命题大赛 第一章 导数及其应用 单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）若,则（   ） A．1 B． C． D． 2．（原创）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．0， B．5，2 C．1， D．，5 3．（原创）曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．3 C． D．2 4．已知函数为偶函数，曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（   ） A． B． C． D．0 8．已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数的导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有两个极小值点 10．函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的极大值点 B．的对称中心为 C．在上恒有 D．若与在有唯一交点，则或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 13．函数在区间上的最大值是________. 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，若曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 16．（15分）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． 17．（15分）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 18．（17分）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 19．（17分）已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $相教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.(原创)若f'(xo)=1,则i fo+2A)-fx@=() 24x A.1 B.-1 C.-2 D. 2.(原创)已知曲线y=∫(x)在x=0处的切线方程是y=2x+5,则f(0)与f(0)分别为() A.0,-3 B.5,2 C.1,-2 D.-2,5 3.(原创)曲线y=e'+2x在x=0处的切线的斜率为() A.-2 B.3 D.2 4,已知函数f(心=x+Q山、为偶函数，曲线y-在x=2处的切线方程为y=c+b 则() Aa=0k=号 B.a=0,b=4 3 C.a=l,b=-4 n.alk=号 5.已知函数f(x)=x·2*H,则曲线y=f()在点(-1，f(-1)处的切线在y轴上的截距为() A.In2 B.n2-2 C.1-n2 D.-n2 6.已知定义在(0，+o)上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数，满足f(x)-f(x)<0.且 f(2)=2,则不等式f(2)-2>0的解集是() A.（-n,3) B.(-n,2) C.(-0,1) D.（-0,0) 7.已知函数f(x)=x-a:e,若f(x)≤0对任意xe[0,e]恒成立，则a的最小值为() A.e-1 2 B. c. D.0 [xInx,x >0 8.已知函数f(x)= xe,x≤0 ,有下列说法 0f内的运者区同足(10和目片 ②f(x)有三个零点： ®不等式f(x)≥-】的解集为R: ④关于x的不等式f(x)≥x-1(k∈R)恒成立，则k的最大值为1. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.①②④ D.①③④ 二、多项选泽题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图像，下列说法正确的是() -10 A.函数f(x)在区间(3，+∞)上单调递增B.函数f(x)在区间(0,1)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)有两个极小值点 10.函数f(x)=x2-(m+2)x+mhx,下列结论正确的是() A.若(1)=0，则m=-1 B.若0<m<2,则f(x)的极大值点为x=1 C.当m=3时，f(x)有3个零点 D.若u>2,则t>4n受4 11.已知函数f(x)=x-2x2,则下列说法正确的是() A.x=4是函数f(y)的极大值点 3 B.f(四)的对称中心为327) 216 C.f(x)在(0,1)上恒有f(x)>f(x D.若f(x)与8(x)=-x2+x+在[0，+o)有唯一交点，则>0或m=-1 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=(x2+)e+1的图象在点(0,1)处的切线与直线x+2y+4=0互相垂直， 则a= 13.函数f(x)=4x3-3x+1在区间(-1,1)上的最大值是. 14.若函数f-1+m-在x=1处取得极大值，则实数m的取值范国为 e 四、解箸题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说朋、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=x-xlnx-a,若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=2. (1)求a的值： (2)求f()的单调区间. 16(15分)已知函数倒-t+-2x+1. (1)求函数f(x)在(0,1)处的切线方程： (2)求函数f(x)在区间[-2,1]的最大值和最小值. 17.(15分)已知函数f(x)=nx-ax,(a∈R) ()当a=时，求函数f(的单调区间： (2)当a>0时，求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值. 18.(17分)已知函数f(x)=a(1-e)+x,aeR. (1)判断f(x)的单调性： (2)若f(x)≤0，求a的值： B)已知g6)=e+分eQ+0.若a=-1,证明：86>/. 19.(17分)已知函数f(x)=lhx-x+2,e为自然对数的底数： ()若此函数的图象与直线x=上交于点P,求该曲线在点P处的切线方程： (2)若h(x)=ae2+(a-3)e-f(e)+2有两个零点，求实数a的取值范围Sheet1 双向细目表 题号 核心知识点 题型 难度系数 分值 1 导数的定义、极限概念 单项选择题 0.9 5 2 导数的几何意义、切线方程 单项选择题 0.85 5 3 基本初等函数求导、切线斜率 单项选择题 0.8 5 4 偶函数性质、导数与切线 单项选择题 0.7 5 5 函数求导、切线方程、截距 单项选择题 0.65 5 6 构造函数、导数与不等式 单项选择题 0.55 5 7 恒成立问题、参数最值 单项选择题 0.5 5 8 函数单调性、零点、不等式综合 单项选择题 0.45 5 9 导函数图像、单调性与极值 多项选择题 0.65 6 10 导数求极值、零点个数 多项选择题 0.5 6 11 极值点、函数性质、不等式、交点问题 多项选择题 0.4 6 12 导数几何意义、直线垂直斜率关系 填空题 0.7 5 13 导数求闭区间最值 填空题 0.65 5 14 极值点判定、参数范围 填空题 0.5 5 15 切线方程、导数求单调区间 解答题 0.65 13 16 切线方程、闭区间最值 解答题 0.6 15 17 含参单调性、区间最值 解答题 0.5 15 18 单调性判断、方程求解、不等式证明 解答题 0.4 17 19 切线方程、函数零点与参数范围 解答题 0.35 17 Sheet2 Sheet3 $ 湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）若,则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】 2．（原创）已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．0， B．5，2 C．1， D．，5 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果. 【详解】将代入直线方程可得， 因为切线的斜率为2，所以2，因此与分别为5，2. 故选：B 3．（原创）曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为.故选：B. 4．已知函数为偶函数，曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为偶函数利用特值法得到的值，利用偶函数的定义验证的值，构造函数，利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式得到切线方程，从而得到的值. 【详解】因为为偶函数，则，所以，解得. 当时，，所以，解得或， 则其定义域关于原点对称. ，故为偶函数. 记，则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 化简得，所以. 5．已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式求切线方程，取得答案． 【详解】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为，令得轴上的截距为． 6．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 7．已知函数，若对任意恒成立，则a的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值，即可求解. 【详解】由题意知对任意恒成立， 所以对任意恒成立.记，则， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 所以，故a的最小值为. 8．已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】分别求得和时，利用导数求得的单调性，可判定①正确，令，求得方程的解，可判定②不正确；利用函数的单调性，求得的最小值，可判定③正确，由不等式，当时，转化为，利用导数求得其最大值，当时，画出和的图像，结合图像，求得的范围，可判定④正确. 【详解】对于①，当时，，可得， 令，即，可得，所以在上单调递增； 令，即，可得，所以在上单调递减， 当时，，可得， 令，即，可得，所以在上单调递增； 令，即，可得，所以在上单调递减， 所以的递增区间是和，所以①正确； 对于②，当时，令，即，解得； 当时，令，即，解得， 所以函数仅有两个零点和，所以②不正确； 对于③，由①知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上可得，在上恒成立，所以的解集为，所以③正确； 对于④，当时，由，可得，即， 令，可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，所以； 当时，，由①知在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 且，当趋向负无穷时，趋近于0，且，画出函数的图象，如图所示，又由直线恒过定点，要使得不等式恒成立，则， 综上可得，不等式恒成立，则满足， 所以的最大值为，所以④正确， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数的导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数有两个极小值点 【答案】ACD 【详解】由导函数的图象可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值，可知A、C、D选项正确，B选项错误． 10．函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A：直接代入求解即可；对于B：利用导数分析得单调性，进而可得极值点；对于C：利用导数分析的单调性，进而可得零点；对于D：令，构造，利用导数可证，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或.对于选项A：若，解得，故A正确； 对于选项B：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以为的极小值点，故B错误；对于选项C：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误； 对于选项D：若，令，构造，则，可知在内单调递增，则， 即，可得，整理可得，故D正确. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的极大值点 B．的对称中心为 C．在上恒有 D．若与在有唯一交点，则或 【答案】BCD 【分析】利用函数的单调性求出极值点判断A选项；利用函数的对称中心的性质判断B选项；利用函数的单调性判断C选项；构造函数利用函数的单调性和极值判断D选项. 【详解】A选项：函数求导得， 令，即，提取公因式得到，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故为极大值点，为极小值点，A选项错误； B选项：设函数的对称中心为，则有， ，， ， 又为函数的对称中心时，关于它对称的两点函数值之和为常数，与值无关， 即，解得，又， 故是函数的对称中心，B选项正确； 令，则，令，由二次函数性质可得： 当时，，即当时，， 又当时，函数单调递减，且， 即在区间上单调递减， 故当时，，C选项正确； D选项：令，即，移项可得， 令，求导得， 令，即，因式分解得到，解得或， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 当，即，解得时，在上有唯一零点， 即与在有唯一交点， 当，即，解得时，在上有一个零点， 即与在有唯一交点， 所以若与在有唯一交点，则或，D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 【答案】2 【详解】由题意得：，则在点处的切线斜率， 又因为在点处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为， 所以，解得：. 13．函数在区间上的最大值是________. 【答案】2 【详解】函数，定义域为R，，在区间上， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，，所以函数在区间上的最大值是2. 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求导数，然后分，，三种情况讨论，借助导数研究函数的极值，即可得解. 【详解】求导得 . 若，则，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，故符合要求； 若，令.当时，解得，， 当时，，此时是开口向上的抛物线， 所以当时，，；当时，，， 所以在处取得极大值，故符合要求； 当时，此时是开口向下的抛物线，欲使成为的极大值点， 只需，即，解得.综上，可得实数的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，若曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）根据可求的值. （2）求导，根据导函数的符号确定函数的单调区间. 【详解】（1）由题意.此时，. 所以，， 所以在处的切线方程为，即.故为所求. （2）因为，. 由；由. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 16．（15分）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求； （2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可． 【详解】（1）解：， ， 则函数在处的切线方程为； （2）由（1）知， 令，解得或， 和时，，单调递增； 时，，单调递减； 又， 函数在区间的最大值为，最小值为． 17．（15分）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间是；单调递减区间是 (2)当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是. 【分析】（1）先确定函数的定义域，再对函数求导，根据导函数与0的大小关系划分区间，从而判断函数的单调性； （2）要求闭区间上的最小值，先对函数求导，找到导函数的点，再根据该点在区间的位置关系，分情况讨论函数在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）函数的定义域为； 当时，，则； 令，即，解得； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 的递增区间为，递减区间为. （2）由，得； 令，即，解得； ，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. ①当，即时，函数在区间上单调递减，此时的最小值为； ②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减； ，， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为. ③当，即时，函数在区间上单调递增，此时的最小值为； 综上所述，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是. 18．（17分）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以，所以，得证. 19．（17分）已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程； （2）整理可得，令，原题意可转化为有两个零点，求导，利用导数分析函数零点即可. 【详解】（1）因为，则， 可得，， 所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即. （2）因为，则， 可得， 令，则，可得， 原题意可转化为有两个零点，则， 因为，则，若，则，可得， 可知在上单调递减，所以在上至多一个零点，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 当趋近时，趋近正无穷，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 若有两个零点，则， 令，则在上单调递增， 且，则不等式的解集为； 所以实数a的取值范围为：. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册 第1章：导数及其应用单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.(原创)若f'(xo)=1,则im f(xo+24x)-f(xo)=() 24x A.1 B.-1 C.-2 1 D. 2 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解即可 【详解】lim Got40fo=f(xo）=1. △X-→0 24x 2.(原创)已知曲线y=∫(x)在x=0处的切线方程是y=2x+5,则f(0)与f'(0)分别为() A.0,-3 B.5,2 C.1,-2 D.-2,5 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义分别代入计算可得结果」 【详解】将x=0代入直线方程可得f(2)=2×0+5=5, 因为切线y=2x+5的斜率为2，所以f(0)=2,因此f(0)与f0)分别为5,2. 故选：B 3.(原创)曲线y=ex+2x在x=0处的切线的斜率为() 5 A.-2 B.3 c. 2 D.2 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得y'=ex+2,所以曲线y=ex+2x在x=0处的切线的斜率为e+2=3. 故选：B. 4.已知函数fx)=(c+a)n中为偶函数，曲线y=f图在x=2处的切线方程为y=+b, 则() A.a=0k= 4 3 B.a=0b=3 C.a=1,b= 4 D.a=1,k=- 2 3 3 【答案】A 【分析】由f(x)为偶函数利用特值法得到a的值，利用偶函数的定义验证a的值，构造函 数g(x)= f(x) 利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式得到切线方程，从而得到k,b 的值 【详解】因为f(x)为偶函数，则f(2)=f(-2),所以(2+ah3=(-2+a)ln3,解得a=0. 当a=0时，f(x)=xn+, h是，所以(x-10+1>0,解得x>1或<-1. 则其定义域关于原点对称 (对（加片((nm,故因为数 记g-f四-h则ga)1又g回时go=号 x-1 所以面线y=因在x=2处的切线方程为y-h3=号(x-2), 化简得y=- +3+子所以= 2 4 3 5.已知函数f(x)=x·2x,则曲线y=f()在点（1，f(-1)处的切线在y轴上的截距为() A.In2 B.n2-2 C.1-n2 D.-n2 【答案】D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=-1处切线的斜率，再求出∫(-1)，利用直线 方程的点斜式求切线方程，取x=0得答案， 【详解】由f(x)=x.2H,得f'(x)=1·2x+x.2xn2=2x(1+xn2), 所以f"(-1)=2°(1-h2)=1-h2,又f(-1)=-1.2°=-1， 曲线在(-1，-1)处的切线方程为y+1=(1-ln2)(x+1),令x=0得y轴上的截距为-ln2 6.已知定义在(0，+o)上的函数f(x),(x)是f(x)的导函数，满足f(x)-f(x)<0.且 f(2)=2,则不等式f(2)-2>0的解集是() A.（-,3) B.(-0,2) C.（-0,1) D.（-n,0) 【答案】C 【球1xe0-.寸因-0，o0,明 <0 令g国)=f国，xe(0,+四： 则gx)=)x-f)<0,六g(y在(0，+)上单调递减 r? f2)=2,8p)=f2-1: 2 2)2≥0.2>0,01得82)>1，即82>8② g(x)在(0，+∞)上单调递减，且8(2)>8(2)，.2<2，解得x<1: .不等式f(2)-2*>0的解集为(-∞，1) 7.已知函数f(x)=x-a.e,若f(x)≤0对任意x∈[0，e]恒成立，则a的最小值为() 2 A.e-1 1 B. C. D.0 e 【答案】C 【分析】分离参数可得a≥ 。产，构造函数()=。，利用导数求出函数g(x)的最大值，即 可求解。 【详解】由题意知x-ae*≤0对任意x∈[O,e]恒成立， 所以a≥兰对任意xe0d恒成立记8)音，则g()1。 当0≤x<1时，g'(x)>0;当1<x≤e时，g'(x)<0: 故8()-。在[Q1)上单词递增，在Lg上单调道减。 故当xe[0,©]时，g)=二在x=1时取得极大值，也即最大值g)= e e 所以a≥，故a的最小值为二 e e [x Inx,x >0 8.已知函数f(x)= xe,x≤0 有下列说法 ①倒的递始区间是（仁10和[日片 ②f(x)有三个零点： ®不等式f(x)≥-】的解集为R: ④关于x的不等式f(x)≥kx-l(k∈R)恒成立，则k的最大值为1. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.①②④ D.①③④ 【答案】D 【分析】分别求得x>0和x≤0时，利用导数求得∫(x)的单调性，可判定①正确，令f(x)=0, 求得方程的解，可判定②不正确；利用函数∫(x)的单调性，求得∫(x)的最小值，可判定③ ,由不等式f四2-L,当x>0时，转化为k血x+利用导数求得其最大值 x≤0时，画出f(x)=xe和y=-1的图像，结合图像，求得k的范围，可判定④正确 【详解】对于①，当x>0时，f(x)=xlnx,可得f'(x)=lnx+1, 令f'(e)>0,即nx+1>0,可得x>二，所以f(y)在(，+四)上单调递增： 令f)<0,即山+1<0，可得0<x<。所以子在(0,3上单调递减， 当x≤0时，f(x)=xe,可得∫'(x)=(x+1)e, 令f'(x)>0,即(x+1)e*>0,可得-1<x≤0，所以f(x)在(-1,0]上单调递增： 令∫'(x)<0,即(x+1)e<0,可得x<-1,所以f(x)在(-o,-1)上单调递减， 所以f(,的递增区间是（←10）利+o,所以0正确： 对于②，当x>0时，令f(x)=0,即xlnx=0,解得x=1: 当x≤0时，令f(x)=0,即xe=0,解得x=0, 所以函数∫(x)仅有两个零点x=0和x=1,所以②不正确： 对于③，由①知，当x>0时，f(:)在(0，马上单调递减，在（仁+四）上单调递增， e e 所以fw)≥f白=上n2=1 e e 当x≤0时，f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增， 所以f(x)≥f(-1)=-1xe'=- e 综上可得，)之是在R上恒成立，所以)之-上的解集为R,所以③正确： e 1 对于④，当x>0时，由f(x)≥c-1,可得xhx≥c-1,即k≤nx+二 令g()=hx+>0,可得g(x)=1是-=1 1 当x>1时，g'(x)>0,g(x)在1，+∞)单调递增： 当0<x<1时，g(x)<0,8(x)在(0,1)单调递减， 所以g(x)mm=g0=1,所以k≤1： 当x≤0时，f(x)=e,由①知f(x)在(-o,-l)上递减，在(-1,0]上递增， 所以当=-1时，西数因取得极小道，极小值为)=专日 且f(O)=0,当x趋向负无穷时，f(x)趋近于0，且f(x)<0,画出函数f(x)的图象，如 图所示，又由直线y=k-1恒过定点(0，-1)，要使得不等式f(x)≥x-1恒成立，则k≥0， 综上可得，不等式f(x)≥kx-1恒成立，则满足0≤k≤1， 所以k的最大值为1，所以④正确， yf(x) y=kx-1 y=1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图像，下列说法正确的是() A.函数f(x)在区间(3，+o)上单调递增 B.函数f(x)在区间(0,1)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)有两个极小值点 【答案】ACD 【详解】由导函数∫'(x)的图象可知函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(1,3)，单调递增区 间为(-1,1)，(3，+0)，所以函数f(x)在x=-1处取得极小值，在x=1处取得极大值，在x=3处 取得极小值，可知A、C、D选项正确，B选项错误。 10.函数f(x)=x2-(m+2)x+mx,下列结论正确的是() A.若f(1)=0,则m=-1 B.若0<m<2,则f(x)的极大值点为x=1 C.当m=3时，∫()有3个零点 D.若m>2,则m2>4mln+4 2 【答案】AD 【分析】对于A:直接代入求解即可：对于B:利用导数分析∫()得单调性，进而可得极 值点：对于C:利用导数分析f)的单调性，进而可得季点：对于D:令1=究>1，构造 g()=t-2ht-1t>1,利用导数可证g0)>0,即可得结果 【详解】由题意可知：f(y)的定义域为(0，+）)，且f'x)=2x-0+2)+严2x-m-少， 令f)-0,解得x受或x=1对于造项A:若Q)=m-1=0,解得m=-1,故A正确： 对于选项B:若0<m<2,则0<受<1. 当xe(0罗0+)时，f0:当x(受时，f(k0: 可知/在}，+o)内单调适地，在侣内单调递减 所以=1为的极本值点。放B箭误：对于选项c:若加=3。则空子1， 当xeou(受+时，f>0:当xeg） 时，f'(x)<0: 2 可知f在@，子+内单调莲指，在》 内单调递减， 则f的极大值为f0)=-4<0,极小值为》)J0)0, 当x趋近于+o时，f(x)趋近于+o,所以f(x)有且仅有1个零点，故C错误： 对于选项D:若m>2,令1=究1，构造g0=1-2咖1->1，则 g0=1-+之-《，1、0，可知8日在L+)内单调道增，则g0>g0=0, 12 即1-2-0，可符受2h号品>0，整理可得m>4mg4,故D正确 2 2 11.已知函数f(x)=x-2x2,则下列说法正确的是() A.X号是西数f()的极大伯点 B.f(x)的对称中心为 /216 327 C.f(x)在(0,1)上恒有f(x)>f() D.若f(x)与g(x)=-x2+x+m在[0，+o)有唯一交点，则m>0或m=-1 【答案】BCD 【分析】利用函数的单调性求出极值点判断A选项：利用函数的对称中心的性质判断B选 项；利用函数的单调性判断C选项；构造函数利用函数的单调性和极值判断D选项 【详解】A选项：函数f(x)=x-2x2求导得f"(x)=3x2-4x, 令f"(x)=0,即3x2-4x=0,提取公因式x得到x3x-4)=0,解得x=0或x= 4 3 当x<0时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增： 当0时，/国<0，两数0的单调道减： 当x时，了)>0，画数单调造抛， 故0为极大值点，一号为板小值点：人选项精碳 B选项：设函数f(x)的对称中心为(a,b),则有f(a+x)+f(a-x)=2b, f(a+x)=a+3a2x+3r2+x-2a2-4ax-2.x2, f(a-x)=a-3a2x+3ax2-x3-2a2+4ar-2x2, f(a+x)+f(a-x)=2a-4a2+(6a-4)x2, 又(a,b)为函数f(x)的对称中心时，关于它对称的两点函数值之和为常数，与x值无关， 216N 故(37 是函数f(w)=x-2x2的对称中心，B选项正确： 令√x=t,t∈(0，l),则x=tP,令h(t)=t-t,由二次函数性质可得： 当t∈(0,1)时，h(t)<0,即当xe(o,)时，x<√， 又当0考时，西数)单调选减，且0)0) 即f(x)在区间x∈(0，)上单调递减， 故当x∈(o,)时，f(x)>f(Vx),C选项正确： D选项：令f(x)=8(x),即x3-2x2=-x2+x+m,移项可得x3-x2-x-=0, 令F(x)=x3-x2-x-,求导得F'(x)=3x2-2x-1, 令F6)=0,即3x-2x-1-0,因式分解得到(Gx+Dx-)-0,解得x=名或x-1, 当x∈[0,1)时，F(x)<0,F(x)单调递减： 当x∈I,+o)时，F'(x)>0,F(x)单调递增， 所以F(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，F①=1-12-1-m=-1-m, 当F0)=0,即-1-m=0,解得m=-1时，F(x)在[0，+w)上有唯一零点， 即f(x)与g(x)在[0，+o)有唯一交点， 当F(0)<0,即-<0，解得>0时，F(x)在(1，+o)上有一个零点， 即f(x)与g(x)在[0，+∞)有唯一交点， 所以若f(x)与g(x)在[0，+o)有唯一交点，则>0或=-1，D选项正确 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=(x2+)e“+1的图象在点(0,1)处的切线与直线x+2y+4=0互相垂直， 则a= 【答案】2 【详解】由题意得：f'(x)=(r2+a2x+2x+a)e“,则在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a, 又因为在点(0,1处的切线与直线x+2y+4=0互相垂直，且直线的斜率为2 1 所以a× -1,解得：a=2 13.函数f(x)=4x3-3x+1在区间(-1,1)上的最大值是 【答案】2 【详解】函数f(x)=4x3-3x+1,定义域为R,f(x)=12x2-3,在区间(-1,1)上， 当-1<x<时，(a)0,f)单调通增：当x<号时，了)<0，fy单调递减： 当x<1时，f'()>0,f(单调递增 又J》2,f0)=2,所以函数f(y)在区间(-1，)上的最大值是2 4.若函数)-X+-山少在K=1处取得极大值，则实数m的取值范围为】 e 【答案】 -0,2 【分析】先求导数'(x),然后分=0，m<0,>0三种情况讨论，借助导数研究函数f(x) 的极值，即可得解 【详解】求导得 1+2m(x-1]e-「x+(-1]e f'(x)= [1+2m(x-1)-x-m(x-1]e (e) e2x -x2+(4m-1)x+1-3m（x-)(3m-1- e e 若m=0,则f()1后，当<1时)>0：当x1时，了<0， 所以∫(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，故m=0符合要求： 若≠0，令g(y=(x-l(3m-1-m).当g(y)=0时，解得5=1,3=3-1 当m<0时，x2>,此时g(x)是开口向上的抛物线， 所以当x<1时，g(y>0,f(9)>0:当1<x<3-上时，g(w)<0,f(9<0, 所以f(x)在x=1处取得极大值，故m<0符合要求： 当m>0时，此时g(x)是开口向下的抛物线，欲使x=1成为f(x)的极大值点， 只诺>，印1>3品解得0<<号综上，可得实数m的取值范围为- 1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解窖应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数f(x)=x-xhx-a,若曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程为y=2. (1)求a的值： (2)求f(x)的单调区间. 【答案】(1)a=-1 (2)∫(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+∞) 【分析】(1)根据f(1)=2可求a的值. (2)求导，根据导函数的符号确定函数f(x)的单调区间 【详解】(1)由题意f(1)=2→1-0-a=2→a=-1.此时f(x)=x-xhx+1,x>0 所以f(9=1-血r+x -0=-hx,f(①)=0， x 所以f(x)在(L,2)处的切线方程为y-2=0(x-1),即y=2故a=-1为所求. (2)因为f'(x)=-lnx,x>0. 由f'(x)>0→0<x<1:由f'(x)<0→x>1. 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+∞) 16.15分)已知函数f()=r+号x2-2x+1. (1)求函数f(x)在(0,1)处的切线方程： (2)求函数f(x)在区间[-2,1]的最大值和最小值. 5 【答案】(1)y=-2x+1 (2②2-1 【分析】(1)根据导数的几何意义，在点处切线求法可求： (2)求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可， 【详解】(1)解：f'(x)=3x2+x-2, .k=f(0)=-2, 则函数f(x)在(0,1)处的切线方程为y=-2x+1: (2)由(1)知f'(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1), 令f"()=0,解得x=或x=-1. 3 xe2-和e[]时，了)>0,9单调遥增 x号引时.f0,了的单调适减 又-2=-1=)-京0 函数f在区间[2]的最大值为，最小值为-1. 17.(15分)已知函数f(x)=lnx-ar,(a∈R) )当a=2时，求函数f)的单调区间： (2)当a>0时，求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值. 【答案】(1)函数f(x)的单调增区间是(0,2)：单调递减区间是(2，+0) (2)当0<a<n2时，f(x)在区间[1,2]上的最小值是-a;当a≥n2时，f(x)在区间[1,2]上 的最小值是ln2-2a. 【分析】(1)先确定函数f(x)的定义域，再对函数f(x)求导，根据导函数'(x)与0的大小 关系划分区间，从而判断函数的单调性： (2)要求闭区间上的最小值，先对函数f(x)求导，找到导函数∫"(x)=0的点，再根据该点 在区间[1,2]的位置关系，分情况讨论函数在[1,2]上的单调性，进而确定最小值 【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)： 当a=2时，fw=nx-,则f)月 令)=0，即上}=0，解得x=2: x2 ∴.当x∈(0,2)时，f'(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增： 当x∈(2，+o)时，f'(x)<0,f(x)在(2，+∞)上单调递减： ∴f(x)的递增区间为(0,2)，递减区间为(2，+o) (2)由f)=lnx-,得f=1-a: 令f')=0,即1-a=0,解得x=1 1 a>0,当xe0, 时，f'()>0,f(x)在 上单调递蹭：当x∈2+w时，f(y<0, a a 1在[合0小上单祺运减 ①当0<日1，即a≥1时，函数0在区同，2小上单调递减，此时)的最小值为 f(2)=ln2-2a: ②当1<片2，即a<1时，函数了)在区间日上单调递增，在[启2上单调递减： a :f(1)=lnl-a=-a,f(2)=lh2-2a,f(2)-f)=n2-a :当a<h2时，f(Q)>f0,此时最小值为f0-a: 当ln2≤a<1时，f(2)≤f(1),此时最小值为f(2)=n2-2a ③当2≥2，即0<a≤号时，函数f)在区间，2]上单调递增，此时)的最小值为 f)=-a; 综上所述，当0<a<n2时，f(x)在区间[1,2]上的最小值是-a:当a≥ln2时，f(x)在区 间[1,2]上的最小值是h2-2a 18.(17分)已知函数f(x)=a1-e)+x,a∈R. (1)判断f(x)的单调性： (2)若f()≤0，求a的值： (6)已知8(9=c+2xe0,+o四).若a=-1,证明：s6)>). 【答案】(1)当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(-o,-ha)上单调递 增，在(-ha,+o)上递减： (2)a=1 (3)证明见解析 【分析】(1)先求导，按照a≤0和a>0分类讨论，利用导数研究单调性即可求解： (2)由f(x)≤0，得f(x)s≤0，根据a的情况分类讨论，当a>0时，由(1)有f(-血a)≤0， 令g(x)=x-1-lhx,利用导数研究最小值即可求解： (3)令()=-了儿)=(-。-子，利用导数研究商数()的单词性求出最小位 即可求解。 【详解】(1)由f(x)=a(1-e）+x得：f'(x)=-ae+1, 当a≤0时，f'(x)=-ae+1≥1>0，此时f(x)在R上单调递增： 当a>0时，令f'(x)=0,解得：x=-a,所以当f'(x)>0时，x<-ha; 当f'(x)<0时，x>-na, 所以f(x)在(-o,-lna)上单调递增，在(-ha,+o)上递减； (2)由(1)可知，当a>0时，f(x)在(-o,-ha)上单调递增，在(-ha,+o)上递减. 若f()≤0，则f(x)≤0，即f(-lha)≤0， 代入可得：f(-lnad)=a(1-ea）-lna=a-1-na, 令8（四）=-1-lhx,(x>0),则g(y)=1-1-- 当x∈(0,1)时，g(x)<0,当x∈(1，+∞)时，g(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 则g(x)m=g()=0,即f(-lna)≥0恒成立，且f(0)=0, 所以f(-ha)=0,即a=l, 当a≤0时，f'(x)=-ae+1>0恒成立，即f(x)在R上单调递增， 又f(0)=0,所以当x>0,f(x)>f(0)=0,f(x)≤0不恒成立，故a≤0不成立. 综上所述，a=1: 3)令)=8(-fe)--1e-+3e0+, 所以h(x)=xe-1,令t(x)=xe-1,t'(x)=(x+1)ex>0, 所以H(y)在(0，+∞)上单调递增，因为H -9100=c-1s0, 所以(x)在 行上存在唯一零点无，令()-0，则e=士 令h(x)>0,所以x>x:令h(x)<0,所以0<x<x: 所以h(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 两a62=hA)-k,-e子+ 又因为行美<1，所以2<5+所以a=M小0，将证 19.(17分)己知函数f(x)=nx-x+2,e为自然对数的底数 L)若此函数的图象与直线x=上交于点P,求该曲线在点P处的切线方程： (2)若h(x)=ae2+(a-3)e-f(e)+2有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（①）y=(e-1)x (2)(0,1) 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义求切线方程： (2)整理可得h(x)=ae2x+(a-2)e-x,令t=e>0,原题意可转化为 g(t)=t2+(a-2)t-lnt有两个零点，求导，利用导数分析函数零点即可. 【详解】(1)因为f(x)=l血x-x+2,则f'()=1-1, 可/得11， 所以该曲线在点P处的切线方程为：y〔)=e-)x), 即y=(e-1x (2)因为f(x)=nx-x+2,则f(e)=ne-e+2=x-e+2, 可得h(x)=ae2x+(a-3)e*-（x-e+2)+2=ae2+(a-2)e-x, 令t=e*>0,则x=lnt,可得g(t)=at2+(a-2)t-ht, 原题意可转化为g0=m+(a-2)1-ht有两个零点，则g0=2+a-21+(d-), t 因为t>0,则2t+1>0,若a≤0，则at-1≤0，可得g'(t)<0, 可知g(t)在(0，+o)上单调递减，所以g(t)在(0+∞)上至多一个零点，不合题意： 若a>0,令g0)<0,解得0<1<：令g0>0,解得1>a 可知g)在0，》上单调递减 在石小上竿调递城，则0)： 1 a 当t趋近0时，g(t)趋近正无穷，当t趋近正无穷时，g(t)趋近正无穷， 1 若g(t)=t2+(a-2)t-lht有两个零点，则g =1 1+ha<0, a 令m(a)=1-+haa>0),则m(a)在(0，+）)上单调递增， 且(1)=0，则不等式m(a)<0的解集为0<a<1: 所以实数a的取值范围为：(0,1)