE=D'E· 又：∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°， ∴.在Rt△ECD'中，② .CD'=BD =3,CE=4, C(B) 图2 ∴DE=D'E= ③. 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填： :“②”处应填： ;“③”处应填： 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以 不变应万变 【知识迁移】 如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的 一半，连结AE、AF,分别与对角线BD交于M、N两点.探究BM、MN、DN的数量关系并证明. 30/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 图3 【拓展应用】 如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=LCEF=45°.探究BE、EF、DF的 数量关系： (直接写出结论，不必证明). D E 图4 【问题再探】 如图5，在ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,点D、E在边AC上，且∠DBE=45°，设AD=x, CE=y,求y与x的函数关系式. A D F 图5 【答案】【问题解决】①△ADE≌△AD'E;②EC2+CD2=ED2;③5；【知识迁移】DN2+BM2=MN2, 见解析：【拓展应用】2BE2+2DP?=EF?;【问题再探】y=21x-60 5x-28 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可： 【知识迁移】如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF',过点D作DH⊥BD交边AF'于点H, 连接NH,由旋转的特征得AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF',结合题意得 EF=DF+BE=DF+DF'=F'F.证明AEF≌AFF,得出∠EAF=∠F'AF,根据正方形性质得出 LABD=∠ADB=45°.结合DH⊥BD,得出LADH=∠HDB-∠ADB=45°.证明△ABM≌△ADH,得出 AM=AH,BM=DH,证明△AMN≌△AHN.得出MN=HN.在RtAHND中，根据勾股定理即可求解， 【拓展应用】如图所示，设直线EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时 针旋转90°，得到△AGH,连接HM,HE.则ADF≌AGH,则DF=GH,AG=AD,AF=AH, LDAF=∠HAG,根据∠EAF=45°，证明△AEH≌△AEF,得出EF=HE,过点H作HO⊥CB交CB于点O, 过点H作HG⊥BM交BM于点M,则四边形OHGB为矩形.得出OH=BG,OB=HG,证明 31/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BME,DNF,CEF,AMN是等腰直角三角形，得出GM=DN=DF=HG,∠HME=90°，在RIAOHE中， 根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将BEC绕点B逆时针旋转90°，得到BE'C',连接E'D.过点E作EG⊥BC,垂足为 点G,过点E作EG⊥BC',垂足为G.过点E'作EF∥BA,过点D作DF∥BC交AB于点H,EF、 DF交于点F.由旋转的特征得BE=BE',∠CBE=∠C'BE',EG=E'G,BG=BG'.根据 ∠ABC=90°，∠DBE=45°，得出LDBE'=45°，证明EBD≌E'BD,得出DE=DE'，根据勾股定理算出 AC,根据AD=x,CE=y,表示出DE=5-x-y,证明△AHD∽△ABC,根据相似三角形的性质表示出 MH-HD=子，HB=4手，同理可得5G=6C-房.EG-8G=3-房，证男西边形 5+5y,FE=1-4x+3 FEGH为矩形.得出∠F=0FH-等，DF-+号 5x+5y,在R1aEFD中，根据勾股定 理即可求解： 【详解】【问题解决】解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'. D C(B 图2 由旋转的特征得LBAD=LCAD',LB=LACD',AD=AD',BD=CD', ∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∠BAD+∠EAC=45°. :∠BAD=∠CAD', ∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°. ∴∠DAE=∠D'AE 在△DAE和△D'AE中，AD=AD',∠DAE=∠D'AE，AE=AE, ①△ADE≌△AD'E, DE=D'E· 又：∠ECD'=∠ECA+LACD'=∠ECA+LB=90°， 在Rt△ECD'中，②EC2+CD2=ED2. :CD'=BD=3,CE=4, DE=DE=V32+42=5③ 【知识迁移】DN2+BM2=MN2. 证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF'. 过点D作DH⊥BD交边AF'于点H,连接NH, 32/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F D M B 由旋转的特征得AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF'. 由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE, .EF =DF +BE DF DF'=FF 在△AEF和△AFF中，AE=AF,EF=FF,AF=AF, .△AEF≌AF'F(SSS). ∠EAF=LFAF. 又：BD为正方形ABCD的对角线， ∠ABD=∠ADB=45°. :DH⊥BD, ∴∠ADH=∠HDB-∠ADB=45°. 在△ABM和△ADH中，∠BAM=∠DAH,AB=AD,∠ABM=∠ADH, △ABM≌△ADH ASA, .AM=AH,BM DH. 在△AMN和△AHN中，AM=AH,∠MAN=∠HAN,AN=AN, ∴.△AMN≌△AHN(SAS). .MN =HN 在RtAHND中，DN2+DH=HN2, ∴DW2+BM2=MW2. 【拓展应用】2BE2+2DF2=EF2. 证明：如图所示，设直线EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点， D N O.B H花 M 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH,连接HM,HE. 则ADF≌AGH. 33/139 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则DF=GH,AG=AD,AF=AH,∠DAF=∠HAG, :EAF=45°， ∠HAE=∠HAG+LGAE=∠DAF+∠GAE=45°， 在△AEH和△AFE中 AH=AF ∠HAE=∠FAE=45°， AE=AE ∴△AEH≌△AEF(SAS), ∴EF=HE, 过点H作HO⊥CB交CB于点O,过点H作HG⊥BM交BM于点M,则四边形OHGB为矩形. .OH=BG,OB=HG, ∠CEF=45°， :∠CEF=∠CFE=∠DFN=LDNF=∠BME=∠BEM=45°， .BME,DNF,CEF,AMN是等腰直角三角形， .CE =CF,BE BM,DN DF,AN=AM, :AM-AG AN AD, :.GM=DN=DF=HG, ∠HMG=45°， ∠HME=45°+45°=90°， 在RtAOHE中，OE2+OH2=HE2,(OB+BE)2+BG2=EH, .(GH +BE)2+BG2=EH2, (GH BE)2+(BM -GM)2=EH2, EF HE,DF=GH GM,BE BM, .(GH BE)2+(BE-GH)2=EF2, 即2DF2+BE2）=EF2, 【问题再探】如图，将BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BE'C',连接E'D,过点E作EG⊥BC,垂足 为点G,过点E作EG⊥BC',垂足为G,过点E作E'F∥BA,过点D作DF∥BC交AB于点H,E'F、 DF交于点F. 34/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 45 B G 由旋转的特征得BE=BE,∠CBE=∠C'BE',EG=E'G,BG=BG', ∠ABC=90°，∠DBE=45°， ∠CBE+∠DBA=45°， LC'BE'+∠DBA=45°，即LDBE'=45°， 在△EBD和△E'BD中，BE=BE',∠DBE=∠DBE',BD=BD, ·.AEBD≌AE'BD(SAS), :DE DE', ∠ABC=90°，AB=4,BC=3, :AC=AB2+BC2=5, 又AD=x,CE=y, .DE'=DE=5-x-y, :DF∥BC, ,∠ADH=∠C,∠AHD=∠ABC=90°， △AHD∽△ABC, BaCC即Ah-HD=. 、AH HD AD x 5 5 .HB=AB-AH =4-4 , 同理可得EG -4x.GC-3) ÷E'G=4yBG=BG=3-3 5 ， E'G⊥AB,∠ABC=90°， E'G'∥BC∥FD, 又：E'F∥AB,∠FHG'=∠AHD=90°， 四边形FE'G'H为矩形. ∠F=90°，FH=EG=5为DF=DH+FH=3x+4 5少， 35/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FE'=HG'=HB-BG'=4-4 -小 43 在RtaE'FD中，E'F2+DF2=E'D2. 21x-60 解得y= 5x-28 【点晴】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、 勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运 用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键 12.(2024四川内江.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A, 与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作 DC⊥x轴于点C,交AB于点E A 备用图 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式： (2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G,连接DF,当四 边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. 【答案】(1)y=-x2+x+6 2点D的坐标为1,6)或)，2 2’4 B)25-3+2四或3-25+2四 2 【分析】(1)先求出A、B的坐标，然后代入y=-x2+bx+c,求出b、c的值即可： (2)由对顶角的性质性质知∠AEC=∠DEB,若存在△BDE和△ACE相似，则有△ACE∽△BDE和 △ACE∽△DBE两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； (3)设点D(m,-m2+m+6,Em,-2m+6),F(n,-n2+n+6),Gn,-2n+6),则DE=-m2+3m, FG=-n2+3n,根据菱形的性质得出-m2+3m=-n2+3n,可求出n=3-m,过点G作GK⊥DE于K,可得 36/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EGK=乙8C.利用等角的余孩值相等得出”05·求出5G=53-2,根据菱形约性质得 m2-3+2√5)m+3V5=0,解方程求出m的值即可 【详解】(1)解：令y=0,则-2x+6=0,则x=3;令x=0,则y=6 A3,0),B(0,6 把A3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c,得： [-9+3b+c=0 b=1 c=6 解得： c=6 这条抛物线所对应的函数表达式为：y=-x2+x+6; (2)解：存在点D,使得△BDE和△ACE相似 设点D(t,-2+1+6),则E(t,-21+6),C(,0),H(1,6) .EC=-2t+6,AC=3-1,BH=t,DH=-+t,DE=-t2+31 :△BDE和△ACE相似，∠BED=∠AEC .△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE ①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE=∠ACE=90° 图1 BD∥AC .D点纵坐标为6 -t2+t+6=6,解得：t=0或t=1 .D1,6) ②如图2，当△ACE∽△DBE时，LBDE=LCAE 37/139 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y D B 图2 过B作BH⊥DC于H .∠BHD=909 BH =tan∠BDE=tan∠CAE=OB DH OA t 6 . =2 -12+t3 店-27+21=1，解得：1=0（舍去）或1=) D/125 2'4 综上所运，点D的坐标刻6)或) (3)如图3，：四边形EGFD为菱形 B K G C A 图3 ∴DE∥FG,DE=FG,ED=EG 设点Dm,-m2+m+6,E(m,-2m+6,F(n,-n2+n+6,G(n,-2n+6) :DE=-m2+3m,FG=-n2+3n -m2+3m=-n2+3n,即(m-n(m+n-3)=0 :m-n≠0 ∴.m+n-3=0,即m+n=3或n=3-m :A3,0),B(0,6 38/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .A0=3,B0=6 ·AB=VA02+B02=3V5 过点G作GK⊥DE于K ∴.KG∥AC ∴.∠EGK=LBAC KG =cos∠EGK=cos∠BAC=6,B 即-m3 EG EG 35 :EG=√5n-ml=V53-2ml DE =EG -m2+3m=53-2m 解得：m25-3+29或m=3-25+2四 (不合题意已舍去) 2 :点D随横坐标为25-3+V29或3-2W5+V29 2 2 【点晴】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求 二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类 讨论。 ◆题型五相似与解直角三角形、勾股定理融合 皮方法 1.由相似得到比例关系，结合勾股定理列方程求边长。 2.直角三角形中，利用母子相似、射影定理简化计算。 3.用三角函数值转化边角关系，与相似比例联立求解。 13.(2024-四川资阳.中考真题)(1)【观察发现】如图1，在ABC中，点D在边BC上.若LBAD=∠C, 则AB=BD·BC,请证明； (2)【灵活运用】如图2，在ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2,点E在AB上， 连接AD,DE.若LAED=∠CAD,求BE的长； (3)【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5,点E,F分别在边AD,CD上，LABC=2LEBF, 延长AD,BF相交于点G.若BE=4,DG=6,求FG的长. 39/139 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析：(2)BE=E-1；(3)FG-245 3 11 【分析】(1)证明△4B0-△CB4,得出织=BD BC AB 即可证明结论 (2)过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DG⊥AB于点G,解直角三角形得出 CF=AC×Sin60=2x5-5,AF=4Cxes60r=2x51,证明△BDG△BCP,得出 2 =-0行0G-0 r= ,根据勾股定理得出BG=√BD-DG 2 2- 3 2 得出AB=AF+BF=1+S,证明△BEDBAD,得出BE-BD BD AB 求出BE=3-1 (3)连接BD,证明△BED∽aGEB,得 BEEG,求出DE=2,证明△ABE为直角三角形，得出 DE BE ∠AEB=90°，根据勾股定理求出BG=VBE2+EG2=√42+82=4√5，证明△DFG∽aCFB，,得出 FG 6 4V5-FG5,求出结果即可. 【详解】解：(1)∠BAD=∠C,∠ABD=∠CBA, ∴△ABD-△CBA, AB BD BC AB :AB2=BD.BC: (2)过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DG⊥AB于点G,如图所示： 则∠AFC=∠AGD=90°， .DF∥DG, :∠BAC=60°， .CF=4Cxsin60=2x 4F-4Cxcos60-2x=1 2 2 40/139 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :D为BC的中点， 1 .BD=CD=二BC=2, 2 :DF∥DG, .△BDG∽△BCF, . DG BG BD 1 CF BF BC2' DG-CF=V3 2 ∴.BG=VBD-DG 3 22 1 2 :BF =2BG=13, AB=AF+BF=1+3, AC =CD, ∠CAD=∠CDA, :∠AED=∠CAD, .∠AED=LCDA, ∠AED+∠BED=∠ADC+∠ADB=180°， ∠BED=∠ADB, ∠DBE=∠ABD, .△BED∽△BAD, BE BD BD AB B 2 即2+丽 解得：BE=13-1 3 (3)连接BD,如图所示： E D G B :四边形ABCD为菱形， ∠ABD=∠CBD=∠ABC,AD=AB=BC=5,AD∥BC, :∠ABC=2∠EBF, 41/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABD=∠CBD=LEBF, .∠EBF-∠DBF=LCBD-∠DBF, 即∠DBE=∠CBF, :AD∥BC, :ZCBF ZG :ZDBE ZG, ∠DEB=∠BEG, :△BED∽aGEB, DE BE BE EG :DG=6, :EG=DE+6, DE 4 4DE+6 解得：DE=2,负值舍去， .EG=2+6=8, .AE AD DE =3, :AE2+BE2=32+42=52=AB2, ∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°， ∠BEG=180°-90°=90°， ∴在Rt△BEG中根据勾股定理得： BG=VBE2+EG2=V42+82=4V5, BF=BG-FG=45-FG, AD∥BC, △DFG∽△CFB, FG DG BF BC FG 6 即 4V5-FG5' 解得：FG= 24v5 11 【点晴】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质， 平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法 14.(2024-四川南充.中考真题)如图，正方形ABCD边长为6cm,点E为对角线AC上一点，CE=2AE, 点P在AB边上以lcm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cmIs的速度由点C向点B运 42/139 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 动，设运动时间为t秒（0<1≤3). D B (1)求证：△AEP∽△CEQ. (2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值. (3)连接AQ,当tan ZA0E=。时，求△AEQ的面积. 3 【答案】(1)见解析 (2)6-2V5秒或2秒 (3)4cm1 【分析】(1)根据正方形性质，得到∠PAE=∠QCE=45°，再题意得 AE AP CE-CO,从而得到AEPCE0: (2)利用题目中的条件，分别用t表示EP'、PQ2、EQ,再分别讨论当∠EPQ=90°、∠PEQ=90°和 ∠PQE=90°时，利用勾股定理构造方程求出t即可； (3)过点A作AF⊥AC,交CB的延长线于点F,连接FE交AQ于点G.由此得到AF=-AC,由已知得到 长行-写进面将到m∠4PE有由题应m∠40E:方则乙4E-∠A0E,再装次证明 △AGF∽△EGQ、△AGE∽△FGQ,得到∠AEG=∠FQG,从而证明∠FQE=90°，即△EQC是等腰直角三角 形.则QC=4,再用S40c-S.0c求出△AEQ的面积. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠PAE=∠QCE=45°. .CE=2AE,AP=t,CO=2t, AE=AP=1 CE CO 2 .△AEP∽△CEQ. (2)解：过点E作EM⊥AB于点M,过点E作EN⊥BC于点N. 由题意知AC=√2AB=6V2, CE=2AE AE=22, .∠PAE=459 43/139 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·.AM=ME=2,EN=CN=4 由已知， AP=I CO=2t,BO=6-2t,MP=t-2,BP=6-t,ON=BN-BO =2t-4. ∴.EP2=EM2+MP2，即Ep2=22+(2-t)2=t2-4t+8, PQ2=BP2+B02,即P02=(6-t)2+(6-2)2=512-36t+72, EQ2=EN2+NQ2,即EQ2=42+(2t-4)2=42-16t+32 ON ①当∠EPQ=90°时，有EQ=EP2+PQ. 即4t2-16t+32=t2-4t+8+52-36f+72,整理得2-121+24=0. 解得t=6-2V3,t,=6+2V3(不合题意，舍去). ②当∠PE0=90°时，有PQ2=EP2+EQ 即52-36t+72=2-4t+8+4t2-16t+32,整理得1-2=0，解得1=2. ③当∠PQE=90°时，有EP2=PQ+EQ2. 即2-4t+8=52-36t+72+4t2-16t+32,整理得2-6t+12=0,该方程无实数解. 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为6-2√3秒或2秒 (3)解：过点A作AF⊥AC,交CB的延长线于点F,连接FE交AQ于点G. :AF⊥AC,∠ACF=45°， :AF=AC. D G B 又：CE=2AE, AE=AE=1 AC AF 3 :.tan LAFE=方 1 tan Z40E=3 1 44/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠AFE=∠AQE ∠AGF=∠EGQ, ∴△AGF∽△EGQ AG GF EG GO' .∠AGE=∠FGQ, ∴.△AGE△FGQ, ∴.∠AEG=∠FQG :∠AFE+∠AEF=90°， ∴.∠FQG+∠EQG=90°， 即∠FQE=90°， ∴△EQC是等腰直角三角形. 0C=4, .S.0E=S.0c-S.oc =0c480c0 1 ×4×6 21 1x4×4 =4cm2) 【点晴】本题考查了正方形的性格、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理.解答过程中，灵 活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键 15.(2024四川德阳.中考真题)己知00的半径为5，B、C是00上两定点，点A是00上一动点，且 ∠BAC=60°，∠BAC的平分线交⊙0于点D. (1)证明：点D为BC上一定点； (2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F. ①判断DF与⊙0的位置关系，并说明理由； ②若ABC为锐角三角形，求DF的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 45/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20DF与00相切，理由见解析：②DF的取值范围为5V5 <DF<5V3. 【分析】(1)由∠BAC的平分线交O0于点D,LBAC=60°，可得BD=CD,结合B、C是O0上两定点， 可得结论： (2)①如图，连接OD,证明OD⊥BC,结合BC∥DF,可得OD1DF,从而可得结论： ②分情况讨论：如图，当∠4BC=90时，可得DF=B0=55;如图，连接BD,当∠4CB=90,可得 2 DF=2BQ=5V3,从而可得答案 【详解】(1)证明：∠BAC的平分线交O0于点D,∠BAC=60°， ∠BAD=∠CAD=30°， ·BD=CD, :B、C是⊙0上两定点， “点D为BC的中点，是一定点： (2)解：①如图，连接0D, B BD=CD, .OD⊥BC, :BC∥DF, OD⊥DF, :0D为半径， ∴DF是⊙O的切线： ②如图，当∠ABC=90°时， ·AC为直径，AC=10, :∠BAC=60°， ∠ACB=30°， AB=5,BC=V102-52=5V5, 46/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y D :0D⊥BC, 80=c0=5 2 :∠BQD=90°=∠FQD=∠ABC=∠FBQ, .四边形BFDQ为矩形， DF=BO= 55 如图，连接BD,当∠ACB=90°， F D :∠ACB=90°，0D⊥BC, 0D∥AC, ∠B0D=∠BAC=60°， 0B=0D, :△BOD为等边三角形， ..00=OD, 同理可得：B0=5 3N :BC∥DT, ∴.△BOAOFD, O0B91 0D-DF-2' DF=2B0=53, :当ABC为锐角三角形，DF的取值范围为5V5 <DF<53 47/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【点晴】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键， )知识1相似三角形判定定理(AA、SAS、SSS)与核心性质 A4(两角分别相等)：两个三角形中有两组对应角相等，即可判定相似，是中考最常用、最优先的判定 方法（公共角、对顶角、平行线同位角/内错角均为天然等角）。 SS(两边成比例且夹角相等)：两组对应边的比值相等，且两边的夹角对应相等，非夹角的边边角无法 判定相似。 SSs（三边对应成比例)：三个三角形的三组对应边比值完全相等，即可判定相似，多用于坐标计算、边 长已知的题型。 《。知识2相似三角形对应边成比例、对应角相等，面积比相似比平方 角：对应角完全相等，可直接用于角度推导、证明垂直/平行。 边：对应边成比例，比值称为相似比k,比例式可交叉相乘转化为等积式。 对应线段：对应高、对应中线、对应角平分线的长度比=相似比k。 周长：相似三角形的周长比=相似比k。 面积：相似三角形的面积比=相似比的平方k2,己知面积比可开方求相似比。 《。知识3A字型、8字型、母子型、射影定理等高频相似模型 A字型相似 正A字型：直线平行于三角形一边，截另外两边，所得小三角形与原三角形相似； 斜A字型：无平行，有公共角+一组等角，三角形相似。 8字型(X字型)相似 正8字型：两组对边平行，对顶角相等，三角形相似； 斜8字型：无平行，对顶角+一组等角，三角形相似。 母子型相似：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，两个小三角形彼此相似，且 均与原直角三角形相似。 射影定理（母子型核心推论) 直角边的平方=该直角边在斜边上的射影×斜边： 斜边上高的平方=两直角边在斜边上射影的乘积。 48/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 《。知识4平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与相似结合点 平行四边形：对边平行且相等，天然构造A字型、8字型相似，平行关系可直接得等角，快速证相似。 矩形：四个角为直角+对边平行，易构造直角三角形相似，矩形的边、对角线可作为相似三角形的对应 边。 菱形：四边相等、对角线互相垂直平分，对角线将菱形分为四个全等直角三角形，相似比可直接转化为 边长比、对角线分段比。 正方形：兼具矩形、菱形性质，内角90°、对角线平分内角，常出现等腰直角三角形相似，相似比多 为1：1、1：√2等特殊比值。 《。知识5几何变换（折叠、旋转、平移）中的角度与线段不变性 平移、旋转、折叠均属于全等变换，核心不变量： 线段：变换前后对应线段长度不变，全等三角形必相似（相似比=1）。 角度：变换前后对应角大小不变，折叠产生的等角、旋转产生的旋转角相等，可直接作为相似判定的等 角条件。 辅助应用：折叠的折痕垂直平分对应点连线，旋转的对应点到旋转中心距离相等，均可结合相似推导线 段比例。 ◇知识6勾股定理、特殊角三角函数与相似的综合计算 核心逻辑：先证相似得比例，再用勾股/三角函数算边长 勾股定理结合：已知相似比+部分边长，用a2+b2=c2求未知边，代入比例式求解。 特殊角三角函数结合： 30°/45°/60°的三角函数值可直接设边长（如30°对直角边为x,斜边为2x),将含x的边长代入 相似比例，列方程求解。 适用场景：直角三角形相似、几何图形的高/边长/面积综合计算。 ◇知识7 动点问题中的分类讨论（按角/边对应关系分类） 核心原则：固定一个三角形，按对应顶点分情况讨论，不重不漏 分类依据： ①按等角对应关系：公共角对应公共角、直角对应直角，再分剩余两角的对应方式： ②按边成比例关系：是=器=器，变换对应边列不同比例式。 解题步骤：确定动点范围→画出每种情形的图形→根据相似列比例方程→求解后检验动点是否在线段/ 延长线上，舍去不合理解。 49/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 父知识8 线段比值、面积比值、等积变换与相似的转化 线段比值：直接等于相似比，可用于求边长、分段长度 面积比值：等于相似比的平方，已知一个三角形面积可求另一个，反之亦然。 等积变换核心： 同高的两个三角形，面积比=底边长之比； 同底的两个三角形，面积比=高之比； 可将面积比转化为线段比，再结合相似比相互推导，实现等积式与比例式的互化。 。知识9 坐标系中相似三角形的坐标法判定与计算 、2 、2 边长计算：用两点间距离公式x2+y2y)算出三角形三边长，通过边长比值判定sSs相似。 角度判定：通过坐标算直线斜率，斜率相等则直线平行，得同位角/内错角相等，判定AA相似。 动点计算：设动点坐标为x,y),根据相似三角形的对应边成比例列方程，结合函数解析式、坐标取值 范围求解坐标、线段长度及面积。 命 命题预测1：相似三角形判定与性质应用【每年必考，压轴核心】 1.(2026四川巴中模拟预测)如图，△AED∽△ABC,相似比为1：2.若AB=6,则下列结论正确的是() D A.DE=3 B.AD=3 C.AE=3 D.BC=3 【答案】c 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形的相似比等于边长之比 根据△AED∽△ABC,得AE:AB=1:2,进而可以解决问题. 【详解】解：~△AEDn△ABC, .AE:AB=1:2, AB=6, .AE=3, 50/139 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 2.(2025四川德阳模拟预测)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投 影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB',设AB=36cm, A'B'=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到AB的距离为() B k30cm→k?cm-→y 40 A.18cm B.20cm C. D.15cm 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得AB∥AB',则△AOB△A'OB',过点O作 OC⊥AB于C,延长CO交AB于点C,由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解此题的关键 【详解】解：由题意可得：AB∥AB, △A0B∽△A'0B', 如图，过点O作OC⊥AB于C,延长CO交AB于点C, ←-30cmk-?cm- .0C'⊥A'B',0C=30cm, A'B'OC' 即24-0c 3630 .OC'=20cm,即小孔O到AB的距离为20cm, 故选：B 3.(2025四川南充·一模)己知ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则ABC与ADEF的周长之比是() A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，判断即可. 【详解】解：由题意，ABC与△DEF的周长之比是1：3； 故选B. 51/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025四川成都模拟预测)如图，己知AC∥BE,AB∥DE,点B,C,D在同一条直线上，若 AC=3,CD=2,BE=4,则BC的长为 E 【答案】6 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明*ABCED8,得到AC-BC,代入相关数值，即可 BE BD 求出答案。 【详解】解：：AC∥BE,AB∥DE, ∴∠ACB=∠DBE,∠ABC=∠D, △ABC∽△EDB AC BC BE BD :点B,C,D在同一条直线上，CD=2,BD=BC+CD, 即BD=BC+2 3 BC 4BC+2' .BC=6. 故答案为：6. 5.(2025四川成都.一模)将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一 平面内)，若BD=1,EC=√5，则AD= G F 【答案】√5+1/1+V3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，设DE=x,则BE=1+x, CD=V3+x,则BC=V3+1+x,利用等腰直角三角形的性质证明△ABE∽△DCA,由相似三角形的性质 得出ABBE CD AC 进一步求出DE,再证明△DAE∽△DCA,由相似三角形的性质进一步即可得出AD 52/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：设DE=x,则BE=I+x,CD=√3+x, BC=3+1+x, :ABC,△AFG是等腰直角三角形， ∠BAC=90°，AB=AC,∠FAG=∠B=∠C=45°， ∠BAE=45°+∠BAD,∠CDA=45°+∠BAD, ∠BAE=∠CDA, 又：∠B=∠C=45°， △ABE∽△DCA, AB BE AB=1+x cD4c,即3+r0 :AB2=(5+x1+x, 8=9c=5+1 2 AB=5+1+x=(5+x1+刘. 解得x=2,x=-2(舍去) 即DE=2, :∠ADE=∠CDA,∠DAE=∠C, .△DAE△DCA, DA DE DC DA' DAP=DCDE=2x(2+V5)=4+2W3=(N3+1, ·AD=V5+1, 故答案为：√3+1. 6.(2026四川绵阳.一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AD⊥DC,AB=4,AD=DC=2,E是 线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点.现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF(如图的所有 点在同一平面内)，连接AB,AC,则△A'BC面积的最小值为 B 【答案】3-√2 【分析】过点C作CG⊥AB于点G,可得四边形ADCG是正方形，从而得到CG=AG=AD=2,再利用勾 53/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 股定理求出BC的长，从而得到当点A到BC的距离最小时，△A'BC面积最小，过点作A'H⊥BC交BC的 延长线于点H,即当AH最小时，△A'BC面积最小，然后结合题意可得点A在以点E为圆心，1为半径的半 圆上运动，当点E、、H三点共线时，AH最小，此时△A'BC面积最小，延长AD、BC交于点M,过点 D作DN⊥CM于点N,则DN∥EH,可得aMND∽△HE,即可求解， 【详解】解：如图，过点C作CG⊥AB于点G, :AB∥DC,AD⊥DC, .∠ADC=∠DAG=∠AGC=90°， .四边形ADCG是矩形， AD=DC=2, :四边形ADCG是正方形， .CG=AG=AD=2, AB=4, ∴BG=AB-AG=4-2=2, BC=VCG2+BG2=√22+22=2V2, 当点到BC的距离最小时，△A'BC面积最小， 过点A作A'H⊥BC交BC的延长线于点H, 即当AH最小时，△A'BC面积最小， :E是线段AD的中点，AD=2, :.DE=AE=4D=1x2=1, 1 2 2 由折叠的性质得：A'E=AE=1, 点A在以点E为圆心，1为半径的半圆上运动， :当点E、、H三点共线时，AH最小， 此时△A'BC面积最小， 延长AD、BC交于点M, 过点D作DN⊥CM于点N,则DN∥EH, .△MND∽△MHE, 54/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CG=BG=2,∠BGC=90°， LABC=∠BCG=45°， :AB∥DC, :∠DCM=∠ABC=45°， :∠CDM=180°-∠ADC=180°-90°=90°， CDM是等腰直角三角形， :DM =CD=2,DN=MN=NC=1CM, :CM=VDM2+CD2=V22+22=2√2，EM=DE+DM=1+2=3, DN=1 w×25-5, .△MND∽△MHE, DM DN EM EH 即22 3 EH EH=3 2 4H-EH-4E-32 ·△A'BC面积的最小值为3-√2 7.(2025四川成都模拟预测)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，在CD上取一点E,使得 CE=AB,射线AE交BC于点F.若AD=DE=AE=4,BD=2EF,则四边形BDEF的面积为 D B F 【答案】6√6+4V3/43+66 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和应用，勾股定理等，熟练掌握相关知识点和准 确添加辅助线是解题的关键。 过点A作AH⊥DE于点H,先通过边长关系，证出△ADE是等边三角形，通过角度之间的等量代换，得 △ACE∽aBCD,由此可求出EF的长度，结合DH的长度和勾股定理，解出AH的长度，可得S。ACE,由 v2 S.BcD=2S.AcE,即可求出S,scn,又因为SrcE= 2 S4CE,可求出SFcE,最终得出四边形BDEF的面积. 【详解】解：过点A作AH⊥DE于点H,如图所示： 55/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B F 设EF=a, BD 2EF =2a, AD=DE AE =4, :AB=AD+BD=4+2a, :CE AB =4+2a, .CD=DF+CE=4+4+2a=8+2a, AD DE AE, ∴△ADE是等边三角形， :LADE=LAED=60°， ∴∠BDC=180°-∠ADE=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°， :∠AEC=∠BDC=120°， :CD是∠ACB的平分线， :ZACE ZBCD, 在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∠AEC=∠BDC=I20°， △ACE∽△BCD, AE CE SACE」 AE BD CD'S.BCD BD. 4-4+2a 2a8+2a 解得a=2√2，a=-22(不合题意，舍去)， .CE=4+2a=4+4V2,EF=a=2V2,BD=2a=4√2， SACE AE 421 = BD =气42-2 S.CD=2S.ACE :△ADE是等边三角形，AH⊥DE, HE=IDE=-x4=2, 2 在RtAAEH中，由勾股定理得AH=VAE2-HE2=V42-22=2√5， Sa-CE4H=4+45列x25=45+46, S,8cn=2ScE=24W5+4V6)=8V5+8V6, 56/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：△ACE的边AE上的高与△FCE的边EF上的高相同， :S4E=4E4 S.FCE EF2 540)-2645 2 SBDEF=S.BCD-S.FCE=813+86-(216+4V3)=616+43. 故答案为：6√6+4V5. 8.(2025四川广元·模拟预测)如图，点C是ABC与△DEC的公共顶点，且∠ACD=∠BCE,有下列3个 条件：①AC·CE=DC·BC;②AB·CD=DE·AC;③LCAB=∠CDE. (1)请在上述条件中选择一个条件来证明△ABC∽△DEC,并写出证明过程. (2)在(1)的结论下，若BE=3,CD=6,CE=5,求AD的长. 【答案】(1)选择①或③均正确，证明见解析 2)AD=18 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质。 (1)选择①，根据对应边成比例且夹角相等证明相似；选择③，根据对应两角相等证明相似： ②》先银据相似的性质得瓷8S.再南∠1C0=∠BCE,正男64DCLB5C,有0.CD、 BECE,再代入已 知的值计算，即可得AD的长 【详解】(1)解：选择①或③均正确. 选择①证明如下： :AC.CE=DC·BC, AC BC DC CE' :LACD=∠BCE, .ZACD+ZBCD ZBCE ZBCD 即∠ACB=∠DCE, ∴.△ABC∽△DEC; 选择③证明如下： :∠ACD=∠BCE, 57/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ACB=LDCE, 又：∠CAB=LCDE, .△ABC∽△DEC; (2)解：由(1)得△ABC∽△DEC, AC BC DC EC 又：∠ACD=∠BCE, △ADCn△BEC, AD CD BE CE 又：BE=3,CD=6,CE=5, AD 6 35 AD=18 命题预测2：特殊四边形与相似综合证明与计算【高频考点，解答题】 1.(2025四川绵阳.二模)如图，E,F分别是平行四边形ABCD的边AD,AB的中点，CE交DF于点G, 连接BG,过点D作DH∥BG交EC于点，则HC的值为C) D G A B. C.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行 线的性质，延长DF,CB,它们交于点M,延长DH,交BC于点M,利用平行四边形的性质和全等三角形 的判定与性质得到AD=BM，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论.熟练掌握平行线的性质 和相似三角形的判定与性质是解题的关键。 【详解】解：延长DF,CB,它们交于点M,延长DH,交BC于点M,如图， 58/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B M :四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC,AD∥CM, ∠ADF=∠M, :∠AFD=∠BFM, ∴△ADF≌△BMF(AAS), :AD BM, :BM=BC=AD, 设BM=BC=AD=a,则DE=二a,CM=2a, :AD∥CM, △DEGAMCG, 1 DG_DE=2"= GM-CM-2a-4 :DH∥BG, △MGB∽△MDN, GM BM 4 DG BN 5' BN DG 1 BM=MG' 1 .BN= 3 :CN=BC-BN= a, 4 AD∥CM, △DEH∽aNCH, 1 EH DE 2 02 HC CN 3 故选；B。 59/139 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025四川成都.一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，正方形ABCD的BC边在x轴上，AB=2,点 E(-2,O)且为BC的中点，直线AE交y轴于点F,正方形ABCD沿直线AF平移得到正方形A'B'CD',当正 方形4B'CD'与AEOF重叠部分的面积为aEOF面积的一半时，求EA的值 AA D C BE B 【答案】或5- 31 2 【分析】分两种情况讨论：①当点A在线段EF上时，②当点A在线段AE上时，结合正方形性质、全等三 角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质进行求解即可. 【详解】解：①当点A!在线段EF上时，如下图： D B \E ICO H A B'G 四边形ABCD是正方形，AB=2, .AB=BC=2,∠ABE=90°，∠ABE=90°， :点E(-2,0)且为BC的中点， :BE CE =1,OE=2, :OF⊥OE, :∠ABE=∠EOF=90°， ∴.ABOF, △ABE∽△FOE, ABBE FOOE 60/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即2 F02' 0F=4, 8am050f-x2x4=4, 2 由平移得，A'B'=AB=2,AB‖AB,∠ABE=∠A'B'G=90°， ∠B'A'F=∠BAE, 在△ABE和△A'B'G中， I∠BAE=∠BAF A'B'=AB ∠ABE=∠A'B'G ∴△ABE≌△AB'G(ASA, :B'G=BE =1, ABIy轴， .△A'B'G∽△FNG, 4'B'_FN=2, B'G NG 设GN=a,FN=2a,则A'M=B'N=a+1, :当正方形A'B'CD'与△EOF重叠部分的面积为△EOF面积的一半时， 即四边形A'GNM的面积=2， 5×2xa+a+1=2, 1 2, .a= 4M=a+1=,Fw=2+2a=3. :0M=4-3=1, 小 过点A作A'H⊥AB于点H, .BEll A'H, AB AE2 BH A'E 1' EA'1 A43 ②当点A在线段AE上时，如下图： 61/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Y D D B'GC 同理可得△ABE≌△A'B'G, :A'B'=AB=2,B'G=BE =1,AE=A'G, .C'G=1,AA'=EG, B'C‖x轴， △A'MEn△A'B'G, A'M A'B'2 ME-BGT 设ME=b,A'M=2b, NE =2-b,C'N B'M =2-2b, 依愿意得5aaa-NE+CGCW=2, 即号(2-b+102-2b)=2, b=2±V5, :C'N=B'M=2-2b>0, .b<1, b=2-5, 则A'M=4-2V5, B'M=2-4+2V5=2√5-2， B'C‖x轴 4E A'E A'M 4-233-1 AA'EG B'M 23-2 2 EA 1 或3-1 家上，M32 【点晴】本题考查的知识点是平移性质、正方形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、 一元二次方程的实际应用，解题关键是利用分类讨论思想求解， 3.(2025四川成都.二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=10,E,F是BC边上两点，且BE=3, 62/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CF=2,连接AF,DE,AF和DE交于点G,连接BG,则cos∠ABG的值是 D G B 【答案】7 17 【分析】作MN⊥BC交AD于点M,交BC于点N,作GP⊥AB交AB于点P,结合矩形的性质和判定推 得MN、△ADG∽△FEG,由相似三角形的性质、勾股定理解得NG、EG、BG,证明四边形PBNG是矩形 后可得BP,则cos∠ABG= BP BG 【详解】解：作MN⊥BC交AD于点M,交BC于点N,作GP⊥AB交AB于点P, M D B E F :矩形ABCD中，AB=CD=4,AD=BC=10, AD|BC,∠BAD=∠ABC=∠C=90°， ·四边形AMNB是矩形， MN=AB=4,GM⊥AM, BE=3,CF=2, :EF BC-BE-CF=5, .ADI BC, △ADG∽△FEG, DG MG AD 10 2 EG NG FE51' :NG=3 4 :RIACDE中，DE=VCD2+CE2=VCD2+(EF+CF2=V65, ·EG=65 3 :RtENG中，EN=VEG2-NG= 3 .REENG NG 3 :∠ABC=90°，GP⊥AB,MN⊥BC, 63/139 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形PBNG是矩形， BP=NG-3 :R1aBPG中，cos∠ABG=BP=4x3=7 BG3^4V17171 故答案为： 17 17 【点晴】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、余弦函数，解题 关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质】 4.(2025·四川成都.二模)已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M为BC上一点，连接AM交 BD于点N. D M 图1 图2 图3 (1)如图1，若AM⊥BC,求证：∠CAM=∠ABD; 2如图2，若AM=4C,ON=MN,求 DN的值， (3)如图3，保持图2中菱形ABCD的形状不变，移动M点，连接OM,过点O作OP⊥OM交CD于点P, 连接PM,若AB=√10，△OPM∽△ONA,求点M到BD的距离. 【答案】(1)见解析 写 B)9-7 8 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义等知识点，灵活 运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键。 (1)由菱形的性质可得AB=BCAC⊥BD,再根据等边对等角可得LACB=∠CAB;然后根据等角的余角相 等即可证明结论 (2)设AM=AC=2y,ON=MN=x,根据菱形的性质可得OA=OC=号AC=y,AD∥BC,OD=OB,则 AN=AM-MN=2y-x;在R1aOAW中运用勾股定理可得y=4x,即AN=x;设OD=OB=1,则 3 DN=1+x,BN=1-x,再证明BNMDNA可得DN=4N 元，进而得到DN=5x,然后代入计算即 64/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 (3)由(2)可得OC=y=。x、OD=t=4x,结合菱形的性质以及AB=V10运用勾股定理可得 OD=OB=3.0A=OC=1;如图：过M作MG⊥BD于G,过P作PH⊥BD于H,设MG=m<1,PH=p, 根据正切的定义可得0G=3-3m、OH=3-3p:再证明aP0H0a0MG可得，P=3-32=OP 3-3m m OM ,证明 6 AONMGN可得ON=3-3m,由a0PMna0NA可得0P-3-3,即，？=3-32=3-3m,然后解 1+m OM 1+m 3-3mm 1+m 方程组求得m的值即可。 【详解】(1)解：：菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O, .AB=BCAC⊥BD, ∴：∠ACB=∠CAB,∠BAC+∠ABD=90°， :AM⊥BC, ÷∠ACB+∠CAM=90°， :∠CAM=LABD (2)解：AM=AC,ON=MN, .设AM=AC=2y,ON=MN=x, :菱形ABCD, ÷OA=OC=AC=y,AD∥BC,OD=OB .AN AM -MN =2y-x, 在Rta0AN中，OA+ON2=AN2, +=(2y-x,解得：y= 3t, 5 AN=2y-x=3, 设OD=OB=t,则DN=t+x,BN=t-x, :AD∥BC, △BNMADNA, 5、 BN,即+x-3,解得：1=4x, DN AN -x t-x x .DN=0D+0N=5x, 5 x I :AN_3 DN5x-3 4 (3)解：由(2)可得：0C=y=3x,0D=t=4x, 65/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :菱形ABCD,AB=V10, ∴AC1BD,DC=AB=V10, 在RtaD0C中，OD2+OC2=DC2, f-o,解：x- 44×23-1, 00=0B=4x=4x}-30A=0C-等r=号* 4 如图：过M作MG⊥BD于G,过P作PH⊥BD于H,设MG=m<1,PH=p, D PC NG A B :AC⊥BD,MG⊥BD, tan∠OBC=MG-OC BG OB m 1 BG3,即BG=3m, .0G=3-3m, 同理：OH=3-3p; :MG⊥BD,OP⊥OM,PH⊥BD .∠MOG+∠OMG=90°，∠MOG+∠HOP=90°，∠MGO=∠PHO=90°， .∠HOP=∠0MG, .△POHn△OMG, 0GMG0W即3-3-3p0p PH OH OP 3-3m m OM :AC⊥BD,MG⊥BD, MG∥AC, .△HONAMGN, ON OA 、二=，即22m二0N=m’解得：OW=3二3 1+m :△OPM∽aONA, 3-3m :0P=ON,即0p-1+m_3-3m OM OA OM 1 1+m p_3-3p_3-3m 3-3mm1+m 66/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即、P=3-3m 3-3p_3-3m 3-3m1+m m 1+m 解，P3-3m可得：p= (3-3m)2 3-3m1+m 1+m 将p=3-3m代入3-32-3-3m 1+m m 1+m 整理得：4㎡2-9m+4=0,解得：m=9=7或9+7>1（不合题意舍弃， 8 8 :MG-9-7,即点M到BD的距离9-7 8 8 5.(2024四川成都模拟预测)如1，在正方形ABCD中，AB=4,P是边AD上的一点，连接CP,过点D 作DH⊥PC于点H,在边DC上有一点E,连接HE,过点H作HF⊥HE,交边BC于点F. B H EM 图1 图2 图3 (1)求证：DH·FH=EHCH; (2)如图2，连接EF,交线段PC于点G,当△FGC为等边三角形时，求DE的长； (3)如图3，设M是DC的中点，连接BM,分别交线段HF,EF于点K,N,当P是AD的中点时，在边 DC上是否存在点E,使得BK=KN?若存在，求此时DE的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 3)DE=-12+8V6 5 【分析】(1)根据正方形的性质可得∠HDC=∠HCP,证得SHDEHCF,可得DH=E弘，即可得证： CH FH (2)设DE=x,则CE=4-x,根据等边三角形的性质可得∠HCD=30°，即an∠HCD=5,由(1)可 3 知，aHDE∽△HCF,可得4-x=5V3x),即可求解： (3)连接HM,HN,由(1)可知，HDEMHCF,可得DE=D=am∠HCD=PD CE HC DC 根据正方形的 性质得DE、1 CF=2,设DE=a,则CF=2DE=2a,利用锐角三角函数可得∠MBC=∠PCD,从而可得 MK⊥HC,再根据直角三角形的性质可得HM=MC,由等腰三角形的性质和锐角三角函数值可得 67/139 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠HEF=∠HDC=∠BMC=∠HMN,即H,E,M,N四点共圆，证得△HMN∽aHDE,可得 MN HM=2 ,利用勾股定理求得PC-2N5,再利用锐角三角函数求得DH=5DC,MW=5 DE HD HD a 证明：F及，F,可容G,即EF=2N,再利用勾股定理对方程求解即可 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，∠BCD=90°，即∠HCF+∠HCD=90°， 又：DH⊥PC, ∠DHC=90°， ∴.∠HDC+∠HCD=90°， ∴.∠HDC=∠HCF, :HF⊥HE, ∠DHC=∠EHF=90°， ∴.∠DHE=∠CHF, △HDEAHCF, DHEH CH FH' .DH·FH=EHCH; (2)解：设DE=x,则CE=4-x, :△FGC是等边三角形， .∠FCG=60°， ∴∠HCD=30°， tan ZHCD= 3 由(1)可知，△HDE∽aHCF, FC HC 1 =√3， ED HD tan∠HCD “FC=V3x, 在等边三角形FGC中，∠EFC=60°， EC =tan∠EFC=V5, FC EC=3FC, “4-x=5(V3x, 解得x=1, :DE=1; (3)解：如图，连接HM,HN, 68/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(1)可知，△HDE∽△HCF, DE HD CF HC =tan∠HCD=PD C' :P是AD的中点，且在正方形ABCD中，AD=DC, PD 1 DC=2' DE 1 CF-2' 设DE=a,则CF=2DE=2a, :M是DC的中点， :tan ZCBM=2' 1 又：tan∠PCD=2' 1 ∴∠MBC=LPCD, LPCD+LBMC=∠MBC+∠BMC=90°，即MK⊥HC, :M是DC的中点，DH⊥PC, ÷.HM=MC, .∠HMN=∠BMC, DH EH CH FH tan∠HEF= HF HC DC=2, HE HD DP 又：tan∠BMC=2,tan ZHDC=tan ZDPC=2, .ZHEF Z HDC ZBMC ZHMN, “H,E,M,N四点共圆， ∠HED+∠HEN=∠HEN+∠HNM=I80°， .∠HED=∠HNM, .△HIMNAHDE, C 、MNHM=2 DE HD HD 在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC=√PD2+CD2=V22+42=25, :∠PDC=∠DHC=90°， DH CD =sin∠DCH=sin∠PcD=PD-.2=5 PC-255 69/139 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DH= -DC, 5 ·MN-HM=2 DC5,即MNa DE HDHD 2 :H,E,M,N四点共圆， ∴.同理可得∠NHE=LNMC=LNEH, .HN =NE 又：90°-∠NEH=90°-∠NHE,即∠NFH=LNHF, .NH NF :EF 2FN, :∠HEF=∠BMC, ∠HFE=∠MBC, 又：∠KNF=∠FNB, aNFK∽△NBF, KN NF NF NB 若BK=KN,则NB=2NK, KN_NF NB ，即21 NF, NF NB NF-NB NB=2NF, :EF=2NF(已证)， EF=√2NB,，即EF2=2NB2, EC=4-a,FC=2a, 在RtECF中，EF2=EC2+FC2=(4-a2+(2a2, 在Rt△BMC中，BM=VMC2+BC2=2V5, BN=BM-MN=25-5a , 由=28,44-g2a-a5-5j 整理，得5a2+24a-48=0, 解得a=-12+8 (舍去) 5 6,4=-2-86 存在点E,使得BK=KN,此时DE=-12+8V6 5 70/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EM 【点晴】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、直角 三角形的性质、解一元二次方程、等边三角形的性质、解直角三角形的计算，四点共园，熟练掌握相关知识 是解题的关键。 6,(2026四川南充·一模)如图，正方形ABCD的边长为a,点P是CD边（含端点）上一动点，连接BP交 AC于点M,将BM绕点B逆时针旋转9O°得到BN,连接AN、MN, 4 B (1)求∠BAN的度数； (2)求证：△AMN∽aCBP; (3)在点P运动过程中，( CWP能否成为等腰三角形若能，请求出此时胸值；若不能，请说明理电 【答案】(1)∠BAN=45° (2)证明见解析 3)能成为等腰三角形， 的值为2-2或2 PM N 2 2 【分析】(1)由旋转，易证△BMN是等腰直角三角形，进而证明△ABN≌aCBM(SAS)，,即可得到 LBAN=45°； (2)由(1)知∠BAN=45°，易得点A、N、B、M四点共圆，通过证明∠2=∠5、∠NAM=LBCP=90°， 即可得到结论； (3)在CMP中，∠MCP=45°，∠CMP=∠2+∠3>45°，故等腰三角形有以下两种可能：①当CP=CM 时，设CP=x0≤x≤a,则CM=x,由△CPM∽△4BM,得- V2a-x从而得出-C化=2- BM AM 再利用sin∠BNM=BM-5,即可得到PM.BM=2-V5,②当CM=PM时，则 MN 2 BM MN 2 ∠MPC=∠MCP=45°，CMP为等腰直角三角形，此时p与D重合，易求出PM=V2 MN 2 【详解】(1)解：由旋转得BN=BM,∠MBN=90°， 71/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△BMN是等腰直角三角形. :四边形ABCD是正方形， ·AB=BC,∠ABC=90°. ∠1+∠ABM=90°，∠2+∠ABM=90°， .∠1=∠2. 又AB=BC,BN=BM, AABN≌△CBM(SAS) ∠4=L3. ∠3=45°， ∠4=45°，即∠BAN=45° (2)解：由(1)知∠BAN=45°， ∠NAM=∠4+∠BAM=45°+45°=90°. ∠NAM=∠NBM=90°. 点A、N、B、M四点共圆 ∠5=∠1. 又由(1)知∠1=∠2， ∠2=∠5. :∠NAM=∠BCP=90°， ∴△AMNACBP. 不2 (3)解：能成为等腰三角形.理由如下： 在CMP中，∠MCP=45°，∠CMP=∠2+∠3>45°，故等腰三角形有以下两种可能： ①当CP=CM时，设CP=x(0≤x≤ad,则CM=x, :正方形ABCD的边长为a, ∴.AC=VAB2+BC2=V2a :AM =2a-x. CP∥AB, △CPM∽△ABM. 72/139 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 器%瑞 a 2a-x ..a=v2a-x. ∴x=(V2-la,即Cp=CM=(2-la :AM =2a-x=a, pw_Cy_5-e-5-1 BM AM :△BMN是等腰直角三角形， sin∠BMM=BM-1_V2 MN=2=2 9年兴2 BM MN MN 2 ②当CM=PM时，则∠MPC=∠MCP=45°，CMP为等腰直角三角形， t时p与D重合，PW-8D2,MBM-2ea 2 2 √2a PM 2 2 MN a 2 综上所述，当CMP为等腰三角形时， 的值为2-v2或 2 2 命题预测3：相似与折叠/旋转结合的线段求解【B卷填空/解答常考】 1.（2024四川南充三模)如图，在等腰ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=10,点P是ABC所在平面 内一点，连接AP,BP,CP,下列结论：①BC=√AB;②若点P为ABC的外心，则PA=I0;③若点P 为ABC的内心，则tan∠ABP= 5,④若点P在ABC内部，则AP+BP+V3CP的最小值为107，其中 6 正确的结论是 (填序号). A B 【答案】①②④ 【分析】如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D,构造30°角的直角三角形，利用三角函数即可判断①，由 点P为ABC的外心，可得出△APB为等边三角形，进而即可判断②，如图，过点P作PE⊥AB交AB于点 73/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E,PF⊥AP交AB于点F,构造30°角的直角三角形，利用三角函数和勾股定理即可判断③，如图，将 △ACP绕点C顺时针放置120°得到△A'CP',连接PP',利用线段之间的转换可得出当A'P',BP,PP'三条 线段共线时，AP+BP+√5CP有最小值，然后求出A'B的长即可判断④. 【详解】①如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D, B D :在等腰ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=10, ÷∠ABC=∠4CB=180°，120°=30， 2 AD=)AB=5x10=5,BD=CD=cos301B=5x10=55, 2 BC=2BD=2×5V3=10N3=√3AB,故①正确： ②如图， :点P为ABC的外心， ∠APB=2∠ACB=60°，PB=PA, ∴：△APB为等边三角形， PA=AB=10,故②正确： ③如图，过点P作PE⊥AB交AB于点E,PF⊥AP交AB于点F, E A B :点P为ABC的内心， :点P为∠BAC和∠ABC的角平分线的交点， 5∠BAP=X∠BAC=60°，∠ABP=∠ABC=x30°=15°， 2 2 ∴∠AFP=90°-60°=30°， 74/139 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠FPB=∠AFP-∠ABP=30°-15°=15°=∠ABP, :BF PF, 在R△PEF中，EF=EP tan30° =EP,FP=_EP sin30=2EP=BF, :EB EF+FB=3EP+2EP=(2+3EP, 在Rt△PEB中，tan∠ABP=EP- EP =2-5≠5 EB 2+3EP ，故③错误， ④如图，将△ACP绕点C顺时针放置120°得到△A'CP',连接PP',可得到aCPp'为顶角为120°的等腰三 角形，由①得到Pp'=√5CP, pr A A B AP+BP+3CP=A'P'+BP+PP', “如图，当AP,BP,PP'三条线段共线时，AP+BP+√5CP有最小值，过4点作A'H⊥BC交BC的延长线 于点H, A B ----- :∠ACB=30°，∠ACA'=∠PCP'=120°， ∠A'CH=180°-120°-30°=30°， AHC-AC=5.CH=C0s30.4C= 2 x10=55, BH=BC+CH=10V5+55=15V5, 4B=VBH+AH=V155+52=o0=10万， 即AP+BP+√5CP有最小值为10W万，故④正确， 综上所述：正确的结论是①②④， 故答案为：①②④， 【点晴】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的性质，勾股定理， 旋转的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键. 2.(2024-四川成都模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是边BC上的中线，将ABC沿 AD翻折得AB'D,连接BB',CB,BB'分别与AD相交于点O,与AC相交于点E,DB'与边AC相交于 75/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点F.若EF=4 CF13, 则tan ZACB=, B' T E B 【答案15以5 44 【分析】由轴对称的性质可证明OD是△CBB'的中位线，然后证明△CFB'∽△AFD,△CEB'∽△AEO,设 ,,6-,辰装相三角桂可列方限心。高，来对 ,从而得到D-9 85 y= 8 OD4,设4D=1,利用相似三角形及勾股定理求得AD=61,AB=35,最后根 据三角函数即可求的答案。 【详解】由翻折可知，AD垂直平分BB', LA0B=∠B0D=90°，OB=OB, ·O是BB'的中点， :AD是边BC上的中线， :D是BC的中点， :OD是△CBB'的中位线， DO-CB.OD CB'. △CFB'∽△AFD,△CEB'∽△AEO, .CB'CF CB'CE AD AF'AO AE 设EF=4a,CB'=2x,AE=y, CF-13 DO-ICB', :.CF=13a,CE=17a,OD=x, 2x=13a， A0+x y+4a 2x17a . ②， A0 y 由①得A0=2y-5ax 13a 由②得40=2y 17a 76/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2y_2y-5a 17a13a 解得y= 85 80, CB'CE 17a 8 CB'CF 13a 8 AO AE 85 P Q,AD AF 85 8a+4a9, AO 5 AD 9 AD 9 0D4 在△ABD和△BOD中，∠ABD=∠BOD=90°，∠ADB=∠BDO, .△ABD∽△BOD, BD AD OD BD .BD2=AD.OD, 设AD=91,则0D=41,BD2=9t.4t=362, BD=61, .AB=VAD2-BD2=V(91)2-(6)2=3V5t, ·D是BC的中点， BC=2BD=121, ∴.tan∠ACB= AB 35t5 BC 12t 4 故答案为： 5 【点晴】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关 知识是解题的关键 3.(2024四川成都.二模)【实践探究】 B 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC,E是AB边上一动点，连接CE,将CE绕着点C 逆时针旋转90°至CF,连接EF交BC边于点G,连接FB,证明：AE=BF· (2)如图2，在(1)的条件下，连接AF交BC于点O,当E在AB的中点时，求tanZAFE的值. 7/139 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】 (3)如图3，ABC是等边三角形，E是AB边上一动点，连接CE,将CE绕着点C逆时针旋转60°至CF, 连接EF交BC边于点G,连接AF交BC于点O,连接FB,当E在AB的中点时，求tanZAFE的值 【答案】(1见解折：(2)an∠MFE=:(⑧)an∠aFE=9 【分析】(1)根据旋转和等腰直角三角形性质得到，EC=FC,AC=BC, LACE+LBCE=LBCF+LBCE=90°，得到LACE=∠BCF,，得到△ACE≌△BCF(SAS),即得AE=BF; (2)设BC=2,证明四边形CEBF是正方形，得到BC⊥EF,BC=EF，∴GC=I,证明△AOB∽△FOC, 得到g2-2,得到Q0子符到0G=月将到am4E- CO CF (3)设BC=2,根据旋转和等边三角形性质证明△ACE≌△BCF(SAS),当E在AB的中点时，证明 ∠BCF=∠ACE=30°，∠CFB=∠CEA=90°，BF=AE=1,得到∠ACF=90°，得到AC∥BF,得到 △A0Cn△FOB,得到CO=4C=2,C0=2B0,得到B0=名，根据BC垂直平分EF,得到∠BGF=90 BO BF 3 :根据∠BPG=30,则特到G-分得到0-石FG=,得到aAFE-5 2 9 【详解】证明(1)由旋转知，∠ECF=90°，EC=FC, :∠ACB=90°，AC=BC, .ZACE ZBCE ZBCF ZBCE =90, ∠ACE=LBCF, ∴△ACE≌△BCF(SAS, :AE=BF; (2)设BC=2, :∠ACB=90°，AC=BC, .∠ABC=∠BAC=45°， :△ACE≌△BCF, ∠FBC=LBAC=45°， .∠ABF=∠ABC+∠FBC=90°， 当E在AB的中点时，CE⊥AB, .LCEB=90°，∠ACE=∠BCE=45°， ∠BCF=LBCE=45°， .∴∠CEB=∠ECF=∠EBF=90°， :四边形CEBF是矩形， .EC=FC, 78/139 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.矩形CEBF是正方形， ∴BC⊥EF,BC=EF=2, ..GC=GF=1, CF∥AB, .△A0B∽△FOC, B0-AB=2, CO CF .B0=2C0, BC=B0+C0=3C0, 5c0=1Bc-2 31 3 0G=CG-C0=3 1 tan∠AFE=OC= FG-3 (3):ABC是等边三角形， AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， 设等边三角形ABC的边长为2， 由旋转知，∠ECF=60°，EC=FC, ·△EFC是等边三角形， ∠CFE=60°， :∠ACE+LBCE=∠BCF+LBCE=60°， .∠ACE=LBCF, .aACE≌aBCF(SAS), .AE=BF,LACE=LBCF,LCBF=∠CAE=60°， 当E在AB的中点时，E=E=4B=1,乙ACE=∠BcE-4CB=30,CE14B, .∠CEA=∠CEB=90°， ∴∠BCF=∠ACE=30°，LCFB=∠CEA=90°，BF=AE=1, .∠ACF=∠ACB+∠BCF=90°， AC∥BF, :△A0Cn△F0B, CO AC BO BF -2, C0=2B0, BC=B0+C0=3B0, 79/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷B0=,BC=2 3 , BE BF, BC垂直平分EF, ∠BGF=90°， :∠BFG=∠CFB-∠CFE=30°， BG=IBF= 21 2 ·OG=B0-BG= 6'FG=5BG= 2 tan∠AFE=Oc-V5 FG9 【点晴】本题主要考查了旋转，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等 三角形的判定和性质，线段垂直平行线的判定和性质，含30°的三角形的性质，矩形、正方形的判定和性质， 正切定义，是解决问题的关键. 4.(2024四川成都.一模)在菱形ABCD中，BC=5,BD=8,动点M在射线BD上运动. D D M B 图1) 图(2) 备用图 (1)如图1，将点A绕着点M顺时针旋转90°，得到对应点A连接MC,AA'.求证：AA=√2MC; (2)如图2，在(1)条件下，若射线MA'经过CD边中点E,求BM的值； (3)连接AM,将线段AM绕着点M逆时针旋转一个固定角a,Lα=∠BCD,点A落在点F处，射线MF交 射线BC于点G,若△BMG是等腰三角形，求BG的值. 【答案】(1)见解析 (2)10-v22 2 罗等 【分析】(1)根据菱形的性质可证△ABM≌△CBM,易知AM=CM,由旋转可知∠AMA'=90°， AM=AM(,结合勾股定理即可证明结论： (2)连接AC,交BD于点0，作EF⊥BD于点F,结合菱形的性质易得OD=OB=BD=4, 80/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0A=0C=3,EF∥0C,可知 82=1,得0F=DF-0D=2,F为△C0D的中位线，则 EF=0C=·设0M=,则wP=0M+0F=+2,再证△40M△MFE,海-2兴，据此列方程求解 1 3 即可； (3)分三种情况：(I)当点M在BD上，且BG=MG时，(IⅡ)当BM=BG时，作MH⊥BG于点H,(I) 当点M在BD的延长线上时，分别讨论求解即可. 【详解】(1)证明：在菱形ABCD中， AB=CB,∠ABM=∠CBM, BM BM ∴△ABM≌ACBM(SAS), :AM =CM, 由旋转可知∠AMA'=90°，AM=AM, .A4'=AM+A'M2=AM=2MC: (2)解：如图， A D M E 连接AC,交BD于点O,作EF⊥BD于点F, :四边形ABCD是菱形，E是CD的中点， AC⊥BD,OD=OB=BD=4,CD=BC=5,∠CBD=∠ABD,DE=CE,EF∥OC, .04-0C-BC-08-3 OF-CE DF DE =1, :0F=0F-00=2,F为△C0D的中位线，则EF-号0C-: 设0M=x,则MF=0M+0F=x+2, ∠A0M=∠EFM=90°， ,∠EMF+∠MEF=90°， :∠AME=90°， ∠AMO+∠EAF=90°， .∠AOM=∠MEF, △AOM∽△MFE, 81/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OA OM MF=EF' 3 :x+23, 2 5=2+22 =2-22 (舍去)， 2 2 :0M=-2+22 8M=0B-0M=4-2+22_10-V22 2 2 (3)(I)当点M在BD上，且BG=MG时，如图， D M LAMG=LBCD,∠BCD+∠ABC=180°， B GHC ∠AMG+∠ABC=180°， :∠BAM+∠BGM=180° ∠MGC=∠BAM=∠BCM, :GM =CM, 设BG=MG=CM=a, 作MH⊥BC于H,作AN⊥BC于点N,由(2)可知，AC=6, 由S西形HCD=BC·AN=)BD·AC得， BD·AC AN=2 6×824, 2 BC 5 w=a-a-5-- sin∠MGH=sin∠ABC=4N_24, AB25,cos∠ABN= 25 MH=CM:sin∠MGH=a:sin∠ABC=24a 250, 7 CH=GH=a·cos LABC= 250, .BH=BC-CH=5 7 250, 82/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 coS∠BCD= 5, MH 3 ∴.tan∠BCD= 24 359 .3 5-250 125 ,∴.a= 39, ·BG=125 39 (Ⅱ)当BM=BG时，作MH⊥BG于点H,如图， M A B H 由上知：CM=AM=MG, :GH=CH, 设CH=GH=x, :BM BG=BC+CH +GH=5+2x,BH=5+x, w4c0-部- 5+x4 5+2x5, x=3 BG=5+2x=2 · 此时BM=BG=25>BD 3 所以点M在BD的延长线上. ()当点M在BD的延长线上时， CM=AM=MG, .∠MGC=∠MCG>∠MBG, ∴MB≠MG, 综上所述：8G罗等 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，旋转变换，等腰三角形的性质，解直角三角形，解 83/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考常考题型 5.(23-24八年级上四川成都期中)从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做 以下探究学习. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段BC绕点C顺时针旋转a(0°<a<180°)得到线段DC, 取AD中点H,直线CH与直线BD交于点E,连接AE. B 图1 图2 备用图 (1)【感知特殊】 如图1，当α=30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当0°<Q<90°时，试探究线段EA,EC,EB之间的数量关系并证明； ②当90°<&<180°时，直接写出线段EA,EC,EB之间的数量关系， 3)【应用迁移】 己知AC=√，在线段DC的旋转过程中，当AE=3时，求线段EC的长. 【答案】(1)见解析 2OCE=(dE+BB证明见解析：②AE=2CE+BE,证明见解新 2 3)22或√2 【分析】(1)主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用LCD=120°就可以确定 LADC=30°，再由等腰三角形BCD,求出∠BDC=75°，进而求出∠ADE=45°，最后利用EC是线段AC的 垂直平分线，可以证明△AED为等腰直角三角形 (2)同(1)作辅助线求解，可以求出EA,EC，EB之间的数量关系， (3)解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想，AC=√5，AE=3,就足够说明ABC和△AED 都是确定的，然后利用勾股定理求CH长和特殊角45°求EH长，1：1：√2的关系非常重要，就可以快速求出 线段边长。 【详解】(1)证明：由旋转的性质可知，AC=AD=CB; :∠ACD=120°： .∠CAD=∠CDA=30°： :∠BCD=30°： 84/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CDB=(180°-30)÷2=75°： ∠ADE=75°-30°=45°； AH =DH ÷CH⊥AD ∴CE是AD的垂直平分线： :AE =DE: “△AED为等腰直角三角形， (2)①如下图，当0°<a<90°时，设LBCD=a; CB=DC; ∠BDC=(180-a)÷2=90-a :∠ACD=90°+a; ∠CDA=(90°+a)÷2=45°+a; ∠BDC+∠CDA=135°； .∠CED=45°； 由第一问可以知道，△AED为等腰直角三角形； .AE ED 直接过点C作DE的垂线，垂足为M; ∴.△CEM为等腰直角三角形 BD=AE -BE,BM MD .EM=EB+(AE-BE)=EB+AE 2 ECEMEB+AF) 2 即，EC=2EB+AE B ②如下图所示，同理由第1问可以证明，△AED依然是等腰直角三角形性； 85/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当90°<a<180°时，设LBCD=a; CB=DC LBDC=180-a)÷2=90°- 29 :∠ACD=360-(90°+a)=270°-a; ÷∠ADc=180°-(270°-_g-45°， 2 2 ∠BDC+∠ADC=45°； ∴∠CED=45°， 直接过点C作DE的垂线，垂足为M; :MB=MD: :AE ED: .EM=AE-- 4+8)-4E-E: 1 在等腰直角三角形CME中； CE-EMAEBE 2 2 即，AE=V2CE+BE B H (3)解：如下图，当0°<a<90°时； 在等腰直角三角形CME中，AE=ED=3; AD=3√2： AH =HD; H=3 - 2 :AC=V10; 在RtAACH中，由勾股定理得； AH2+CH2=AC2: ·CH= 2 2 86/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EH AH= 3V2 2； CE=3 2+CH=322 =22: 2 22 B 第二种情况，如下图，当90°<a<180°时； 同理，可求，AH= 3v2 2 :AC=10: 在RtA ACH中，由勾股定理得： AH2+CH2=AC2; cH- 2 EH AH=32 2 CE=3 -cH-35.5-2: 2 22 CE=2; B D 【点晴】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股 定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证 明出45°角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和45°角解直角三角形是重点，特别是 在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建 立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键. 6.(2024四川成都.一模)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,AC平分∠BAD,点E为BC边 上一动点，连接AE,将△ABE沿AE翻折，点B对应点为B,AD=26. 87/139 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B' 'B D A (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)若∠BAD=150°，点F为CD边上一点，且DF=AF,求BF的最小值. (3)若∠BAD=I35°，将△AEB'沿AB折叠，点E对应点为E,当AE'与菱形的边垂直时，求EE'的长， 【答案】(1)见解析 (2)26-2√2 (3)2V6-2√2或6√2-2√6， 【分析】(1)先证明四边形ABCD是平行四边形，再运用等腰三角形的判定得到AB=BC即可证明结论： (2)先说明点F在线段AD的中垂线上，如图1，过F作FH⊥AD于H,则AD=2AH=2DH=2√6，进 而说明LFAD=∠CDA=30°，然后解直角三角形可得FA=2√2；再发现B在以A圆心，2√6为半径的弧 BD上运动，然后结合图形即可解答； (3)分AE⊥BC和E,H⊥AB两种情况，分别运用轴对称的性质、解直角三角形等知识解答即可. 【详解】(1)解：“AB=CD,AD=BC, :四边形ABCD是平行四边形， .BC∥AD, .LDAC=∠ACB, :AC平分∠BAD, ∠DAC=∠CAB, .∠BAC=∠ACB, :AB BC, :四边形ABCD是菱形 (2)解：：DF=AF, 点F在线段AD的中垂线上， 如图1，过F作FH⊥AD于H,则AD=2AH=2DH=2√6， :∠BAD=150°， 在菱形ABCD中，∠ADC=180°-∠BAD=30°， ∠FAD=∠CDA=30°， 88/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FA=-AH VG 在Rt△AHF中， Cos ZDAF3 =22 2 :将△ABE沿AE翻折得到△AB'E, ·△ABE≌△ABE, AB'=AB=26, ∴B在以A圆心，2√6为半径的弧BD上运动， 如图：延长AF交BD于B,则B"F=AB”-AF=2V6-2√2， B' E B D H A BF的最小值为B"F=2V6-2√2. (3)解：①如图2：当AE1⊥BC时， :∠B=180°-∠BAD=45°， ∠BAE=45°， ÷∠BAE=∠BAE=∠BAE=∠BAE=150, 力 E C B E- D 如图3：∠A=90°，∠ACB=30°，AB=a,AC=V3a,CD=BC=2a, :∠D=∠BAC=15°， .tanl5°=tanD= AB a=2-3 AD（2+V3a 89/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C A 如图2：过E作E,H⊥AB于H, 设EB=,则BH=EH=BE,sin45°= 2x, 2 tan∠BA6,=tan15°=2-V5=Hg=2X AH 26-2,解得：x=25-2, 2 :∠AB'E=∠ABE=∠B=45°， ∠EB'E'=2×45°=90°， EE'=V2B,E,=V2x=2V6-2V2; ②如图2：当AE;⊥AB时，即∠BAE)=90 ÷∠BAC=∠BAE=∠BAE=有BAC=30, 如图2：AB与BC相交于点E2 ∠E2AE2'=60°， △E,AE2'是等边三角形， ·E2E2'=AE2, 如图2：过E,作E,G⊥AB于G,设E,G=BG=t 5E,G=AG-tam∠B,AB=5 G,即AG=√31， 3 AG+BG=AB=26, √51+t=2√6，解得：t=3√2-√6， AE1=2E,G=2t=6V2-2V6, E,E,'=AE,=6V2-2V6 综上，EE'的长为2√6-2√2或6√2-2√6. 【点晴】本题主要考查了菱形的判定、解直角三角形、圆的基本性质、垂直平分线的判定与性质等知识点， 正确作出辅助线成为解题的关键。 7.(2024四川成都.一模)如图，ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC,点D是射线AB上的动点，点E是边 AC上的动点，连接DE,将ADE沿DE翻折到ABC所在平面得FDE,点F恰好落在直线DC上. 90/139 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C E M B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点F与点C重合时，若BC=4,求AE长； (2)如图2，当∠FEA=90°时，求tan∠CDB的值； B如图3，设直线DE与直线BC交于点M,当E最小时，求M的值. AE 、DM 【答案】(1)25 a好 号 【分析】(1)折叠得到DE垂直平分AC,勾股定理求出AC的长，根据折叠的性质求出AE的长即可： (2)过点F作FG⊥AD,交AC于点H,根据折叠的性质，得到LA=∠EFC,AE=EF,结合已知条件 推出AE=2CE,AG=2GH,根据三角形的外角的性质，得到∠A=∠HFE,进而得到CE=EH=AH,设 GH=x,证明△AGH∽△ABC,△DBCP△DGF,分别求出BC,BD的长，再用正切的定义，求解即可； (3)过点E作EK1EF,根据折叠的性质，得到EF=2EK,根据垂线段最短，得到CE≥KE EF≥EF 进而得到 CE⊥EF时，CE最小，过点E作EN⊥BC,证明△CEN∽△CAB,利用(2)中的结论求出EN,BD的长， AE 再证明aENM∽△DBM,列出比例式进行求解即可 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，AB=2BC,BC=4, .AB=2BC=8, :AC=V42+82=4V5, 由折叠可知：DE垂直平分AF, 又F点与C点重合， 640=2w5, (2)解：：∠ABC=90°，AB=2BC, an4=分 由折叠的性质可知：AE=EF,∠A=∠EFC, :EF⊥CE, 91/139 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :tan∠EFC=tanA= CE CE 1 EF AE2 过点F作FG⊥AD,交AC于点H, 则∠AGH=∠FEH=90°， :∠GHE=∠A+∠AGH=LEFH+LFEH, E H G ∠A=∠EFH, ·LEFH=∠EFC, ∠EFH=∠EFC 在△EFH和△EFC中， EF=EF ∠FEH=∠FEC=90° :△EFH≌△EFC, :.CE=EH,CF=HF 1 EH=EF-AE 1 AH=HE=CE=三AC, 3 tanA=GH 1 AGZ' :设GH=x,则AG=2x, AH=AG2+HG2=5x, AH=HE=CE=V5x, EF=25x, CF=HF=CE2+EF2=5x, :FG=6x, :∠AGH=∠ABC=90°， HGBC, ·△AGH∽△ABC, GH AH 1 BC AC3' BC=3GH=3x, .HG BC, 92/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △DBC∽△DGF, DC BC 3x 1 DF FG6x2 CD-1DF-CF=5x. 2 :∠CBD=90°， :BD=CD2-BC2=4x, tan CDB= BC 3 (3)过点E作EK⊥EF, F CK E M A B D 根据折叠的性质可知：∠A=∠CFE,AE=EF, tanA=tan∠CFE=EK F CE 2 EK 由(2)可知，当CE⊥EF时， CE 1 此时是最小， 如下图所示，过点E作EN⊥BC，,则EN‖AD, C △CNE∽△CBA, E M CE_EN AC AB CE 1 CE EN 1 AC AB3' 93/139 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EN=AB, AB=2BC, :.EN-2BC. 3 当CE1EF时，由(2)可知：an∠CDB=8C-3, BD 4' 片DB=4BC, 3 EN‖AD, :△ENM∽△DBM, 2 EM、EN BC 1 DM DB BC 2 3 【点晴】本题考查三角形中的动点问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质， 综合性强，难度大，属于压轴题，掌握相关性质，构造相似三角形，理清线段之间的数量关系，利用设参 法表示线段的长，是解题的关键 命题预测4：相似背景下的面积比、线段比计算【两年必考】 1.(2026四川绵阳一模)如图，在平面直角坐标系中，ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形， 若点A(1,1)的对应点为A'(3,3,当BC=1时，则线段B'C'的长度是() B 0 A.4 B.3 C.2 D.4W2 【答案】B 【分析】根据题意可得ABC与△A'B'C'的相似比，即可得线段B'C'的长度 【详解】解：：ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A1,1)的对应点为A'(3,3), 94/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABC与aA'B'C'的相似比为1：3， :BC=1, :.线段B'C的长度是3 2.(2025四川成都.一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC与△DEF关于点O位似，若A(2,3), pl引4c-3,则F为) E 3 A. B.3 C.4 D.6 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出AO,D0的长， 进而得出 A0 AC DO DF =2,求出DF的长即可. 【解】解2引0-引 A0 =2, DO :ABC与△DEF位似，原点O是位似中心， A0_AC=2, DO DF AC=3, :DF=2 3 故选：A. 3.(2025四川凉山模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，己知ABC的顶点分别为 A(1,1),B2,4),C(5,3.以原点O为位似中心，在第一象限内对ABC进行位似变换，得到△A'B'C',使得 点A的对应点A的坐标为2,2).则下列说法正确的是() 95/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 4 3 2 A -2-10123456 -2 A.新图形与原图形的相似比为1：2 B.点B的对应点B的坐标为4,16) C.点C的对应点C的坐标为10,6) D.位似变换后，三角形的形状发生改变 【答案】c 【分析】本题主要考查了位似图形的性质.根据位似图形的性质，逐项判断，即可求解. 【详解】解：：点A的对应点的坐标为2,2)， 新图形与原图形的相似比为2：1，故A选项错误，不符合题意； 点B(2,4), “点B的对应点B的坐标为(2×2,4×2)，即(4,8)，故B选项错误，不符合题意； C5,3, 点C的对应点C的坐标为5×2,3×2)，即(10,6，故C选项正确，符合题意； 位似变换后，三角形的形状不改变，故D选项错误，不符合题意： 故选：C 4.(2023四川成都.二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，矩形0ABC与矩形0A'B'C'位似，位似中心是 原点0，若点B(2,1,B'(4,2),则矩形0ABC与矩形0A'B'C'的面积比为() B A.1:4 B.1:2 C.1:9 D.1:3 【答案】A 【分析】根据位似比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可， 96/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：：矩形0ABC与矩形0A'B'C'位似，位似中心是原点0，而点B(2,1,B'(4,2), .0B=V22+1=V5,0B=V42+22=25, .它们的相似比为0B:0B'=1:2, ∴.矩形0ABC与矩形0AB'C'的面积比为1：4. 故选：A. 【点晴】本题考查位似图形，相似多边形的性质.熟练掌握位似比等于相似比，是解题的关键。 5.(2024四川达州模拟预测)[问题背景]在ABC中，AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范 围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE, 把AB,AC,2AD集中在△ABE中. B *D 图1 图2 图3 (1)利用上述方法求出AD的取值范围是 (2[探究]如图2，在ABC中，CE为AB边上的中线，点D在CB的延长线上，且BC=2BD,AD与CE相 交于点O,若四边形0DBE的面积为20，求ABC的面积； (3[拓展]如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上 的点，若AG=4,DF=22,∠GEF=90°，求GF的长 【答案】(1)2<AD<6 (2)50 (3)2V10 【分析】(1)证明aDAC≌△DEB得AC=EB,再根据三角形三边关系求得AE的取值范围，进而完成解答； (2)连接OB,过点A作AT∥CD交CO的延长线于点T,证明△AET≌△BEC(AAS)得出AT=BC,证出 6-化-设ABC的面积为x,由四边形面积列出方程求解即可 (3)延长GE至点M,使得EM=EG,连接MD,MF,过点M作MN⊥CD,交CD的延长线于点N,证 明△AEG≌△DEM,得到LEDM=LEAG=105°，MD=AG=4,求出∠MDF=135°，则∠MDN=45°，继而证 明△MDN为等腰直角三角形，得到MN=DN=2√2，则NF=4√2，利用勾股定理求出MF=2√10，同理 可得GF=2V10 【详解】(1)解：根据题意：延长AD到点E,使DE=AD,再连接BE, AD=AE, 2 97/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD是BC边上的中线， .CD=BD, 在△DAC和△DEB中，AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD, .△DAC≌△DEB(SAS), .AC=EB=4, AB-BE AE AB B E,AB =8, .4<AE<12, .2<AD<6, 故答案为：2<AD<6. (2)解：如图：连接OB.过点A作AT∥CD交CO的延长线于点T. T B ∠T=∠ECB,∠EBC=∠EAT, :CE为AB边上的中线， .AE BE, :.△AET≌ABEC(AAS), :AT=BC, CB=2BD, CD:AT=3:2, :AT∥CD, .OD CD 3 “A0AT2' 设ABC的面积为x, BC=2BD, 六AADB的面积为2， 1 0D:0A=3:2, 六A0BD的面积为，，A0B的面积为亏， 10 AE EB, :△A0E的面积=△B0E的面积=x, 10 :四边形0D8E的面积=&0DB的面积+aOBE的面积=3： 1 -x+ x=20, 1010 98/139 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .x=50 :ABC的面积为50. (3)解：如图，延长GE至点M,使得EM=EG,连接MD,MF,过点M作MN⊥CD,交CD的延长线 于点N, :E为AD中点， :EA=ED, 在△AEG和△DEM中，AE=DE,∠AEG=∠DEM,EG=EM :.△AEG≌ADEM(SAS), ∴∠EDM=∠EAG=105°，MD=AG=4, :∠EDF=120°， .∠MDF=135°， M B ∠MDN=45°， ∴△MDN为等腰直角三角形， MN DN = 之DM=2√2J ∴.NF=ND+FD=2√2+22=4V2, ·MF=√WF2+MN2=√32+8=210， .GE=EM,∠GEF=90°， ∴EF垂直平分GH, ·.MF=GF, GF=2W10. 【点晴】本题主要考查了三角形三边的关系、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定 理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键。 命题预测5：动点中的相似【压轴必考】 99/139 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2022四川德阳·二模)如图，在矩形ABDC中，AC=4cm,AB=3cm,点E以0.5cm/s的速度从点B到点 C,同时点F以O.4cm/s的速度从点D到点B,当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点， 且CP=1,且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为() A B E C P D A.25 B.5 c.7 D.V34 【答案】A 【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB,PB.首先用1表示出点Q的坐标，发现点Q 在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB2PB,可得结论 【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB,PB. 0 1V=2 H :四边形ABDC是矩形， ..AC=BD=4cm,AB=CD=3cm, C(-3,0),B(0,4), :∠CDB=90°， BC=VCD2+CB2=V32+42=5(cm), EHCD, ∴△BEH△BCD, BE EH BH BC CDBD .0.51_EH_BH 534 EH=0.3t,BH=0.4t, E(-0.3t,4-0.4t), 100/139函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07 三角形（四边形与相似有关压轴问题 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 题型一相似三角形的判定与性质综合应用 题型二三角形与特殊四边形结合的相似证明 真题动向 题型三相似与几何变换综合 题型四相似与动点、存在性问题结合 题型五相似与解直角三角形、勾股定理融合 知识1相似三角形判定定理(AA、SAS、SSS)与核心性质 知识2相似三角形对应边成比例、对应角相等，面积比=相似比平方 知识3A字型、8字型、母子型、射影定理等高频相似模型 知识4平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与相似结合点 必备知识 知识5几何变换（折叠、旋转、平移）中的角度与线段不变性 知识6勾股定理、特殊角三角函数与相似的综合计算 知识7动点问题中的分类讨论（按角/边对应关系分类） 知识8线段比值、面积比值、等积变换与相似的转化 知识9坐标系中相似三角形的坐标法判定与计算 预测1相似三角形判定与性质应用【每年必考，压轴核心】 预测2特殊四边形与相似综合证明与计算【高频考点，解答题】 预测3相似与折叠/旋转结合的线段求解【B卷填空/解答常考】 命题预测 预测4相似背景下的面积比、线段比计算【两年必考】 预测5动点中的相似【压轴必考】 预测7相似与解直角三角形结合计算【高频考点，解答题】 01 析·考情目标 命题形式： 命题 B卷解答题压轴、A卷几何综合解答题 透视 考察能力： 逻辑推理能力、图形转化能力、相似模型应用能力、运算求解能力、分类讨论思想 1/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点 2025年 2024年 T17:圆背景下三角形相似证明与T17:圆背景下三角形相似证明与边 三角形相似的判定与性 线段计算 长计算 质 T25:平行四边形+折叠，三角形 T26:三角形旋转全等，相似三角形 相似推理与计算 判定与性质应用 T8:平行四边形+角平分线，相似三 T25:平行四边形为载体，结合折角形性质应用 四边形与相似综合 叠对称，相似三角形综合探究 T26:旋转背景下三角形与四边形关 热考 联，相似模型应用 图形变换（折叠/旋转） T25:点关于直线折叠，利用对称T26:三角形绕顶点旅转，结合旋转 角度 与相似 性质构造相似三角形 不变性构造相似三角形 T25:利用相似三角形对应边成比 T26:旋转探究线段比值，相似结合 相似与线段比值/长度计 例，求线段长度与比值 算 勾股定理计算边长 T17:相似结合勾股定理求直径、 T17:相似对应边成比例求线段长 线段长 T25：分层探究，相似结合平行四 T26:旋转过程中直角三角形存在性， 相似与存在性/定值探究 边形性质求定值 相似分类讨论 T17:以圆为背景，直径、圆周角、T17:圆中直径所对圆周角，构造相 圆与三角形相似综合 切线构造相似三角形 似三角形综合计算 1.考情预测 根据2024-2025年成都中考命题趋势，2026年该专题为几何压轴核心考点，以B卷解答题 压轴考查为主，常以三角形四边形+旋转/折叠+圆为载体，核心考查相似三角形的判定与 性质；命题结构延续“证明相似一利用相似求线段长/比值一存在性/定值探究”的分层设 问，图形变换（折叠、旋转）是构造相似的核心手段，圆与特殊四边形为高频背景，侧重 命题 考查模型识别与几何转化能力。 预测 2.备考建议 。熟练掌握三角形相似的判定定理(AA、SAS、SSS),牢记相似三角形对应边成比例、对应 角相等的性质；识别并运用A字、8字、母子型、旋转型等常见相似模型；掌握折叠、旋 转的图形不变性，能快速构造相似三角形；规范书写相似证明的推理步骤，结合勾股定理 方程思想求解线段长度；强化分类讨论思想，应对存在性探究类压轴设问，提升复杂图形 中拆解相似模型的能力。 02 筑·专题框架 2/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 相似三角形判定。 AA、SAS、SSS 一、 核心基础O 对应边成比例、对应角相等 相似三角形性质。 周长、面积比规律 A字型、8字型 二、常见图形模型O 母子相似、射影定理 线三等角模型 三角形中动点相似 三、结合图形O 平行四边形/矩形菱形中相似 梯形中的比例与相似 动点存在性问题 线段比例与求值 四、压轴考点○ 面积比值计算 最值与范围问题 分类讨论 构造平行线 五、 解题方法○ 设未知数列比例方程 数形结合转化 03 攻·重难考点 题 动 ◆题型一相似三角形的判定与性质综合应用 皮方法 1.优先找等角：公共角、对顶角、平行线同位角/内错角，用两角相等判定相似。 2.利用对应边成比例求线段长，面积比等于相似比的平方。 3. 无明确对应关系时，分类讨论不同边角对应情况。 1.(2024四川成都.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是ABC的一条角平分线，E为AD 中点，连接BE,若BE=BC,CD=2,则BD= E B 2.(2024四川成都中考真题)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶 点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中， 3/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°. 【初步感知】 ①如图1，接BD,CE,纸片ADE绕点A旋转过程中，武深究的凰 【深入探究】 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交 AC于点F,求CF的长. 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有 直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由. E D R 图1 图2 图3 ◆题型二三角形与特殊四边形结合的相似证明 点方法 1.借助平行四边形、梯形的对边平行，快速得到等角，构造相似三角形。 2.用矩形、菱形的直角、等边特性，结合垂直、相等关系推导比例。 3.利用四边形对角线转化线段比例，完成相似证明。 3.(2025四川成都.中考真题)如图，在ABC中，AB=AC,点D在AC边上，AD=3,CD=2, ∠CBD=45°，则tan ZACB的值为 ;点E在BC的延长线上，连接DE,若LCED=LABD,则CE的 长为 4.(2025·四川广元中考真题)综合与实践 4/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)【初步感知】如图①，ABC和ADE中，∠C=90°，AE·AB=AD·AC,∠CAD=∠EAB,求∠E的 度数； ■ B 图① (2)【深入探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是线段BC上一点，连接AE,过点A 在E上方作FA1EA,使S=SEc,连接DF,请证明△ABE∽△AFD,并直接写出点F到BC的 距离的最大值： D B E 图② (3)【学以致用】如图③，梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=AB=8,BC=16,点E是线段AB 的中点，点F是线段BC上一点，连接EF,过点E在EF上方作GE1FE,使Sa=Sn,当 8 △ADG的面积最小时，求EG的长. D F B 图③ 5.(2025四川资阳中考真题)在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点. 图1 图2 图3 5/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE,作0F⊥OE交CD于点F,求证：OE=OF: 2如图2，四边形A8CD是平行西边形，4B14C,4B=5,am∠4C8分E:BC=1:2,连接B,作 EF⊥AE交CD于点F,连接OF,求OE的值： CF (3)如图3，四边形ABCD是菱形，LB=60°，BC=6,连接DE交AC于点G,F是边AB上的一点， LEDF=30°，若AF=}AB,求0G的长」 3 ◆题型三相似与几何变换综合 点方法 1.平移、旋转、折叠前后图形全等，可得到相等边角，为相似创造条件。 2.旋转常出现共角三角形，易构成“子母型”相似。 3.轴对称（折叠）带来垂直与相等线段，结合比例证相似。 6.(2024四川德阳中考真题)一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm)的正方形 纸片ABCD,他在边AB和AD上分别取点E和点M,使AE=BE,AM=I,又在线段MD上任取一点N(点 N可与端点重合)，再将△EAN沿NE所在直线折叠得到△EA,N，随后连接DA,,小王同学通过多次实践得 到以下结论： ①当点N在线段MD上运动时，点A在以E为圆心的圆弧上运动； ②当DA达到最大值时，A到直线AD的距离达到最大； ③DA的最小值为25-2； ④DA达到最小值时，MN=5-√5. 你认为小王同学得到的结论正确的个数是() A B A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2023四川成都.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,过D作 DE∥BC交AC于点E,将aDEC沿DE折叠得到aDEF,DF交AC于点G.若1G=了， TGE3,则tanA 6/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D E AC 8.(2025四川绵阳.中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，BC=4,AD=2,点E在四 边形内，DE⊥CE,EF⊥CD于点F,将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的 延长线于点H,∠DCG=45°，则点B到直线FH的距离为 A H Bb ◆题型四相似与动点、存在性问题结合 皮方法 1.设动点坐标或运动时间，用含参式子表示线段长度。 2.根据平行、垂直、角相等等条件列比例式，建立方程求解。 3.结合动点范围检验解的合理性，分类讨论防漏解。 9.(2025四川成都中考真题)如图，在。ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q, 图1 图2 【特例感知】 (1)如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上，求证：△EFP≌△ECQ; 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长： 【拓展延伸】 3如图2，当0B2B8册，点P在BC边上，若号片，求，的值.（用含的代数式表 DG 7/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(2024四川广元中考真题)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造"的过程，更是培 养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如 图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决。 D B 图1 图2 E B D 图3 图4 在ABC中，点D为边AB上一点，连接CD. (1)初步探究 如图2，若∠ACD=∠B,求证：AC2=AD·AB; (2)尝试应用 如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC=4,求CD的长； (3)创新提升 如图4，点E为CD中点，连接BE,若LCDB=∠CBD=30°，∠ACD=LEBD,AC=2√7，求BE的长. 11.(2024四川乐山中考真题)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3,CE=4, 求DE的长. 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'. A D 图1 由旋转的特征得LBAD=LCAD',LB=LACD',AD=AD',BD=CD'. ∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴.∠BAD+∠EAC=45°. ∠BAD=LCAD', 8/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°. .∠DAE=∠D'AE. 在△DAE和△D'AE中， AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, ①_ DE=D'E· 又：∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=LECA+LB=90°， 在Rt△ECD'中，②一· .CD'=BD =3,CE=4, B D 图2 DE=D'E=③ 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填： ;“②”处应填： ;“③y”处应填： 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以 不变应万变。 【知识迁移】 如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的 一半，连结AE、AF,分别与对角线BD交于M、N两点.探究BM、MN、DN的数量关系并证明. M 图3 【拓展应用】 如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且LEAF=LCEF=45°.探究BE、EF、DF的 数量关系：（直接写出结论，不必证明）. 9/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E 图4 【问题再探】 如图5，在ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,点D、E在边AC上，且∠DBE=45°.设AD=x, CE=y,求y与x的函数关系式 A 图5 12.(2024-四川内江.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A, 与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作 DC⊥x轴于点C,交AB于点E. D B 备用图 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式： (2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G,连接DF,当四 边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标. ◆题型五相似与解直角三角形、勾股定理融合 点方法 1.由相似得到比例关系，结合勾股定理列方程求边长。 2.直角三角形中，利用母子相似、射影定理简化计算。 10/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.用三角函数值转化边角关系，与相似比例联立求解。 13.(2024-四川资阳.中考真题)(1)【观察发现】如图1，在ABC中，点D在边BC上.若∠BAD=∠C, 则AB2=BDBC,请证明； (2)【灵活运用】如图2，在ABC中，LBAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2,点E在AB上， 连接AD,DE.若LAED=∠CAD,求BE的长； (3)【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5,点E,F分别在边AD,CD上，∠ABC=2LEBF, 延长AD,BF相交于点G.若BE=4,DG=6,求FG的长. E D A 图1 图2 图3 14.(2024四川南充.中考真题)如图，正方形ABCD边长为6cm,点E为对角线AC上一点，CE=2AE, 点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C向点B运 动，设运动时间为t秒(0<1≤3). D B (1)求证：△AEP∽aCEQ. (2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值. (3)连接A0,当tan∠40E=方时，求△AEO的面积， 15.(2024四川德阳.中考真题)己知⊙0的半径为5，B、C是00上两定点，点A是00上一动点，且 ∠BAC=60°，∠BAC的平分线交⊙0于点D. (1)证明：点D为BC上一定点： (2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F. 11/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①判断DF与OO的位置关系，并说明理由； ②若ABC为锐角三角形，求DF的取值范围. ●意● 分知识1 相似三角形判定定理(AA、SAS、SSS)与核心性质 A4(两角分别相等)：两个三角形中有两组对应角相等，即可判定相似，是中考最常用、最优先的判定 方法（公共角、对顶角、平行线同位角/内错角均为天然等角）。 SS(两边成比例且夹角相等)：两组对应边的比值相等，且两边的夹角对应相等，非夹角的边边角无法 判定相似。 S$s(三边对应成比例)：三个三角形的三组对应边比值完全相等，即可判定相似，多用于坐标计算、边 长己知的题型。 《。知识2相似三角形对应边成比例、对应角相等，面积比=相似比平方 角：对应角完全相等，可直接用于角度推导、证明垂直/平行。 边：对应边成比例，比值称为相似比k,比例式可交叉相乘转化为等积式。 对应线段：对应高、对应中线、对应角平分线的长度比=相似比k。 周长：相似三角形的周长比=相似比k。 面积：相似三角形的面积比=相似比的平方k2,己知面积比可开方求相似比。 《。知识3A字型、8字型、母子型、射影定理等高频相似模型 A字型相似 正A字型：直线平行于三角形一边，截另外两边，所得小三角形与原三角形相似； 斜A字型：无平行，有公共角+一组等角，三角形相似。 8字型(x字型)相似 正8字型：两组对边平行，对顶角相等，三角形相似； 斜8字型：无平行，对顶角+一组等角，三角形相似。 母子型相似：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成两个小直角三角形，两个小三角形彼此相似，且 均与原直角三角形相似。 射影定理（母子型核心推论) 直角边的平方=该直角边在斜边上的射影×斜边； 斜边上高的平方=两直角边在斜边上射影的乘积。 12/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 《。知识4平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与相似结合点 平行四边形：对边平行且相等，天然构造A字型、8字型相似，平行关系可直接得等角，快速证相似。 矩形：四个角为直角+对边平行，易构造直角三角形相似，矩形的边、对角线可作为相似三角形的对应 边。 菱形：四边相等、对角线互相垂直平分，对角线将菱形分为四个全等直角三角形，相似比可直接转化为 边长比、对角线分段比。 正方形：兼具矩形、菱形性质，内角90°、对角线平分内角，常出现等腰直角三角形相似，相似比多 为1：1、1：y2等特殊比值。 《。知识5几何变换（折叠、旋转、平移）中的角度与线段不变性 平移、旋转、折叠均属于全等变换，核心不变量： 线段：变换前后对应线段长度不变，全等三角形必相似（相似比=1）。 角度：变换前后对应角大小不变，折叠产生的等角、旋转产生的旋转角相等，可直接作为相似判定的等 角条件。 辅助应用：折叠的折痕垂直平分对应点连线，旋转的对应点到旋转中心距离相等，均可结合相似推导线 段比例。 ◇知识6勾股定理、特殊角三角函数与相似的综合计算 核心逻辑：先证相似得比例，再用勾股/三角函数算边长 勾股定理结合：已知相似比+部分边长，用a2+b2=c2求未知边，代入比例式求解。 特殊角三角函数结合： 30°/45°/60°的三角函数值可直接设边长（如30°对直角边为x,斜边为2x),将含x的边长代入 相似比例，列方程求解。 适用场景：直角三角形相似、几何图形的高/边长/面积综合计算。 ◇知识7 动点问题中的分类讨论（按角/边对应关系分类） 核心原则：固定一个三角形，按对应顶点分情况讨论，不重不漏 分类依据： ①按等角对应关系：公共角对应公共角、直角对应直角，再分剩余两角的对应方式： ②按边成比例关系：是=器=器，变换对应边列不同比例式。 解题步骤：确定动点范围→画出每种情形的图形→根据相似列比例方程→求解后检验动点是否在线段/ 延长线上，舍去不合理解。 13/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 父知识8 线段比值、面积比值、等积变换与相似的转化 线段比值：直接等于相似比，可用于求边长、分段长度 面积比值：等于相似比的平方，已知一个三角形面积可求另一个，反之亦然。 等积变换核心： 同高的两个三角形，面积比=底边长之比； 同底的两个三角形，面积比=高之比； 可将面积比转化为线段比，再结合相似比相互推导，实现等积式与比例式的互化。 《。知识9 坐标系中相似三角形的坐标法判定与计算 、2 、2 边长计算：用两点间距离公式x2~x+(y2y算出三角形三边长，通过边长比值判定sSs相似。 角度判定：通过坐标算直线斜率，斜率相等则直线平行，得同位角/内错角相等，判定AA相似。 动点计算：设动点坐标为(x,y),根据相似三角形的对应边成比例列方程，结合函数解析式、坐标取值 范围求解坐标、线段长度及面积。 命 命题预测1：相似三角形判定与性质应用【每年必考，压轴核心】 1.(2026四川巴中模拟预测)如图，△AED∽△ABC,相似比为1：2.若AB=6,则下列结论正确的是() D A.DE=3 B.AD=3 C.AE=3 D.BC=3 2.（2025·四川德阳模拟预测)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投 影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B,设AB=36cm, A'B'=24cm,小孔0到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为() 14/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B k-30cm→k-?cm→ A.18cm B.20cm c.40 cm D.15cm 3.（2025四川南充一模)已知ABC与△DEF相似，且相似比为1：3，则ABC与aDEF的周长之比是() A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 4.(2025四川成都模拟预测)如图，已知AC∥BE,AB∥DE,点B,C,D在同一条直线上，若 AC=3,CD=2,BE=4,则BC的长为 E 5.(2025四川成都.一模)将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一 平面内)，若BD=1,EC=√3，则AD= B D E G 6.(2026四川绵阳.一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AD⊥DC,AB=4,AD=DC=2,E是 线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点.现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF(如图的所有 点在同一平面内)，连接AB,AC,则△A'BC面积的最小值为 D ■ B 7.(2025四川成都模拟预测)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，在CD上取一点E,使得 15/29 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CE=AB,射线AE交BC于点F.若AD=DE=AE=4,BD=2EF,则四边形BDEF的面积为· F 8.(2025四川广元·模拟预测)如图，点C是ABC与△DEC的公共顶点，且∠ACD=∠BCE,有下列3个 条件：①AC·CE=DC·BC;②AB·CD=DE·AC;③LCAB=LCDE. D (1)请在上述条件中选择一个条件来证明△ABC∽△DEC,并写出证明过程。 (2)在(1)的结论下，若BE=3,CD=6,CE=5,求AD的长 命题预测2：特殊四边形与相似综合证明与计算【高频考点，解答题】 1.(2025四川绵阳.二模)如图，E,F分别是平行四边形ABCD的边AD,AB的中点，CE交DF于点G, 连接BG,过点D作DH∥BG交EC于点H,则 HC 的值为() 0.3 2.(2025四川成都.一模)如图，在平面直角坐标系xoy中，正方形ABCD的BC边在x轴上，AB=2,点 E(-2,O)且为BC的中点，直线AE交y轴于点F,正方形ABCD沿直线AF平移得到正方形A'B'CD',当正 方形4'BC'D'与AEOF重叠部分的面积为AEOF面积的一半时，求EA的值 AA 16/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y D C B E 3.(2025四川成都.二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=10,E,F是BC边上两点，且BE=3, CF=2,连接AF,DE,AF和DE交于点G,连接BG,则cosLABG的值是 D G B E C 4.(2025·四川成都.二模)已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M为BC上一点，连接AM交 BD于点N. D D D M A B A 图1 图2 图3 (1)如图1，若AM⊥BC,求证：∠CAM=∠ABD; 2如图2，若AM=AC,ON=MN,求 的值： DN (3)如图3，保持图2中菱形ABCD的形状不变，移动M点，连接OM,过点O作OP⊥OM交CD于点P, 连接PM,若AB=√10，△OPM∽△ONA,求点M到BD的距离. 5.(2024四川成都模拟预测)如1，在正方形ABCD中，AB=4,P是边AD上的一点，连接CP,过点D 作DH⊥PC于点H,在边DC上有一点E,连接HE,过点H作HF⊥HE,交边BC于点F. G D EM 图1 图2 图3 (1)求证：DH·FH=EH·CH; (2)如图2，连接EF,交线段PC于点G,当△FGC为等边三角形时，求DE的长； 17/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)如图3，设M是DC的中点，连接BM,分别交线段HF,EF于点K,N,当P是AD的中点时，在边 DC上是否存在点E,使得BK=KN？若存在，求此时DE的长；若不存在，请说明理由 6.(2026四川南充·一模)如图，正方形ABCD的边长为a,点P是CD边（含端点）上一动点，连接BP交 AC于点M,将BM绕点B逆时针旋转9O°得到BN,连接AN、MN, D (1)求∠BAN的度数； (2)求证：△AMN∽ACBP; 在点P运动过程中，CMP能否成为等腰三角形？若能，请求出此时P心的值：若不能，请说明理由。 N 命题预测3：相似与折叠/旋转结合的线段求解【B卷填空/解答常考】 1.(2024四川南充三模)如图，在等腰ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=10,点P是ABC所在平面 内一点，连接AP,BP,CP.下列结论：①BC=√5AB;②若点P为ABC的外心，则PA=10;③若点P 为ABC的内心，则an∠ABP=5；④若点P在ABC内部，则AP+BP+N5CP的最小值为1ON7.其中 6 正确的结论是 (填序号). P B 2.(2024四川成都模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是边BC上的中线，将ABC沿 AD翻折得AB'D,连接BB',CB,BB'分别与AD相交于点O,与AC相交于点E,DB'与边AC相交于 点若=4、，四tn∠ACB=· 18/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 3.(2024四川成都二模)【实践探究】 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC,E是AB边上一动点，连接CE,将CE绕着点C 逆时针旋转90°至CF,连接EF交BC边于点G,连接FB,证明：AE=-BF· (2)如图2，在(1)的条件下，连接AF交BC于点O,当E在AB的中点时，求tanZAFE的值. 【拓展应用】 (3)如图3，ABC是等边三角形，E是AB边上一动点，连接CE,将CE绕着点C逆时针旋转60°至CF, 连接EF交BC边于点G,连接AF交BC于点O,连接FB,当E在AB的中点时，求tanZAFE的值. 4.(2024四川成都.一模)在菱形ABCD中，BC=5,BD=8,动点M在射线BD上运动， D D A M E 图1) 图2) 备用图 (1)如图1，将点A绕着点M顺时针旋转90°，得到对应点A连接MC,AA'.求证：A4'=√2MC; (2)如图2，在(1)条件下，若射线MA'经过CD边中点E,求BM的值： (3)连接AM,将线段AM绕着点M逆时针旋转一个固定角a，,La=∠BCD,点A落在点F处，射线MF交 射线BC于点G,若△BMG是等腰三角形，求BG的值. 5.(23-24八年级上四川成都期中)从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做 以下探究学习. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段BC绕点C顺时针旋转a(0°<a<I80°)得到线段DC, 取AD中点H,直线CH与直线BD交于点E,连接AE 19/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 备用图 (1)【感知特殊】 如图1，当a=30°时，小组探究得出：△AED为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当0°<a<90°时，试探究线段EA,EC,EB之间的数量关系并证明； ②当90°<a<180°时，直接写出线段EA,EC,，EB之间的数量关系。 (3)【应用迁移】 己知AC=√5，在线段DC的旋转过程中，当AE=3时，求线段EC的长. 6.(2024四川成都.一模)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,AC平分∠BAD,点E为BC边 上一动点，连接AE,将AABE沿AE翻折，点B对应点为B,AD=2√6. B' B (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若∠BAD=150°，点F为CD边上一点，且DF=AF,求B'F的最小值. (3)若∠BAD=I35°，将△AEB'沿AB折叠，点E对应点为E,当AE'与菱形的边垂直时，求EE'的长 7.(2024四川成都.一模)如图，ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC,点D是射线AB上的动点，点E是边 AC上的动点，连接DE,将ADE沿DE翻折到ABC所在平面得FDE,点F恰好落在直线DC上. E E M A D B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点F与点C重合时，若BC=4,求AE长； (2)如图2，当∠FEA=90°时，求tan∠CDB的值； 20/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图3，设直线DE与直线BC交于点M,当CE最小时，求EM 的值 AE DM 命题预测4：相似背景下的面积比、线段比计算【两年必考】 1.(2026四川绵阳.一模)如图，在平面直角坐标系中，ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形， 若点A(1,1的对应点为A'3,3),当BC=1时，则线段B'C'的长度是() C B A A.4 B.3 C.2 D.4W2 2.(2025四川成都.一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC与△DEF关于点O位似，若A(2,3), D-1引AC=3,则DF为() B E A: 3 B.3 C.4 D.6 3.(2025四川凉山模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，己知ABC的顶点分别为 A1,1),B2,4),C(5,3),以原点O为位似中心，在第一象限内对ABC进行位似变换，得到△A'B'C',使得 点A的对应点的坐标为2,2).则下列说法正确的是() 21/29 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 yA 6 4 3 2 A -2-10123456 2 A.新图形与原图形的相似比为1：2 B.点B的对应点B的坐标为4,16) C.点C的对应点C的坐标为10,6) D.位似变换后，三角形的形状发生改变 4.(2023四川成都.二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形0ABC与矩形0AB'C'位似，位似中心是 原点O,若点B(2,1,B'(4,2),则矩形OABC与矩形0A'B'C的面积比为() B B,- 0 C右 A.1:4 B.1:2 C.1:9 D.1:3 5.(2024四川达州模拟预测)[问题背景]在ABC中，AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范 围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE, 把AB,AC,2AD集中在△ABE中. B D 图1 图2 图3 (1)利用上述方法求出AD的取值范围是」 (2[探究]如图2，在ABC中，CE为AB边上的中线，点D在CB的延长线上，且BC=2BD,AD与CE相 交于点O,若四边形0DBE的面积为20，求ABC的面积； (3[拓展]如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，LD=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上 的点，若AG=4,DF=2√2，∠GEF=90°，求GF的长. 22/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 命题预测5：动点中的相似【压轴必考】 1.(2022-四川德阳.二模)如图，在矩形ABDC中，AC=4cm,AB=3cm,点E以0.5cm/s的速度从点B到点 C,同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B,当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点， 且CP=1,且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为() E D A.2W5 B.5 c.17 D.V34 2.(2023·四川巴中.一模)如图，AB=4,射线BM和线段AB互相垂直，D为线段AB上一点，点E在射 线BM上，且2BE=DB,作EF⊥DE,并截取EF=?DE,连接AF并延长交射线BM于点C，设BE=X ,BC=y,则() A B E 16x 2x A.y= B.y= 8-x x-1 C.y=8 x-1 0.y=12x x-14 3.(2025四川资阳.二模)如图，在Rt△ABC中，AB=6,AC=10,ABC的内切圆交AC于点D,点P从 D出发，沿射线DC每次前进一个单位，点Q从D出发沿DA和射线AB每次前进a个单位，a为正整数且 1≤a≤8，当t次前进后△APQ与ABC相似，所有满足条件的t为 A B 4.(2025.四川成都.模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,动点E从A出发沿射线AD以 23/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1cm/s的速度运动，同时动点F从C出发沿射线DC以4cm/s的速度运动，G为EF的中点，连接CG,则 CG的最小值为 cm. D G 5.(2022四川成都模拟预测)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8,点P从点A出发，沿 折线AC-CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A,B重合时，在边AB上取一点Q, 满足LPQA=2LB,过点Q作QM1PQ,交边BC于点M,以PQ,QM为边作矩形PQMN,设点P的运动时 间为t秒. p M (1)直接写出线段PQ的长（用含t的代数式表示）： (2)当矩形PQMN为正方形时，求t的值： (3)设矩形PQMN与ABC重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式； (4)在整个运动过程中，直接写出点N运动路径长 6.己知：如图，菱形ABCD中，对角线AC,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发，速度为1cm/s; 同时，点Q沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s,且与AD,BD,Q,F;当直线EF停止运动时，点P也停 止运动.连接PF(s)(0<t<8).解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？ (2)设四边形APFE的面积为y(cm),求y与t之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40?若存在，求出t的值，并求出此时PE的长 24/29 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 度；若不存在，请说明理由。 命题预测6：相似与解直角三角形结合计算【高频考点，解答题】 1.(2025四川成都.二模)如图，等边ABC内一点D满足LBDA=120°，延长CD交AB于E, ∠BDE=LCAD,则AD AB 2.(2026四川绵阳·二模)矩形ABCD中，BC=2AB=12,连接BD,将△BCD绕点D逆时针旋转得到 aEFD,连接BF,CF,BF与CD交于M,若sin∠CFE=6 6 则MC=— D M E 3.(2026四川成都.一模)在平行四边形ABCD中，∠BAD=a,点E为直线AD上一点，将△ABE沿直线 BE翻折得到△FBE. D D C B 图1 图2 图3 (1)如图1，当a=90°时，点F恰好落在四边形ABCD的对角线BD上，连接AF,求证：AF·DE=BE·DF; 当C=90,BC=片AB时，点F恰好落在边CD上，连接CE,与BF交于店 的值： BG (3)如图3，当sina=0.6,AB=8,BC=5时，在翻折过程中，请究C,D,F三点能否构成直角三角形， 若能，请直接写出AE的值，若不能，请说明理由. 4.(2025四川成都模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,BD⊥AC于点D,点E在 25/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC上（不与点B,C重合），连接AE,交BD于点F. A 备用图 (1)求AD和BD的长； (2)当△BEF是以BE为腰的等腰三角形时，求EF的长； (3)将△BEF沿着BE翻折后得到△BEP,点F落在点P处，连接AP,当BD∥EP时，直接写出tan∠EAP的 值. 5.(2025四川成都.二模)在平面直角坐标系x0y中，一次函数：片=x+b(m>0)的图象与y轴交于点C, 与反比例函数：y2=二(k>0)的图象交于A2,y),B两点（点A在点B的右侧），过AC的中点D作线段 AC的垂线交x轴于点E,交y轴于点F,连接AF,AE,BE. OC) 图1 图2 备用图 (1)如图1，当b=4,点D的坐标为1,5)时，求反比例函数的表达式和B点坐标： (2)如图2，当b=0,连接BF,S。BF=5时，求m的值； (3)当m=2时，若AAFD∽aBED,求b的值： 6.(2026四川巴中.一模)【教材再现】 图① 图② 图③ (1)如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.求证：BE=DF, BE⊥DF. 【纵向探变】 26/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG,延长 DG和BC相交于点F,若CE=2DE,求FG的长. 【横向拓展】 (3)保持(2)中AB,AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A=120°，如图③所示.E是CD边上一点且满足 CE=2DE,点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G,当线段DF与射线BE所夹的锐角为60° 时，请求出DG·DF的值. H:四边形ABCD是正方形， B BC=CD,∠BCE=∠DCF=90°， CE=CF, :△BCE≌△DCF(SAS), .ZCBE =ZCDF,BE DF, :∠BEC=∠DEH,LBEC+∠BCE+LCBE=∠DEH+LCDF+LDHE=I8O°， ∴.∠BCE=∠DHE=90°， ·BE⊥DF; H 矩形ABCD中，AB=6,AD=8,CE=2DE, .CD=AB=6,AD=BC=8,DE=2,CE=4, 在RtaBCE中，BE=VBC2+CE2=V⑧2+42=4V5, :△BED沿BE折叠得△BEG, BE垂直平分DG,即DH=HG,BH⊥DF, ∴DHE=90°=∠BCE, :∠BEC=LDEH, ∴△BCEn△DHE, .DH DE ,∠CDF=LCBE, BC BE DH 2 84V5 27/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DH=4 DG-2DH= 5 :tan∠CDH=tan∠CBE=CE-4_I BC 82 在RiDCF中，tan∠CDF=CF-1, CD2’CD=6, CF=3, :DF=VCD2+CF2=V6+32=3√5， FG=DF-DG=3V5-85=75」 55 A 0 :四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°， C .∠BCD=∠A=120°，AD∥BC,BC=AD=8, .∠ECP=60°， :EP⊥BC, ∴∠CEP=90°-60°=30°， :∠BGD=60°，∠BCD=120°， ∴∠DGE=∠DCF=180°-120°=60°， :∠EDG=LFDC, ..ADGEADCF DG DE DC DF 7.(2026四川南充一模)按要求解决问题： (1)证明推断：如图1，在正方形ABCD中，点E,Q分别在边BC,AB上，DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边 CD,AB上，GF⊥AE.求G 的值； E 28/29 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G 图1 (2)类比探究：如图2，在矩形ABCD中， BC=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边 AB 上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量 关系，并说明理由； A------------D G D H B E 图2 e拓展应用：造接CP,在(2)的条件下，当k-号时，若an∠CGP=子GF=2i0,求CP的长， D G .FB∥GC,FE∥GP, H ∠CGP=∠BFE, tan∠CGP=tan∠BFE=}-8E 设BE=3k,BF=4k,则EF=AF=5k, 29/29